Поляризация фотонов

Квантовое объяснение электромагнитной поляризации

Поляризация фотона — это квантовомеханическое описание классической поляризованной синусоидальной плоской электромагнитной волны . Отдельный фотон можно описать как имеющий правую или левую круговую поляризацию или суперпозицию двух. Эквивалентно, фотон можно описать как имеющий горизонтальную или вертикальную линейную поляризацию или суперпозицию двух.

Описание поляризации фотонов содержит множество физических концепций и большую часть математического аппарата более сложных квантовых описаний, таких как квантовая механика электрона в потенциальной яме. Поляризация — это пример степени свободы кубита , которая формирует фундаментальную основу для понимания более сложных квантовых явлений. Большая часть математического аппарата квантовой механики, такого как векторы состояния , амплитуды вероятности , унитарные операторы и эрмитовы операторы , естественным образом возникают из классических уравнений Максвелла в описании. Вектор состояния квантовой поляризации фотона, например, идентичен вектору Джонса , обычно используемому для описания поляризации классической волны . Унитарные операторы возникают из классического требования сохранения энергии классической волны, распространяющейся в средах без потерь, которые изменяют состояние поляризации волны. Затем следуют эрмитовы операторы для бесконечно малых преобразований классического состояния поляризации.

Многие следствия математического аппарата легко проверить экспериментально. Фактически, многие эксперименты можно проводить с линзами полароидных солнцезащитных очков.

Связь с квантовой механикой осуществляется через определение минимального размера пакета, называемого фотоном , для энергии в электромагнитном поле. Идентификация основана на теориях Планка и интерпретации этих теорий Эйнштейном . Тогда принцип соответствия позволяет идентифицировать импульс и угловой момент (называемый спином ), а также энергию фотона.

Поляризация классических электромагнитных волн

Поляризационные состояния

Линейная поляризация

Влияние поляризатора на отражение от илистых отмелей. На первом снимке поляризатор повернут, чтобы минимизировать эффект; во втором он повернут на 90°, чтобы максимизировать его: почти весь отраженный солнечный свет устраняется.

Волна линейно поляризована (или плоскополяризована), когда фазовые углы равны , ${\displaystyle \alpha _{x}\,,\;\alpha _{y}}$

$${\displaystyle \alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .}$$

Это представляет собой волну с фазой , поляризованной под углом к ​​оси x. В этом случае вектор Джонса ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}}$$

можно записать в одну фазу:

$${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha \right).}$$

Векторы состояния для линейной поляризации по x или y являются частными случаями этого вектора состояния.

Если единичные векторы определены так, что

$${\displaystyle |x\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$$

и

$${\displaystyle |y\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$$

тогда состояние линейно поляризованной поляризации можно записать в «базисе xy» как

$${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \theta \exp \left(i\alpha \right)|x\rangle +\sin \theta \exp \left(i\alpha \right)|y\rangle =\psi _{x}|x\rangle +\psi _{y}|y\rangle .}$$

Круговая поляризация

Если фазовые углы и различаются точно , а амплитуда x равна амплитуде y, то волна имеет круговую поляризацию . Вектор Джонса тогда становится ${\displaystyle \alpha _{x}}$ ${\displaystyle \alpha _{y}}$ ${\displaystyle \pi /2}$

$${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha _{x}\right)}$$

где знак плюс указывает на левую круговую поляризацию, а знак минус указывает на правую круговую поляризацию. В случае круговой поляризации вектор электрического поля постоянной величины вращается в плоскости xy.

Если единичные векторы определены так, что

$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$$

и

$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$$

тогда произвольное состояние поляризации можно записать в «базисе RL» как

$${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{\rm {R}}|\mathrm {R} \rangle +\psi _{\rm {L}}|\mathrm {L} \rangle }$$

где

$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}=\langle \mathrm {R} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})-i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right)}$$

и

$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}=\langle \mathrm {L} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})+i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right).}$$

