Операция измерения невозможности двух объектов добираться на работу
В математике коммутатор указывает на степень, в которой определенная двоичная операция не является коммутативной . В теории групп и теории колец используются разные определения .
Теория групп
Коммутатором двух элементов g и h группы G является элемент
- [ грамм , час ] знак равно грамм -1 час -1 gh .
Этот элемент равен единице группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (то есть тогда и только тогда, когда gh = hg ).
Множество всех коммутаторов группы, вообще говоря, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа G , порожденная всеми коммутаторами, замкнута и называется производной группой или подгруппой коммутатора G . Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп, а также наибольшей абелевой факторгруппы .
Определение коммутатора, приведенное выше, используется на протяжении всей статьи, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как
- [ грамм , час ] знак равно ghg -1 час -1 . [1] [2]
Тождества (теория групп)
Коммутирующие тождества являются важным инструментом в теории групп . [3] Выражение a x обозначает сопряжение a с x , определяемое как x −1 ax .
![{\displaystyle x^{y}=x[x,y].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и![{\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и![{\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и![{\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y ,z],x^{y}\right]=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тождество (5) также известно как тождество Холла-Витта , в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. следующий раздел).
Обратите внимание: приведенное выше определение сопряжения a с x используется некоторыми теоретиками групп. [4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с x как xax −1 . [5] Так часто пишут . Подобные тождества справедливы и для этих конвенций.![{\displaystyle {}^{x}a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Также используются многие тождества, которые верны по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых и нильпотентных групп . Например, в любой группе хорошо ведут себя вторые степени:
![{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если производная подгруппа центральная, то
![{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теория колец
Кольца часто не поддерживают разделение. Таким образом, коммутатор двух элементов a и b кольца (или любой ассоциативной алгебры ) определяется по-разному:
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Коммутатор равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так же представляются в терминах каждого базиса. Используя коммутатор в качестве скобки Ли , любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .
Антикоммутатор двух элементов a и b кольца или ассоциативной алгебры определяется формулой
![{\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Иногда используется для обозначения антикоммутатора, а затем для обозначения коммутатора. [6] Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц .![{\displaystyle [a,b]_ {+}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [a,b]_{-}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве, является центральным понятием квантовой механики , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые , описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона-Шредингера . [7] В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функций -звездообразных произведений называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым структурам коммутаторов гильбертова пространства.
Тождества (теория колец)
Коммутатор обладает следующими свойствами:
Тождества алгебры лжи
![{\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A,A]=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A,B]=-[B,A]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Соотношение (3) называется антикоммутативностью , а (4) — тождеством Якоби .
Дополнительные личности
![{\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B, D]+[A,C]DB+C[A,D]B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C, D],A],B]+[[[D,A],B],C]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если A является фиксированным элементом кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для отображения, заданного . Другими словами, отображение ad A определяет дифференцирование на кольце R . Тождества (2), (3) представляют собой правила Лейбница для более чем двух факторов и справедливы для любого вывода. Тождества (4)–(6) можно интерпретировать и как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z - билинейность .![{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Из тождества (9) находим, что коммутатор целых степеней кольцевых элементов равен:
![{\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n} B^{m}[A,B]A^{Nn-1}B^{Mm-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя приведенное выше обозначение ±. [8]
Например:
![{\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[ A,D]_{\pm }B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D] - [[[B,D]_{+} ,A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+ },Д]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B] ]_{\pm }\right]=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp Б[А,С]_{-}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A,BC]=[A,B]_ {\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Экспоненциальные тождества
Рассмотрим кольцо или алгебру, в которой экспонента может быть осмысленно определена, например банахову алгебру или кольцо формальных степенных рядов .![{\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В таком кольце лемма Адамара , примененная к вложенным коммутаторам, дает: (Последнее выражение см. в разделе «Присоединенный вывод» ниже.) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа log (exp ( A ) exp ( B )).![{\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1 }{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подобное расширение выражает групповой коммутатор выражений (аналог элементов группы Ли ) через серию вложенных коммутаторов (скобок Ли),![{\displaystyle е^{A}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}} [A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]] ]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Градуированные кольца и алгебры
При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяют градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как
![{\displaystyle [\omega,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Присоединенный вывод
Другое обозначение оказывается полезным, особенно если иметь дело с несколькими коммутаторами в кольце R. Для элемента мы определяем присоединенное отображение следующим образом:![{\displaystyle x\in R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _ {x}(y)=[x,y]=xy-yx.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это отображение является дифференцированием на кольце R :
![{\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} \! (yz) \ = \ \ mathrm {ad} _ {x} \! (y) \, z \, + \, y \, \ mathrm {ad} _{x}\!(z).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По тождеству Якоби это также вывод над операцией коммутации:
![{\displaystyle \mathrm {ad} _ {x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad } _{x}\!(z)].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Составляя такие отображения, получаем, например , и![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z) )\ =\ [x,[x,z]\,].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Rалгебры Ли![{\displaystyle \mathrm {объявление} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {Конец} (R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {объявление} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Напротив, это не всегда кольцевой гомоморфизм: обычно .![{\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Правило генерала Лейбница
Общее правило Лейбница , расширяющее повторяющиеся производные произведения, можно записать абстрактно, используя присоединенное представление:
![{\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y) \,x^{nk}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Заменив на оператор дифференцирования и на оператор умножения , получим , и применив обе части к функции g , тождество становится обычным правилом Лейбница для n- й производной .![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {ad} (\partial)(m_{f})=m_{\partial (f)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ Фрели (1976, стр. 108)
- ^ Херштейн (1975, стр. 65)
- ^ Маккей (2000, стр. 4)
- ^ Херштейн (1975, стр. 83)
- ^ Фрели (1976, стр. 128)
- ^ МакМахон (2008)
- ^ Либофф (2003, стр. 140–142)
- ^ Лавров (2014)
Рекомендации
- Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл , ISBN 0-13-805326-Х
- Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Wiley, ISBN 0471010901
- Лавров, П. М. (2014), «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах», Теоретическая и математическая физика , 179 (2): 550–558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode : 2014TMP...179..550L, doi : 10.1007 /s11232-014-0161-2, S2CID 119175276
- Либофф, Ричард Л. (2003), Вводная квантовая механика (4-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 0-8053-8714-5
- Маккей, Сьюзен (2000), Конечные p-группы , Математические заметки королевы Марии, том. 18 лет, Лондонский университет , ISBN 978-0-902480-17-9, МР 1802994
- МакМахон, Д. (2008), Квантовая теория поля , МакГроу Хилл , ISBN 978-0-07-154382-8
дальнейшее чтение
- Маккензи, Р .; Сноу, Дж. (2005), «Конгруэнтные модульные многообразия: теория коммутаторов», Кудрявцев, В.Б.; Розенберг, И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальной алгебры , Научная серия НАТО II, том. 207, Springer, стр. 273–329, номер документа : 10.1007/1-4020-3817-8_11, ISBN. 9781402038174
Внешние ссылки