Квантовая теория поля

Теоретическая основа

В теоретической физике квантовая теория поля ( КТП ) представляет собой теоретическую основу, сочетающую в себе классическую теорию поля , специальную теорию относительности и квантовую механику . ^{[1] : xi} QFT используется в физике элементарных частиц для построения физических моделей субатомных частиц и в физике конденсированного состояния для построения моделей квазичастиц .

КТП рассматривает частицы как возбужденные состояния (также называемые квантовыми уровнями) лежащих в их основе квантовых полей , которые более фундаментальны, чем частицы. Уравнение движения частицы определяется минимизацией действия, рассчитанного для лагранжиана — функционала полей, связанных с частицей. Взаимодействия между частицами описываются членами взаимодействия в лагранжиане, включающими соответствующие им квантовые поля. Каждое взаимодействие можно наглядно представить диаграммами Фейнмана согласно теории возмущений в квантовой механике .

История

Квантовая теория поля возникла в результате работы нескольких поколений физиков-теоретиков, охватывающих большую часть 20-го века. Ее развитие началось в 1920-е годы с описания взаимодействий между светом и электронами , завершившись созданием первой квантовой теории поля — квантовой электродинамики . Вскоре последовало серьезное теоретическое препятствие, связанное с появлением и сохранением различных бесконечностей в пертурбативных вычислениях, и эта проблема была решена только в 1950-х годах с изобретением процедуры перенормировки . Вторым серьезным препятствием стала очевидная неспособность КТФ описывать слабые и сильные взаимодействия , до такой степени, что некоторые теоретики призвали отказаться от теоретико-полевого подхода. Развитие калибровочной теории и завершение Стандартной модели в 1970-х годах привели к возрождению квантовой теории поля.

Теоретические основы

Линии магнитного поля визуализируются с помощью железных опилок . Когда лист бумаги посыпают железными опилками и помещают над стержневым магнитом, опилки выравниваются в соответствии с направлением магнитного поля, образуя дуги, позволяющие зрителям четко видеть полюса магнита и видеть генерируемое магнитное поле.

Квантовая теория поля является результатом сочетания классической теории поля , квантовой механики и специальной теории относительности . ^{[1] : xi} Ниже приводится краткий обзор этих теоретических предшественников.

Самая ранняя успешная классическая теория поля возникла из закона всемирного тяготения Ньютона , несмотря на полное отсутствие концепции полей в его трактате 1687 года Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Сила гравитации, описанная Ньютоном, — это « действие на расстоянии »: ее воздействие на удаленные объекты мгновенно, независимо от расстояния. Однако в обмене письмами с Ричардом Бентли Ньютон заявил, что «немыслимо, чтобы неодушевленная грубая материя могла без посредничества чего-то еще, что не является материальным, воздействовать на другую материю и воздействовать на нее без взаимного контакта». ^{[2] : 4} Лишь в XVIII веке физики-математики открыли удобное описание гравитации, основанное на полях — числовой величине (векторе в случае гравитационного поля ), приписываемой каждой точке пространства и указывающей на действие гравитации на любая частица в этой точке. Однако это считалось всего лишь математическим трюком. ^{[3] : 18}

Поля начали обретать собственное существование с развитием электромагнетизма в 19 веке. Майкл Фарадей ввёл английский термин «поле» в 1845 году. Он представил поля как свойства пространства (даже когда оно лишено материи), оказывающие физические эффекты. Он выступал против «действия на расстоянии» и предположил, что взаимодействие между объектами происходит посредством заполняющих пространство «силовых линий». Такое описание полей сохранилось и по сей день. ^{[2] [4] : 301  [5] : 2}

Теория классического электромагнетизма была завершена в 1864 году уравнениями Максвелла , которые описывали связь между электрическим полем , магнитным полем , электрическим током и электрическим зарядом . Уравнения Максвелла подразумевали существование электромагнитных волн — явления, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной точки пространства в другую с конечной скоростью, которая оказывается скоростью света . Таким образом, действие на расстоянии было окончательно опровергнуто. ^{[2] : 19}

Несмотря на огромный успех классического электромагнетизма, он не смог объяснить ни дискретные линии в атомных спектрах , ни распределение излучения абсолютно черного тела на разных длинах волн. ^[6] Исследование Максом Планком излучения черного тела положило начало квантовой механике. Он рассматривал атомы, которые поглощают и излучают электромагнитное излучение , как крошечные осцилляторы с тем важным свойством, что их энергии могут принимать только ряд дискретных, а не непрерывных значений. Они известны как квантовые гармонические генераторы . Этот процесс ограничения энергии дискретными значениями называется квантованием. ^{[7] : Глава 2} Основываясь на этой идее, Альберт Эйнштейн в 1905 году предложил объяснение фотоэлектрического эффекта , согласно которому свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых фотонами (квантами света). Это подразумевало, что электромагнитное излучение, будучи волнами в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц. ^[6]

В 1913 году Нильс Бор представил модель атомной структуры Бора , согласно которой электроны внутри атомов могут принимать только серию дискретных, а не непрерывных энергий. Это еще один пример квантования. Модель Бора успешно объяснила дискретную природу атомных спектральных линий. В 1924 году Луи де Бройль предложил гипотезу корпускулярно-волнового дуализма , согласно которой микроскопические частицы проявляют как волновые, так и корпускулярные свойства при разных обстоятельствах. ^[6] Объединив эти разрозненные идеи, в период с 1925 по 1926 год была сформулирована последовательная дисциплина — квантовая механика , при участии Макса Планка , Луи де Бройля , Вернера Гейзенберга , Макса Борна , Эрвина Шрёдингера , Поля Дирака и Вольфганга Паули . ^{[3] : 22–23}

В том же году, что и его работа о фотоэлектрическом эффекте, Эйнштейн опубликовал свою специальную теорию относительности , основанную на электромагнетизме Максвелла. Были даны новые правила, называемые преобразованиями Лоренца , для того, как изменяются временные и пространственные координаты события при изменении скорости наблюдателя, а различие между временем и пространством было размыто. ^{[3] : 19} Было предложено, чтобы все физические законы были одинаковыми для наблюдателей на разных скоростях, т.е. чтобы физические законы были инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Остались две трудности. С точки зрения наблюдений уравнение Шредингера, лежащее в основе квантовой механики, могло бы объяснить вынужденное излучение атомов, когда электрон испускает новый фотон под действием внешнего электромагнитного поля, но оно не могло объяснить спонтанное излучение , когда электрон самопроизвольно уменьшается в энергии. и излучает фотон даже без действия внешнего электромагнитного поля. Теоретически уравнение Шрёдингера не могло описывать фотоны и не согласовывалось с принципами специальной теории относительности — оно рассматривает время как обычное число, превращая при этом пространственные координаты в линейные операторы . ^[6]

Квантовая электродинамика

Квантовая теория поля, естественно, началась с изучения электромагнитных взаимодействий, поскольку в 1920-е годы электромагнитное поле было единственным известным классическим полем. ^{[8] : 1}

Благодаря работам Борна, Гейзенберга и Паскуаля Джордана в 1925–1926 годах квантовая теория свободного электромагнитного поля (без взаимодействия с материей) была разработана посредством канонического квантования , рассматривая электромагнитное поле как набор квантовых гармонических осцилляторов . ^{[8] : 1} Однако, если исключить взаимодействия, такая теория все же была неспособна делать количественные предсказания о реальном мире. ^{[3] : 22}

В своей основополагающей статье 1927 года « Квантовая теория испускания и поглощения излучения » Дирак ввёл термин «квантовая электродинамика» (КЭД), теория, которая добавляет к терминам, описывающим свободное электромагнитное поле, дополнительный член взаимодействия между плотностью электрического тока и электромагнитным вектором. потенциал . Используя теорию возмущений первого порядка , он успешно объяснил явление спонтанного излучения. Согласно принципу неопределенности в квантовой механике, квантовые гармонические осцилляторы не могут оставаться стационарными, но они имеют ненулевую минимальную энергию и должны всегда колебаться, даже в состоянии с самой низкой энергией (основном состоянии ). Следовательно, даже в идеальном вакууме остается колеблющееся электромагнитное поле, имеющее нулевую энергию . Именно эта квантовая флуктуация электромагнитных полей в вакууме «стимулирует» спонтанное излучение электронов в атомах. Теория Дирака оказалась чрезвычайно успешной в объяснении как испускания, так и поглощения излучения атомами; применяя теорию возмущений второго порядка, он смог объяснить рассеяние фотонов , резонансную флуоресценцию и нерелятивистское комптоновское рассеяние . Тем не менее, применение теории возмущений более высокого порядка было связано с проблематичными бесконечностями в расчетах. ^{[6] : 71}

В 1928 году Дирак записал волновое уравнение , описывающее релятивистские электроны, — уравнение Дирака . Это имело следующие важные последствия: спин электрона равен 1/2; g -фактор электрона равен 2; это привело к правильной формуле Зоммерфельда для тонкой структуры атома водорода ; и его можно было бы использовать для вывода формулы Клейна – Нишиной для релятивистского комптоновского рассеяния. Хотя результаты были плодотворными, теория также, по-видимому, предполагала существование состояний с отрицательной энергией, которые делали атомы нестабильными, поскольку они всегда могли распадаться до состояний с более низкой энергией за счет излучения. ^{[6] : 71–72.}

В то время преобладала точка зрения, что мир состоит из двух совершенно разных ингредиентов: материальных частиц (таких как электроны) и квантовых полей (таких как фотоны). Материальные частицы считались вечными, а их физическое состояние описывалось вероятностями нахождения каждой частицы в любой заданной области пространства или диапазоне скоростей. С другой стороны, фотоны считались просто возбужденными состояниями основного квантованного электромагнитного поля и могли свободно создаваться или уничтожаться. Между 1928 и 1930 годами Джордан, Юджин Вигнер , Гейзенберг, Паули и Энрико Ферми обнаружили, что материальные частицы также можно рассматривать как возбужденные состояния квантовых полей. Подобно тому, как фотоны являются возбужденными состояниями квантованного электромагнитного поля, так и каждый тип частиц имел свое соответствующее квантовое поле: поле электрона, поле протона и т. д. При наличии достаточной энергии теперь можно было бы создавать материальные частицы. Основываясь на этой идее, Ферми предложил в 1932 году объяснение бета-распада , известное как взаимодействие Ферми . Атомные ядра не содержат электронов как таковых , но в процессе распада из окружающего электронного поля создается электрон, аналогично фотону, создаваемому из окружающего электромагнитного поля при радиационном распаде возбужденного атома. ^{[3] : 22–23}

