Спиновый угловой момент света

Угловой момент, вытекающий из спина фотона

Спиновый угловой момент света ( СУМ ) — это компонент углового момента света , связанный с квантовым спином и вращением между поляризационными степенями свободы фотона.

Введение

Спин — это фундаментальное свойство, которое отличает два типа элементарных частиц: фермионы с полуцелыми спинами и бозоны с целыми спинами. Фотоны , которые являются квантами света , давно признаны калибровочными бозонами со спином 1. Поляризация света обычно принимается как его «внутренняя» спиновая степень свободы . Однако в свободном пространстве разрешены только две поперечные поляризации. Таким образом, спин фотона всегда связан только с двумя круговыми поляризациями. Чтобы построить полный квантовый оператор спина света, необходимо ввести продольно поляризованные фотонные моды.

Левая и правая круговая поляризация и связанные с ними угловые моменты

Говорят, что электромагнитная волна имеет круговую поляризацию , когда ее электрическое и магнитное поля непрерывно вращаются вокруг оси пучка во время распространения. Круговая поляризация бывает левой ( ) или правой ( ) в зависимости от направления вращения поля и, в соответствии с используемым соглашением: либо с точки зрения источника, либо с точки зрения приемника. Оба соглашения используются в науке в зависимости от контекста. ${\displaystyle \mathrm {L} }$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$

Когда световой луч имеет круговую поляризацию, каждый из его фотонов несет спиновый угловой момент (SAM) , где - приведенная постоянная Планка , а знак положительный для левой и отрицательный для правой круговой поляризации (это принятие соглашения с точки зрения приемника, наиболее часто используемого в оптике ). Этот SAM направлен вдоль оси луча (параллельно, если положительный, антипараллельно, если отрицательный). На рисунке выше показана мгновенная структура электрического поля левого ( ) и правого ( ) кругово поляризованного света в пространстве. Зеленые стрелки указывают направление распространения . ${\displaystyle \pm \hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle \mathrm {L} }$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$

Математические выражения, представленные под рисунками, дают три компоненты электрического поля циркулярно поляризованной плоской волны, распространяющейся в направлении, в комплексной записи. ${\displaystyle z}$

Математическое выражение

Общее выражение для спинового углового момента имеет вид ^[1]

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{c}}\int d^{3}x\mathbf {\pi } \times \mathbf {A} ,}$$

где — скорость света в свободном пространстве, а — сопряженный канонический импульс векторного потенциала . Общее выражение для орбитального углового момента света имеет вид: где обозначает четыре индекса пространства-времени , и применено соглашение Эйнштейна о суммировании . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {\pi } }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {L} ={\frac {1}{c}}\int d^{3}x\pi ^{\mu }\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } A_{\mu },}$$ ${\displaystyle \mu =\{0,1,2,3\}}$

Для квантования света необходимо постулировать основные соотношения коммутации с равным временем ^[2] , где — приведенная постоянная Планка , а — метрический тензор пространства Минковского . $${\displaystyle [A^{\mu }(\mathbf {x} ,t),\pi ^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=i\hbar cg^{\mu \nu }\delta ^{3}(\mathbf {x} -\mathbf {x} '),}$$ $${\displaystyle [A^{\mu }(\mathbf {x} ,t),A^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=[\pi ^{\mu }(\mathbf {x} ,t),\pi ^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=0,}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }={\rm {{diag}\{1,-1,-1,-1\}}}}$

Тогда можно проверить, что оба и удовлетворяют каноническим соотношениям коммутации углового момента и что они коммутируют друг с другом . ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ $${\displaystyle [S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k},}$$ $${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k},}$$ ${\displaystyle [S_{i},L_{j}]=0}$

