скаляр Лоренца

Выражение, которое имеет скалярное значение, инвариантное относительно любого преобразования Лоренца в физике.

В релятивистской теории физики скаляр Лоренца — это скалярное выражение , значение которого инвариантно при любом преобразовании Лоренца . Скаляр Лоренца может быть сгенерирован, например, из скалярного произведения векторов или путем сжатия тензоров. Хотя компоненты сжатых величин могут меняться при преобразованиях Лоренца, скаляры Лоренца остаются неизменными.

Простой скаляр Лоренца в пространстве-времени Минковского — это пространственно-временное расстояние («длина» их разницы) двух фиксированных событий в пространстве-времени. Хотя «положения»-4-векторов событий изменяются между разными инерциальными системами отсчета, их пространственно-временное расстояние остается инвариантным при соответствующем преобразовании Лоренца. Другими примерами скаляров Лоренца являются «длина» 4-скоростей (см. ниже) или кривизна Риччи в точке пространства-времени из общей теории относительности , которая там является сокращением тензора кривизны Римана .

Простые скаляры в специальной теории относительности

Длина вектора положения

Мировые линии для двух частиц с разными скоростями.

В специальной теории относительности положение частицы в 4-мерном пространстве-времени определяется формулой где — положение частицы в 3-мерном пространстве, — скорость в 3-мерном пространстве и — скорость света . $${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c}$

«Длина» вектора является скаляром Лоренца и определяется как где — собственное время, измеренное часами в системе покоя частицы, а метрика Минковского определяется как Это времяподобная метрика. $${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}}$$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$$

Часто используется альтернативная сигнатура метрики Минковского , в которой знаки единиц меняются местами. Это пространственная метрика. $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

В метрике Минковского пространственноподобный интервал определяется как ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.}$$

В оставшейся части статьи мы используем пространственную метрику Минковского.

Длина вектора скорости

Векторы скорости в пространстве-времени для частицы с двумя разными скоростями. В теории относительности ускорение эквивалентно вращению пространства-времени.

Скорость в пространстве-времени определяется как где $${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)}$$ $${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.}$$

Величина 4-скорости является скаляром Лоренца, $${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.}$$

Следовательно, ‍ ‍ является скаляром Лоренца. ${\displaystyle c}$

Внутренний продукт ускорения и скорости

4-ускорение определяется выражением $${\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.}$$

4-ускорение всегда перпендикулярно 4-скорости. $${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.}$$

Следовательно, мы можем рассматривать ускорение в пространстве-времени как просто вращение 4-скорости. Внутреннее произведение ускорения и скорости является скаляром Лоренца и равно нулю. Это вращение является просто выражением сохранения энергии: где – энергия частицы, а – 3-сила, действующая на частицу. $${\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Энергия, масса покоя, 3-импульс и 3-скорость от 4-импульса.

4-импульс частицы – это где – масса покоя частицы, – импульс в 3-мерном пространстве, – энергия частицы. $${\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$$

Энергия частицы

Рассмотрим вторую частицу с 4-скоростью и 3-скоростью . В системе покоя второй частицы внутренний продукт с пропорционален энергии первой частицы, где индекс 1 указывает на первую частицу. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}}$$

Поскольку соотношение истинно в системе покоя второй частицы, оно верно и в любой системе отсчета. , энергия первой частицы в системе второй частицы, является скаляром Лоренца. Следовательно, в любой инерциальной системе отсчета, где находится еще энергия первой частицы в системе второй частицы. ${\displaystyle E_{1}}$ $${\displaystyle E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}$$ ${\displaystyle E_{1}}$

Масса покоя частицы

В системе покоя частицы внутренний продукт импульса равен $${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.}$$

Следовательно, масса покоя ( m ) является скаляром Лоренца. Отношение остается верным независимо от рамки, в которой вычисляется внутренний продукт. Во многих случаях масса покоя записывается, чтобы не путать ее с релятивистской массой, которая равна . ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \gamma m_{0}}$

3-импульс частицы

Обратите внимание, что $${\displaystyle \left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.}$$

Квадрат величины 3-импульса частицы, измеренный в системе отсчёта второй частицы, является скаляром Лоренца.

Измерение 3-скорости частицы

3-скорость в рамках второй частицы может быть построена из двух скаляров Лоренца. $${\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.}$$

Более сложные скаляры

Скаляры также могут быть построены из тензоров и векторов, из сжатия тензоров (например, ) или комбинаций сокращений тензоров и векторов (например, ). ${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }}$

Рекомендации

• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское изд.). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные со скаляром Лоренца, на Викискладе?