Теорема Ли–Колчина

Теорема в теории представлений линейных алгебраических групп

В математике теорема Ли–Колчина — теорема теории представлений линейных алгебраических групп ; теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли .

В нем говорится, что если G — связная и разрешимая линейная алгебраическая группа, определенная над алгебраически замкнутым полем , и

${\displaystyle \rho \colon G\to GL(V)}$

представление на ненулевом конечномерном векторном пространстве V , то существует одномерное линейное подпространство L в V такое, что

${\displaystyle \rho (G)(L)=L.}$

То есть, ρ( G ) имеет инвариантную прямую L , на которой G действует посредством одномерного представления. Это эквивалентно утверждению, что V содержит ненулевой вектор v , который является общим (одновременным) собственным вектором для всех . ${\displaystyle \rho (g),\,\,g\in G}$

Отсюда непосредственно следует, что каждое неприводимое конечномерное представление связной и разрешимой линейной алгебраической группы G имеет размерность один. Фактически, это еще один способ сформулировать теорему Ли–Колчина.

Результат для алгебр Ли был доказан Софусом Ли  (1876), а для алгебраических групп — Эллисом Колчиным  (1948, стр. 19).

Теорема Бореля о неподвижной точке обобщает теорему Ли–Колчина.

Триангуляризация

Иногда теорему также называют теоремой Ли–Колчина о триангуляризации , поскольку по индукции она подразумевает, что относительно подходящего базиса V изображение имеет треугольную форму ; другими словами, группа изображений сопряжена в GL( n , K ) (где n = dim V ) с подгруппой группы T верхних треугольных матриц, стандартной подгруппой Бореля GL( n , K ): изображение одновременно триангулируемо . ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle \rho (G)}$

Теорема применима, в частности, к подгруппе Бореля полупростой линейной алгебраической группы G.

Контрпример

Если поле K не является алгебраически замкнутым, теорема может не выполняться. Стандартная единичная окружность , рассматриваемая как множество комплексных чисел с абсолютным значением один, является одномерной коммутативной (и, следовательно, разрешимой) линейной алгебраической группой над действительными числами, которая имеет двумерное представление в специальной ортогональной группе SO(2) без инвариантной (действительной) прямой. Здесь изображение является ортогональной матрицей ${\displaystyle \{x+iy\in \mathbb {C} \mid x^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle \rho (z)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.}$

Ссылки

• Горбацевич, В.В. (2001) [1994], "Теорема Ли-Колчина", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Колчин, Э. Р. (1948), «Алгебраические матричные группы и теория Пикара-Вессио однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений», Annals of Mathematics , Вторая серия, 49 (1): 1–42, doi :10.2307/1969111, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969111, MR  0024884, Zbl  0037.18701
• Ли, Софус (1876), «Теория трансформаций. Abhandlung II», Архив Mathematik og Naturvidenskab , 1 : 152–193.
• Waterhouse, William C. (2012) [1979], "10. Нильпотентные и разрешимые группы §10.2 Теорема Ли-Колчина о триангуляризации", Введение в схемы аффинных групп , Выпускные тексты по математике, т. 66, Springer, стр. 74–75, ISBN 978-1-4612-6217-6