схема Аски

Классификация ортогональных многочленов

В математике схема Аски — это способ организации ортогональных многочленов гипергеометрического или базового гипергеометрического типа в иерархию. Для классических ортогональных многочленов, обсуждаемых в Andrews & Askey (1985), схема Аски была впервые нарисована Labelle (1985) и Askey и Wilson (1985), и с тех пор была расширена Koekoek & Swarttouw (1998) и Koekoek, Lesky & Swarttouw (2010) для покрытия базовых ортогональных многочленов.

Схема Аски для гипергеометрических ортогональных многочленов

Koekoek, Lesky & Swarttouw (2010, стр. 183) предлагают следующую версию схемы Аски:

${\displaystyle {}_{4}F_{3}(4)}$

Уилсон | Рака

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(3)}$

Непрерывный двойной Хан | Непрерывный Хан | Хан | двойной Хан

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(2)}$

Мейкснер-Полачек | Якоби | Псевдо Якоби | Мейкснер | Кравчук

${\displaystyle {}_{2}F_{0}(1)\ \ /\ \ {}_{1}F_{1}(1)}$

Лагерр | Бессель | Шарлье

${\displaystyle {}_{2}F_{0}(0)}$

Эрмит

Здесь указывается представление гипергеометрического ряда с параметрами ${\displaystyle {}_{p}F_{q}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Схема Аски для основных гипергеометрических ортогональных многочленов

Koekoek, Lesky & Swarttouw (2010, стр. 413) дают следующую схему для основных гипергеометрических ортогональных многочленов:

_{4 3} ${\displaystyle \phi }$

Аски–Уилсон | q-Racah

_{3 2} ${\displaystyle \phi }$

Непрерывный дуальный q-Hahn | Непрерывный q-Hahn | Большой q-Jacobi | q-Hahn | дуальный q-Hahn

_{2 1} ${\displaystyle \phi }$

Аль-Салам-Чихара | q-Мейкснер–Полачек | Непрерывный q-Якоби | Большой К-Лагер | Маленький К-Якоби | q-Мейкснер | Квантовый q-Кравчук | q-Кравчук | Аффинный q-Кравчук | Двойной q-Кравчук

_{2 0} / _{1 1} ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Непрерывный большой q-Эрмит | Непрерывный q-Лагерр | Маленький q-Лагерр | q-Лагерр | q-Бессель | q-Шарлье | Аль-Салам–Карлиц I | Аль-Салам–Карлиц II

_{1 0} ${\displaystyle \phi }$

Непрерывный q-Эрмит | Стилтьес–Вигерт | Дискретный q-Эрмит I | Дискретный q-Эрмит II

Полнота

Хотя существует несколько подходов к построению еще более общих семейств ортогональных многочленов, обычно невозможно расширить схему Аски путем повторного использования гипергеометрических функций той же формы. Например, можно наивно надеяться найти новые примеры, приведенные

${\displaystyle p_{n}(x)={}_{q+1}F_{q}\left({\begin{array}{c}-n,n+\mu ,a_{1}(x),\dots ,a_{q-1}(x)\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};1\right)}$

выше, что соответствует полиномам Вильсона. Это было исключено в Cheikh, Lamiri & Ouni (2009) при предположении, что являются полиномами степени 1 такими, что ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle a_{i}(x)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{q-1}(a_{i}(x)+r)=\prod _{i=1}^{q-1}a_{i}(x)+\pi (r)}$

для некоторого полинома . ${\displaystyle \pi (r)}$

Ссылки

• Andrews, George E.; Askey, Richard (1985), "Классические ортогональные многочлены", в Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alphonse P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (ред.), Polynômes orthogonaux et applications. Труды симпозиума Laguerre, состоявшегося в Бар-ле-Дюк, 15–18 октября 1984 г. , Lecture Notes in Math., т. 1171, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 36–62, doi :10.1007/BFb0076530, ISBN 978-3-540-16059-5, МР  0838970
• Аски, Ричард; Уилсон, Джеймс (1985), «Некоторые основные гипергеометрические ортогональные многочлены, обобщающие многочлены Якоби», Мемуары Американского математического общества , 54 (319): iv+55, doi :10.1090/memo/0319, ISBN 978-0-8218-2321-7, ISSN  0065-9266, MR  0783216
• Шейх, Й. Бен; Ламири, И.; Уни, А. (2009), «О схеме Аски и d-ортогональности, I: теорема характеризации», Журнал вычислительной и прикладной математики , 233 : 621–629
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (1998), Схема Аски гипергеометрических ортогональных многочленов и ее q-аналог, т. 98–17, Делфтский технический университет, факультет информационных технологий и систем, кафедра технической математики и информатики
• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, г-н  2656096
• Koornwinder, Tom H. (1988), «Групповые теоретико-интерпретации схемы Аски гипергеометрических ортогональных многочленов», Ортогональные многочлены и их приложения (Сеговия, 1986), Lecture Notes in Math., т. 1329, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 46–72, doi :10.1007/BFb0083353, ISBN 978-3-540-19489-7, МР  0973421
• Лабель, Жак (1985), «Таблица д'Аски», Брезински, К.; Дро, А.; Магнус, Альфонс П.; Марони, Паскаль; Ронво, А. (ред.), Polynômes Orthogonaux et Applications. Материалы симпозиума Лагерра, проходившего в Бар-ле-Дюк , Конспекты лекций по математике, т. 1, с. 1171, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xxxvi–xxxvii, doi : 10.1007/BFb0076527, ISBN 978-3-540-16059-5, МР  0838967