Классические ортогональные многочлены

Тип ортогональных многочленов

В математике наиболее широко используемыми ортогональными многочленами являются классические ортогональные многочлены : многочлены Эрмита , многочлены Лагерра , многочлены Якоби (включая в качестве частного случая многочлены Гегенбауэра , многочлены Чебышёва и многочлены Лежандра ^[1] ).

Они имеют множество важных приложений в таких областях, как математическая физика (в частности, теория случайных матриц ), теория приближений , численный анализ и многие другие.

Классические ортогональные многочлены появились в начале 19 века в работах Адриена-Мари Лежандра , который ввел многочлены Лежандра. В конце 19 века изучение цепных дробей для решения проблемы моментов П. Л. Чебышевым , а затем А. А. Марковым и Т. Дж. Стилтьесом привело к общему понятию ортогональных многочленов.

Для заданных полиномов и классических ортогональных полиномов характерно то, что они являются решениями дифференциального уравнения ${\displaystyle Q,L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle Q(x)\,f_{n}^{\prime \prime }+L(x)\,f_{n}^{\prime }+\lambda _{n}f_{n}=0}$

с определяемыми константами . ${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {R} }$

Существует несколько более общих определений ортогональных классических многочленов; например, Эндрюс и Аски (1985) используют этот термин для всех многочленов в схеме Аски .

Определение

В общем случае ортогональные полиномы относительно веса удовлетворяют ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle W:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\deg P_{n}=n~,\quad n=0,1,2,\ldots \\&\int P_{m}(x)\,P_{n}(x)\,W(x)\,dx=0~,\quad m\neq n~.\end{aligned}}}$

Вышеприведенные соотношения определяют с точностью до умножения на число. Для фиксации константы используются различные нормализации, например ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \int P_{n}(x)^{2}W(x)\,dx=1~.}$

Классические ортогональные многочлены соответствуют следующим трем семействам весов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{(Jacobi)}}\quad &W(x)={\begin{cases}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }~,&-1\leq x\leq 1\\0~,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\{\text{(Hermite)}}\quad &W(x)=\exp(-x^{2})\\{\text{(Laguerre)}}\quad &W(x)={\begin{cases}x^{\alpha }\exp(-x)~,&x\geq 0\\0~,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Стандартная нормализация (также называемая стандартизацией ) подробно описана ниже.

Полиномы Якоби

Для полиномов Якоби формула задается ${\displaystyle \alpha ,\,\beta >-1}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }(1-z^{2})^{n}\right\}~.}$

Они нормализованы (стандартизированы)

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n},}$

и удовлетворяют условию ортогональности

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx\\={}&{\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}.\end{aligned}}}$

Полиномы Якоби являются решениями дифференциального уравнения

${\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0~.}$

Важные особые случаи

Полиномы Якоби с называются полиномами Гегенбауэра (с параметром ) ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle \gamma =\alpha +1/2}$

Для они называются полиномами Лежандра (для которых интервал ортогональности равен [−1, 1], а весовая функция просто равна 1): ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

${\displaystyle P_{0}(x)=1,\,P_{1}(x)=x,\,P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}},\,P_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}},\ldots }$

При получаются полиномы Чебышева (второго и первого рода соответственно). ${\displaystyle \alpha =\beta =\pm 1/2}$

Многочлены Эрмита

Полиномы Эрмита определяются как ^[2]

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=e^{x^{2}/2}{\bigg (}x-{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}e^{-x^{2}/2}}$

Они удовлетворяют условию ортогональности

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{mn}~,}$

и дифференциальное уравнение

${\displaystyle y''-2xy'+2n\,y=0~.}$

полиномы Лагерра

Обобщенные полиномы Лагерра определяются как

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)}$

(классические полиномы Лагерра соответствуют .) ${\displaystyle \alpha =0}$

Они удовлетворяют соотношению ортогональности

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\,dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m}~,}$

и дифференциальное уравнение

${\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0~.}$

Дифференциальное уравнение

Классические ортогональные многочлены возникают из дифференциального уравнения вида

${\displaystyle Q(x)\,f''+L(x)\,f'+\lambda f=0}$

где Q — заданный квадратичный (максимум) полином, а L — заданный линейный полином. Функция f и константа λ должны быть найдены.

