В физике спиновая сеть — это тип диаграммы, которая может использоваться для представления состояний и взаимодействий между частицами и полями в квантовой механике . С математической точки зрения диаграммы являются кратким способом представления полилинейных функций и функций между представлениями матричных групп . Таким образом, диаграммная запись может значительно упростить вычисления.
Роджер Пенроуз описал спиновые сети в 1971 году. [1] С тех пор спиновые сети применялись в теории квантовой гравитации Карло Ровелли , Ли Смолином , Хорхе Пуллином , Родольфо Гамбини и другими.
Спиновые сети также можно использовать для построения определенного функционала на пространстве связей , который инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований .
Спиновая сеть, как описано у Пенроуза (1971), [1] - это своего рода диаграмма, в которой каждый линейный сегмент представляет мировую линию «единицы» (либо элементарной частицы , либо сложной системы частиц). Три линейных сегмента соединяются в каждой вершине. Вершина может быть интерпретирована как событие, в котором либо одна единица разделяется на две, либо две единицы сталкиваются и соединяются в одну единицу. Диаграммы, все линейные сегменты которых соединены в вершинах, называются замкнутыми спиновыми сетями . Время можно рассматривать как идущее в одном направлении, например, снизу вверх диаграммы, но для замкнутых спиновых сетей направление времени не имеет значения для вычислений.
Каждый отрезок линии помечен целым числом, называемым спиновым числом . Единица со спиновым числом n называется n -единицей и имеет угловой момент nħ/2 , где ħ — приведенная постоянная Планка . Для бозонов , таких как фотоны и глюоны , n — четное число. Для фермионов , таких как электроны и кварки , n — нечетное число.
Для любой замкнутой спиновой сети можно вычислить неотрицательное целое число, которое называется нормой спиновой сети. Нормы можно использовать для вычисления вероятностей различных значений спина. Сеть, норма которой равна нулю, имеет нулевую вероятность появления. Правила вычисления норм и вероятностей выходят за рамки этой статьи. Однако они подразумевают, что для того, чтобы спиновая сеть имела ненулевую норму, в каждой вершине должны быть выполнены два требования. Предположим, что вершина соединяет три узла со спиновыми числами a , b и c . Тогда эти требования формулируются следующим образом:
Например, a = 3, b = 4, c = 6 невозможно, так как 3 + 4 + 6 = 13 нечетно, а a = 3, b = 4, c = 9 невозможно, так как 9 > 3 + 4. Однако a = 3, b = 4, c = 5 возможно, так как 3 + 4 + 5 = 12 четно, и неравенство треугольника выполняется. Некоторые соглашения используют маркировку полуцелыми числами с условием, что сумма a + b + c должна быть целым числом.
Формально спиновую сеть можно определить как (направленный) граф , ребра которого связаны с неприводимыми представлениями компактной группы Ли , а вершины связаны с переплетателями смежных с ним представлений ребер.
Спиновая сеть, погруженная в многообразие, может быть использована для определения функционала на пространстве связей на этом многообразии. Вычисляются голономии связи вдоль каждой связи (замкнутого пути) графа, определяются матрицы представления, соответствующие каждой связи, умножаются все матрицы и переплетатели вместе и сворачиваются индексы предписанным образом. Замечательной особенностью полученного функционала является то, что он инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований .
В петлевой квантовой гравитации (LQG) спиновая сеть представляет собой «квантовое состояние» гравитационного поля на 3-мерной гиперповерхности . Множество всех возможных спиновых сетей (или, точнее, « s-узлов » — то есть классов эквивалентности спиновых сетей относительно диффеоморфизмов ) счетно ; оно составляет базис гильбертова пространства LQG .
Одним из ключевых результатов петлевой квантовой гравитации является квантование площадей: оператор площади A двумерной поверхности Σ должен иметь дискретный спектр . Каждая спиновая сеть является собственным состоянием каждого такого оператора, а собственное значение площади равно
где сумма идет по всем пересечениям i Σ со спиновой сетью. В этой формуле,
Согласно этой формуле, наименьшее возможное ненулевое собственное значение оператора площади соответствует связи, которая несет представление спина 1/2. Предполагая параметр Иммирци порядка 1, это дает наименьшую возможную измеримую площадь ~ 10−66 см2 .
Формула для собственных значений площади становится несколько сложнее, если поверхность может проходить через вершины, как в моделях аномальной диффузии. Кроме того, собственные значения оператора площади A ограничены симметрией лестницы.
Аналогичное квантование применяется к оператору объема. Объем трехмерного подмногообразия, содержащего часть спиновой сети, задается суммой вкладов каждого узла внутри него. Можно считать, что каждый узел в спиновой сети является элементарным «квантом объема», а каждое звено является «квантом площади», окружающей этот объем.
Аналогичные конструкции можно построить для общих калибровочных теорий с компактной группой Ли G и формой связности . На самом деле это точная дуальность над решеткой. Однако над многообразием для точной дуальности необходимы такие предположения, как инвариантность диффеоморфизма (размазывание петель Вильсона — сложная задача). Позднее Роберт Окл обобщил ее на представления квантовых групп в 2 и 3 измерениях с помощью дуальности Таннаки–Крейна .
Майкл А. Левин и Сяо-Ган Вэнь также определили струнные сети , используя тензорные категории , которые являются объектами, очень похожими на спиновые сети. Однако точная связь со спиновыми сетями пока не ясна. Конденсация струнных сетей создает топологически упорядоченные состояния в конденсированном веществе.
В математике спиновые сети использовались для изучения модулей скейн и многообразий характеров , которые соответствуют пространствам связей .