Мы видим, что

$${\displaystyle 1=|\psi _{\rm {R}}|^{2}+|\psi _{\rm {L}}|^{2}.}$$

Эллиптическая поляризация

Общий случай, когда электрическое поле вращается в плоскости xy и имеет переменную величину, называется эллиптической поляризацией . Вектор состояния определяется выражением

$${\displaystyle |\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}.}$$

Геометрическая визуализация произвольного состояния поляризации

Чтобы понять, как выглядит состояние поляризации, можно наблюдать орбиту, которая получается, если состояние поляризации умножается на фазовый коэффициент, а затем действительные части его компонентов интерпретируются как координаты x и y соответственно. То есть: ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Re (e^{i\omega t}\psi _{x})\\\Re (e^{i\omega t}\psi _{y})\end{pmatrix}}=\Re \left[e^{i\omega t}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}\right]=\Re \left(e^{i\omega t}|\psi \rangle \right).}$$

Если при интерпретации состояния поляризации учитывать только прорисованную форму и направление вращения ( x ( t ), y ( t )) , т.е. только

$${\displaystyle M(|\psi \rangle )=\left.\left\{{\Big (}x(t),\,y(t){\Big )}\,\right|\,\forall \,t\right\}}$$

(где x ( t ) и y ( t ) определены, как указано выше) и имеет ли он в целом более правую циркулярную или левую циркулярную поляризацию (т. е. | ψ _R | > | ψ _L | или наоборот), можно видеть, что физическая интерпретация будет такой же, даже если состояние умножить на произвольный фазовый коэффициент, поскольку

$${\displaystyle M(e^{i\alpha }|\psi \rangle )=M(|\psi \rangle ),\ \alpha \in \mathbb {R} }$$

и направление вращения останется прежним. Другими словами, нет физической разницы между двумя состояниями поляризации и , между которыми различается только фазовый множитель. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }|\psi \rangle }$

Видно, что для линейно поляризованного состояния M будет линией в плоскости xy длиной 2 и серединой в начале координат, наклон которой равен tan( θ ) . Для состояния с круговой поляризацией M будет окружностью радиуса 1/ √ 2 и серединой в начале координат.

Энергия, импульс и угловой момент классической электромагнитной волны

Плотность энергии классических электромагнитных волн

Энергия в плоской волне

Энергия единицы объема в классических электромагнитных полях равна (единицы СГС), а также планковская единица.

$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right].}$$

Для плоской волны это становится

$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}{8\pi }}}$$

где энергия усреднена по длине волны.

Доля энергии в каждом компоненте

Доля энергии в x-компоненте плоской волны равна

$${\displaystyle f_{x}={\frac {|\mathbf {E} |^{2}\cos ^{2}\theta }{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta }$$

с аналогичным выражением для компонента y, что приводит к . ${\displaystyle f_{y}=\sin ^{2}\theta }$

Доля в обоих компонентах равна

$${\displaystyle \psi _{x}^{*}\psi _{x}+\psi _{y}^{*}\psi _{y}=\langle \psi |\psi \rangle =1.}$$

Плотность импульса классических электромагнитных волн

Плотность импульса определяется вектором Пойнтинга

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).}$$

Для синусоидальной плоской волны, распространяющейся в направлении z, импульс находится в направлении z и связан с плотностью энергии:

$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}c={\mathcal {E}}_{c}.}$$

Плотность импульса усреднена по длине волны.

Плотность углового момента классических электромагнитных волн

Электромагнитные волны могут иметь как орбитальный , так и спиновый угловой момент. ^[1] Полная плотность углового момента равна

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right].}$$

Для синусоидальной плоской волны, распространяющейся вдоль оси, плотность орбитального углового момента равна нулю. Плотность спинового углового момента направлена ​​в направлении и определяется выражением ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\left\vert \langle \mathrm {R} |\psi \rangle \right\vert ^{2}-\left\vert \langle \mathrm {L} |\psi \rangle \right\vert ^{2}\right)={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)}$$

где снова плотность усредняется по длине волны.

Оптические фильтры и кристаллы

Прохождение классической волны через поляроидный фильтр.

Линейная поляризация

Линейный фильтр пропускает одну составляющую плоской волны и поглощает перпендикулярную составляющую. В этом случае, если фильтр поляризован в направлении x, доля энергии, проходящей через фильтр, равна

$${\displaystyle f_{x}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta .\,}$$

Пример сохранения энергии: прохождение классической волны через двулучепреломляющий кристалл.

