Поляризация фотона

Квантовое объяснение электромагнитной поляризации

Поляризация фотона — это квантово-механическое описание классической поляризованной синусоидальной плоской электромагнитной волны . Отдельный фотон можно описать как имеющий правую или левую круговую поляризацию , или суперпозицию двух. Эквивалентно, фотон можно описать как имеющий горизонтальную или вертикальную линейную поляризацию , или суперпозицию двух.

Описание поляризации фотона содержит многие физические концепции и большую часть математического аппарата более сложных квантовых описаний, таких как квантовая механика электрона в потенциальной яме. Поляризация является примером степени свободы кубита , которая образует фундаментальную основу для понимания более сложных квантовых явлений. Большая часть математического аппарата квантовой механики, такая как векторы состояния , амплитуды вероятности , унитарные операторы и эрмитовы операторы , естественным образом вытекает из классических уравнений Максвелла в описании. Вектор состояния квантовой поляризации для фотона, например, идентичен вектору Джонса , обычно используемому для описания поляризации классической волны . Унитарные операторы вытекают из классического требования сохранения энергии классической волны, распространяющейся через среды без потерь, которые изменяют состояние поляризации волны. Затем эрмитовы операторы следуют для бесконечно малых преобразований классического состояния поляризации.

Многие из следствий математической машины легко проверяются экспериментально. Фактически, многие эксперименты можно проводить с помощью поляроидных линз солнцезащитных очков.

Связь с квантовой механикой осуществляется посредством идентификации минимального размера пакета, называемого фотоном , для энергии в электромагнитном поле. Идентификация основана на теориях Планка и интерпретации этих теорий Эйнштейном . Затем принцип соответствия позволяет идентифицировать импульс и угловой момент (называемый спином ), а также энергию, с фотоном.

Поляризация классических электромагнитных волн

Поляризационные состояния

Линейная поляризация

Влияние поляризатора на отражение от илистой воды. На первом снимке поляризатор повернут, чтобы минимизировать эффект; на втором он повернут на 90°, чтобы усилить его: почти весь отраженный солнечный свет устранен.

Волна линейно поляризована (или плоскополяризована), когда фазовые углы равны , ${\displaystyle \alpha _{x}\,,\;\alpha _{y}}$ $${\displaystyle \alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .}$$

Это представляет собой волну с фазой , поляризованной под углом к ​​оси x. В этом случае вектор Джонса можно записать с одной фазой: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha \right).}$$

Векторы состояния для линейной поляризации по x или y являются частными случаями этого вектора состояния.

Если единичные векторы определены таким образом, что и тогда линейно поляризованное состояние поляризации можно записать в «базисе x–y» как $${\displaystyle |x\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle |y\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \theta \exp \left(i\alpha \right)|x\rangle +\sin \theta \exp \left(i\alpha \right)|y\rangle =\psi _{x}|x\rangle +\psi _{y}|y\rangle .}$$

Круговая поляризация

Если фазовые углы и отличаются ровно на , а амплитуда x равна амплитуде y, волна имеет круговую поляризацию . Тогда вектор Джонса становится где знак плюс указывает на левую круговую поляризацию, а знак минус указывает на правую круговую поляризацию. В случае круговой поляризации вектор электрического поля постоянной величины вращается в плоскости x–y. ${\displaystyle \alpha _{x}}$ ${\displaystyle \alpha _{y}}$ ${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha _{x}\right)}$$

Если единичные векторы определены таким образом, что и тогда произвольное состояние поляризации можно записать в «базисе R–L» как , где и $${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{\rm {R}}|\mathrm {R} \rangle +\psi _{\rm {L}}|\mathrm {L} \rangle }$$ $${\displaystyle \psi _{\rm {R}}=\langle \mathrm {R} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})-i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right)}$$ $${\displaystyle \psi _{\rm {L}}=\langle \mathrm {L} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})+i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right).}$$

Мы можем видеть, что $${\displaystyle 1=|\psi _{\rm {R}}|^{2}+|\psi _{\rm {L}}|^{2}.}$$

Эллиптическая поляризация

Общий случай, в котором электрическое поле вращается в плоскости x–y и имеет переменную величину, называется эллиптической поляризацией . Вектор состояния задается выражением $${\displaystyle |\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}.}$$

