В физике действие — это скалярная величина , которая описывает, как баланс кинетической и потенциальной энергии физической системы меняется в зависимости от траектории. Действие важно, потому что оно является вкладом в принцип стационарного действия — подход к классической механике, который проще для нескольких объектов. [1] Действие и вариационный принцип используются в квантовой механике Фейнмана [2] и в общей теории относительности. [3] Для систем с малыми значениями действия, подобными постоянной Планка, квантовые эффекты значительны. [4]
В простом случае, когда одна частица движется с постоянной скоростью (тем самым испытывая равномерное линейное движение ), действие представляет собой импульс частицы, умноженный на расстояние, которое она перемещает, сложенный по ее пути; эквивалентно, действие — это разница между кинетической энергией частицы и ее потенциальной энергией , умноженная на время, в течение которого она обладает этим количеством энергии.
Более формально, действие — это математический функционал , который принимает траекторию (также называемую путем или историей) системы в качестве аргумента и имеет вещественное число в качестве результата. Обычно действие принимает разные значения для разных путей. [5] Действие имеет размеры энергия × время или импульс × длина , а его единица в системе СИ — джоуль -секунда (как и постоянная Планка h ). [6]
Вводная физика часто начинается с законов движения Ньютона , связывающих силу и движение; действие является частью полностью эквивалентного альтернативного подхода с практическими и образовательными преимуществами. [1]
Для траектории бейсбольного мяча, движущегося в воздухе на Земле, действие определяется между двумя моментами времени и как кинетическая энергия минус потенциальная энергия, интегрированная во времени. [4]
Действие уравновешивает кинетическую и потенциальную энергию. [4] Кинетическая энергия бейсбольного мяча равна где – скорость мяча; потенциальная энергия - это гравитационная постоянная. Тогда действие между и есть
Ценность действия зависит от траектории, по которой бейсбольный мяч проходит через и . Это делает действие вкладом в мощный принцип стационарного действия для классической и квантовой механики . Уравнения движения Ньютона для бейсбольного мяча можно вывести из действия, используя принцип стационарного действия, но преимущества механики, основанной на действии, начинают проявляться только в тех случаях, когда законы Ньютона трудно применить. Замените бейсбольный мяч электроном: классическая механика терпит неудачу, но стационарное действие продолжает работать. [4] Разница энергий в простом определении действия (кинетическая минус потенциальная энергия) обобщается и для более сложных случаев называется лагранжианом .
Постоянная Планка , записанная как или с учетом множителя , называется квантом действия . [7] Как и действие, эта константа имеет единицу энергии, умноженную на время. Он фигурирует во всех важных квантовых уравнениях, таких как принцип неопределенности и длина волны де Бройля . Всякий раз, когда значение действия приближается к постоянной Планка, квантовые эффекты становятся значительными. [4] Наименьшее возможное действие : ; большие значения действия должны быть целыми числами, кратными этому кванту. [8]
Энергия квантов света , увеличивается с частотой , но произведение энергии и времени вибрации световой волны — действие квантов — является константой . [9]
Пьер Луи Мопертюи и Леонард Эйлер , работавшие в 1740-х годах, разработали ранние версии принципа действия. Жозеф Луи Лагранж внес ясность в математику, когда изобрел вариационное исчисление . Уильям Роуэн Гамильтон совершил следующий большой прорыв, сформулировав принцип Гамильтона в 1853 году. [10] : 740 Принцип Гамильтона стал краеугольным камнем классических работ с различными формами действия, пока Ричард Фейнман и Джулиан Швингер не разработали квантовые принципы действия. [11] : 127
Выражаясь математическим языком с использованием вариационного исчисления , эволюция физической системы (т. е. то, как система на самом деле переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно минимуму) действия. Действие имеет размеры [ энергия] × [время] , а его единица в системе СИ — джоуль -секунда, что идентично единице углового момента .
В физике широко используются несколько различных определений «действия». [12] [13] Действие обычно представляет собой интеграл по времени. Однако, когда действие относится к полям , его можно интегрировать и по пространственным переменным. В некоторых случаях действие интегрируется по пути, по которому движется физическая система.
Действие обычно представляется как интеграл по времени, взятый по пути системы между начальным и конечным временем развития системы: [12]
Чаще всего этот термин используется для обозначения функционала , который принимает на вход функцию времени и (для полей ) пространства и возвращает скаляр . [14] [ 15 ] В классической механике входной функцией является эволюция q ( t ) системы между двумя моментами времени t1 и t2 , где q представляет собой обобщенные координаты . Действие определяется как интеграл лагранжиана L для входной эволюции между двумя моментами времени :
Помимо функционала действия, существует еще один функционал, называемый сокращенным действием . В сокращенном действии входная функция — это путь , по которому движется физическая система без учета ее параметризации временем. Например, путь планетарной орбиты — эллипс, а путь частицы в однородном гравитационном поле — парабола; в обоих случаях путь не зависит от того, насколько быстро частица проходит путь.