В 1929 году Дирак и другие поняли, что состояния с отрицательной энергией, подразумеваемые уравнением Дирака, можно устранить, предположив существование частиц с той же массой, что и электроны, но с противоположным электрическим зарядом. Это не только обеспечило стабильность атомов, но и было первым предположением о существовании антиматерии . Действительно, доказательства существования позитронов были обнаружены в 1932 году Карлом Дэвидом Андерсоном в космических лучах . При достаточном количестве энергии, например, при поглощении фотона, может быть создана пара электрон-позитрон. Этот процесс называется образованием пары ; обратный процесс — аннигиляция — мог произойти и с испусканием фотона. Это показало, что количество частиц не обязательно должно быть фиксированным во время взаимодействия. Однако исторически позитроны сначала считались «дырками» в бесконечном электронном море, а не новым видом частиц, и эта теория называлась теорией дырок Дирака . ^{[6] : 72  [3] : 23} КТП естественным образом включила в свой формализм античастицы. ^{[3] : 24}

Бесконечности и перенормировка

Роберт Оппенгеймер показал в 1930 году, что пертурбативные вычисления более высокого порядка в КЭД всегда приводят к бесконечным величинам, таким как собственная энергия электрона и нулевая энергия вакуумных полей электронов и фотонов, ^[6] предполагая, что вычислительные методы в КЭД время не могло должным образом учитывать взаимодействия фотонов с чрезвычайно высокими импульсами. ^{[3] : 25} Лишь 20 лет спустя был разработан систематический подход к устранению таких бесконечностей.

В период с 1934 по 1938 год Эрнст Штюкельберг опубликовал серию статей , в которых была установлена ​​релятивистски-инвариантная формулировка КТП. В 1947 году Штюкельберг также независимо разработал процедуру полной перенормировки. Подобные достижения не были поняты и признаны теоретическим сообществом. ^[6]

Столкнувшись с этими бесконечностями, Джон Арчибальд Уиллер и Гейзенберг предложили в 1937 и 1943 годах соответственно заменить проблемную КТП так называемой теорией S-матрицы . Поскольку конкретные детали микроскопических взаимодействий недоступны наблюдениям, теория должна пытаться описать только отношения между небольшим количеством наблюдаемых величин ( например, энергией атома) во взаимодействии, а не заниматься микроскопическими деталями взаимодействия. . В 1945 году Ричард Фейнман и Уиллер смело предложили вообще отказаться от КТП и предложили действие на расстоянии как механизм взаимодействия частиц. ^{[3] : 26}

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Ретерфорд измерили мельчайшую разницу в энергетических уровнях ² S _1/2 и ² P _1/2 атома водорода, также называемую лэмбовским сдвигом . Игнорируя вклад фотонов, энергия которых превышает массу электрона, Ганс Бете успешно оценил численное значение лэмбовского сдвига. ^{[6] [3] : 28} Впоследствии Норман Майлс Кролл , Лэмб, Джеймс Брюс Френч и Виктор Вайскопф снова подтвердили это значение, используя подход, в котором бесконечности сокращают другие бесконечности, что приводит к конечным количествам. Однако этот метод был неуклюж и ненадежен и не мог быть обобщен на другие расчеты. ^[6]

Прорыв в конечном итоге произошел примерно в 1950 году, когда Джулиан Швингер , Ричард Фейнман , Фримен Дайсон и Шиничиро Томонага разработали более надежный метод устранения бесконечностей . Основная идея состоит в том, чтобы заменить расчетные значения массы и заряда, какими бы бесконечными они ни были, их конечными измеренными значениями. Эта систематическая вычислительная процедура известна как перенормировка и может применяться к произвольному порядку в теории возмущений. ^[6] Как сказал Томонага в своей Нобелевской лекции:

Поскольку те части измененной массы и заряда из-за реакций поля [становятся бесконечными], их невозможно вычислить с помощью теории. Однако масса и заряд, наблюдаемые в экспериментах, представляют собой не исходную массу и заряд, а массу и заряд, измененные реакциями поля, и они конечны. С другой стороны, масса и заряд, фигурирующие в теории, — это… величины, модифицированные реакциями поля. Поскольку это так и, в частности, поскольку теория не в состоянии вычислить модифицированные массу и заряд, мы можем принять процедуру феноменологической замены их экспериментальными значениями... Эта процедура называется перенормировкой массы и заряда... После долгих, кропотливых расчетов, менее искусных, чем у Швингера, мы получили результат... который совпадал с американскими. ^[9]

С помощью процедуры перенормировки наконец были проведены расчеты, объясняющие аномальный магнитный момент электрона (отклонение g -фактора электрона от 2) и поляризацию вакуума . Эти результаты в значительной степени согласовались с экспериментальными измерениями, ознаменовав тем самым конец «войны с бесконечностями». ^[6]

В то же время Фейнман представил формулировку квантовой механики с интегралом по траекториям и диаграммы Фейнмана . ^{[8] : 2} Последнее можно использовать для визуальной и интуитивной организации и вычисления членов в пертурбативном разложении. Каждую диаграмму можно интерпретировать как пути частиц во взаимодействии, при этом каждая вершина и линия имеют соответствующее математическое выражение, а произведение этих выражений дает амплитуду рассеяния взаимодействия , представленного диаграммой. ^{[1] : 5}

Именно с изобретением процедуры перенормировки и диаграмм Фейнмана КТП наконец возникла как полноценная теоретическая основа. ^{[8] : 2}

Неперенормируемость

Учитывая огромный успех КЭД, многие теоретики в течение нескольких лет после 1949 года считали, что КТП вскоре сможет обеспечить понимание всех микроскопических явлений, а не только взаимодействий между фотонами, электронами и позитронами. Вопреки этому оптимизму, QFT вступила в очередной период депрессии, который длился почти два десятилетия. ^{[3] : 30}

Первым препятствием была ограниченная применимость процедуры перенормировки. В пертурбативных вычислениях в КЭД все бесконечные величины можно исключить путем переопределения небольшого (конечного) числа физических величин (а именно массы и заряда электрона). Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для небольшого класса теорий, называемых «перенормируемыми теориями», примером которых является КЭД. Однако большинство теорий, включая теорию слабого взаимодействия Ферми , «неперенормируемы». Любые пертурбативные вычисления в этих теориях за пределами первого порядка приведут к бесконечностям, которые невозможно устранить путем переопределения конечного числа физических величин. ^{[3] : 30}

Вторая серьезная проблема связана с ограниченной применимостью метода диаграмм Фейнмана, основанного на разложении в ряд по теории возмущений. Чтобы ряд сходился и вычисления низкого порядка были хорошим приближением, константа связи , по которой разлагается ряд, должна быть достаточно малым числом. Константа связи в КЭД — это константа тонкой структуры α ≈ 1/137 , которая достаточно мала, поэтому в реалистичных расчетах необходимо учитывать только самые простые диаграммы Фейнмана низшего порядка. Напротив, константа связи в сильном взаимодействии примерно порядка единицы, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка столь же важными, как и простые. Таким образом, не было возможности получить надежные количественные предсказания сильного взаимодействия с использованием пертурбативных методов КТФ. ^{[3] : 31}

С появлением этих трудностей многие теоретики начали отворачиваться от КТП. Некоторые сосредоточились на принципах симметрии и законах сохранения , другие подхватили старую теорию S-матрицы Уиллера и Гейзенберга. QFT использовалась эвристически в качестве руководящих принципов, но не как основа для количественных расчетов. ^{[3] : 31}

Теория источника

Однако Швингер пошел другим путем. На протяжении более десяти лет он и его ученики были почти единственными представителями теории поля, ^[10] , но в 1951 году ^{[11] [12]} он нашел способ обойти проблему бесконечностей с помощью нового метода, использующего внешние источники в качестве токов . в сочетании с калибровочными полями. ^[13] Вдохновленный предыдущими открытиями, Швингер продолжал использовать этот подход, чтобы «квантово» обобщить классический процесс связи внешних сил с параметрами конфигурационного пространства, известными как множители Лагранжа. Он резюмировал свою теорию источников в 1966 году ^[14], а затем расширил приложения этой теории к квантовой электродинамике в трех томах под названием « Частицы, источники и поля». ^{[15] [16] [17]} Развитие пионной физики, в которой новая точка зрения была наиболее успешно применена, убедило его в огромных преимуществах математической простоты и концептуальной ясности, которые дает ее использование. ^[15]

В теории источников нет расходимостей и перенормировок. Его можно рассматривать как вычислительный инструмент теории поля, но он имеет более общий характер. ^[18] Используя теорию источника, Швингер смог вычислить аномальный магнитный момент электрона, что он и сделал в 1947 году, но на этот раз без «отвлекающих замечаний» о бесконечных количествах. ^[19]

Швингер также применил теорию источника к своей теории гравитации QFT и смог воспроизвести все четыре классических результата Эйнштейна: гравитационное красное смещение, отклонение и замедление света под действием силы тяжести и прецессию перигелия Меркурия. ^[20] Пренебрежение теорией источников со стороны физического сообщества стало главным разочарованием для Швингера:

Отсутствие признания этих фактов другими было удручающе, но вполне объяснимо. -Дж. Швингер ^[15]

См. « Инцидент с обувью » между Дж. Швингером и С. Вайнбергом . ^[21]

Стандартная модель

Элементарные частицы Стандартной модели : шесть типов кварков , шесть типов лептонов , четыре типа калибровочных бозонов , осуществляющих фундаментальные взаимодействия , а также бозон Хиггса , наделяющий элементарные частицы массой.

