Теория Ньютона – Картана

Геометрическая переформулировка ньютоновской гравитации.

Теория Ньютона-Картана (или геометризованная ньютоновская гравитация ) представляет собой геометрическую переформулировку, а также обобщение ньютоновской гравитации , впервые введенной Эли Картаном ^{[1] [2]} и Куртом Фридрихсом ^[3] и позже развитой Докуром, ^{[ 4]} Диксон, ^[5] Домбровски и Хорнеффер, Элерс, Гавас, ^[6] Кюнцле, ^[7] Лоттермозер, Траутман , ^[8] и другие. В этой переформулировке легко увидеть структурное сходство между теорией Ньютона и общей теорией относительности Альберта Эйнштейна , и Картан и Фридрихс использовали ее, чтобы дать строгую формулировку того, как ньютоновскую гравитацию можно рассматривать как конкретный предел общей теории относительности, а Юрген Элерс распространил это соответствие на конкретные решения общей теории относительности.

Классическое пространство-время

В теории Ньютона-Картана каждый начинает с гладкого четырехмерного многообразия и определяет две (вырожденные) метрики. Временная метрика с сигнатурой , используемая для присвоения временных длин векторам, и пространственная метрика с сигнатурой . Также требуется, чтобы эти две метрики удовлетворяли условию трансверсальности (или «ортогональности») . Таким образом, классическое пространство-время определяется как упорядоченная четверка , где и , как описано, является метрически совместимым ковариантным оператором производной; и метрики удовлетворяют условию ортогональности. Можно сказать, что классическое пространство-время является аналогом релятивистского пространства-времени , где – гладкая лоренцева метрика на многообразии . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t_{ab}}$ ${\displaystyle (1,0,0,0)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h^{ab}}$ ${\displaystyle (0,1,1,1)}$ ${\displaystyle h^{ab}t_{bc}=0}$ ${\displaystyle (M,t_{ab},h^{ab},\nabla )}$ ${\displaystyle t_{ab}}$ ${\displaystyle h^{ab}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (M,g_{ab})}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle M}$

Геометрическая формулировка уравнения Пуассона

В теории гравитации Ньютона уравнение Пуассона гласит:

${\displaystyle \Delta U=4\pi G\rho \,}$

где – гравитационный потенциал, – гравитационная постоянная, – плотность массы. Принцип слабой эквивалентности мотивирует геометрическую версию уравнения движения точечной частицы в потенциале ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle m_{t}\,{\ddot {\vec {x}}}=-m_{g}{\vec {\nabla }}U}$

где – инертная масса и гравитационная масса. Поскольку согласно слабому принципу эквивалентности соответствующее уравнение движения ${\displaystyle m_{t}}$ ${\displaystyle m_{g}}$ ${\displaystyle m_{t}=m_{g}}$

${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}=-{\vec {\nabla }}U}$

больше не содержит ссылки на массу частицы. Следуя идее, что тогда решение уравнения является свойством кривизны пространства, строится связь так, что уравнение геодезических

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0}$

представляет собой уравнение движения точечной частицы в потенциале . Полученное соединение ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }=\gamma ^{\lambda \rho }U_{,\rho }\Psi _{\mu }\Psi _{\nu }}$

с и ( ). Связь была построена в одной инерциальной системе, но ее справедливость можно показать в любой инерциальной системе, показав инвариантность преобразований Галилея и относительно них. Тогда тензор кривизны Римана в инерциальной системе координат этой связи имеет вид ${\displaystyle \Psi _{\mu }=\delta _{\mu }^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu }=\delta _{A}^{\mu }\delta _{B}^{\nu }\delta ^{AB}}$ ${\displaystyle A,B=1,2,3}$ ${\displaystyle \Psi _{\mu }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\kappa \mu \nu }^{\lambda }=2\gamma ^{\lambda \sigma }U_{,\sigma [\mu }\Psi _{\nu ]}\Psi _{\kappa }}$

где скобки означают антисимметричную комбинацию тензора . Тензор Риччи имеет вид ${\displaystyle A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]}$ ${\displaystyle A_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\kappa \nu }=\Delta U\Psi _{\kappa }\Psi _{\nu }\,}$