Идеальный кристалл с двойным лучепреломлением преобразует состояние поляризации электромагнитной волны без потери волновой энергии. Таким образом, кристаллы с двойным лучепреломлением представляют собой идеальный испытательный стенд для изучения консервативной трансформации состояний поляризации. Несмотря на то, что эта трактовка по-прежнему является чисто классической, естественным образом появляются стандартные квантовые инструменты, такие как унитарные и эрмитовые операторы, которые развивают состояние во времени.

Начальное и конечное состояния

Двулучепреломляющий кристалл — это материал, который имеет оптическую ось со свойством, что свет имеет другой показатель преломления для света, поляризованного параллельно оси, чем для света, поляризованного перпендикулярно оси. Свет, поляризованный параллельно оси, называется « необыкновенными лучами » или « необыкновенными фотонами », а свет, поляризованный перпендикулярно оси, называется « обычными лучами » или « обычными фотонами ». Если на кристалл падает линейно поляризованная волна, необыкновенная компонента волны выйдет из кристалла с фазой, отличной от фазы обыкновенной компоненты. На математическом языке, если падающая волна линейно поляризована под углом к ​​оптической оси, вектор падающего состояния можно записать ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}$$

а вектор состояния возникающей волны можно записать

$${\displaystyle |\psi '\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\exp \left(i\alpha _{x}\right)&0\\0&\exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {U}}|\psi \rangle .}$$

В то время как начальное состояние было линейно поляризованным, конечное состояние поляризовано эллиптически. Двулучепреломляющий кристалл изменяет характер поляризации.

Двойное конечного состояния

Кристалл кальцита, лежащий на бумаге с буквами, обозначающими двойное лучепреломление.

Начальное состояние поляризации преобразуется в конечное состояние с помощью оператора U. Двойственное конечному состоянию определяется выражением

$${\displaystyle \langle \psi '|=\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }}$$

где – сопряженное к U, комплексно-сопряженное транспонирование матрицы. ${\displaystyle U^{\dagger }}$

Унитарные операторы и энергосбережение

Доля энергии, выходящая из кристалла, равна

$${\displaystyle \langle \psi '|\psi '\rangle =\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1.}$$

В этом идеальном случае вся энергия, падающая на кристалл, выходит из кристалла. Оператор U со свойством, что

$${\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I,}$$

где I — тождественный оператор , а U называется унитарным оператором . Унитарное свойство необходимо для обеспечения энергосбережения при преобразованиях состояния.

Эрмитовы операторы и энергосбережение

Двойно преломляющийся кальцит из ледника Айсберг, Диксон, Нью-Мексико. Этот кристалл весом 35 фунтов (16 кг), выставленный в Национальном музее естественной истории , является одним из крупнейших монокристаллов в Соединенных Штатах.

Если кристалл очень тонкий, конечное состояние будет лишь незначительно отличаться от исходного. Унитарный оператор будет близок к тождественному оператору. Мы можем определить оператор H следующим образом:

$${\displaystyle {\hat {U}}\approx I+i{\hat {H}}}$$

и сопряженный с

$${\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }.}$$

Тогда энергосбережение требует

$${\displaystyle I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I-i{\hat {H}}^{\dagger }\right)\left(I+i{\hat {H}}\right)\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }+i{\hat {H}}.}$$

Это требует, чтобы

$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{\dagger }.}$$

Подобные операторы, равные своим сопряженным, называются эрмитовыми или самосопряженными.

Бесконечно малый переход состояния поляризации

$${\displaystyle |\psi '\rangle -|\psi \rangle =i{\hat {H}}|\psi \rangle .}$$

Таким образом, сохранение энергии требует, чтобы бесконечно малые преобразования состояния поляризации происходили под действием эрмитова оператора.

Фотоны: связь с квантовой механикой

Энергия, импульс и угловой момент фотонов

Энергия

Лечение до этого момента было классическим . Однако свидетельством общности уравнений электродинамики Максвелла является то, что их лечение можно сделать квантовомеханическим , лишь переосмыслив классические величины. Реинтерпретация основана на теориях Макса Планка и интерпретации Альбертом Эйнштейном этих теорий и других экспериментов. ^{[ нужна цитата ]}