Геометрическая визуализация произвольного состояния поляризации

Чтобы понять, как выглядит состояние поляризации, можно наблюдать орбиту, которая образуется, если состояние поляризации умножить на фазовый множитель и затем интерпретировать действительные части его компонентов как координаты x и y соответственно. То есть: ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Re (e^{i\omega t}\psi _{x})\\\Re (e^{i\omega t}\psi _{y})\end{pmatrix}}=\Re \left[e^{i\omega t}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}\right]=\Re \left(e^{i\omega t}|\psi \rangle \right).}$$

Если при интерпретации состояния поляризации учитывать только начерченную форму и направление вращения ( x ( t ), y ( t )) , то есть только (где x ( t ) и y ( t ) определены, как указано выше), и является ли оно в целом более право-циркулярно или лево-циркулярно поляризованным (то есть | ψ _R | > | ψ _L | или наоборот), то можно увидеть, что физическая интерпретация будет той же самой, даже если состояние умножить на произвольный фазовый множитель, поскольку и направление вращения останется тем же самым. Другими словами, нет никакой физической разницы между двумя состояниями поляризации и , между которыми отличается только фазовый множитель. $${\displaystyle M(|\psi \rangle )=\left.\left\{{\Big (}x(t),\,y(t){\Big )}\,\right|\,\forall \,t\right\}}$$ $${\displaystyle M(e^{i\alpha }|\psi \rangle )=M(|\psi \rangle ),\ \alpha \in \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }|\psi \rangle }$

Видно, что для линейно поляризованного состояния M будет линией в плоскости xy длиной 2 с серединой в начале координат, наклон которой равен tan( θ ) . Для циркулярно поляризованного состояния M будет окружностью радиусом 1/ √ 2 и серединой в начале координат.

Энергия, импульс и момент импульса классической электромагнитной волны

Плотность энергии классических электромагнитных волн

Энергия в плоской волне

Энергия на единицу объема в классических электромагнитных полях составляет (единицы СГС), а также единицы Планка: $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right].}$$

Для плоской волны это принимает вид: где энергия усреднена по длине волны. $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}{8\pi }}}$$

Доля энергии в каждом компоненте

Доля энергии в компоненте x плоской волны имеет аналогичное выражение для компоненты y, что приводит к . $${\displaystyle f_{x}={\frac {|\mathbf {E} |^{2}\cos ^{2}\theta }{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta }$$ ${\displaystyle f_{y}=\sin ^{2}\theta }$

Дробь в обоих компонентах равна $${\displaystyle \psi _{x}^{*}\psi _{x}+\psi _{y}^{*}\psi _{y}=\langle \psi |\psi \rangle =1.}$$

Плотность импульса классических электромагнитных волн

Плотность импульса определяется вектором Пойнтинга $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).}$$

Для синусоидальной плоской волны, распространяющейся в направлении z, импульс направлен в направлении z и связан с плотностью энергии: $${\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}c={\mathcal {E}}_{c}.}$$

Плотность импульса усреднена по длине волны.

Плотность углового момента классических электромагнитных волн

Электромагнитные волны могут иметь как орбитальный , так и спиновый угловой момент. ^[1] Полная плотность углового момента равна $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right].}$$

Для синусоидальной плоской волны, распространяющейся вдоль оси, орбитальная плотность углового момента обращается в нуль. Плотность спинового углового момента находится в направлении и определяется выражением , где плотность снова усредняется по длине волны. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\left\vert \langle \mathrm {R} |\psi \rangle \right\vert ^{2}-\left\vert \langle \mathrm {L} |\psi \rangle \right\vert ^{2}\right)={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)}$$

Оптические фильтры и кристаллы

Прохождение классической волны через поляроидный фильтр

Линейная поляризация

Линейный фильтр пропускает один компонент плоской волны и поглощает перпендикулярный компонент. В этом случае, если фильтр поляризован в направлении x, доля энергии, проходящей через фильтр, равна $${\displaystyle f_{x}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta .\,}$$

Пример сохранения энергии: прохождение классической волны через двулучепреломляющий кристалл.