что приводит к следующей геометрической формулировке уравнения Пуассона

${\displaystyle R_{\mu \nu }=4\pi G\rho \Psi _{\mu }\Psi _{\nu }}$

Более явно, если римские индексы i и j варьируются в пространственных координатах 1, 2, 3, то связь определяется выражением

${\displaystyle \Gamma _{00}^{i}=U_{,i}}$

тензор кривизны Римана по

${\displaystyle R_{0j0}^{i}=-R_{00j}^{i}=U_{,ij}}$

а тензор Риччи и скаляр Риччи -

${\displaystyle R=R_{00}=\Delta U}$

где все не перечисленные компоненты равны нулю.

Обратите внимание, что эта формулировка не требует введения понятия метрики: сама связь дает всю физическую информацию.

Лифт Баргманн

Было показано, что четырехмерная теория гравитации Ньютона-Картана может быть переформулирована как редукция Калуцы-Клейна пятимерной гравитации Эйнштейна вдоль нулевого направления. ^[9] Считается, что этот подъем полезен для нерелятивистских голографических моделей. ^[10]

Рекомендации

1. Картан, Эли (1923), «Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée (Première party)» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24033/asens. 751
2. Картан, Эли (1924), «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (Première party) (Suite)» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033/asens.753
3. Фридрихс, К.О. (1927), «Eine Invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und der Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz», Mathematische Annalen , 98 : 566–575, doi : 10.1007/bf01451608, S2CID  121571 333
4. Дауткур, Г. (1964), "Die Newtonische Gravitationstheorie als strenger Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie", Acta Physica Polonica , 65 : 637–646
5. Диксон, WG (1975), «Об уникальности ньютоновской теории как геометрической теории гравитации», Communications in Mathematical Physics , 45 (2): 167–182, Бибкод : 1975CMaPh..45..167D, doi : 10.1007/bf01629247, S2CID  120158054
6. Хавас, П. (1964), «Четырехмерные формулировки ньютоновской механики и их связь со специальной и общей теорией относительности», Reviews of Modern Physics , 36 (4): 938–965, Bibcode : 1964RvMP ... 36..938H, doi :10.1103/revmodphys.36.938
7. Кюнцле, Х. (1976), «Ковариантные ньютоновские границы лоренцева пространства-времени», Общая теория относительности и гравитация , 7 (5): 445–457, Бибкод : 1976GReGr...7..445K, doi : 10.1007/bf00766139 , S2CID  117098049
8. Траутман, А. (1965), Дезер, Юрген; Форд, К.В. (ред.), Основы и текущие проблемы общей теории относительности , том. 98, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл , стр. 1–248.
9. Дюваль, К.; Бурде, Г.; Кюнцле, HP; Перрин, М. (1985). «Структуры Баргмана и теория Ньютона-Картана». Физический обзор D . 31 (8): 1841–1853. Бибкод : 1985PhRvD..31.1841D. doi :10.1103/PhysRevD.31.1841. ПМИД  9955910.
10. Голдбергер, Уолтер Д. (2009). «Двойственность AdS/CFT для нерелятивистской теории поля». Журнал физики высоких энергий . 2009 (3): 069. arXiv : 0806.2867 . Бибкод : 2009JHEP...03..069G. дои : 10.1088/1126-6708/2009/03/069. S2CID  118553009.

Библиография

• Картан, Эли (1923), «Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée (Première party)» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24033/asens.751
• Картан, Эли (1924), «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (Première party) (Suite)» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033 /asens.753
• Картан, Эли (1955), Œuvres complètes , vol. III/1, Готье-Виллар, стр. 659, 799.
• Ренн, Юрген; Шеммель, Матиас, ред. (2007), Генезис общей теории относительности , том. 4, Спрингер, стр. 1107–1129.(Английский перевод статьи Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. # 40)
• Глава 1 книги Элерса, Юргена (1973), «Обзор общей теории относительности», в Израиле, Вернер (редактор), « Относительность, астрофизика и космология », Д. Рейдель, стр. 1–125, ISBN. 90-277-0369-8