В 1954 году Ян Чен-Нин и Роберт Миллс обобщили локальную симметрию КЭД, что привело к неабелевым калибровочным теориям (также известным как теории Янга-Миллса), которые основаны на более сложных локальных группах симметрии . ^{[22] : 5} В КЭД (электрически) заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, тогда как в неабелевой калибровочной теории частицы, несущие новый тип « заряда », взаимодействуют посредством обмена безмассовыми калибровочными бозонами . В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд. ^{[3] : 32  [23]}

Шелдон Глэшоу разработал неабелеву калибровочную теорию, которая объединила электромагнитное и слабое взаимодействия, в 1960 году. В 1964 году Абдус Салам и Джон Клайв Уорд пришли к той же теории другим путем. Тем не менее эта теория не была перенормируемой. ^[24]

Питер Хиггс , Роберт Браут , Франсуа Энглерт , Джеральд Гуральник , Карл Хаген и Том Киббл в своих знаменитых статьях Physical Review Letters предположили, что калибровочная симметрия в теориях Янга-Миллса может быть нарушена с помощью механизма, называемого спонтанным нарушением симметрии , посредством которого изначально невесомая Калибровочные бозоны могли приобретать массу. ^{[22] : 5–6}

Объединив более раннюю теорию Глэшоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, Стивен Вайнберг в 1967 году написал теорию, описывающую электрослабые взаимодействия между всеми лептонами и эффекты бозона Хиггса . Его теорию поначалу в основном игнорировали, ^{[24] [22] :6} , пока она не была вновь обнаружена в 1971 году благодаря доказательству Джерарда 'т Хофта, что неабелевы калибровочные теории перенормируемы. Электрослабая теория Вайнберга и Салама была расширена от лептонов до кварков в 1970 году Глэшоу, Джоном Илиопулосом и Лучано Майани , что ознаменовало ее завершение. ^[24]

Харальд Фрич , Мюррей Гелл-Манн и Генрих Лейтвайлер обнаружили в 1971 году, что некоторые явления, связанные с сильным взаимодействием , также можно объяснить с помощью неабелевой калибровочной теории. Так родилась квантовая хромодинамика (КХД). В 1973 году Дэвид Гросс , Фрэнк Вильчек и Хью Дэвид Политцер показали, что неабелевы калибровочные теории « асимптотически свободны », что означает, что при перенормировке константа связи сильного взаимодействия уменьшается по мере увеличения энергии взаимодействия. (Подобные открытия делались ранее много раз, но они по большей части игнорировались.) ^{[22] : 11} Следовательно, по крайней мере при высокоэнергетических взаимодействиях, константа связи в КХД становится достаточно малой, чтобы гарантировать разложение в ряд пертурбативных процессов, что делает количественные предсказания возможного сильного взаимодействия. ^{[3] : 32}

Эти теоретические прорывы привели к возрождению QFT. Полная теория, включающая электрослабую теорию и хромодинамику, сегодня называется Стандартной моделью элементарных частиц. ^[25] Стандартная модель успешно описывает все фундаментальные взаимодействия, кроме гравитации , и многие ее предсказания получили замечательное экспериментальное подтверждение в последующие десятилетия. ^{[8] :3} Бозон Хиггса , центральный элемент механизма спонтанного нарушения симметрии, был наконец обнаружен в 2012 году в ЦЕРН , что ознаменовало полную проверку существования всех составляющих Стандартной модели. ^[26]

Другие разработки

В 1970-е годы были разработаны непертурбативные методы в неабелевых калибровочных теориях. Монополь 'т Хофта – Полякова был теоретически открыт 'т Хофтом и Александром Поляковым , трубки потока - Хольгером Бехом Нильсеном и Полем Олесеном, а инстантоны - Поляковым и соавторами. Эти объекты недоступны по теории возмущений. ^{[8] : 4}

В этот же период появилась и суперсимметрия . Первая суперсимметричная КТП в четырех измерениях была построена Юрием Гольфандом и Евгением Лихтманом в 1970 году, но их результат не вызвал широкого интереса из-за железного занавеса . Суперсимметрия получила распространение в теоретическом сообществе только после работы Юлиуса Весса и Бруно Зумино в 1973 году. ^{[8] : 7}

Среди четырех фундаментальных взаимодействий гравитация остается единственным, которому не хватает последовательного описания КТФ. Различные попытки создания теории квантовой гравитации привели к развитию теории струн ^{[8] :6,} которая сама по себе является разновидностью двумерной КТП с конформной симметрией . ^[27] Джоэл Шерк и Джон Шварц впервые предположили в 1974 году, что теория струн может быть квантовой теорией гравитации. ^[28]

Физика конденсированного состояния

Хотя квантовая теория поля возникла в результате изучения взаимодействий между элементарными частицами, она была успешно применена к другим физическим системам, особенно к системам многих тел в физике конденсированного состояния .

Исторически механизм спонтанного нарушения симметрии Хиггса возник в результате применения Йоитиро Намбу теории сверхпроводника к элементарным частицам, а концепция перенормировки возникла в результате изучения фазовых переходов второго рода в веществе. ^[29]

Вскоре после появления фотонов Эйнштейн выполнил процедуру квантования колебаний в кристалле, приведшую к появлению первых квазичастиц — фононов . Лев Ландау утверждал, что низкоэнергетические возбуждения во многих конденсированных системах можно описать с помощью взаимодействий между набором квазичастиц. Метод диаграмм Фейнмана КТП, естественно, хорошо подходил для анализа различных явлений в конденсированных системах. ^[30]

Калибровочная теория используется для описания квантования магнитного потока в сверхпроводниках, удельного сопротивления в квантовом эффекте Холла , а также связи между частотой и напряжением в эффекте Джозефсона переменного тока . ^[30]

Принципы

Для простоты в следующих разделах используются натуральные единицы , в которых приведенная постоянная Планка ħ и скорость света c равны единице.

Классические поля

Классическое поле является функцией пространственных и временных координат. ^[31] Примеры включают гравитационное поле в ньютоновской гравитации g ( x , t ) , а также электрическое поле E ( x , t ) и магнитное поле B ( x , t ) в классическом электромагнетизме . Классическое поле можно рассматривать как числовую величину, приписанную каждой точке пространства, которая изменяется во времени. Следовательно, он имеет бесконечно много степеней свободы . ^{[31] [32]}

Многие явления, обладающие квантовомеханическими свойствами, невозможно объяснить только с помощью классических полей. Такие явления, как фотоэлектрический эффект, лучше всего объясняются дискретными частицами ( фотонами ), а не пространственно непрерывным полем. Цель квантовой теории поля — описать различные квантовомеханические явления, используя модифицированную концепцию полей.

Каноническое квантование и интегралы по путям — две распространенные формулировки КТП. ^{[33] : 61} Чтобы мотивировать основы КТП, следует краткий обзор классической теории поля.

Простейшее классическое поле — это действительное скалярное поле — действительное число в каждой точке пространства, изменяющееся во времени. Он обозначается как φ ( x , t ) , где x — вектор положения, а t — время. Предположим, что лагранжиан поля , равен ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],}$

где – плотность лагранжа, – производная поля по времени, ∇ – оператор градиента, а m – действительный параметр («масса» поля). Применяя уравнение Эйлера–Лагранжа к лагранжиану: ^{[1] : 16} ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}$

получим уравнения движения поля, описывающие его изменение во времени и пространстве:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.}$

Это известно как уравнение Клейна-Гордона . ^{[1] : 17}

Уравнение Клейна-Гордона является волновым уравнением , поэтому его решения можно выразить как сумму нормальных мод (полученных с помощью преобразования Фурье ) следующим образом:

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),}$

где a — комплексное число (нормированное по соглашению), * обозначает комплексное сопряжение , а ω _p — частота нормальной моды:

${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.}$

Таким образом, каждую нормальную моду, соответствующую одному p, можно рассматривать как классический гармонический осциллятор с частотой ω _p . ^{[1] : 21,26}

Каноническое квантование

Процедура квантования вышеуказанного классического поля в поле квантового оператора аналогична преобразованию классического гармонического осциллятора в квантовый гармонический осциллятор .

Смещение классического гармонического осциллятора описывается выражением

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},}$

где a — комплексное число (нормированное по соглашению), а ω — частота генератора. Обратите внимание, что x — это смещение частицы, находящейся в простом гармоническом движении, от положения равновесия, и его не следует путать с пространственной меткой x квантового поля.

Для квантового гармонического осциллятора x ( t ) преобразуется в линейный оператор : ${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$

${\displaystyle {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.}$

Комплексные числа a и a ^* заменяются оператором уничтожения и оператором рождения соответственно, где † обозначает эрмитово сопряжение . Коммутационное соотношение между ними ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$

Гамильтониан простого гармонического осциллятора можно записать как

${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$

Состояние вакуума , которое является состоянием с наименьшей энергией, определяется формулой ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$

и имеет энергию. Легко проверить, что из этого следует, что энергия простого гармонического осциллятора увеличивается на . Например, состояние является собственным состоянием энергии . Любое состояние собственного состояния энергии одного гармонического осциллятора может быть получено путем последовательного применения оператора создания : ^{[1] : 20} , и любое состояние системы может быть выражено как линейная комбинация состояний ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$ ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger },}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle }$ ${\displaystyle 3\hbar \omega /2}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle |n\rangle \propto \left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle .}$

Аналогичную процедуру можно применить к реальному скалярному полю φ , превратив его в оператор квантового поля , в то время как оператор уничтожения , оператор рождения и угловая частота теперь относятся к конкретному p : ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$ ${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).}$

Их коммутационные соотношения: ^{[1] : 21}

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=0,}$

где δ — дельта-функция Дирака . Состояние вакуума определяется формулой ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{for all }}\mathbf {p} .}$

Любое квантовое состояние поля может быть получено последовательным применением операторов рождения (или линейной комбинацией таких состояний), например ^{[1] : 22} ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$

${\displaystyle \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger }\right)^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger }\right)^{2}|0\rangle .}$

В то время как пространство состояний одного квантового гармонического осциллятора содержит все дискретные энергетические состояния одной колеблющейся частицы, пространство состояний квантового поля содержит дискретные уровни энергии произвольного числа частиц. Последнее пространство известно как пространство Фока , которое может объяснить тот факт, что числа частиц не фиксированы в релятивистских квантовых системах. ^[34] Процесс квантования произвольного числа частиц вместо одной частицы часто также называют вторым квантованием . ^{[1] : 19}

Вышеизложенная процедура является прямым применением нерелятивистской квантовой механики и может использоваться для квантования (комплексных) скалярных полей, полей Дирака , ^{[1] : 52} векторных полей ( например , электромагнитного поля) и даже струн . ^[35] Однако операторы рождения и уничтожения хорошо определены только в простейших теориях, которые не содержат взаимодействий (так называемая свободная теория). В случае реального скалярного поля существование этих операторов было следствием разложения решений классических уравнений движения в сумму нормальных мод. Для выполнения расчетов по любой реалистичной взаимодействующей теории потребуется теория возмущений .