(Обратите внимание, что для такого уравнения имеет смысл иметь полиномиальное решение.

Каждый член в уравнении является многочленом, и степени являются согласованными.)

Это уравнение типа Штурма–Лиувилля . Такие уравнения обычно имеют сингулярности в своих функциях решения f, за исключением определенных значений λ . Их можно рассматривать как задачи на собственные векторы/собственные значения : Полагая D дифференциальным оператором , , и меняя знак λ , задача состоит в том, чтобы найти собственные векторы (собственные функции) f и соответствующие собственные значения λ , такие, что f не имеет сингулярностей и D ( f ) = λf . ${\displaystyle D(f)=Qf''+Lf'}$

Решения этого дифференциального уравнения имеют сингулярности, если только λ не принимает определенных значений. Существует ряд чисел λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ , ..., который привел к ряду полиномиальных решений P ₀ , P ₁ , P ₂ , ..., если выполняется один из следующих наборов условий:

1. Q на самом деле квадратичен, L линеен, Q имеет два различных действительных корня, корень L лежит строго между корнями Q , а главные члены Q и L имеют одинаковый знак.
2. Q на самом деле не квадратичный, а линейный, L линейный, корни Q и L различны, а старшие члены Q и L имеют одинаковый знак, если корень L меньше корня Q , или наоборот.
3. Q — это просто ненулевая константа, L — линейна, а старший член L имеет противоположный знак по отношению к Q.

Эти три случая приводят к полиномам типа Якоби , типа Лагерра и типа Эрмита соответственно.

В каждом из этих трех случаев мы имеем следующее:

• Решения представляют собой ряд полиномов P ₀ , P ₁ , P ₂ , ..., каждый из которых P _n имеет степень n и соответствует числу λ _n .
• Интервал ортогональности ограничен всеми корнями Q.
• Корень L находится внутри интервала ортогональности.
• Пусть , многочлены ортогональны относительно весовой функции ${\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}}$ ${\displaystyle W(x)={\frac {R(x)}{Q(x)}}}$
• W ( x ) не имеет нулей или бесконечностей внутри интервала, хотя может иметь нули или бесконечности в конечных точках.
• W ( x ) дает конечное скалярное произведение любым многочленам.
• W ( x ) можно сделать больше 0 в интервале. (При необходимости измените все дифференциальное уравнение так, чтобы Q ( x ) > 0 внутри интервала.)

Из-за константы интегрирования величина R ( x ) определяется только с точностью до произвольной положительной мультипликативной константы. Она будет использоваться только в однородных дифференциальных уравнениях (где это не имеет значения) и в определении весовой функции (которая также может быть неопределенной). В таблицах ниже будут приведены «официальные» значения R ( x ) и W ( x ).

Формула Родригеса

В соответствии с предположениями предыдущего раздела, P _n ( x ) пропорционален ${\displaystyle {\frac {1}{W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right).}$

Это известно как формула Родригеса , по имени Олинда Родригеса . Часто пишется

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{{e_{n}}W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)}$

где числа e _n зависят от стандартизации. Стандартные значения e _n будут приведены в таблицах ниже.

Цифрыλн

При предположениях предыдущего раздела имеем

${\displaystyle \lambda _{n}=-n\left({\frac {n-1}{2}}Q''+L'\right).}$

(Поскольку Q является квадратичной функцией, а L является линейной и являются константами, то это просто числа.) ${\displaystyle Q''}$ ${\displaystyle L'}$

Вторая форма дифференциального уравнения

Позволять

${\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}.}$

Затем

${\displaystyle (Ry')'=R\,y''+R'\,y'=R\,y''+{\frac {R\,L}{Q}}\,y'.}$

Теперь умножим дифференциальное уравнение

${\displaystyle Q\,y''+L\,y'+\lambda y=0}$

по R / Q , получение

${\displaystyle R\,y''+{\frac {R\,L}{Q}}\,y'+{\frac {R\,\lambda }{Q}}\,y=0}$

или

${\displaystyle (Ry')'+{\frac {R\,\lambda }{Q}}\,y=0.}$

Это стандартная форма Штурма–Лиувилля для уравнения.

