Альтернативы общей теории относительности

Предлагаемые теории гравитации

Альтернативой общей теории относительности являются физические теории , которые пытаются описать явление гравитации , конкурируя с общей теорией относительности Эйнштейна . Было много различных попыток построить идеальную теорию гравитации . ^[1]

Эти попытки можно разделить на четыре широкие категории в зависимости от их масштаба. В этой статье обсуждаются простые альтернативы общей теории относительности, которые не связаны с квантовой механикой или объединением сил. Другие теории, которые пытаются построить теорию, используя принципы квантовой механики, известны как теории квантованной гравитации . В-третьих, существуют теории, которые пытаются объяснить гравитацию и другие силы одновременно; они известны как классические единые теории поля . Наконец, самые амбициозные теории пытаются одновременно выразить гравитацию в терминах квантовой механики и объединить силы; это называются теориями всего .

Ни одна из этих альтернатив общей теории относительности не получила широкого признания. Общая теория относительности выдержала множество испытаний , ^{[2] [3]} оставаясь согласующейся со всеми наблюдениями до сих пор. Напротив, многие из ранних альтернатив были окончательно опровергнуты. Однако некоторые альтернативные теории гравитации поддерживаются меньшинством физиков, и эта тема остается предметом интенсивного изучения в теоретической физике .

Мотивации

После общей теории относительности предпринимались попытки либо улучшить теории, разработанные до общей теории относительности, либо улучшить саму общую теорию относительности. Было предпринято множество различных стратегий, например, добавление спина к общей теории относительности, объединение метрики, подобной общей теории относительности, с пространством-временем, статическим по отношению к расширению Вселенной, и получение дополнительной свободы за счет добавления еще одного параметра. По крайней мере одна теория была мотивирована желанием разработать альтернативу общей теории относительности, свободную от сингулярностей.

Экспериментальные испытания совершенствовались вместе с теориями. Многие из различных стратегий, которые были разработаны вскоре после появления общей теории относительности, были заброшены, и появился толчок к разработке более общих форм сохранившихся теорий, чтобы теория была готова, когда какая-либо проверка показала несогласие с общей теорией относительности.

К 1980-м годам растущая точность экспериментальных испытаний подтвердила общую теорию относительности; не осталось конкурентов, кроме тех, которые включали общую теорию относительности как частный случай. Далее, вскоре после этого теоретики переключились на теорию струн, которая начинала выглядеть многообещающе, но с тех пор потеряла популярность. В середине 1980-х годов несколько экспериментов показали, что гравитация изменяется за счет добавления пятой силы (или, в одном случае, пятой, шестой и седьмой сил), действующей в диапазоне нескольких метров. Последующие эксперименты устранили их.

Мотивы для более поздних альтернативных теорий почти все космологические, связанные или заменяющие такие конструкции, как « инфляция », « темная материя » и « темная энергия ». Исследование аномалии «Пионер» вызвало возобновление общественного интереса к альтернативам общей теории относительности. ^{[ нужна цитата ]}

Обозначения в этой статье

${\displaystyle c\;}$это скорость света , это гравитационная постоянная . « Геометрические переменные » не используются. ${\displaystyle G\;}$

Латинские индексы идут от 1 до 3, греческие индексы — от 0 до 3. Используется правило суммирования Эйнштейна .

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\;}$— метрика Минковского . — тензор, обычно метрический тензор . Они имеют подпись (−,+,+,+). ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

Частное дифференцирование записывается или . Ковариантное дифференцирование записывается или . ${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi \;}$ ${\displaystyle \varphi _{,\mu }\;}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }\varphi \;}$ ${\displaystyle \varphi _{;\mu }\;}$

Общая теория относительности

Для сравнения с альтернативами формулы Общей теории относительности ^{[4] [5]} таковы:

${\displaystyle \delta \int ds=0\,}$

${\displaystyle {ds}^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\,}$

что также можно написать

${\displaystyle T^{\mu \nu }={c^{4} \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\,.}$

