В физике квантование (в американском английском quantization ) — это систематическая процедура перехода от классического понимания физических явлений к более новому пониманию, известному как квантовая механика . Это процедура построения квантовой механики на основе классической механики . Обобщением, включающим бесконечные степени свободы, является квантование поля , как в случае с «квантованием электромагнитного поля », где фотоны называются « квантами » поля (например, квантами света ). Эта процедура является основой теорий атомной физики , химии, физики элементарных частиц , ядерной физики , физики конденсированного состояния и квантовой оптики .
В 1901 году, когда Макс Планк разрабатывал функцию распределения статистической механики для решения проблемы ультрафиолетовой катастрофы , он понял, что свойства излучения черного тела можно объяснить, предположив, что количество энергии должно выражаться в счетных фундаментальных единицах, т.е. энергия не непрерывна, а дискретна . То есть существует минимальная единица энергии, и для частоты справедливо следующее соотношение . Здесь называется постоянной Планка , которая представляет собой величину квантово-механического эффекта. Это означает фундаментальное изменение математической модели физических величин.
В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал статью «Об эвристическом взгляде на излучение и преобразование света», в которой объяснил фотоэлектрический эффект на квантованные электромагнитные волны . [1] Квант энергии , упомянутый в этой статье, позже был назван « фотоном ». В июле 1913 года Нильс Бор использовал квантование для описания спектра атома водорода в своей статье «О строении атомов и молекул».
Предыдущие теории оказались успешными, но это очень феноменологические теории. Однако французский математик Анри Пуанкаре впервые дал систематическое и строгое определение того, что такое квантование, в своей статье 1912 года «Sur la theorie des quanta». [2] [3]
Термин «квантовая физика» впервые был использован в книге Джонстона « Вселенная Планка в свете современной физики» . (1931).
Каноническое квантование развивает квантовую механику из классической механики . Вводится соотношение коммутации между каноническими координатами . Технически координаты преобразуются в операторы посредством комбинации операторов создания и уничтожения . Операторы действуют на квантовые состояния теории. Состояние с самой низкой энергией называется состоянием вакуума .
Даже в рамках канонического квантования существуют трудности, связанные с квантованием произвольных наблюдаемых в классическом фазовом пространстве. Это неоднозначность порядка : классически переменные положения и импульса x и p коммутируют, а их аналоги в квантовой механике — нет. Для разрешения этой неоднозначности были предложены различные схемы квантования , [4] из которых наиболее популярной является схема квантования Вейля . Тем не менее, теорема Гроневольда-Ван Хова утверждает, что идеальной схемы квантования не существует. В частности, если квантование x и p считается обычными операторами положения и импульса, то никакая схема квантования не сможет идеально воспроизвести отношения скобок Пуассона среди классических наблюдаемых. [5] Одну из версий этого результата см. в теореме Гроневольда .
Существует способ выполнить каноническое квантование, не прибегая к нековариантному подходу расслоения пространства-времени и выбора гамильтониана . Этот метод основан на классическом действии, но отличается от подхода функционального интеграла.
Метод применим не ко всем возможным действиям (например, действиям с непричинной структурой или действиям с калибровочными «потоками» ). Все начинается с классической алгебры всех (гладких) функционалов в конфигурационном пространстве. Эта алгебра факторизуется по идеалу, порожденному уравнениями Эйлера–Лагранжа . Затем эта факторалгебра преобразуется в алгебру Пуассона путем введения скобки Пуассона, выводимой из действия, называемой скобкой Пайерлса . Эта алгебра Пуассона затем ℏ -деформируется так же, как и при каноническом квантовании.
В квантовой теории поля также есть способ квантовать действия с помощью калибровочных «потоков» . Он включает в себя формализм Баталина-Вилковиского , расширение формализма БРСТ .
Одной из самых ранних попыток естественного квантования было квантование Вейля, предложенное Германом Вейлем в 1927 году. [6] Здесь делается попытка связать квантовомеханическую наблюдаемую (самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве) с вещественным -значная функция в классическом фазовом пространстве. Положение и импульс в этом фазовом пространстве отображаются в генераторы группы Гейзенберга, а гильбертово пространство появляется как групповое представление группы Гейзенберга. В 1946 году Х. Дж. Гроневолд [7] рассмотрел произведение пары таких наблюдаемых и задался вопросом, какой будет соответствующая функция в классическом фазовом пространстве. Это привело его к открытию звездного произведения пары функций в фазовом пространстве. В более общем смысле этот метод приводит к квантованию деформации, при котором ★-произведение считается деформацией алгебры функций на симплектическом многообразии или многообразии Пуассона. Однако как естественная схема квантования ( функтор ) карта Вейля неудовлетворительна.
Например, отображение Вейля классического квадрата углового момента - это не просто квантовый оператор квадрата углового момента, но также содержит постоянный член3х 2/2. (Это дополнительное смещение члена имеет педагогическое значение, поскольку оно объясняет ненулевой угловой момент орбиты Бора в основном состоянии в атоме водорода, даже несмотря на то, что стандартное основное состояние атома КМ имеет нулевой l .) [8]
Однако как простое изменение представления карта Вейля полезна и важна, поскольку она лежит в основе альтернативной формулировки эквивалентного фазового пространства традиционной квантовой механики.
В математической физике геометрическое квантование — это математический подход к определению квантовой теории, соответствующей данной классической теории. Он пытается осуществить квантование, для которого вообще не существует точного рецепта, таким образом, чтобы оставались очевидными некоторые аналогии между классической теорией и квантовой теорией. Например, должно быть встроено сходство между уравнением Гейзенберга в картине Гейзенберга в квантовой механике и уравнением Гамильтона в классической физике.
Более геометрический подход к квантованию, в котором классическое фазовое пространство может быть общим симплектическим многообразием, был разработан в 1970-х годах Бертрамом Костантом и Жаном-Мари Сурио . Метод протекает в два этапа. [9] Во-первых, однажды строится «предквантовое гильбертово пространство», состоящее из интегрируемых с квадратом функций (или, точнее, секций линейного расслоения) над фазовым пространством. Здесь можно построить операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям, в точности соответствующим классическим соотношениям скобок Пуассона. С другой стороны, это доквантовое гильбертово пространство слишком велико, чтобы иметь физический смысл. Затем можно ограничиться функциями (или секциями), зависящими от половины переменных фазового пространства, что дает квантовое гильбертово пространство.
Классическая механическая теория задается действием , допустимыми конфигурациями которого являются экстремальные по отношению к функциональным вариациям действия. Квантово-механическое описание классической системы также может быть построено на основе действия системы с помощью формулировки интеграла по траекториям .