Третья форма дифференциального уравнения

Позволять ${\displaystyle S(x)={\sqrt {R(x)}}=e^{\int {\frac {L(x)}{2\,Q(x)}}\,dx}.}$

Затем

${\displaystyle S'={\frac {S\,L}{2\,Q}}.}$

Теперь умножим дифференциальное уравнение

${\displaystyle Q\,y''+L\,y'+\lambda y=0}$

по S / Q , получение

${\displaystyle S\,y''+{\frac {S\,L}{Q}}\,y'+{\frac {S\,\lambda }{Q}}\,y=0}$

или

${\displaystyle S\,y''+2\,S'\,y'+{\frac {S\,\lambda }{Q}}\,y=0}$

Но , так что ${\displaystyle (S\,y)''=S\,y''+2\,S'\,y'+S''\,y}$

${\displaystyle (S\,y)''+\left({\frac {S\,\lambda }{Q}}-S''\right)\,y=0,}$

или, положив u = Sy ,

${\displaystyle u''+\left({\frac {\lambda }{Q}}-{\frac {S''}{S}}\right)\,u=0.}$

Формулы с производными

В предположениях предыдущего раздела пусть P^{[ р ]}
_нобозначим r -ю производную P _n . (Мы заключаем «r» в скобки, чтобы избежать путаницы с показателем степени.) P^{[ р ]}
_нявляется многочленом степени n  −  r . Тогда имеем следующее:

• (ортогональность) Для фиксированного r полиномиальная последовательность P^{[ р ]}
  _р, П^{[ р ]}
  _{р + 1}, П^{[ р ]}
  _{р + 2}, ... ортогональны, взвешены по . ${\displaystyle WQ^{r}}$
• (обобщенная формула Родригеса ) P^{[ р ]}
  _нпропорционален ${\displaystyle {\frac {1}{W(x)[Q(x)]^{r}}}\ {\frac {d^{n-r}}{dx^{n-r}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right).}$
• (дифференциальное уравнение) P^{[ р ]}
  _нявляется решением , где λ _r — та же функция, что и λ _n , то есть, ${\displaystyle {Q}\,y''+(rQ'+L)\,y'+[\lambda _{n}-\lambda _{r}]\,y=0}$ ${\displaystyle \lambda _{r}=-r\left({\frac {r-1}{2}}Q''+L'\right)}$
• (дифференциальное уравнение, вторая форма) P^{[ р ]}
  _нявляется решением ${\displaystyle (RQ^{r}y')'+[\lambda _{n}-\lambda _{r}]RQ^{r-1}\,y=0}$

Существуют также некоторые смешанные повторения. В каждом из них числа a , b и c зависят от n и r и не связаны в различных формулах.

• ${\displaystyle P_{n}^{[r]}=aP_{n+1}^{[r+1]}+bP_{n}^{[r+1]}+cP_{n-1}^{[r+1]}}$
• ${\displaystyle P_{n}^{[r]}=(ax+b)P_{n}^{[r+1]}+cP_{n-1}^{[r+1]}}$
• ${\displaystyle QP_{n}^{[r+1]}=(ax+b)P_{n}^{[r]}+cP_{n-1}^{[r]}}$

Существует огромное количество других формул, включающих ортогональные многочлены различными способами. Вот небольшой пример из них, относящийся к многочленам Чебышева, ассоциированным с ними Лагерра и Эрмита:

• ${\displaystyle 2\,T_{m}(x)\,T_{n}(x)=T_{m+n}(x)+T_{m-n}(x)}$
• ${\displaystyle H_{2n}(x)=(-4)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})}$
• ${\displaystyle H_{2n+1}(x)=2(-4)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2})}$

Ортогональность

Дифференциальное уравнение для конкретного λ можно записать (опуская явную зависимость от x)

${\displaystyle Q{\ddot {f}}_{n}+L{\dot {f}}_{n}+\lambda _{n}f_{n}=0}$

умножение на урожайность ${\displaystyle (R/Q)f_{m}}$

${\displaystyle Rf_{m}{\ddot {f}}_{n}+{\frac {R}{Q}}Lf_{m}{\dot {f}}_{n}+{\frac {R}{Q}}\lambda _{n}f_{m}f_{n}=0}$

и обратные индексы дают

${\displaystyle Rf_{n}{\ddot {f}}_{m}+{\frac {R}{Q}}Lf_{n}{\dot {f}}_{m}+{\frac {R}{Q}}\lambda _{m}f_{n}f_{m}=0}$

вычитание и интегрирование:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[R(f_{m}{\ddot {f}}_{n}-f_{n}{\ddot {f}}_{m})+{\frac {R}{Q}}L(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]\,dx+(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0}$

но можно увидеть, что

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[R(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]=R(f_{m}{\ddot {f}}_{n}-f_{n}{\ddot {f}}_{m})\,\,+\,\,R{\frac {L}{Q}}(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})}$

так что:

${\displaystyle \left[R(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]_{a}^{b}\,\,+\,\,(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0}$

Если многочлены f таковы, что член слева равен нулю, и для , то будет выполняться соотношение ортогональности: ${\displaystyle \lambda _{m}\neq \lambda _{n}}$ ${\displaystyle m\neq n}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0}$

для . ${\displaystyle m\neq n}$

Вывод из дифференциального уравнения

Все полиномиальные последовательности, возникающие из дифференциального уравнения выше, эквивалентны, при масштабировании и/или сдвиге области и стандартизации полиномов, более ограниченным классам. Эти ограниченные классы являются в точности "классическими ортогональными полиномами".

• Каждая последовательность полиномов типа Якоби может иметь сдвинутую и/или масштабированную область определения так, чтобы ее интервал ортогональности был [−1, 1] и имел Q = 1 −  x ² . Затем их можно стандартизировать в полиномы Якоби . Существует несколько важных подклассов этих полиномов: Гегенбауэра , Лежандра и два типа Чебышева . ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$
• Каждая последовательность полиномов типа Лагерра может иметь сдвинутую, масштабированную и/или отраженную область определения так, чтобы ее интервал ортогональности был равен , и имел Q = x . Затем их можно стандартизировать в ассоциированные полиномы Лагерра . Простые полиномы Лагерра являются их подклассом. ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle \ L_{n}}$
• Каждая последовательность полиномов Эрмита может иметь смещенную и/или масштабированную область определения так, чтобы ее интервал ортогональности был равен , и имел Q = 1 и L(0) = 0. Затем их можно стандартизировать в полиномы Эрмита . ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Поскольку все полиномиальные последовательности, возникающие из дифференциального уравнения описанным выше способом, тривиально эквивалентны классическим полиномам, всегда используются фактические классические полиномы.

полином Якоби

Полиномы типа Якоби, после того как их область определения была смещена и масштабирована так, что интервал ортогональности стал [−1, 1], все еще имеют два параметра, которые нужно определить. Это и в полиномах Якоби, записанных как . Мы имеем и . Оба и должны быть больше −1. (Это помещает корень L внутрь интервала ортогональности.) ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$ ${\displaystyle Q(x)=1-x^{2}}$ ${\displaystyle L(x)=\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)\,x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Если и не равны, эти многочлены не симметричны относительно x = 0. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Дифференциальное уравнение

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''+(\beta -\alpha -[\alpha +\beta +2]\,x)\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n(n+1+\alpha +\beta )}$

это уравнение Якоби .

