многочлен Лорана

Polynomial with finitely many terms of the form axⁿ where n ∈ Z

В математике многочлен Лорана (названный в честь Пьера Альфонса Лорана ) от одной переменной над полем представляет собой линейную комбинацию положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами в . Многочлены Лорана в образуют кольцо, обозначаемое . ^[1] Они отличаются от обычных многочленов тем, что могут иметь члены отрицательной степени. Построение многочленов Лорана может быть итерировано, что приводит к кольцу многочленов Лорана от нескольких переменных. Многочлены Лорана имеют особое значение при изучении комплексных переменных . ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} [X,X^{-1}]}$

Определение

Полином Лорана с коэффициентами в поле — это выражение вида ${\displaystyle \mathbb {F} }$

${\displaystyle p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} }$

где — формальная переменная, индекс суммирования — целое число (не обязательно положительное), и только конечное число коэффициентов не равно нулю. Два полинома Лорана равны, если их коэффициенты равны. Такие выражения можно складывать, умножать и приводить к той же форме, сокращая подобные члены. Формулы для сложения и умножения точно такие же, как и для обычных полиномов, с той лишь разницей, что могут присутствовать как положительные, так и отрицательные степени: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}+{\bigg (}\sum _{i}b_{i}X^{i}{\bigg )}=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

и

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\sum _{j}b_{j}X^{j}{\bigg )}=\sum _{k}{\Bigg (}\sum _{i,j \atop i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigg )}X^{k}.}$

Поскольку только конечное число коэффициентов и не равны нулю, все суммы фактически имеют только конечное число членов и, следовательно, представляют собой многочлены Лорана. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{j}}$

Характеристики

• Многочлен Лорана над можно рассматривать как ряд Лорана , в котором только конечное число коэффициентов не равны нулю. ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Кольцо многочленов Лорана является расширением кольца многочленов , полученным «инвертированием ». Более строго, это локализация кольца многочленов в мультипликативном множестве, состоящем из неотрицательных степеней . Многие свойства кольца многочленов Лорана вытекают из общих свойств локализации. ${\displaystyle R\left[X,X^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Кольцо многочленов Лорана является подкольцом рациональных функций .
• Кольцо многочленов Лорана над полем является нётеровым (но не артиновым ).
• Если — область целостности , то единицы кольца многочленов Лорана имеют вид , где — единица и — целое число. В частности, если — поле, то единицы имеют вид , где — ненулевой элемент . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\left[X,X^{-1}\right]}$ ${\displaystyle uX^{k}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X,X^{-1}]}$ ${\displaystyle aX^{k}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K}$
• Кольцо многочленов Лорана изоморфно групповому кольцу группы целых чисел над . В более общем случае кольцо многочленов Лорана от переменных изоморфно групповому кольцу свободной абелевой группы ранга . Отсюда следует , что кольцо многочленов Лорана можно наделить структурой коммутативной, кокоммутативной алгебры Хопфа . ${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• полином Джонса

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Graduate Texts in Mathematics, 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR 1878556

1. Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лорана». Математический мир .