Сокращенное действие (иногда обозначаемое как ) определяется как интеграл от обобщенных импульсов,
Когда полная энергия E сохраняется, уравнение Гамильтона – Якоби можно решить с помощью аддитивного разделения переменных : [12] : 225
Это можно интегрировать, чтобы дать
это просто сокращенное действие. [16] : 434
Переменная Jk в координатах действие-угол , называемая «действием» обобщенной координаты qk , определяется путем интегрирования одного обобщенного импульса вокруг замкнутого пути в фазовом пространстве , соответствующего вращающемуся или колебательному движению: [16] : 454
Соответствующая каноническая переменная, сопряженная с J k , является ее «уголом» w k по причинам, более подробно описанным в разделе « координаты действие-угол» . Интегрирование осуществляется только по одной переменной q k и, следовательно, в отличие от интегрированного скалярного произведения в приведенном выше сокращенном интеграле действия. Переменная J k равна изменению S k ( q k ) при изменении q k по замкнутому пути. Для некоторых представляющих интерес физических систем J k либо постоянна, либо меняется очень медленно; следовательно, переменная J k часто используется в расчетах возмущений и при определении адиабатических инвариантов . Например, они используются при расчете орбит планет и спутников. [16] : 477
Когда релятивистские эффекты значительны, действие точечной частицы массы m , движущейся по мировой линии C, параметризованной собственным временем , равно
Если вместо этого частица параметризуется координатным временем t частицы, а координатное время находится в диапазоне от t 1 до t 2 , то действие становится
где лагранжиан [17 ]
Физические законы часто выражаются в виде дифференциальных уравнений , которые описывают, как физические величины, такие как положение и импульс, непрерывно изменяются со временем , пространством или их обобщением. Учитывая начальные и граничные условия ситуации, «решением» этих эмпирических уравнений является одна или несколько функций , которые описывают поведение системы и называются уравнениями движения .
Действие является частью альтернативного подхода к поиску таких уравнений движения. Классическая механика постулирует, что путь, по которому фактически следует физическая система, — это путь, по которому действие минимизировано или, в более общем смысле, является стационарным . Другими словами, действие удовлетворяет вариационному принципу: принципу стационарного действия (см. также ниже). Действие определяется интегралом , и классические уравнения движения системы могут быть получены путем минимизации значения этого интеграла.
Принцип действия обеспечивает глубокое понимание физики и является важной концепцией в современной теоретической физике . Ниже кратко изложены различные принципы действий и связанные с ними концепции.
В классической механике принцип Мопертюи (названный в честь Пьера Луи Мопертюи) гласит, что путь, по которому следует физическая система, является путем наименьшей длины (с подходящей интерпретацией пути и длины). Принцип Мопертюи использует сокращенное действие между двумя обобщенными точками на пути.
Принцип Гамильтона гласит, что дифференциальные уравнения движения любой физической системы можно переформулировать как эквивалентное интегральное уравнение . Таким образом, существует два различных подхода к формулированию динамических моделей.
Принцип Гамильтона применим не только к классической механике одиночной частицы, но и к классическим полям , таким как электромагнитное и гравитационное поля . Принцип Гамильтона также был распространен на квантовую механику и квантовую теорию поля - в частности, формулировка квантовой механики с интегралом по путям использует эту концепцию - когда физическая система исследует все возможные пути, при этом определяется фаза амплитуды вероятности для каждого пути. по действию для пути; окончательная амплитуда вероятности складывает все пути, используя их комплексную амплитуду и фазу. [18]
Основная функция Гамильтона получается из функционала действия путем фиксации начального времени и начальной конечной точки , при этом позволяя варьироваться верхнему пределу времени и второй конечной точке . Основная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби, формулировке классической механики . Из-за сходства с уравнением Шредингера уравнение Гамильтона-Якоби, возможно, обеспечивает наиболее прямую связь с квантовой механикой .
В лагранжевой механике требование, чтобы интеграл действия был стационарным при малых возмущениях, эквивалентно набору дифференциальных уравнений (называемых уравнениями Эйлера-Лагранжа), которые можно получить с помощью вариационного исчисления .
Принцип действия можно расширить, чтобы получить уравнения движения для полей, таких как электромагнитное поле или гравитационное поле . Уравнения Максвелла можно вывести как условия стационарного действия .
Уравнение Эйнштейна использует действие Эйнштейна-Гильберта , ограниченное вариационным принципом . Траекторию (путь в пространстве-времени ) тела в гравитационном поле можно найти, используя принцип действия . Для свободно падающего тела эта траектория является геодезической .
Последствия симметрии в физической ситуации можно найти с помощью принципа действия вместе с уравнениями Эйлера-Лагранжа , которые выводятся из принципа действия. Примером может служить теорема Нётер , которая утверждает, что каждой непрерывной симметрии в физической ситуации соответствует закон сохранения (и наоборот). Эта глубокая связь требует принятия принципа действия. [18]
В квантовой механике система не движется по одному пути, действие которого стационарно, а поведение системы зависит от всех разрешенных путей и величины их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по пути , который дает амплитуды вероятности различных результатов.
Хотя в классической механике принцип действия эквивалентен законам Ньютона , он лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Действительно, этот принцип является одним из величайших обобщений в физической науке. Лучше всего это понимается в рамках квантовой механики, особенно в формулировке интеграла по траекториям Ричарда Фейнмана , где оно возникает в результате деструктивной интерференции квантовых амплитуд.
Принцип действия можно обобщить еще больше. Например, действие не обязательно должно быть целым, поскольку возможны нелокальные действия . Конфигурационное пространство даже не обязательно должно быть функциональным пространством , учитывая некоторые особенности, такие как некоммутативная геометрия . Однако физическую основу для этих математических расширений еще предстоит установить экспериментально. [14]