Более подробную информацию см. в разделе Полиномы Якоби .

Полиномы Гегенбауэра

Приравнивая параметры и в полиномах Якоби друг к другу, получаем полиномы Гегенбауэра или ультрасферические полиномы. Они записываются и определяются как ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (2\alpha \!+\!n)\,\Gamma (\alpha \!+\!1/2)}{\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (\alpha \!+\!n\!+\!1/2)}}\!\ P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

Имеем и . Параметр должен быть больше −1/2. ${\displaystyle Q(x)=1-x^{2}}$ ${\displaystyle L(x)=-(2\alpha +1)\,x}$ ${\displaystyle \alpha }$

(Кстати, стандартизация, приведенная в таблице ниже, не имела бы смысла при α = 0 и n ≠ 0, поскольку она установила бы полиномы в ноль. В этом случае принятая стандартизация устанавливает вместо значения, указанного в таблице.) ${\displaystyle C_{n}^{(0)}(1)={\frac {2}{n}}}$

Игнорируя приведенные выше соображения, параметр тесно связан с производными от : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha +1)}(x)={\frac {1}{2\alpha }}\!\ {\frac {d}{dx}}C_{n+1}^{(\alpha )}(x)}$

или, в более общем смысле:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha +m)}(x)={\frac {\Gamma (\alpha )}{2^{m}\Gamma (\alpha +m)}}\!\ C_{n+m}^{(\alpha )[m]}(x).}$

Все остальные классические полиномы типа Якоби (Лежандра и т. д.) являются частными случаями полиномов Гегенбауэра, полученными выбором значения и выбором стандартизации. ${\displaystyle \alpha }$

Для получения дополнительной информации см. Полиномы Гегенбауэра .

полиномы Лежандра

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2x\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n(n+1).}$

Это уравнение Лежандра .

Вторая форма дифференциального уравнения имеет вид:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[(1-x^{2})\,y']+\lambda \,y=0.}$

Рекуррентное соотношение имеет вид

${\displaystyle (n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x).}$

Смешанный рецидив - это

${\displaystyle P_{n+1}^{[r+1]}(x)=P_{n-1}^{[r+1]}(x)+(2n+1)\,P_{n}^{[r]}(x).}$

Формула Родригеса:

${\displaystyle P_{n}(x)=\,{\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left([x^{2}-1]^{n}\right).}$

Более подробную информацию см. в разделе Полиномы Лежандра .

Ассоциированные полиномы Лежандра

Ассоциированные полиномы Лежандра , обозначаемые как и — целые числа , определяются как ${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leqslant m\leqslant \ell }$

${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\,(1-x^{2})^{m/2}\ P_{\ell }^{[m]}(x).}$

M в скобках (чтобы не путать с показателем степени) — параметр. M в скобках обозначает m - ю производную полинома Лежандра.

Эти «многочлены» названы неправильно — они не являются многочленами, когда m нечетно.

Они имеют рекуррентное соотношение:

${\displaystyle (\ell +1-m)\,P_{\ell +1}^{(m)}(x)=(2\ell +1)x\,P_{\ell }^{(m)}(x)-(\ell +m)\,P_{\ell -1}^{(m)}(x).}$

При фиксированном m последовательности ортогональны на [−1, 1] с весом 1. ${\displaystyle P_{m}^{(m)},P_{m+1}^{(m)},P_{m+2}^{(m)},\dots }$

Для заданного m , являются решениями ${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)}$

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0\qquad {\text{ with }}\qquad \lambda =\ell (\ell +1).}$

полиномы Чебышева

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n^{2}.}$

Это уравнение Чебышева .

Рекуррентное соотношение имеет вид

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).}$

Формула Родригеса:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {\Gamma (1/2){\sqrt {1-x^{2}}}}{(-2)^{n}\,\Gamma (n+1/2)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left([1-x^{2}]^{n-1/2}\right).}$

Эти многочлены обладают тем свойством, что в интервале ортогональности

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\,\arccos(x)).}$

(Чтобы доказать это, воспользуйтесь рекуррентной формулой.)