Идеальный двупреломляющий кристалл преобразует состояние поляризации электромагнитной волны без потери энергии волны. Поэтому двупреломляющие кристаллы представляют собой идеальный испытательный стенд для изучения консервативного преобразования состояний поляризации. Несмотря на то, что эта трактовка все еще является чисто классической, естественным образом возникают стандартные квантовые инструменты, такие как унитарные и эрмитовы операторы, которые эволюционируют состояние во времени.

Начальное и конечное состояния

Двулучепреломляющий кристалл — это материал, имеющий оптическую ось со свойством, что свет имеет другой показатель преломления для света, поляризованного параллельно оси, чем для света, поляризованного перпендикулярно оси. Свет, поляризованный параллельно оси, называется « необыкновенными лучами » или « необыкновенными фотонами », в то время как свет, поляризованный перпендикулярно оси, называется « обыкновенными лучами » или « обыкновенными фотонами ». Если линейно поляризованная волна падает на кристалл, необыкновенная компонента волны выйдет из кристалла с фазой, отличной от обычной компоненты. На математическом языке, если падающая волна линейно поляризована под углом к ​​оптической оси, вектор состояния падающей волны можно записать , а вектор состояния для выходящей волны можно записать ${\displaystyle theta}$ $${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle |\psi '\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\exp \left(i\alpha _{x}\right)&0\\0&\exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {U}}|\psi \rangle .}$$

В то время как начальное состояние было линейно поляризовано, конечное состояние эллиптически поляризовано. Двулучепреломляющий кристалл изменяет характер поляризации.

Двойственность конечного состояния

Кристалл кальцита, положенный на бумагу с несколькими буквами, показывающими двойное лучепреломление.

Начальное состояние поляризации преобразуется в конечное состояние с помощью оператора U. Двойственное к конечному состоянию состояние задается выражением, где — сопряженная к U матрица, комплексно сопряженная транспонированная матрица. $${\displaystyle \langle \psi '|=\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }}$$ ${\displaystyle U^{\dagger }}$

Унитарные операторы и энергосбережение

Доля энергии, которая выходит из кристалла, равна $${\displaystyle \langle \psi '|\psi '\rangle =\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1.}$$

В этом идеальном случае вся энергия, падающая на кристалл, выходит из кристалла. Оператор U со свойством где I — оператор тождества , а U называется унитарным оператором . Унитарное свойство необходимо для обеспечения сохранения энергии при преобразованиях состояний. $${\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I,}$$

Эрмитовы операторы и энергосбережение

Двойной преломляющий кальцит из месторождения Айсберг, Диксон, Нью-Мексико. Этот 35-фунтовый (16 кг) кристалл, выставленный в Национальном музее естественной истории , является одним из крупнейших монокристаллов в Соединенных Штатах.

Если кристалл очень тонкий, конечное состояние будет лишь немного отличаться от начального. Унитарный оператор будет близок к тождественному оператору. Мы можем определить оператор H как и сопряженный оператор как $${\displaystyle {\hat {U}}\approx I+i{\hat {H}}}$$ $${\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }.}$$

Энергосбережение тогда требует

$${\displaystyle I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I-i{\hat {H}}^{\dagger }\right)\left(I+i{\hat {H}}\right)\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }+i{\hat {H}}.}$$

Для этого необходимо, чтобы $${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{\dagger }.}$$

Такие операторы, равные своим сопряженным, называются эрмитовыми или самосопряженными.

Бесконечно малый переход состояния поляризации $${\displaystyle |\psi '\rangle -|\psi \rangle =i{\hat {H}}|\psi \rangle .}$$

Таким образом, закон сохранения энергии требует, чтобы бесконечно малые преобразования состояния поляризации происходили под действием эрмитова оператора.

Фотоны: связь с квантовой механикой

Энергия, импульс и момент импульса фотонов

Энергия

До этого момента трактовка была классической . Однако свидетельством общности уравнений Максвелла для электродинамики является то, что трактовку можно сделать квантово-механической, просто переосмыслив классические величины. Переосмысление основано на теориях Макса Планка и интерпретации Альбертом Эйнштейном этих теорий и других экспериментов. ^{[ необходима цитата ]}