Действие Эйнштейна -Гильберта для общей теории относительности:

${\displaystyle S={c^{4} \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\ d^{4}x+S_{m}\,}$

где – гравитационная постоянная Ньютона, – кривизна пространства по Риччи , – действие массы. ${\displaystyle G\,}$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{~\mu }\,}$ ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })\,}$ ${\displaystyle S_{m}\,}$

Общая теория относительности — это тензорная теория, все уравнения содержат тензоры. С другой стороны, теории Нордстрема являются скалярными теориями, поскольку гравитационное поле является скаляром. Другие предложенные альтернативы включают скалярно-тензорные теории, которые содержат скалярное поле в дополнение к тензорам общей теории относительности, а также другие варианты, содержащие также векторные поля.

Классификация теорий

Теории гравитации можно условно разделить на несколько категорий. Большинство описанных здесь теорий имеют:

• « действие » (см. принцип наименьшего действия , вариационный принцип, основанный на понятии действия)
• лагранжева плотность
• метрика​

Если теория имеет лагранжеву плотность гравитации, скажем , то гравитационная часть действия является ее интегралом: ${\displaystyle L\,}$ ${\displaystyle S\,}$

${\displaystyle S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

В этом уравнении обычно, хотя и не обязательно, при использовании декартовых координат находится пространственная бесконечность. Например, действие Эйнштейна – Гильберта использует ${\displaystyle g=-1\,}$

${\displaystyle L\,\propto \,R}$

где R — скалярная кривизна , мера кривизны пространства.

Почти каждая теория, описанная в этой статье, имеет действие. Это наиболее эффективный из известных способов гарантировать, что необходимые законы сохранения энергии, импульса и углового момента учитываются автоматически; хотя легко построить действие, в котором эти законы сохранения нарушаются. Канонические методы предоставляют другой способ построения систем, обладающих необходимыми законами сохранения, но этот подход более громоздок в реализации. ^[6] В оригинальной версии MOND 1983 года не было действия.

Некоторые теории имеют действие, но не имеют лагранжевой плотности. Хорошим примером является Уайтхед ^[7] , действие там называется нелокальным.

Теория гравитации является «метрической теорией» тогда и только тогда, когда ей можно дать математическое представление, в котором выполняются два условия: Условие
1 : существует симметричный метрический тензор сигнатуры (−, +, +, +), который управляет Измерения собственной длины и собственного времени обычным способом специальной и общей теории относительности: ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

где происходит суммирование по индексам и . Условие 2 : Напряжённое вещество и поля, на которые действует сила тяжести, реагируют в соответствии с уравнением: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,}$

где – тензор энергии-импульса для всей материи и негравитационных полей, где – ковариантная производная по метрике и – символ Кристоффеля . Тензор энергии-импульса также должен удовлетворять энергетическому условию . ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,}$

Метрические теории включают (от самого простого к самому сложному):

• Скалярные теории поля (включая конформно плоские теории и стратифицированные теории с конформно плоскими срезами пространства)
  • Бергман
  • Коулман
  • Эйнштейн (1912)
  • Теория Эйнштейна – Фоккера
  • Ли — Лайтман — Ни
  • Литлвуд
  • Ни
  • Теория гравитации Нордстрема (первая разработанная метрическая теория гравитации)
  • Пейдж – Таппер
  • Папапетру
  • Розен (1971)
  • Уитроу – Мордух
  • Теория гравитации Йылмаза (попытка исключить из теории горизонты событий ).
• Квазилинейные теории (включая линейную фиксированную калибровку)
  • Боллини – Джамбьяджи – Тиомно
  • Дезер-Лоран
  • Теория гравитации Уайтхеда (предназначенная для использования только запаздывающих потенциалов )
• Тензорные теории
  • Общая теория относительности Эйнштейна
  • Гравитация четвертого порядка (позволяет лагранжиану зависеть от сокращений второго порядка тензора кривизны Римана)
  • f(R) гравитация (позволяет лагранжиану зависеть от более высоких степеней скаляра Риччи)
  • Гравитация Гаусса – Бонне
  • Теория гравитации Лавлока (позволяет лагранжиану зависеть от сокращений высшего порядка тензора кривизны Римана)
  • Бесконечная производная гравитация
• Скалярно-тензорные теории
  • Бекенштейн
  • Бергманн-Ваггонер
  • Теория Брана-Дикке (наиболее известная альтернатива общей теории относительности, призванная лучше применять принцип Маха)
  • Иордания
  • Нордтведт
  • Трии
  • Хамелеон
  • Прессурон
• Векторно-тензорные теории
  • Хеллингс- Нордтведт
  • Уилл — Нордтведт
• Биметрические теории
  • Лайтман — Ли
  • Расталл
  • Розен (1975)
• Другие метрические теории