Вывод Эйнштейна, сделанный на основе ранних экспериментов по фотоэлектрическому эффекту , состоит в том, что электромагнитное излучение состоит из несократимых пакетов энергии, известных как фотоны . Энергия каждого пакета связана с угловой частотой волны соотношением

$${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega }$$

где – экспериментально определенная величина, известная как постоянная Планка . Если в ящике объёмом находятся фотоны , то энергия электромагнитного поля равна ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle N\hbar \omega }$$

а плотность энергии

$${\displaystyle {N\hbar \omega \over V}}$$

Энергия фотона может быть связана с классическими полями посредством принципа соответствия , который гласит, что для большого числа фотонов квантовая и классическая трактовки должны согласовываться. Таким образом, при очень больших значениях плотность квантовой энергии должна быть такой же, как классическая плотность энергии. ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}{8\pi }}.}$$

Тогда число фотонов в ящике будет

$${\displaystyle N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\vert \mathbf {E} \vert ^{2}.}$$

Импульс

Принцип соответствия также определяет импульс и угловой момент фотона. Для импульса

$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k_{z} \over V}}$$

где волновое число. Это означает, что импульс фотона равен ${\displaystyle k_{z}}$

$${\displaystyle p_{z}=\hbar k_{z}.\,}$$

Угловой момент и спин

Аналогично для спинового момента

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)={\frac {N\hbar }{V}}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)}$$

где напряженность поля. Это означает, что спиновый угловой момент фотона равен ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}}$

$${\displaystyle l_{z}=\hbar \left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right).}$$

квантовая интерпретация этого выражения состоит в том, что фотон имеет вероятность иметь спиновый угловой момент и вероятность иметь спиновый угловой момент . Поэтому мы можем думать о спиновом угловом моменте квантованного фотона, а также об энергии. Подтвержден угловой момент классического света. ^[2] Фотон, который линейно поляризован (плоскополяризован), находится в суперпозиции равного количества левостороннего и правостороннего состояний. ${\displaystyle \mid \psi _{\rm {R}}\mid ^{2}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \mid \psi _{\rm {L}}\mid ^{2}}$ ${\displaystyle -\hbar }$

Оператор спина

Спин фотона определяется как коэффициент при вычислении углового момента спина. Фотон имеет спин 1, если он находится в состоянии, и -1, если он находится в состоянии. Оператор спина определяется как внешнее произведение ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle |R\rangle }$ ${\displaystyle |L\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ |\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |-|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.}$$

Собственными векторами оператора спина являются и с собственными значениями 1 и −1 соответственно. ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

Тогда ожидаемое значение измерения спина фотона будет

$${\displaystyle \langle \psi |{\hat {S}}|\psi \rangle =\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}.}$$

Оператор S был связан с наблюдаемой величиной — спиновым угловым моментом. Собственные значения оператора — это разрешенные наблюдаемые значения. Это было продемонстрировано для спинового углового момента, но в целом верно для любой наблюдаемой величины.

Спиновые состояния

Мы можем записать состояния с круговой поляризацией как

$${\displaystyle |s\rangle }$$

где s =1 для и s = −1 для . Произвольное состояние можно записать ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{s=-1,1}a_{s}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle }$$

где и - фазовые углы, θ - угол, на который повернута система отсчета, и ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{-1}}$

$${\displaystyle \sum _{s=-1,1}\mid a_{s}\mid ^{2}=1.}$$

Операторы спина и углового момента в дифференциальной форме

Когда состояние записано в спиновой нотации, оператор спина может быть записан

$${\displaystyle {\hat {S}}_{d}\rightarrow i{\partial \over \partial \theta }}$$

$${\displaystyle {\hat {S}}_{d}^{\dagger }\rightarrow -i{\partial \over \partial \theta }.}$$

Собственные векторы дифференциального оператора спина равны

$${\displaystyle \exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle .}$$

Чтобы увидеть эту заметку

$${\displaystyle {\hat {S}}_{d}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \rightarrow i{\partial \over \partial \theta }\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle =s\left[\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \right].}$$

Оператор спинового углового момента:

$${\displaystyle {\hat {l}}_{z}=\hbar {\hat {S}}_{d}.}$$

Природа вероятности в квантовой механике

Вероятность существования одного фотона

Есть два способа применения вероятности к поведению фотонов; Вероятность можно использовать для расчета вероятного числа фотонов в определенном состоянии, или вероятность можно использовать для расчета вероятности того, что один фотон окажется в определенном состоянии. Первая интерпретация нарушает закон сохранения энергии. Последняя интерпретация является жизнеспособным, хотя и неинтуитивным вариантом. Дирак объясняет это в контексте эксперимента с двумя щелями :