Вывод Эйнштейна из ранних экспериментов по фотоэлектрическому эффекту заключается в том, что электромагнитное излучение состоит из неприводимых пакетов энергии, известных как фотоны . Энергия каждого пакета связана с угловой частотой волны соотношением , где — экспериментально определяемая величина, известная как приведенная постоянная Планка . Если в ящике объемом находятся фотоны , энергия в электромагнитном поле равна и плотность энергии равна $${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega }$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle N\hbar \omega }$$ $${\displaystyle {N\hbar \omega \over V}}$$

Энергия фотона может быть связана с классическими полями через принцип соответствия , который гласит, что для большого числа фотонов квантовая и классическая трактовки должны согласовываться. Таким образом, для очень больших , плотность квантовой энергии должна быть такой же, как и классическая плотность энергии ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}{8\pi }}.}$$

Число фотонов в ящике тогда равно $${\displaystyle N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\vert \mathbf {E} \vert ^{2}.}$$

Импульс

Принцип соответствия определяет также импульс и момент импульса фотона. Для импульса где - волновое число. Это означает, что импульс фотона равен $${\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k_{z} \over V}}$$ ${\displaystyle k_{z}}$ $${\displaystyle p_{z}=\hbar k_{z}.\,}$$

Угловой момент и спин

Аналогично для спинового момента импульса , где — напряженность поля. Это означает, что спиновый момент импульса фотона равен квантовой интерпретации этого выражения является то, что фотон имеет вероятность иметь спиновый момент импульса и вероятность иметь спиновый момент импульса . Поэтому мы можем считать, что спиновый момент импульса фотона квантуется так же, как и энергия. Момент импульса классического света был проверен. ^[2] Фотон, который линейно поляризован (плоскостно поляризован), находится в суперпозиции равных количеств левосторонних и правосторонних состояний. $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)={\frac {N\hbar }{V}}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}}$ $${\displaystyle l_{z}=\hbar \left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right).}$$ ${\displaystyle \mid \psi _{\rm {R}}\mid ^{2}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \mid \psi _{\rm {L}}\mid ^{2}}$ ${\displaystyle -\hbar }$

Оператор спина

Спин фотона определяется как коэффициент в расчете спинового углового момента. Фотон имеет спин 1, если он находится в состоянии и −1, если он находится в состоянии . Оператор спина определяется как внешнее произведение ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle |R\rangle }$ ${\displaystyle |L\rangle }$ $${\displaystyle {\hat {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ |\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |-|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.}$$

Собственные векторы оператора спина — это и с собственными значениями 1 и −1 соответственно. ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

Тогда ожидаемое значение измерения спина фотона равно $${\displaystyle \langle \psi |{\hat {S}}|\psi \rangle =\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}.}$$

Оператор S был связан с наблюдаемой величиной, спиновым моментом импульса. Собственные значения оператора являются допустимыми наблюдаемыми значениями. Это было продемонстрировано для спинового момента импульса, но в целом это верно для любой наблюдаемой величины.

Спиновые состояния

Мы можем записать циркулярно поляризованные состояния как где s = 1 для и s = −1 для . Произвольное состояние можно записать где и являются фазовыми углами, θ является углом, на который поворачивается система отсчета, и $${\displaystyle |s\rangle }$$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{s=-1,1}a_{s}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle }$$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{-1}}$ $${\displaystyle \sum _{s=-1,1}\vert a_{s}\vert ^{2}=1.}$$

Операторы спина и углового момента в дифференциальной форме

Когда состояние записано в спиновой нотации, оператор спина можно записать $${\displaystyle {\hat {S}}_{d}\rightarrow i{\partial \over \partial \theta }}$$ $${\displaystyle {\hat {S}}_{d}^{\dagger }\rightarrow -i{\partial \over \partial \theta }.}$$

Собственные векторы дифференциального спинового оператора равны $${\displaystyle \exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle .}$$

Чтобы увидеть эту заметку $${\displaystyle {\hat {S}}_{d}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \rightarrow i{\partial \over \partial \theta }\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle =s\left[\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \right].}$$

Оператор спинового момента импульса равен $${\displaystyle {\hat {l}}_{z}=\hbar {\hat {S}}_{d}.}$$

Природа вероятности в квантовой механике

Вероятность для одного фотона

Существует два способа, которыми вероятность может быть применена к поведению фотонов; вероятность может быть использована для расчета вероятного числа фотонов в определенном состоянии, или вероятность может быть использована для расчета вероятности того, что один фотон будет находиться в определенном состоянии. Первая интерпретация нарушает закон сохранения энергии. Последняя интерпретация является жизнеспособным, хотя и неинтуитивным, вариантом. Дирак объясняет это в контексте эксперимента с двумя щелями :