Лагранжиан любого квантового поля в природе помимо членов свободной теории будет содержать члены взаимодействия. Например, в лагранжиан реального скалярного поля можно ввести член взаимодействия четвертой степени : ^{[1] : 77}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )\left(\partial ^{\mu }\phi \right)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},}$

где µ - индекс пространства-времени и т. д. Суммирование по индексу µ опущено в соответствии с обозначениями Эйнштейна . Если параметр λ достаточно мал, то взаимодействующую теорию, описываемую указанным выше лагранжианом, можно рассматривать как малое возмущение свободной теории. ${\displaystyle \partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}}$

Интегралы по траектории

Формулировка КТП с интегралом по траектории связана с прямым вычислением амплитуды рассеяния определенного процесса взаимодействия, а не с установлением операторов и пространств состояний. Чтобы вычислить амплитуду вероятности перехода системы от некоторого начального состояния в момент времени t = 0 к некоторому конечному состоянию в момент t = T , общее время T делится на N небольших интервалов. Общая амплитуда представляет собой произведение амплитуды эволюции внутри каждого интервала, проинтегрированное по всем промежуточным состояниям. Пусть H — гамильтониан ( т.е. генератор временной эволюции ), тогда ^{[33] : 10} ${\displaystyle |\phi _{I}\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{F}\rangle }$

${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .}$

В пределе N → ∞ приведенное выше произведение интегралов становится интегралом по путям Фейнмана: ^{[1] : 282  [33] : 12}

${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},}$

где L — лагранжиан, включающий φ и ее производные по пространственным и временным координатам, полученный из гамильтониана H посредством преобразования Лежандра . Начальные и конечные условия интеграла по путям соответственно равны

${\displaystyle \phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.}$

Другими словами, общая амплитуда представляет собой сумму амплитуд всех возможных путей между начальным и конечным состояниями, где амплитуда пути задается экспонентой в подынтегральном выражении.

Двухточечная корреляционная функция

В расчетах часто встречаются выражения вида

$${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{or}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle }$$

четыре-векторавременного упорядоченияyxпропагаторкорреляционная функцияфункция Грина^{[1] : 82} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle y^{0}}$ ${\displaystyle |\Omega \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$

Свободная двухточечная функция, также известная как пропагатор Фейнмана , может быть найдена для вещественного скалярного поля либо с помощью канонического квантования, либо с помощью интегралов по путям и равна ^{[1] : 31,288  [33] : 23}

${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.}$

Во взаимодействующей теории, где лагранжиан или гамильтониан содержат члены или описывают взаимодействия, двухточечную функцию определить труднее. Однако как с помощью формулировки канонического квантования, так и с помощью формулировки интеграла по путям ее можно выразить через бесконечный ряд возмущений свободной двухточечной функции . ${\displaystyle L_{I}(t)}$ ${\displaystyle H_{I}(t)}$

При каноническом квантовании двухточечную корреляционную функцию можно записать как: ^{[1] : 87}

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},}$

где ε — бесконечно малое число, а _φI — полевой оператор свободной теории. Здесь под экспонентой следует понимать разложение ее в степенной ряд . Например, в -теории взаимодействующий член гамильтониана равен , ^{[1] : 84} , а разложение двухточечного коррелятора в терминах становится ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.}$$

свободной ${\displaystyle \langle 0|\cdots |0\rangle }$

В формулировке интеграла по траектории двухточечная корреляционная функция может быть записана ^{[1] : 284}

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},}$

где – плотность Лагранжа. Как и в предыдущем параграфе, экспоненту можно разложить в ряд по λ , сводя взаимодействующую двухточечную функцию к величинам свободной теории. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Теорема Вика далее сводит любую n -точечную корреляционную функцию в свободной теории к сумме произведений двухточечных корреляционных функций. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}}$

Поскольку взаимодействующие корреляционные функции могут быть выражены через свободные корреляционные функции, только последние необходимо оценивать, чтобы вычислить все физические величины в (пертурбативной) взаимодействующей теории. ^{[1] : 90} Это делает пропагатор Фейнмана одной из наиболее важных величин в квантовой теории поля.

Диаграмма Фейнмана

Корреляционные функции во взаимодействующей теории можно записать в виде ряда возмущений. Каждый член ряда является произведением пропагаторов Фейнмана в свободной теории и может быть визуально представлен диаграммой Фейнмана . Например, член λ ¹ в двухточечной корреляционной функции в теории φ ⁴ равен

${\displaystyle {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .}$

После применения теоремы Вика одним из членов будет

${\displaystyle 12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z).}$

Вместо этого этот член можно получить из диаграммы Фейнмана.

.

Диаграмма состоит из

• внешние вершины , соединенные одним краем и обозначенные точками (здесь обозначены и ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• внутренние вершины, соединенные четырьмя ребрами и обозначенные точками (здесь обозначены ). ${\displaystyle z}$
• ребра , соединяющие вершины и представленные линиями.

Каждая вершина соответствует одному фактору поля в соответствующей точке пространства-времени, а ребра соответствуют пропагаторам между точками пространства-времени. Член ряда теории возмущений, соответствующий диаграмме, получается записью выражения, следующего из так называемых правил Фейнмана: ${\displaystyle \phi }$

1. Для каждой внутренней вершины запишите коэффициент . ${\displaystyle z_{i}}$ ${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$
2. Для каждого ребра, соединяющего две вершины и , запишите коэффициент . ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle D_{F}(z_{i}-z_{j})}$
3. Разделите на коэффициент симметрии диаграммы.

С учетом фактора симметрии следование этим правилам дает в точности выражение, приведенное выше. Путем преобразования Фурье пропагатора правила Фейнмана можно переформулировать из пространства позиций в пространство импульсов. ^{[1] : 91–94.} ${\displaystyle 2}$

Чтобы вычислить n -точечную корреляционную функцию до k -го порядка, перечислите все допустимые диаграммы Фейнмана с n внешними точками и k или меньшим количеством вершин, а затем используйте правила Фейнмана для получения выражения для каждого члена. Точнее,

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle }$

равно сумме (выражений, соответствующих) всем связным диаграммам с n внешними точками. (Связные диаграммы — это те, в которых каждая вершина соединена с внешней точкой посредством линий. Компоненты, которые полностью отсоединены от внешних линий, иногда называют «пузырями вакуума».) В теории взаимодействия φ ⁴ , обсуждавшейся выше, каждая вершина должна иметь четыре ветви. . ^{[1] : 98}

В реалистичных приложениях амплитуду рассеяния определенного взаимодействия или скорость распада частицы можно вычислить по S-матрице , которую можно найти с помощью метода диаграмм Фейнмана. ^{[1] : 102–115}

Диаграммы Фейнмана, лишенные «петлей», называются диаграммами уровня дерева и описывают процессы взаимодействия низшего порядка; те, которые содержат n петель, называются n -петлевыми диаграммами, которые описывают вклады более высокого порядка или радиационные поправки во взаимодействие. ^{[33] : 44} Линии, конечные точки которых являются вершинами, можно рассматривать как распространение виртуальных частиц . ^{[1] : 31}

Перенормировка

Правила Фейнмана можно использовать для непосредственной оценки диаграмм уровня дерева. Однако наивное вычисление петлевых диаграмм, подобных показанной выше, приведет к расходящимся интегралам импульса, что, по-видимому, означает, что почти все члены в пертурбативном разложении бесконечны. Процедура перенормировки представляет собой систематический процесс удаления таких бесконечностей.

Параметры, входящие в лагранжиан, такие как масса m и константа связи λ , не имеют физического смысла — m , λ и напряженность поля φ не являются экспериментально измеряемыми величинами и называются здесь «затравочной массой», затравочной константой связи, и голое поле соответственно. Физическая масса и константа связи измеряются в каком-то процессе взаимодействия и обычно отличаются от простых величин. Вычисляя физические величины на основе этого процесса взаимодействия, можно ограничить область расходящихся интегралов импульса ниже некоторого порога импульса Λ , получить выражения для физических величин, а затем перейти к пределу Λ → ∞ . Это пример регуляризации , класса методов обработки расхождений в КТП, где Λ является регулятором.

Проиллюстрированный выше подход называется голой теорией возмущений, поскольку в расчетах участвуют только голые величины, такие как масса и константа связи. Другой подход, называемый перенормированной теорией возмущений, заключается в использовании физически значимых величин с самого начала. В случае теории φ ⁴ сначала переопределяется напряженность поля:

${\displaystyle \phi =Z^{1/2}\phi _{r},}$

где φ — затравленное поле, φr — перенормированное поле, а Z — константа, которую необходимо определить _. Лагранжева плотность становится:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},}$

где m _r и λ _r — экспериментально измеряемые перенормированные масса и константа связи соответственно, и

${\displaystyle \delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}}$

являются константами, подлежащими определению. Первые три члена представляют собой плотность лагранжиана φ4 ^, записанную через перенормированные величины, а последние три члена называются «контрчленами». Поскольку лагранжиан теперь содержит больше членов, диаграммы Фейнмана должны включать дополнительные элементы, каждый из которых имеет свои собственные правила Фейнмана. Процедура описана следующим образом. Сначала выберите схему регуляризации (например, регуляризацию обрезания, представленную выше, или размерную регуляризацию ); вызвать регулятор Λ . Вычислите диаграммы Фейнмана, в которых расходящиеся члены будут зависеть от Λ . Затем определите δ _Z , δ _m и δ _λ так, чтобы диаграммы Фейнмана для контрчленов в точности компенсировали расходящиеся члены в нормальных диаграммах Фейнмана при достижении предела Λ → ∞ . Таким образом получаются значимые конечные величины. ^{[1] : 323–326}

Устранить все бесконечности для получения конечного результата можно только в перенормируемых теориях, тогда как в неперенормируемых теориях бесконечности нельзя удалить путем переопределения небольшого числа параметров. Стандартная модель элементарных частиц представляет собой перенормируемую КТП, ^{[1] : 719–727,} тогда как квантовая гравитация неперенормируема. ^{[1] : 798  [33] : 421}

Ренормгруппа

Ренормгруппа , разработанная Кеннетом Уилсоном , представляет собой математический аппарат, используемый для изучения изменений физических параметров ( коэффициентов в лагранжиане) при рассмотрении системы в разных масштабах. ^{[1] : 393} Способ изменения каждого параметра с масштабом описывается его β- функцией . ^{[1] : 417} Корреляционные функции, лежащие в основе количественных физических предсказаний, изменяются с масштабом в соответствии с уравнением Каллана-Симанзика . ^{[1] : 410–411}

Например, константа связи в КЭД, а именно элементарный заряд e , имеет следующую β- функцию:

${\displaystyle \beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O{\mathord {\left(e^{5}\right)}},}$

где Λ — энергетический масштаб, при котором производится измерение e . Из этого дифференциального уравнения следует, что наблюдаемый элементарный заряд увеличивается с увеличением масштаба. ^[36] Перенормированную константу связи, которая изменяется в зависимости от масштаба энергии, также называют бегущей константой связи. ^{[1] : 420}

Константа связи g в квантовой хромодинамике , неабелевой калибровочной теории, основанной на группе симметрии SU(3) , имеет следующую β- функцию:

${\displaystyle \beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O{\mathord {\left(g^{5}\right)}},}$

где N _f — количество ароматов кварков . В случае, когда N _f ≤ 16 (в Стандартной модели N _f = 6 ), константа связи g уменьшается по мере увеличения масштаба энергии. Следовательно, хотя сильное взаимодействие является сильным при низких энергиях, оно становится очень слабым при взаимодействиях при высоких энергиях — явление, известное как асимптотическая свобода . ^{[1] : 531}

Конформные теории поля (КТП) — это специальные КТП, допускающие конформную симметрию . Они нечувствительны к изменениям масштаба, поскольку все их константы связи имеют исчезающую β- функцию. (Однако обратное неверно — исчезновение всех β- функций не означает конформной симметрии теории.) ^[37] Примеры включают теорию струн ^[27] и N = 4 суперсимметричную теорию Янга – Миллса . ^[38]

Согласно картине Вильсона, каждая КТП принципиально сопровождается ее энергетическим обрезанием Λ , т.е. теория больше не справедлива при энергиях выше Λ , и все степени свободы выше шкалы Λ должны быть опущены. Например, обрезание может быть обратным межатомному расстоянию в системе конденсированного вещества, а в физике элементарных частиц оно может быть связано с фундаментальной «зернистостью» пространства-времени, вызванной квантовыми флуктуациями гравитации. Граничный масштаб теорий взаимодействия частиц лежит далеко за пределами современных экспериментов. Даже если бы теория была очень сложной в этом масштабе, пока ее связи достаточно слабы, она должна быть описана при низких энергиях перенормируемой эффективной теорией поля . ^{[1] : 402–403} Разница между перенормируемыми и неперенормируемыми теориями состоит в том, что первые нечувствительны к деталям при высоких энергиях, тогда как вторые от них зависят. ^{[8] : 2} Согласно этой точке зрения, неперенормируемые теории следует рассматривать как низкоэнергетические эффективные теории более фундаментальной теории. Неспособность удалить обрезание Λ из расчетов в такой теории просто указывает на то, что новые физические явления появляются на масштабах выше Λ , где необходима новая теория. ^{[33] : 156}

Другие теории

^{Процедуры квантования и перенормировки, описанные в предыдущих} разделах, выполняются для свободной теории и теории φ4 реального скалярного поля. Аналогичный процесс можно проделать для других типов полей, включая комплексное скалярное поле, векторное поле и поле Дирака , а также другие типы условий взаимодействия, включая электромагнитное взаимодействие и взаимодействие Юкавы .

Например, квантовая электродинамика содержит поле Дирака ψ , представляющее поле электрона , и векторное поле A ^µ , представляющее электромагнитное поле ( поле фотонов ). (Несмотря на свое название, квантовое электромагнитное «поле» на самом деле соответствует классическому электромагнитному четырехпотенциалу , а не классическим электрическому и магнитному полям.) Полная плотность лагранжиана КЭД равна:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$

где γ ^µ – матрицы Дирака , , – напряженность электромагнитного поля . Параметрами в этой теории являются (затравленная) масса электрона m и (затравленный) элементарный заряд e . Первое и второе члены плотности лагранжиана соответствуют свободному полю Дирака и свободным векторным полям соответственно. Последний член описывает взаимодействие между полями электрона и фотона, которое трактуется как возмущение со стороны свободных теорий. ^{[1] : 78} ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

Выше показан пример древовидной диаграммы Фейнмана в QED. Он описывает аннигиляцию электрона и позитрона, создание фотона вне оболочки , а затем распад на новую пару электрона и позитрона. Время течет слева направо. Стрелки, указывающие вперед во времени, представляют распространение позитронов, а стрелки, указывающие назад во времени, представляют распространение электронов. Волнистая линия представляет распространение фотона. Каждая вершина в диаграммах Фейнмана КЭД должна иметь входящую и выходящую фермионную (позитронную/электронную) ветвь, а также фотонную ветвь.

Калибровочная симметрия

Если следующее преобразование полей выполняется в каждой точке пространства-времени x (локальное преобразование), то лагранжиан КЭД остается неизменным или инвариантным:

${\displaystyle \psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},}$

где α ( x ) — любая функция координат пространства-времени. Если лагранжиан теории (или, точнее, действие ) инвариантен относительно некоторого локального преобразования, то это преобразование называется калибровочной симметрией теории. ^{[1] : 482–483} Калибровочные симметрии образуют группу в каждой точке пространства-времени. В случае КЭД последовательное применение двух различных преобразований локальной симметрии и является еще одним преобразованием симметрии . Для любого α ( x ) является элементом группы U(1) , поэтому говорят, что КЭД имеет калибровочную симметрию U(1) . ^{[1] : 496} Фотонное поле A _µ можно назвать калибровочным бозоном U(1) . ${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$ ${\displaystyle e^{i\alpha '(x)}}$ ${\displaystyle e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}}$ ${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$

U(1) — абелева группа , а это означает, что результат один и тот же независимо от порядка применения ее элементов. КТП также могут быть построены на неабелевых группах , что приводит к появлению неабелевых калибровочных теорий (также известных как теории Янга – Миллса). ^{[1] : 489} Квантовая хромодинамика , описывающая сильное взаимодействие, представляет собой неабелеву калибровочную теорию с калибровочной симметрией SU(3) . Он содержит три поля Дирака ψ ⁱ , i = 1,2,3 , представляющие поля кварков , а также восемь векторных полей A ^a,μ , a = 1,...,8 , представляющих глюонные поля, которые являются калибровкой SU(3) бозоны. ^{[1] : 547} Плотность лагранжиана КХД: ^{[1] : 490–491}

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},}$

где D _µ — калибровочная ковариантная производная :

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},}$

где g — константа связи, t ^a — восемь образующих SU (3) в фундаментальном представлении ( матрицы 3×3 ),

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},}$

и f ^abc — структурные константы SU (3) . Повторяющиеся индексы i , j , a неявно суммируются по следующим обозначениям Эйнштейна. Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования:

${\displaystyle \psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x),}$

где U ( x ) — элемент SU(3) в каждой точке пространства-времени x :

${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.}$

Предыдущее обсуждение симметрий находится на уровне лагранжиана. Другими словами, это «классические» симметрии. После квантования некоторые теории больше не будут проявлять свою классическую симметрию — явление, называемое аномалией . Например, в формулировке интеграла по путям, несмотря на инвариантность лагранжевой плотности при определенном локальном преобразовании полей, мера интеграла по путям может измениться. ^{[33] : 243} Чтобы теория, описывающая природу, была непротиворечивой, она не должна содержать никаких аномалий в своей калибровочной симметрии. Стандартная модель элементарных частиц — это калибровочная теория, основанная на группе SU(3) × SU(2) × U(1) , в которой все аномалии точно сокращаются. ^{[1] : 705–707.} ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]}$ ${\textstyle \int {\mathcal {D}}\phi }$

Теоретическая основа общей теории относительности , принцип эквивалентности , также может быть понята как форма калибровочной симметрии, что делает общую теорию относительности калибровочной теорией, основанной на группе Лоренца . ^[39]

Теорема Нётер утверждает, что каждая непрерывная симметрия, т. е . параметр преобразования симметрии, являющийся непрерывным, а не дискретным, приводит к соответствующему закону сохранения . ^{[1] : 17–18  [33] : 73} Например, симметрия U(1) КЭД предполагает сохранение заряда . ^[40]

Калибровочные преобразования не связывают отдельные квантовые состояния. Скорее, он связывает два эквивалентных математических описания одного и того же квантового состояния. Например, поле фотона Aμ , будучи четырёхвекторным , имеет четыре кажущиеся степени свободы, но фактическое состояние фотона описывается его двумя степенями свободы, ^{соответствующими} поляризации . Остальные две степени свободы называются «избыточными» — по-видимому, разные способы записи A ^μ могут быть связаны друг с другом калибровочным преобразованием и фактически описывать одно и то же состояние фотонного поля. В этом смысле калибровочная инвариантность является не «настоящей» симметрией, а отражением «избыточности» выбранного математического описания. ^{[33] : 168}

Для учета калибровочной избыточности в формулировке интеграла по траекториям необходимо выполнить так называемую процедуру фиксации калибровки Фаддеева–Попова . В неабелевых калибровочных теориях такая процедура вводит новые поля, называемые «призраками». Частицы, соответствующие полям-призракам, называются частицами-призраками, которые невозможно обнаружить извне. ^{[1] : 512–515} Более строгое обобщение процедуры Фаддеева–Попова даёт БРСТ-квантование . ^{[1] : 517}

Спонтанное нарушение симметрии

Спонтанное нарушение симметрии — это механизм, при котором симметрия лагранжиана нарушается описываемой им системой. ^{[1] : 347}

Чтобы проиллюстрировать этот механизм, рассмотрим линейную сигма-модель , содержащую N действительных скалярных полей, описываемых плотностью Лагранжа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu }\phi ^{i}\right)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\phi ^{i}\phi ^{i}\right)^{2},}$

где μ и λ — действительные параметры. Теория допускает глобальную симметрию O( N ) :

${\displaystyle \phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).}$

Состоянием с наименьшей энергией (основное состояние или вакуумное состояние) классической теории является любое однородное поле φ ₀ , удовлетворяющее

${\displaystyle \phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

Без ограничения общности пусть основное состояние находится в N -м направлении:

${\displaystyle \phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).}$

Исходные N полей можно переписать так:

${\displaystyle \phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),}$

и исходная плотность Лагранжа как:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\pi ^{k}\right)\left(\partial ^{\mu }\pi ^{k}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\sigma \right)\left(\partial ^{\mu }\sigma \right)-{\frac {1}{2}}\left(2\mu ^{2}\right)\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\pi ^{k}\pi ^{k}\right)^{2},}$