За некоторое время до открытия квантовой механики люди поняли, что связь между световыми волнами и фотонами должна носить статистический характер. Однако они не совсем осознавали, что волновая функция дает информацию о вероятности нахождения одного фотона в определенном месте, а не о вероятном количестве фотонов в этом месте. Важность этого различия можно прояснить следующим образом. Предположим, у нас есть луч света, состоящий из большого количества фотонов, разделенных на две компоненты одинаковой интенсивности. Если предположить, что пучок связан с вероятным количеством фотонов в нем, то в каждый компонент должна попасть половина общего числа. Если теперь эти два компонента будут интерферировать, нам нужно будет потребовать, чтобы фотон в одном компоненте мог интерферировать с одним из них в другом. Иногда этим двум фотонам приходилось уничтожать друг друга, а иногда им приходилось производить четыре фотона. Это противоречило бы закону сохранения энергии. Новая теория, которая связывает волновую функцию с вероятностями для одного фотона, преодолевает эту трудность, заставляя каждый фотон частично переходить в каждый из двух компонентов. Тогда каждый фотон интерферирует только сам с собой. Интерференция между двумя разными фотонами никогда не возникает.
- Поль Дирак , Принципы квантовой механики, 1930, глава 1.

Амплитуды вероятности

Вероятность того, что фотон окажется в определенном состоянии поляризации, зависит от полей, рассчитанных по классическим уравнениям Максвелла. Состояние поляризации фотона пропорционально полю. Сама вероятность квадратична по полям и, следовательно, квадратична и по квантовому состоянию поляризации. Таким образом, в квантовой механике состояние или амплитуда вероятности содержит основную информацию о вероятности. В целом правила объединения амплитуд вероятности очень похожи на классические правила композиции вероятностей: [Следующая цитата взята из Бэйма, глава 1] ^{[ нужны разъяснения ]}

1. Амплитуда вероятности для двух последовательных вероятностей является произведением амплитуд отдельных возможностей. Например, амплитуда фотона с правой циркулярной поляризацией, поляризованного по оси x, и фотона с правой циркулярной поляризацией, прошедшего через y-поляроид, является произведением отдельных амплитуд. ${\displaystyle \langle R|x\rangle \langle y|R\rangle ,}$
2. Амплитуда процесса, который может происходить одним из нескольких неразличимых способов, представляет собой сумму амплитуд каждого из отдельных способов. Например, общая амплитуда фотона с поляризацией x, проходящего через y-поляроид, представляет собой сумму амплитуд, которые он проходит как фотон с правой циркулярной поляризацией, плюс амплитуду, с которой он проходит как фотон с левой циркулярной поляризацией: ${\displaystyle \langle y|R\rangle \langle R|x\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle y|L\rangle \langle L|x\rangle \dots }$
3. Общая вероятность возникновения процесса равна квадрату абсолютного значения полной амплитуды, рассчитанной по 1 и 2.

Принцип неопределенности

Неравенство Коши–Шварца в евклидовом пространстве. Из этого следует ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {W} =\left\|\mathbf {V} \right\|\left\|\mathbf {W} \right\|\cos a.}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {W} \leq \left\|\mathbf {V} \right\|\left\|\mathbf {W} \right\|.}$

Математическая подготовка

Для любых допустимых ^{[ необходимо пояснение ]} операторов справедливо следующее неравенство, являющееся следствием неравенства Коши – Шварца .

$${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left|\langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})x|x\rangle \right|^{2}\leq \left\|{\hat {A}}x\right\|^{2}\left\|{\hat {B}}x\right\|^{2}.}$$

Если BA ψ и AB ψ определены, то, вычитая средние значения и повторно подставив их в приведенную выше формулу, мы получаем

$${\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {A}}\,\Delta _{\psi }{\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|}$$

$${\displaystyle \left\langle {\hat {X}}\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi \right|{\hat {X}}\left|\psi \right\rangle }$$

— среднее операторное наблюдаемой X в состоянии системы ψ и

$${\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {X}}={\sqrt {\langle {\hat {X}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\hat {X}}\rangle _{\psi }^{2}}}.}$$

Здесь

$${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$$

называется коммутатором A и B.