Незадолго до открытия квантовой механики люди поняли, что связь между световыми волнами и фотонами должна носить статистический характер. Однако они не осознавали ясно, что волновая функция дает информацию о вероятности нахождения одного фотона в определенном месте, а не о вероятном числе фотонов в этом месте. Важность этого различия можно прояснить следующим образом. Предположим, что у нас есть луч света, состоящий из большого числа фотонов, разделенных на два компонента равной интенсивности. Предположив, что луч связан с вероятным числом фотонов в нем, мы должны иметь половину общего числа, поступающего в каждый компонент. Если теперь заставить два компонента интерферировать, нам нужно, чтобы фотон в одном компоненте мог интерферировать с одним в другом. Иногда эти два фотона должны были бы уничтожить друг друга, а иногда им пришлось бы произвести четыре фотона. Это противоречило бы закону сохранения энергии. Новая теория, которая связывает волновую функцию с вероятностями для одного фотона, преодолевает эту трудность, заставляя каждый фотон частично входить в каждый из двух компонентов. Каждый фотон тогда интерферирует только с самим собой. Интерференция между двумя разными фотонами никогда не происходит.
— Поль Дирак , Принципы квантовой механики, 1930, Глава 1

Амплитуды вероятности

Вероятность нахождения фотона в определенном состоянии поляризации зависит от полей, как рассчитано классическими уравнениями Максвелла. Состояние поляризации фотона пропорционально полю. Вероятность сама по себе квадратична по полям и, следовательно, также квадратична по квантовому состоянию поляризации. Таким образом, в квантовой механике состояние или амплитуда вероятности содержит основную информацию о вероятности. В общем, правила объединения амплитуд вероятности очень похожи на классические правила композиции вероятностей: [Следующая цитата взята из Baym, Глава 1] ^{[ необходимо пояснение ]}

1. Амплитуда вероятности для двух последовательных вероятностей является произведением амплитуд для отдельных возможностей. Например, амплитуда для x-поляризованного фотона, который будет иметь правую круговую поляризацию , и для правого кругового поляризованного фотона, который пройдет через y-поляроид, является произведением отдельных амплитуд. ${\displaystyle \langle R|x\rangle \langle y|R\rangle ,}$
2. Амплитуда процесса, который может происходить одним из нескольких неразличимых способов, представляет собой сумму амплитуд для каждого из индивидуальных способов. Например, общая амплитуда для x-поляризованного фотона, проходящего через y-поляроид, представляет собой сумму амплитуд для него, проходящего как фотон с правой круговой поляризацией, плюс амплитуда для него, проходящего как фотон с левой круговой поляризацией, ${\displaystyle \langle y|R\rangle \langle R|x\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle y|L\rangle \langle L|x\rangle \dots }$
3. Общая вероятность возникновения процесса равна квадрату абсолютного значения общей амплитуды, рассчитанной по формулам 1 и 2.

Принцип неопределенности

Неравенство Коши–Шварца в евклидовом пространстве. Это означает, что ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {W} =\left\|\mathbf {V} \right\|\left\|\mathbf {W} \right\|\cos a.}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {W} \leq \left\|\mathbf {V} \right\|\left\|\mathbf {W} \right\|.}$

Математическая подготовка

Для любых допустимых ^{[ требуется разъяснение ]} операторов справедливо следующее неравенство, являющееся следствием неравенства Коши–Шварца . $${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left|\langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})x|x\rangle \right|^{2}\leq \left\|{\hat {A}}x\right\|^{2}\left\|{\hat {B}}x\right\|^{2}.}$$

Если BA ψ и AB ψ определены, то, вычитая средние значения и повторно подставляя их в приведенную выше формулу, мы выводим, где — операторное среднее значение наблюдаемой величины X в состоянии системы ψ и $${\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {A}}\,\Delta _{\psi }{\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|}$$ $${\displaystyle \left\langle {\hat {X}}\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi \right|{\hat {X}}\left|\psi \right\rangle }$$ $${\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {X}}={\sqrt {\langle {\hat {X}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\hat {X}}\rangle _{\psi }^{2}}}.}$$

Здесь называется коммутатором А и В.​​ $${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$$

Это чисто математический результат. Не было сделано никаких ссылок на какую-либо физическую величину или принцип. Он просто утверждает, что неопределенность одного оператора, умноженная на неопределенность другого оператора, имеет нижнюю границу.