где k знак равно 1, ..., N - 1 . Исходная глобальная симметрия O( N ) больше не проявляется, остается только подгруппа O( N − 1) . Большую симметрию до спонтанного нарушения симметрии называют «скрытой» или спонтанно нарушенной. ^{[1] : 349–350}

Теорема Голдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении симметрии каждое нарушение непрерывной глобальной симметрии приводит к безмассовому полю, называемому бозоном Голдстоуна. В приведенном выше примере O( N ) имеет N ( N - 1)/2 непрерывных симметрий (размерность его алгебры Ли ), а O( N - 1) имеет ( N - 1)( N - 2)/2 . Число нарушенных симметрий — это их разность N − 1 , что соответствует N − 1 безмассовым полям π ^k . ^{[1] : 351}

С другой стороны, когда калибровочная (в отличие от глобальной) симметрия спонтанно нарушается, образующийся бозон Голдстоуна «съедается» соответствующим калибровочным бозоном, становясь дополнительной степенью свободы для калибровочного бозона. Теорема об эквивалентности бозона Голдстоуна гласит, что при высоких энергиях амплитуда испускания или поглощения продольно поляризованного массивного калибровочного бозона становится равной амплитуде испускания или поглощения бозона Голдстоуна, съеденного калибровочным бозоном. ^{[1] : 743–744.}

В КТФ ферромагнетизма спонтанное нарушение симметрии может объяснить выравнивание магнитных диполей при низких температурах. ^{[33] : 199} В Стандартной модели элементарных частиц W- и Z-бозоны , которые в противном случае были бы безмассовыми в результате калибровочной симметрии, приобретают массу посредством спонтанного нарушения симметрии бозона Хиггса , процесса, называемого механизмом Хиггса . ^{[1] : 690}

Суперсимметрия

Все экспериментально известные симметрии в природе связывают бозоны с бозонами и фермионы с фермионами. Теоретики выдвинули гипотезу о существовании типа симметрии, называемой суперсимметрией , которая связывает бозоны и фермионы. ^{[1] : 795  [33] : 443}

Стандартная модель подчиняется симметрии Пуанкаре , генераторами которой являются сдвиги пространства-времени P ^µ и преобразования Лоренца J _µν . ^{[41] : 58–60} Помимо этих генераторов, суперсимметрия в (3+1)-мерностях включает дополнительные генераторы Q _α , называемые суперзарядами , которые сами преобразуются в фермионы Вейля . ^{[1] : 795  [33] : 444} Группа симметрии, порожденная всеми этими генераторами, известна как супергруппа Пуанкаре . В общем случае может существовать более одного набора генераторов суперсимметрии Q _α ^I , I = 1, ..., N , которые генерируют соответствующую суперсимметрию N = 1 , суперсимметрию N = 2 и так далее. ^{[1] : 795  [33] : 450} Суперсимметрия также может быть построена в других измерениях, ^[42] особенно в (1+1) измерениях для ее применения в теории суперструн . ^[43]

Лагранжиан суперсимметричной теории должен быть инвариантным относительно действия супергруппы Пуанкаре. ^{[33] : 448} Примеры таких теорий включают: минимальную суперсимметричную стандартную модель (MSSM), суперсимметричную теорию Янга – Миллса с N = 4 , ^{[33] : 450} и теорию суперструн. В суперсимметричной теории у каждого фермиона есть бозонный суперпартнер , и наоборот. ^{[33] : 444}

Если суперсимметрию повысить до локальной симметрии, то результирующая калибровочная теория станет расширением общей теории относительности, называемой супергравитацией . ^[44]

Суперсимметрия — потенциальное решение многих текущих проблем физики. Например, проблема иерархии Стандартной модели — почему масса бозона Хиггса не корректируется радиационно (при перенормировке) до очень высокого масштаба, такого как масштаб Великого объединения или масштаб Планка , — может быть решена, связав поле Хиггса и его суперпартнер Хиггсино . Радиационные поправки, обусловленные петлями бозона Хиггса в диаграммах Фейнмана, компенсируются соответствующими петлями Хиггсино. Суперсимметрия также предлагает ответы на вопросы великого объединения всех калибровочных констант связи в Стандартной модели, а также на природу темной материи . ^{[1] : 796–797  [45]}

Тем не менее, по состоянию на 2018 год ^[update]эксперименты еще не предоставили доказательств существования суперсимметричных частиц. Если бы суперсимметрия была истинной симметрией природы, то это должна была бы быть нарушенная симметрия, а энергия нарушения симметрии должна быть выше, чем те, которые достижимы в современных экспериментах. ^{[1] : 797  [33] : 443}

Другие пространства-времени

Теория φ4 , КЭД, КХД, а также вся Стандартная модель предполагают (3+1)-мерное пространство Минковского (3 пространственных и 1 временное ^{измерение} ) в качестве фона, на котором определяются квантовые поля. Однако КТП априори не накладывает ограничений ни на количество измерений, ни на геометрию пространства-времени.

В физике конденсированного состояния КТП используется для описания (2+1)-мерных электронных газов . ^[46] В физике высоких энергий теория струн представляет собой разновидность (1+1)-мерной КТП, ^{[33] : 452  [27]} , в то время как теория Калуцы–Клейна использует гравитацию в дополнительных измерениях для создания калибровочных теорий в более низких измерениях. ^{[33] : 428–429.}

В пространстве Минковского плоская метрика η _μν используется для повышения и понижения индексов пространства-времени в лагранжиане, например

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,}$

где η ^µν является обратным η _µν, удовлетворяющим условию η ^µρ η _ρν = δ ^µ _ν . С другой стороны, для КТП в искривленном пространстве-времени используется общая метрика (например, метрика Шварцшильда , описывающая черную дыру ):

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,}$

где g ^µν является обратным g _µν . Для реального скалярного поля плотность лагранжиана на общем фоне пространства-времени равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),}$

где g = det( g _µν ) и ∇ _µ обозначает ковариантную производную . ^[47] Лагранжиан КТП, а следовательно, и его расчетные результаты и физические предсказания, зависят от геометрии пространственно-временного фона.

Топологическая квантовая теория поля

Корреляционные функции и физические предсказания КТП зависят от метрики пространства-времени g _μν . Для специального класса КТП, называемого топологическими квантовыми теориями поля (ТКТП), все корреляционные функции не зависят от непрерывных изменений метрики пространства-времени. ^{[48] : 36} КТП в искривленном пространстве-времени обычно изменяются в соответствии с геометрией (локальной структурой) фона пространства-времени, в то время как ТКТФ инвариантны относительно диффеоморфизмов пространства-времени , но чувствительны к топологии (глобальной структуре) пространства-времени. Это означает, что все результаты вычислений TQFT являются топологическими инвариантами основного пространства-времени. Теория Черна – Саймонса является примером TQFT и использовалась для построения моделей квантовой гравитации. ^[49] Приложения TQFT включают дробный квантовый эффект Холла и топологические квантовые компьютеры . ^{[50] : 1–5} Траектория мировой линии фракционированных частиц (известных как анионы ) может образовывать конфигурацию связи в пространстве-времени, ^[51] которая связывает статистику переплетения анионов в физике с инвариантами связи в математике. Топологические квантовые теории поля (TQFT), применимые к передовым исследованиям топологических квантовых вопросов, включают калибровочные теории Черна-Саймонса-Виттена в измерениях пространства-времени 2+1, другие новые экзотические TQFT в измерениях пространства-времени 3+1 и за его пределами. ^[52]

Пертурбативные и непертурбативные методы

Используя теорию возмущений , общий эффект небольшого члена взаимодействия можно по порядку аппроксимировать разложением в ряд по числу виртуальных частиц , участвующих во взаимодействии. Каждый член в расширении можно понимать как один из возможных способов взаимодействия (физических) частиц друг с другом через виртуальные частицы, визуально выраженный с помощью диаграммы Фейнмана . Электромагнитная сила между двумя электронами в КЭД представлена ​​(в первом порядке теории возмущений) распространением виртуального фотона. Аналогично, W- и Z-бозоны несут слабое взаимодействие, а глюоны — сильное. Интерпретация взаимодействия как суммы промежуточных состояний с обменом различными виртуальными частицами имеет смысл только в рамках теории возмущений. Напротив, непертурбативные методы в КТП рассматривают взаимодействующий лагранжиан как единое целое без какого-либо разложения в ряд. Вместо частиц, переносящих взаимодействия, эти методы породили такие понятия, как монополь 'т Хоофта – Полякова , доменная стенка , силовая трубка и инстантон . ^[8] Примеры КТП, которые полностью разрешимы непертурбативно, включают минимальные модели конформной теории поля ^[53] и модель Тирринга . ^[54]

Математическая строгость

Несмотря на ошеломляющий успех в физике элементарных частиц и физике конденсированного состояния, КТП сама по себе не имеет формальной математической основы. Например, согласно теореме Хаага , не существует четко определенной картины взаимодействия для КТП, а это означает, что теория возмущений КТП, лежащая в основе всего метода диаграмм Фейнмана , принципиально неопределенна. ^[55]

Однако пертурбативная квантовая теория поля, которая требует только того, чтобы величины были вычислимы как формальный степенной ряд без каких-либо требований сходимости, может получить строгую математическую обработку. В частности, монография Кевина Костелло «Перенормировка и эффективная теория поля» ^[56] дает строгую формулировку пертурбативной перенормировки, которая сочетает в себе оба подхода теории эффективного поля Каданова , Уилсона и Полчинского , а также подход Баталина-Вилковиски к квантованию калибровочной меры. теории. Более того, пертурбативные методы интеграла по путям, обычно понимаемые как формальные вычислительные методы, основанные на теории конечномерного интегрирования, ^[57] могут получить здравую математическую интерпретацию на основе их конечномерных аналогов. ^[58]

С 1950-х годов ^[59] физики-теоретики и математики пытались организовать все КТП в набор аксиом , чтобы математически строгим образом установить существование конкретных моделей релятивистской КТП и изучить их свойства. Это направление исследований называется конструктивной квантовой теорией поля , подобластью математической физики , ^{[60] : 2} , которая привела к таким результатам, как теорема CPT , теорема спин-статистики и теорема Голдстоуна , ^[59] , а также к математически строгим конструкциям. многих взаимодействующих КТП в двух и трех измерениях пространства-времени, например, двумерные теории скалярного поля с произвольными полиномиальными взаимодействиями, ^[61] трехмерные теории скалярного поля с взаимодействием четвертой степени и т. д. ^[62]