Это означает, что все их локальные минимумы и максимумы имеют значения −1 и +1, то есть полиномы являются «ровными». Из-за этого разложение функций по полиномам Чебышева иногда используется для полиномиальных приближений в библиотеках компьютерной математики.

Некоторые авторы используют версии этих полиномов, сдвинутые таким образом, что интервал ортогональности равен [0, 1] или [−2, 2].

Существуют также полиномы Чебышева второго рода , обозначаемые ${\displaystyle U_{n}}$

У нас есть:

${\displaystyle U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'.}$

Более подробную информацию, включая выражения для первых нескольких полиномов, см. в разделе Полиномы Чебышёва .

полиномы Лагерра

Наиболее общие полиномы типа Лагерра, после того как область определения была сдвинута и масштабирована, являются ассоциированными полиномами Лагерра (также называемыми обобщенными полиномами Лагерра), обозначаемыми . Существует параметр , который может быть любым действительным числом, строго большим −1. Параметр заключен в скобки, чтобы избежать путаницы с показателем степени. Простые полиномы Лагерра являются просто версией этих: ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).}$

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+\lambda \,y=0{\text{ with }}\lambda =n.}$

Это уравнение Лагерра .

Вторая форма дифференциального уравнения имеет вид

${\displaystyle (x^{\alpha +1}\,e^{-x}\,y')'+\lambda \,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0.}$

Рекуррентное соотношение имеет вид

${\displaystyle (n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x).}$

Формула Родригеса:

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n+\alpha }\,e^{-x}\right).}$

Параметр тесно связан с производными : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=-{\frac {d}{dx}}L_{n+1}^{(\alpha )}(x)}$

или, в более общем смысле:

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +m)}(x)=(-1)^{m}L_{n+m}^{(\alpha )[m]}(x).}$

Уравнение Лагерра можно преобразовать в форму, более полезную в приложениях:

${\displaystyle u=x^{\frac {\alpha -1}{2}}e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)}$

является решением

${\displaystyle u''+{\frac {2}{x}}\,u'+\left[{\frac {\lambda }{x}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {\alpha ^{2}-1}{4x^{2}}}\right]\,u=0{\text{ with }}\lambda =n+{\frac {\alpha +1}{2}}.}$

Это можно дополнительно обработать. Когда — целое число, а : ${\displaystyle \ell ={\frac {\alpha -1}{2}}}$ ${\displaystyle n\geq \ell +1}$

${\displaystyle u=x^{\ell }e^{-x/2}L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)}$

является решением

${\displaystyle u''+{\frac {2}{x}}\,u'+\left[{\frac {\lambda }{x}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}\right]\,u=0{\text{ with }}\lambda =n.}$

Решение часто выражается через производные, а не через связанные полиномы Лагерра:

${\displaystyle u=x^{\ell }e^{-x/2}L_{n+\ell }^{[2\ell +1]}(x).}$

Это уравнение возникает в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для одноэлектронного атома.

Физики часто используют определение полиномов Лагерра, которое в , раз больше определения, использованного здесь. ${\displaystyle (n!)}$

Более подробную информацию, включая выражения для первых нескольких полиномов, см. в разделе Полиномы Лагерра .

Многочлены Эрмита

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle y''-2xy'+\lambda \,y=0,\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =2n.}$

Это уравнение Эрмита .

