Заряд (физика)

Физическое свойство, связанное с симметрией

В физике заряд — это любая из множества различных величин, например, электрический заряд в электромагнетизме или цветовой заряд в квантовой хромодинамике . Заряды соответствуют инвариантным во времени генераторам группы симметрии , и, в частности, генераторам, которые коммутируют с гамильтонианом . Заряды часто обозначаются как , и поэтому инвариантность заряда соответствует исчезающему коммутатору , где — гамильтониан . Таким образом, заряды связаны с сохраняющимися квантовыми числами ; это собственные значения генератора . «Заряд» может также относиться к точечному объекту с электрическим зарядом и положением, например, в методе зарядов-изображений . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle [Q,H]=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Q}$

Абстрактное определение

Абстрактно, заряд — это любой генератор непрерывной симметрии изучаемой физической системы. Когда физическая система имеет симметрию некоторого рода, теорема Нётер подразумевает существование сохраняющегося тока . То, что «течет» в токе, — это «заряд», заряд — это генератор (локальной) группы симметрии . Этот заряд иногда называют зарядом Нётер .

Так, например, электрический заряд является генератором симметрии U(1) электромагнетизма . Сохраняющийся ток является электрическим током .

В случае локальных динамических симметрий, с каждым зарядом связано калибровочное поле ; при квантовании калибровочное поле становится калибровочным бозоном . Заряды теории «излучают» калибровочное поле. Так, например, калибровочное поле электромагнетизма — это электромагнитное поле ; а калибровочный бозон — это фотон .

Слово «заряд» часто используется как синоним как генератора симметрии, так и сохраняющегося квантового числа (собственного значения) генератора. Таким образом, если заглавная буква Q относится к генератору, то получается, что генератор коммутирует с гамильтонианом [ Q , H ] = 0 . Коммутация подразумевает, что собственные значения (строчные) q инвариантны во времени: ⁠дк/дт⁠ = 0 .

Так, например, когда группа симметрии является группой Ли , то операторы заряда соответствуют простым корням корневой системы алгебры Ли ; дискретность корневой системы учитывает квантование заряда. Используются простые корни, так как все остальные корни могут быть получены как линейные комбинации этих. Общие корни часто называют операторами повышения и понижения, или операторами лестницы .

Тогда квантовые числа заряда соответствуют весам модулей с наибольшим весом данного представления алгебры Ли. Так, например, когда частица в квантовой теории поля принадлежит симметрии, то она преобразуется в соответствии с определенным представлением этой симметрии; тогда квантовое число заряда является весом представления.

Примеры

Различные зарядовые квантовые числа были введены теориями физики элементарных частиц . Они включают заряды Стандартной модели :

• Цветовой заряд кварков . Цветовой заряд порождает цветовую симметрию SU(3) квантовой хромодинамики .
• Слабые изоспиновые квантовые числа электрослабого взаимодействия . Они генерируют часть SU(2) электрослабой симметрии SU(2) × U(1). Слабый изоспин — это локальная симметрия, калибровочными бозонами которой являются W- и Z-бозоны .
• Электрический заряд для электромагнитных взаимодействий. В математических текстах это иногда называют -зарядом модуля алгебры Ли . ${\displaystyle u_{1}}$

Обратите внимание, что эти зарядовые квантовые числа появляются в лагранжиане через калибровочно-ковариантную производную#Standard_Model .

Заряды приближенных симметрий:

• Сильные изоспиновые заряды. Группа симметрии — ароматическая симметрия SU(2) ; калибровочные бозоны — пионы . Пионы не являются элементарными частицами , и симметрия лишь приблизительная. Это особый случай ароматической симметрии.
• Другие заряды кварка -аромата, такие как странность или очарование . Вместе сты–гизоспин, упомянутый выше, они генерируют глобальную симметрию аромата SU(6) фундаментальных частиц; эта симметрия сильно нарушается массами тяжелых кварков. Заряды включают гиперзаряд , X-заряд и слабый гиперзаряд .

Гипотетические обвинения в расширении Стандартной модели:

• Гипотетический магнитный заряд — это еще один заряд в теории электромагнетизма. Магнитные заряды не наблюдаются экспериментально в лабораторных экспериментах, но будут присутствовать в теориях, включающих магнитные монополи .

В суперсимметрии :

• Суперзаряд относится к генератору, который превращает фермионы в бозоны и наоборот в суперсимметрии.

В конформной теории поля :

• Центральный заряд алгебры Вирасоро , иногда называемый конформным центральным зарядом или конформной аномалией . Здесь термин «центральный» используется в смысле центра в теории групп: это оператор, который коммутирует со всеми другими операторами в алгебре. Центральный заряд является собственным значением центрального генератора алгебры; здесь это тензор энергии-импульса двумерной конформной теории поля. ^[1]

В гравитации :

• Собственные значения тензора энергии-импульса соответствуют физической массе .

Зарядовое сопряжение

В формализме теорий частиц зарядоподобные квантовые числа иногда могут быть инвертированы с помощью оператора сопряжения зарядов, называемого C. Сопряжение зарядов просто означает, что данная группа симметрии встречается в двух неэквивалентных (но все еще изоморфных ) представлениях групп . Обычно бывает так, что два зарядово-сопряженных представления являются комплексно-сопряженными фундаментальными представлениями группы Ли. Их произведение затем образует присоединенное представление группы.

Таким образом, распространенным примером является то, что произведение двух зарядово-сопряженных фундаментальных представлений SL (2,C) ( спиноров ) образует присоединенное представление группы Лоренца SO(3,1); абстрактно, можно записать

${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1.\ }$

То есть произведение двух спиноров (Лоренца) является вектором (Лоренца) и скаляром (Лоренца). Обратите внимание, что комплексная алгебра Ли sl(2,C) имеет компактную вещественную форму su(2) (на самом деле, все алгебры Ли имеют единственную компактную вещественную форму). То же самое разложение справедливо и для компактной формы: произведение двух спиноров в su(2) является вектором в группе вращений O(3) и синглетом. Разложение задается коэффициентами Клебша–Гордана .

Аналогичное явление происходит в компактной группе SU(3) , где есть два зарядово-сопряженных, но неэквивалентных фундаментальных представления, называемых и , причем число 3 обозначает размерность представления, и кварки преобразуются под , а антикварки преобразуются под . Произведение Кронекера этих двух дает ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {\overline {3}}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {\overline {3}}}$

${\displaystyle 3\otimes {\overline {3}}=8\oplus 1.\ }$

То есть восьмимерное представление, октет восьмеричного пути и синглет . Разложение таких произведений представлений на прямые суммы неприводимых представлений в общем случае можно записать как

${\displaystyle \Lambda \otimes \Lambda '=\bigoplus _{i}{\mathcal {L}}_{i}\Lambda _{i}}$

для представлений . Размеры представлений подчиняются «правилу суммы размерностей»: ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle d_{\Lambda }\cdot d_{\Lambda '}=\sum _{i}{\mathcal {L}}_{i}d_{\Lambda _{i}}.}$

Здесь — размерность представления , а целые числа — коэффициенты Литтлвуда–Ричардсона . Разложение представлений снова задается коэффициентами Клебша–Гордана, на этот раз в общем случае алгебры Ли. ${\displaystyle d_{\Lambda }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Смотрите также

• Оператор Казимира

Ссылки

1. Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X