По сравнению с обычной КТП, топологическая квантовая теория поля и конформная теория поля лучше подкреплены математически — обе могут быть классифицированы в рамках представлений кобордизмов . ^[63]

Алгебраическая квантовая теория поля — это еще один подход к аксиоматизации КТП, в котором фундаментальными объектами являются локальные операторы и алгебраические отношения между ними. Аксиоматические системы, следующие этому подходу, включают аксиомы Вайтмана и аксиомы Хаага – Кастлера . ^{[60] : 2–3} Одним из способов построения теорий, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана, является использование аксиом Остервальдера–Шредера , которые дают необходимые и достаточные условия для получения теории реального времени из теории мнимого времени путем аналитического продолжения ( вращение Вика ). . ^{[60] : 10}

Существование и разрыв масс Янга-Миллса , одна из проблем Премии тысячелетия , касается четко определенного существования теорий Янга-Миллса , изложенных вышеприведенными аксиомами. Полная постановка задачи выглядит следующим образом. ^[64]

Докажите, что для любой компактной простой калибровочной группы G нетривиальная квантовая теория Янга–Миллса существует и имеет массовую лакуну ∆ > 0 . Существование включает в себя установление аксиоматических свойств, по крайней мере, столь же сильных, как те, которые цитируются в Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973) и Osterwalder & Schrader (1975). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Сила Авраама – Лоренца
• Переписка AdS/CFT
• Аксиоматическая квантовая теория поля
• Введение в квантовую механику
• Общие интегралы в квантовой теории поля
• Конформная теория поля
• Конструктивная квантовая теория поля
• Уравнение Дирака
• Форм-фактор (квантовая теория поля)
• Диаграмма Фейнмана
• Отношения Грина-Кубо
• Функция Грина (теория многих тел)
• Теория группового поля
• Решётчатая теория поля
• Список квантовых теорий поля
• Локальная квантовая теория поля
• Некоммутативная квантовая теория поля
• Квантование поля _
• Квантовая электродинамика
• Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени
• Квантовая хромодинамика
• Квантовая ароматодинамика
• Квантовая адродинамика
• Квантовая гидродинамика
• Квантовая тривиальность
• Связь между уравнением Шредингера и формулировкой квантовой механики, основанной на интеграле по путям.
• Связь между теорией струн и квантовой теорией поля
• Уравнение Швингера – Дайсона
• Статические силы и обмен виртуальными частицами
• Симметрия в квантовой механике
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• Топологическая квантовая теория поля
• Личность Уорда-Такахаши
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана
• Классификация Вигнера
• Теорема Вигнера

Рекомендации

1. Пескин, М .; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-50397-5.
2. Хобсон, Искусство (2013). «Частиц нет, есть только поля». Американский журнал физики . 81 (211): 211–223. arXiv : 1204.4616 . Бибкод : 2013AmJPh..81..211H. дои : 10.1119/1.4789885. S2CID  18254182.
3. Вайнберг, Стивен (1977). «В поисках единства: заметки по истории квантовой теории поля». Дедал . 106 (4): 17–35. JSTOR  20024506.
4. Джон Л. Хейлброн (14 февраля 2003 г.). Оксфордский справочник по истории современной науки . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-974376-6.
5. Джозеф Джон Томсон (1893). Заметки о недавних исследованиях в области электричества и магнетизма: задуманы как продолжение «Трактата об электричестве и магнетизме» профессора Клерка-Максвелла.. Доусонс.
6. Вайскопф, Виктор (ноябрь 1981 г.). «Развитие теории поля за последние 50 лет». Физика сегодня . 34 (11): 69–85. Бибкод : 1981PhT....34k..69W. дои : 10.1063/1.2914365.
7. Вернер Гейзенберг (1999). Физика и философия: революция в современной науке. Книги Прометея. ISBN 978-1-57392-694-2.
8. Шифман, М. (2012). Продвинутые темы квантовой теории поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19084-8.
9. Томонага, Шиничиро (1966). «Развитие квантовой электродинамики». Наука . 154 (3751): 864–868. Бибкод : 1966Sci...154..864T. дои : 10.1126/science.154.3751.864. ПМИД  17744604.
10. Мехра и Милтон (2000). Восхождение на гору: Научная биография Джулиана Швингера . Издательство Оксфордского университета. п. 454.
11. Швингер, Джулиан (июль 1951 г.). «О функциях Грина квантованных полей. I». Труды Национальной академии наук . 37 (7): 452–455. дои : 10.1073/pnas.37.7.452 . ISSN  0027-8424. ПМЦ 1063400 . ПМИД  16578383. 
12. Швингер, Джулиан (июль 1951 г.). «О функциях Грина квантованных полей. II». Труды Национальной академии наук . 37 (7): 455–459. дои : 10.1073/pnas.37.7.455 . ISSN  0027-8424. ПМЦ 1063401 . ПМИД  16578384. 
13. Швебер, Сильван С. (31 мая 2005 г.). «Источники функций Грина Швингера». Труды Национальной академии наук . 102 (22): 7783–7788. дои : 10.1073/pnas.0405167101 . ISSN  0027-8424. ПМЦ 1142349 . ПМИД  15930139. 
14. Швингер, Джулиан (1966). «Частицы и источники». Физика преп . 152 (4): 1219. Бибкод : 1966PhRv..152.1219S. дои : 10.1103/PhysRev.152.1219.
15. Швингер, Джулиан (1998). Частицы, источники и поля, том. 1 . Ридинг, Массачусетс: Книги Персея. п. xi. ISBN 0-7382-0053-0.
16. Швингер, Джулиан (1998). Частицы, источники и поля. 2 (1-е печатное изд.). Чтение, Массачусетс: Продвинутая книжная программа, Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0054-5.
17. Швингер, Джулиан (1998). Частицы, источники и поля. 3 (1-е печатное изд.). Чтение, Массачусетс: Продвинутая книжная программа, Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0055-2.
18. CR Хаген; и др., ред. (1967). Протокол Международного конкурса 1967 г. Конференция по частицам и полям . Нью-Йорк: Интерсайенс. п. 128.
19. Мехра и Милтон (2000). Восхождение на гору: Научная биография Джулиана Швингера . Издательство Оксфордского университета. п. 467.
20. Швингер, Джулиан (1998). Частицы, источники и поля, том. 1 . Ридинг, Массачусетс: Персей Буккс. стр. 82–85.
21. Мехра, Джагдиш; Милтон, Кимбалл А. (2005). Восхождение на гору: научная биография Джулиана Швингера (переиздание). Оксфорд: Оксфордский университет. Нажимать. ISBN 978-0-19-852745-9.
22. 't Hooft, Джерард (17 марта 2015 г.). «Эволюция квантовой теории поля». Стандартная теория физики элементарных частиц . Расширенная серия по направлениям физики высоких энергий. Том. 26. стр. 1–27. arXiv : 1503.05007 . Бибкод : 2016stpp.conf....1T. дои : 10.1142/9789814733519_0001. ISBN 978-981-4733-50-2. S2CID  119198452.
23. Ян, Китай ; Миллс, РЛ (1 октября 1954 г.). «Сохранение изотопического спина и инвариантности изотопной калибровки». Физический обзор . 96 (1): 191–195. Бибкод : 1954PhRv...96..191Y. дои : 10.1103/PhysRev.96.191 .
24. Коулман, Сидни (14 декабря 1979). «Нобелевская премия по физике 1979 года». Наука . 206 (4424): 1290–1292. Бибкод : 1979Sci...206.1290C. дои : 10.1126/science.206.4424.1290. JSTOR  1749117. PMID  17799637.
25. Саттон, Кристина . «Стандартная модель». britannica.com . Британская энциклопедия . Проверено 14 августа 2018 г.
26. Киббл, Том ВБ (12 декабря 2014 г.). «Стандартная модель физики элементарных частиц». arXiv : 1412.4094 [Physics.hist-ph].
27. Полчински, Джозеф (2005). Струнная теория . Том. 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-67227-6.
28. Шварц, Джон Х. (4 января 2012 г.). «Ранняя история теории струн и суперсимметрии». arXiv : 1201.0981 [физика.хист-ph].
29. «Общие проблемы физики конденсированного состояния и высоких энергий» (PDF) . science.energy.gov . Управление науки Министерства энергетики США . 2 февраля 2015 г. Проверено 18 июля 2018 г.
30. Вильчек, Франк (19 апреля 2016 г.). «Физика элементарных частиц и конденсированное состояние: сага продолжается». Физика Скрипта . 2016 (T168): 014003.arXiv : 1604.05669 . Бибкод : 2016PhST..168a4003W. дои : 10.1088/0031-8949/T168/1/014003. S2CID  118439678.
31. Тонг 2015, Глава 1
32. Фактически, число его степеней свободы несчетно, поскольку размерность векторного пространства пространства непрерывных (дифференцируемых, действительных аналитических) функций даже на конечномерном евклидовом пространстве несчетна. С другой стороны, подпространства (этих функциональных пространств), которые обычно рассматривают, такие как гильбертово пространство (например, пространство интегрируемых с квадратом вещественных функций) или сепарабельные банаховы пространства (например, пространство непрерывных вещественных функций на компактном интервале) , с равномерной нормой сходимости), имеют счетную (т.е. счетную бесконечную) размерность в категории банаховых пространств (хотя размерность их евклидова векторного пространства все же несчетна), поэтому в этих ограниченных контекстах число степеней свободы (интерпретируемое теперь как размерность векторного пространства плотного подпространства, а не размерность векторного пространства самого интересующего функционального пространства) является счетной.
33. Зи, А. (2010). Квантовая теория поля в двух словах . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-01019-9.
34. Фок, В. (10 марта 1932 г.). «Konfigurationsraum und zweite Quantelung». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 75 (9–10): 622–647. Бибкод : 1932ZPhy...75..622F. дои : 10.1007/BF01344458. S2CID  186238995.
35. Беккер, Катрин; Беккер, Мелани ; Шварц, Джон Х. (2007). Теория струн и М-теория . Издательство Кембриджского университета. п. 36. ISBN 978-0-521-86069-7.
36. Фудзита, Такехиса (1 февраля 2008 г.). «Физика уравнений ренормгруппы в КЭД». arXiv : hep-th/0606101 .
37. Ахарони, Офер; Гур-Ари, Гай; Клингхоффер, Низан (19 мая 2015 г.). «Голографический словарь бета-функций констант многоследовой связи». Журнал физики высоких энергий . 2015 (5): 31. arXiv : 1501.06664 . Бибкод : 2015JHEP...05..031A. doi : 10.1007/JHEP05(2015)031. S2CID  115167208.
38. Ковач, Стефано (26 августа 1999 г.). « N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса и соответствие AdS/SCFT». arXiv : hep-th/9908171 .
39. Вельтман, MJG (1976). Методы теории поля, Труды летней школы Ле Уш, Лез Уш, Франция, 1975 .
40. Брэдинг, Кэтрин А. (март 2002 г.). «Какая симметрия? Нётер, Вейль и сохранение электрического заряда». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 33 (1): 3–22. Бибкод : 2002ШПМП..33....3Б. CiteSeerX 10.1.1.569.106 . дои : 10.1016/S1355-2198(01)00033-8. 
41. Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55001-7.
42. де Вит, Бернар; Луи, Ян (18 февраля 1998 г.). «Суперсимметрия и дуальности в различных измерениях». arXiv : hep-th/9801132 .
43. Полчински, Джозеф (2005). Струнная теория . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-67228-3.
44. Нат, П.; Арновитт, Р. (1975). «Обобщенная суперкалибровочная симметрия как новая основа для унифицированных калибровочных теорий». Буквы по физике Б. 56 (2): 177. Бибкод : 1975PhLB...56..177N. дои : 10.1016/0370-2693(75)90297-x.
45. Муньос, Карлос (18 января 2017 г.). «Модели суперсимметрии темной материи». Сеть конференций EPJ . 136 : 01002. arXiv : 1701.05259 . Бибкод : 2017EPJWC.13601002M. doi : 10.1051/epjconf/201713601002. S2CID  55199323.
46. Моранди, Г.; Содано, П.; Тальякоццо, А.; Тогнетти, В. (2000). Теории поля для низкоразмерных конденсированных систем. Спрингер. ISBN 978-3-662-04273-1.
47. Паркер, Леонард Э.; Томс, Дэвид Дж. (2009). Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени . Издательство Кембриджского университета. п. 43. ИСБН 978-0-521-87787-9.
48. Иванцевич, Владимир Г.; Иванцевич, Тияна Т. (11 декабря 2008 г.). «Конспекты лекций для студентов по топологической квантовой теории поля». arXiv : 0810.0344v5 [математика].
49. Карлип, Стивен (1998). Квантовая гравитация в 2+1 измерениях. Издательство Кембриджского университета. стр. 27–29. дои : 10.1017/CBO9780511564192. ISBN 9780511564192.
50. Карквиль, Нильс; Рункель, Инго (2018). «Вводные лекции по топологической квантовой теории поля». Публикации Банахового центра . 114 : 9–47. arXiv : 1705.05734 . дои : 10.4064/bc114-1. S2CID  119166976.
51. Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и полином Джонса». Связь в математической физике . 121 (3): 351–399. Бибкод : 1989CMaPh.121..351W. дои : 10.1007/BF01217730. MR  0990772. S2CID  14951363.
52. Путров, Павел; Ван, Ювен; Яу, Шинг-Тунг (2017). «Статистика сплетения и инварианты связей бозонной/фермионной топологической квантовой материи в измерениях 2+1 и 3+1». Анналы физики . 384 (С): 254–287. arXiv : 1612.09298 . Бибкод : 2017AnPhy.384..254P. дои : 10.1016/j.aop.2017.06.019. S2CID  119578849.
53. Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). Конформная теория поля. Спрингер. ISBN 978-1-4612-7475-9.
54. Тирринг, В. (1958). «Разрешимая релятивистская теория поля?». Анналы физики . 3 (1): 91–112. Бибкод : 1958AnPhy...3...91T. дои : 10.1016/0003-4916(58)90015-0.
55. Хааг, Рудольф (1955). «О квантовых теориях поля» (PDF) . Дэн Мэт Фис Медд . 29 (12).
56. Кевин Костелло, Перенормировка и эффективная теория поля , Математические обзоры и монографии, том 170, Американское математическое общество, 2011, ISBN 978-0-8218-5288-0 
57. Джеральд Б. Фолланд, Квантовая теория поля: Туристический путеводитель для математиков , Математические обзоры и монографии, Том 149, Американское математическое общество, 2008, ISBN 0821847058 | глава=8 
58. Нгуен, Тимоти (2016). «Пертурбативный подход к интегралам по путям: краткое математическое рассмотрение». Дж. Математика. Физ . 57 (9): 092301. arXiv : 1505.04809 . Бибкод : 2016JMP....57i2301N. дои : 10.1063/1.4962800. S2CID  54813572.
59. Бухгольц, Детлев (2000). «Современные тенденции в аксиоматической квантовой теории поля». Квантовая теория поля . Конспект лекций по физике. 558 : 43–64. arXiv : hep-th/9811233 . Бибкод : 2000LNP...558...43B. дои : 10.1007/3-540-44482-3_4. ISBN 978-3-540-67972-1. S2CID  5052535.
60. Саммерс, Стивен Дж. (31 марта 2016 г.). «Взгляд на конструктивную квантовую теорию поля». arXiv : 1203.3991v2 [math-ph].
61. Саймон, Барри (1974). P(phi)_2 Евклидова (квантовая) теория поля . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08144-1. ОКЛК  905864308.
62. Глимм, Джеймс; Яффе, Артур (1987). Квантовая физика: функционально-интегральная точка зрения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9. ОСЛК  852790676.
63. Сати, Хишам; Шрайбер, Урс (6 января 2012 г.). «Обзор математических основ КТП и теории пертурбативных струн». arXiv : 1109.0955v2 [math-ph].
64. Яффе, Артур ; Виттен, Эдвард . «Квантовая теория Янга – Миллса» (PDF) . Математический институт Клея . Проверено 18 июля 2018 г.