Вторая форма дифференциального уравнения имеет вид

${\displaystyle (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2}}\,\lambda \,y=0.}$

Третья форма —

${\displaystyle (e^{-x^{2}/2}\,y)''+(\lambda +1-x^{2})(e^{-x^{2}/2}\,y)=0.}$

Рекуррентное соотношение имеет вид

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x).}$

Формула Родригеса:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\,e^{x^{2}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right).}$

Первые несколько полиномов Эрмита — это

${\displaystyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}$

${\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x}$

${\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}$

Можно определить соответствующие функции Эрмита

${\displaystyle \psi _{n}(x)=(h_{n})^{-1/2}\,e^{-x^{2}/2}H_{n}(x).}$

Поскольку множитель пропорционален квадратному корню весовой функции, эти функции ортогональны без весовой функции. ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Третья форма дифференциального уравнения выше для связанных функций Эрмита имеет вид

${\displaystyle \psi ''+(\lambda +1-x^{2})\psi =0.}$

Связанные функции Эрмита возникают во многих областях математики и физики. В квантовой механике они являются решениями уравнения Шредингера для гармонического осциллятора. Они также являются собственными функциями (с собственным значением (− i ⁿ ) непрерывного преобразования Фурье .

Многие авторы, особенно вероятностники, используют альтернативное определение полиномов Эрмита, с весовой функцией вместо . Если для этих полиномов Эрмита использовать обозначение He , а для тех, что выше, — H , то их можно охарактеризовать как ${\displaystyle e^{-x^{2}/2}}$ ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$

${\displaystyle He_{n}(x)=2^{-n/2}\,H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

Более подробную информацию см. в разделе Полиномы Эрмита .

Характеристика классических ортогональных многочленов

Существует несколько условий, которые отличают классические ортогональные многочлены от остальных.

Первое условие было найдено Сонином (а позднее Ханом), который показал, что (с точностью до линейной замены переменной) классические ортогональные многочлены являются единственными, для которых их производные также являются ортогональными многочленами.

Бохнер охарактеризовал классические ортогональные многочлены с точки зрения их рекуррентных соотношений.

Трикоми охарактеризовал классические ортогональные многочлены как имеющие определенный аналог формулы Родригеса .

Таблица классических ортогональных многочленов

В следующей таблице обобщены свойства классических ортогональных многочленов. ^[3]

Смотрите также

• последовательность Аппеля
• Схема Аски гипергеометрических ортогональных многочленов
• Полиномиальные последовательности биномиального типа
• Биортогональные полиномы
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• последовательность Шеффера
• Умбральное исчисление

Примечания

1. См. Суетин (2001)
2. Также используются и другие соглашения; см. полиномы Эрмита .
3. См. Абрамовиц и Стеган (1983)
4. т.е. края опоры груза W.
5. ${\displaystyle h_{n}=\int P_{n}^{2}(x)W(x)\,dx}$
6. Старший коэффициент k _n ${\displaystyle P_{n}(x)=k_{n}x^{n}+k'_{n}x^{n-1}+\cdots +k^{(n)}}$

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Andrews, George E.; Askey, Richard (1985). "Классические ортогональные многочлены". В Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alphonse P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (ред.). Ортогональные многочлены и их приложения. Труды симпозиума Laguerre, состоявшегося в Бар-ле-Дюк, 15–18 октября 1984 г. Lecture Notes in Math. Том 1171. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 36–62. doi :10.1007/BFb0076530. ISBN 978-3-540-16059-5. МР  0838970.
• Чихара, Теодор Сейо (1978). Введение в ортогональные многочлены . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 0-677-04150-0.
• Фонканнон, Дж. Дж.; Фонканнон, Дж. Дж.; Пеконен, Осмо (2008). «Обзор классических и квантовых ортогональных полиномов с одной переменной Мурада Исмаила». The Mathematical Intelligencer . 30 . Springer New York: 54–60. doi :10.1007/BF02985757. ISSN  0343-6993. S2CID  118133026.
• Исмаил, Мурад Э. Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены с одной переменной. Кембридж: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-78201-5.
• Джексон, Данхэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные многочлены . Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-43808-2.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), «Ортогональные многочлены», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Суетин, П.К. (2001) [1994], "Классические ортогональные многочлены", Энциклопедия математики , EMS Press
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные многочлены. Colloquium Publications. Том XXIII. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1023-1. МР  0372517.