Это чисто математический результат. Никакой ссылки не было сделано на какую-либо физическую величину или принцип. Он просто утверждает, что неопределенность одного оператора, умноженная на неопределенность другого оператора, имеет нижнюю границу.

Приложение к угловому моменту

Связь с физикой можно установить, если мы отождествим операторы с физическими операторами, такими как угловой момент и угол поляризации. У нас есть тогда

$${\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {L}}_{z}\,\Delta _{\psi }{\theta }\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$

это означает, что угловой момент и угол поляризации не могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью. (Угол поляризации можно измерить, проверив, может ли фотон пройти через поляризационный фильтр, ориентированный под определенным углом, или поляризационный светоделитель . Это приводит к ответу «да» или «нет», который, если фотон был плоскополяризован под каким-либо другим угол, зависит от разницы между двумя углами.)

Состояния, амплитуды вероятности, унитарные и эрмитовы операторы и собственные векторы

Большая часть математического аппарата квантовой механики появляется в классическом описании поляризованной синусоидальной электромагнитной волны. Например, вектор Джонса для классической волны идентичен вектору состояния квантовой поляризации фотона. Правую и левую круговые компоненты вектора Джонса можно интерпретировать как амплитуды вероятности спиновых состояний фотона. Сохранение энергии требует, чтобы состояния были преобразованы с помощью унитарной операции. Это означает, что бесконечно малые преобразования преобразуются с помощью эрмитова оператора. Эти выводы являются естественным следствием структуры уравнений Максвелла для классических волн.

Квантовая механика появляется на сцене, когда наблюдаемые величины измеряются и оказываются дискретными, а не непрерывными. Разрешенные наблюдаемые значения определяются собственными значениями операторов, связанных с наблюдаемыми. Например, в случае углового момента разрешенными наблюдаемыми значениями являются собственные значения оператора спина.

Эти концепции естественным образом возникли из уравнений Максвелла и теорий Планка и Эйнштейна. Было обнаружено, что они верны для многих других физических систем. Фактически, типичная программа состоит в том, чтобы принять концепции этого раздела, а затем сделать вывод о неизвестной динамике физической системы. Так было сделано, например, с динамикой электронов. В этом случае, исходя из принципов, изложенных в этом разделе, была выведена квантовая динамика частиц, что привело к уравнению Шредингера , отходу от ньютоновской механики . Решение этого уравнения для атомов привело к объяснению ряда Бальмера для атомных спектров и, следовательно, легло в основу всей атомной физики и химии.

Это не единственный случай ^{[ сомнительно ]} , когда уравнения Максвелла вызвали реструктуризацию ньютоновской механики. Уравнения Максвелла релятивистски непротиворечивы. Специальная теория относительности возникла в результате попыток привести классическую механику в соответствие с уравнениями Максвелла (см., например, « Проблему о движущемся магните и проводнике »).

Смотрите также

• Угловой момент света
  • Спиновый угловой момент света
  • Орбитальный угловой момент света
• Квантовая декогеренция
• Эксперимент Штерна-Герлаха
• Корпускулярно-волновой дуализм
• Двухщелевой эксперимент
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• Спиновая поляризация

Рекомендации

1. Аллен, Л.; Бейерсберген, МВт; Шпреу, RJC; Вурдман, JP (июнь 1992 г.). «Орбитальный угловой момент света и трансформация лазерных мод Лагерра-Гаусса». Физический обзор А. 45 (11): 8186–9. Бибкод : 1992PhRvA..45.8185A. doi : 10.1103/PhysRevA.45.8185. ПМИД  9906912.
2. Бет, РА (1935). «Прямое обнаружение углового момента света». Физ. Преподобный . 48 (5): 471. Бибкод : 1935PhRv...48..471B. doi : 10.1103/PhysRev.48.471.

дальнейшее чтение

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-30932-Х.
• Байм, Гордон (1969). Лекции по квантовой механике . В. А. Бенджамин. ISBN 0-8053-0667-6.
• Дирак, ПАМ (1958). Принципы квантовой механики (Четвертое изд.). Оксфорд. ISBN 0-19-851208-2.