Библиография

• Стритер, Р.; Вайтман, А. (1964). РСТ, спин, статистика и все такое . В. А. Бенджамин.
• Остервальдер, К.; Шредер, Р. (1973). «Аксиомы евклидовых функций Грина». Связь в математической физике . 31 (2): 83–112. Бибкод : 1973CMaPh..31...83O. дои : 10.1007/BF01645738. S2CID  189829853.
• Остервальдер, К.; Шредер, Р. (1975). «Аксиомы евклидовых функций Грина II». Связь в математической физике . 42 (3): 281–305. Бибкод : 1975CMaPh..42..281O. дои : 10.1007/BF01608978. S2CID  119389461.

дальнейшее чтение

Общие читатели

• Паис, А. (1994) [1986]. Внутренняя граница: о материи и силах в физическом мире (переиздание). Оксфорд, Нью-Йорк, Торонто: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0198519973.
• Швебер, СС (1994). QED и люди, которые это сделали: Дайсон, Фейнман, Швингер и Томонага . Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691033273.
• Фейнман, Р.П. (2001) [1964]. Характер физического закона . МТИ Пресс . ISBN 978-0-262-56003-0.
• Фейнман, Р.П. (2006) [1985]. КЭД: Странная теория света и материи . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12575-6.
• Гриббин, Дж. (1998). Q означает «Квант: физика элементарных частиц от А до Я ». Вайденфельд и Николсон . ISBN 978-0-297-81752-9.

Вводные тексты

• МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля . МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07-154382-8.
• Боголюбов Н. ; Ширков, Д. (1982). Квантовые поля . Бенджамин Каммингс . ISBN 978-0-8053-0983-6.
• Фрэмптон, штат Пенсильвания (2000). Теории калибровочного поля . Границы физики (2-е изд.). Уайли .; 2008 г., 3-е издание. ISBN 3527408355.
• Грейнер, В .; Мюллер, Б. (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий . Спрингер . ISBN 978-3-540-67672-0.
• Ицыксон, К. ; Зубер, Ж.-Б. (1980). Квантовая теория поля . МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07-032071-0.
• Кейн, GL (1987). Современная физика элементарных частиц . Группа Персей . ISBN 978-0-201-11749-3.
• Кляйнерт, Х .; Шульте-Фролинде, Верена (2001). Критические свойства φ4-теорий. Всемирная научная . ISBN 978-981-02-4658-7.
• Кляйнерт, Х. (2008). Многозначные поля в конденсированном состоянии, электродинамике и гравитации (PDF) . Всемирная научная. ISBN 978-981-279-170-2.
• Ланкастер Т. и Бланделл С.Дж. (2014). Квантовая теория поля для одаренного любителя. ОУП Оксфорд. ISBN 9780199699339 
• Лаудон, Р. (1983). Квантовая теория света . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-851155-7.
• Мандл, Ф .; Шоу, Г. (1993). Квантовая теория поля . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-94186-6.
• Райдер, Л.Х. (1985). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-33859-2.
• Шварц, доктор медицины (2014). Квантовая теория поля и Стандартная модель. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107034730. Архивировано из оригинала 22 марта 2018 г. Проверено 13 мая 2020 г.
• Индурайн, Ф.Дж. (1996). Релятивистская квантовая механика и введение в теорию поля (1-е изд.). Спрингер. Бибкод : 1996rqmi.book.....Y. дои : 10.1007/978-3-642-61057-8. ISBN 978-3-540-60453-2.
• Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (1996). Квантование поля . Спрингер. ISBN 978-3-540-59179-5.
• Пескин, М. ; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Вествью Пресс . ISBN 978-0-201-50397-5.
• Шарф, Гюнтер (2014) [1989]. Конечная квантовая электродинамика: причинный подход (третье изд.). Дуврские публикации. ISBN 978-0486492735.
• Средницкий, М. (2007). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521-8644-97.
• Тонг, Дэвид (2015). «Лекции по квантовой теории поля» . Проверено 9 февраля 2016 г.
• Уильямс, АГ (2022 г.). Введение в квантовую теорию поля: классическая механика для калибровочных теорий поля . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1108470902.
• Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0691140346.

Расширенные тексты

• Браун, Лоуэлл С. (1994). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46946-3.
• Боголюбов Н.; Логунов А.А. ; Оксак, А.И.; Тодоров, ИТ (1990). Общие принципы квантовой теории поля . Академическое издательство Kluwer . ISBN 978-0-7923-0540-8.
• Вайнберг, С. (1995). Квантовая теория полей . Том. 1. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521550017.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с квантовой теорией поля, на Викискладе?

• «Квантовая теория поля», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Стэнфордская энциклопедия философии : «Квантовая теория поля» Мейнарда Кульмана.
• Сигел, Уоррен, 2005. Филдс. arXiv : hep-th/9912205.
• Квантовая теория поля П. Дж. Малдерса