После разложения по плоским волнам спин фотона можно переформулировать в простой и наглядной форме в пространстве волновых векторов , где вектор — это оператор поля фотона в пространстве волновых векторов, а матрица — оператор спина 1 фотона с генераторами вращения SO(3) , а два единичных вектора обозначают две поперечные поляризации света в свободном пространстве, а единичный вектор обозначает продольную поляризацию. $${\displaystyle \mathbf {S} =\hbar \int d^{3}k{\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }^{\dagger }\mathbf {\hat {s}} {\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }}$$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }=({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1},{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2},{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,3})}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {s}} =\sum _{\lambda =1}^{3}{\hat {s}}_{\lambda }\mathbf {\epsilon } (\mathbf {k} ,\lambda )}$$ $${\displaystyle {\hat {s}}_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix}},\qquad {\hat {s}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{bmatrix}},\qquad {\hat {s}}_{3}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,1)\cdot \mathbf {k} ={\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,2)\cdot \mathbf {k} =0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,3)=\mathbf {k} /|\mathbf {k} |}$

Из-за того, что были задействованы продольно поляризованный фотон и скалярный фотон, оба и не являются калибровочно-инвариантными. Чтобы включить калибровочную инвариантность в угловые моменты фотона, необходимо повторное разложение полного углового момента КЭД и калибровочное условие Лоренца. Наконец, прямая наблюдаемая часть спинового и орбитального угловых моментов света задается как и , которые восстанавливают угловые моменты классического поперечного света. ^[3] Здесь ( ) — поперечная часть электрического поля ( векторный потенциал ), — диэлектрическая проницаемость вакуума , и мы используем единицы СИ . ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ $${\displaystyle \mathbf {S} ^{\rm {obs}}=i\hbar \int d^{3}k({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}){\frac {\mathbf {k} }{|\mathbf {k} |}}=\varepsilon _{0}\int d^{3}x\mathbf {E} _{\perp }\times \mathbf {A} _{\perp },}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} _{M}^{\rm {obs}}=\varepsilon _{0}\int d^{3}xE_{\perp }^{j}\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } A_{\perp }^{j}}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\perp }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Мы можем определить операторы уничтожения для циркулярно поляризованных поперечных фотонов: с единичными векторами поляризации $${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mathrm {L} }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}-i{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}\right),}$$ $${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mathrm {R} }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}+i{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}\right),}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} (\mathbf {k} ,\mathrm {L} )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\mathbf {e} (\mathbf {k} ,1)+i\mathbf {e} (\mathbf {k} ,2)\right],}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} (\mathbf {k} ,\mathrm {R} )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\mathbf {e} (\mathbf {k} ,1)-i\mathbf {e} (\mathbf {k} ,2)\right].}$$

Тогда спин фотона поперечного поля можно переформулировать как $${\displaystyle \mathbf {S} ^{\rm {obs}}=\int d^{3}k\hbar \left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}\right){\frac {\mathbf {k} }{|\mathbf {k} |}},}$$

Для одного плосковолнового фотона спин может иметь только два значения , которые являются собственными значениями оператора спина . Соответствующие собственные функции, описывающие фотоны с четко определенными значениями SAM, описываются как циркулярно поляризованные волны: ${\displaystyle \pm \hbar }$ ${\displaystyle {\hat {s}}_{3}}$ $${\displaystyle |\pm \rangle ={\begin{pmatrix}1\\\pm i\\0\end{pmatrix}}.}$$

Смотрите также

• Уравнение Гельмгольца
• Орбитальный угловой момент света
• Поляризация (физика)
• Поляризация фотона
• Спиновая поляризация

Ссылки

1. Янг, Л.-П.; Хосрави, Ф.; Якоб, З. (2020). «Квантовый спиновый оператор фотона». arXiv : 2004.03771 [quant-ph].
2. Greiner, W.; Reinhardt, J. (29 июня 2013 г.). "Глава 7". Квантование поля . ISBN 9783642614859.
3. Коэн-Таннуджи, К.; Дюпон-Рок, Дж.; Гринберг, Г. (1997). "Глава 1". Фотоны и атомы-Введение в квантовую электродинамику . Wiley-VCH. ISBN 9780471184331.

Дальнейшее чтение

• Борн, М. и Вольф, Э. (1999). Принципы оптики: Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4.
• Аллен, Л.; Барннет, Стивен М. и Паджетт, Майлз Дж. (2003). Оптический угловой момент . Бристоль: Институт физики. ISBN 978-0-7503-0901-1.
• Torres, Juan P. & Torner, Lluis (2011). Скрученные фотоны: применение света с орбитальным угловым моментом . Бристоль: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40907-5.