Применение к угловому моменту

Связь с физикой может быть установлена, если мы отождествим операторы с физическими операторами, такими как угловой момент и угол поляризации. Тогда мы имеем , что означает, что угловой момент и угол поляризации не могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью. (Угол поляризации можно измерить, проверив, может ли фотон пройти через поляризационный фильтр, ориентированный под определенным углом, или поляризационный светоделитель . Это приводит к ответу «да/нет», который, если фотон был плоскополяризован под каким-то другим углом, зависит от разницы между двумя углами.) $${\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {L}}_{z}\,\Delta _{\psi }{\theta }\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$

Состояния, амплитуды вероятностей, унитарные и эрмитовы операторы и собственные векторы

Большая часть математического аппарата квантовой механики появляется в классическом описании поляризованной синусоидальной электромагнитной волны. Вектор Джонса для классической волны, например, идентичен вектору состояния квантовой поляризации для фотона. Правые и левые круговые компоненты вектора Джонса можно интерпретировать как амплитуды вероятности спиновых состояний фотона. Сохранение энергии требует, чтобы состояния были преобразованы с помощью унитарной операции. Это подразумевает, что бесконечно малые преобразования преобразуются с помощью эрмитова оператора. Эти выводы являются естественным следствием структуры уравнений Максвелла для классических волн.

Квантовая механика вступает в игру, когда наблюдаемые величины измеряются и оказываются дискретными, а не непрерывными. Допустимые наблюдаемые значения определяются собственными значениями операторов, связанных с наблюдаемым. Например, в случае углового момента допустимые наблюдаемые значения являются собственными значениями оператора спина.

Эти концепции естественным образом возникли из уравнений Максвелла и теорий Планка и Эйнштейна. Было обнаружено, что они верны для многих других физических систем. Фактически, типичная программа заключается в том, чтобы принять концепции этого раздела, а затем вывести неизвестную динамику физической системы. Это было сделано, например, с динамикой электронов. В этом случае, отталкиваясь от принципов в этом разделе, была выведена квантовая динамика частиц, что привело к уравнению Шредингера , отходу от ньютоновской механики . Решение этого уравнения для атомов привело к объяснению ряда Бальмера для атомных спектров и, следовательно, сформировало основу для всей атомной физики и химии.

Это не единственный случай ^{[ сомнительный – обсудить ]} , когда уравнения Максвелла заставили перестроить ньютоновскую механику. Уравнения Максвелла релятивистски непротиворечивы. Специальная теория относительности возникла в результате попыток сделать классическую механику непротиворечивой с уравнениями Максвелла (см., например, Задача о движущемся магните и проводнике ).

Смотрите также

• Угловой момент света
  • Спиновый угловой момент света
  • Орбитальный угловой момент света
• Квантовая декогеренция
• Эксперимент Штерна–Герлаха
• Корпускулярно-волновой дуализм
• Эксперимент с двумя щелями
• Спиновая поляризация

Ссылки

1. Аллен, Л.; Бейерсберген, М. В.; Шпреув, Р. Дж. К.; Вурдман, Дж. П. (июнь 1992 г.). «Орбитальный угловой момент света и преобразование мод лазера Лагерра-Гаусса». Physical Review A. 45 ( 11): 8186–9. Bibcode : 1992PhRvA..45.8185A. doi : 10.1103/PhysRevA.45.8185. PMID  9906912.
2. Бет, РА (1935). «Прямое обнаружение углового момента света». Phys. Rev. 48 ( 5): 471. Bibcode :1935PhRv...48..471B. doi :10.1103/PhysRev.48.471.

Дальнейшее чтение

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Бэйм, Гордон (1969). Лекции по квантовой механике . WA Benjamin. ISBN 0-8053-0667-6.
• Дирак, П.А.М. (1958). Принципы квантовой механики (Четвертое изд.). Оксфорд. ISBN 0-19-851208-2.