(см. раздел «Современные теории» ниже)

Неметрические теории включают

• Белинфанте-Свихарт
• Теория Эйнштейна – Картана (предназначена для учета спин-орбитального обмена угловыми моментами)
• Кустаанхеймо (1967)
• Телепараллелизм
• Калибровочная теория гравитации

Здесь уместно сказать слово о принципе Маха, поскольку некоторые из этих теорий опираются на принцип Маха (например, Уайтхед ^[7] ), а многие упоминают его вскользь (например, Эйнштейн-Гроссман, ^[8] Бранс-Дике ^[9] ). Принцип Маха можно рассматривать как нечто среднее между Ньютоном и Эйнштейном. Это происходит следующим образом: ^[10]

• Ньютон: Абсолютное пространство и время .
• Мах: Система отсчета возникает из распределения материи во Вселенной.
• Эйнштейн: Не существует системы отсчета.

Теории с 1917 по 1980-е годы

На момент публикации в 17 веке теория гравитации Исаака Ньютона была самой точной теорией гравитации. С тех пор было предложено несколько альтернатив. Теории, которые предшествовали формулировке общей теории относительности в 1915 году, обсуждаются в истории теории гравитации .

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после общей теории относительности, но до наблюдений вращения галактик, которые привели к гипотезе « темной материи ». Здесь рассматриваются следующие (см. Уилл ^{[11] [12]} Ланг ^{[13] [14]} ):

Эти теории представлены здесь без космологической постоянной или добавленного скалярного или векторного потенциала, если не указано иное, по той простой причине, что необходимость в одном или обоих из них не была признана до наблюдений сверхновых в рамках Проекта космологии сверхновых и поиска сверхновых с высоким Z. Команда . Как добавить в теорию космологическую постоянную или квинтэссенцию, обсуждается в разделе «Современные теории» (см. Также действие Эйнштейна – Гильберта).

Скалярные теории поля

Скалярные теории поля Нордстрема ^{[50] [51]} уже обсуждались. Те из Литтлвуда, ^[23] Бергмана, ^[25] Йилмаза, ^[28] Уитроу и Мордуха ^{[30] [31]} и Пейджа и Таппера ^[35] следуют общей формуле, данной Пейджем и Таппером.

Согласно Пейджу и Тапперу ^[35] , которые обсуждают все это, за исключением Нордстрема, ^[51] общая теория скалярного поля исходит из принципа наименьшего действия:

${\displaystyle \delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0}$

где скалярное поле,

${\displaystyle \varphi ={\frac {GM}{r}}}$

и c может зависеть или не зависеть от . ${\displaystyle \varphi }$

В Нордстреме ^[50]

${\displaystyle f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }}$

В Литтлвуде ^[23] и Бергманне ^[25]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,}$

В Уитроу и Мордухе ^[30]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

В Уитроу и Мордухе ^[31]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right),\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

В Пейдже и Таппере ^[35]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)^{2}}$

Пейдж и Таппер ^[35] сопоставляют теорию Йылмаза ^[28] со вторым порядком, когда . ${\displaystyle \alpha =-7/2}$

Гравитационное отклонение света должно быть равно нулю, когда c постоянно. Учитывая, что переменная c и нулевое отклонение света противоречат эксперименту, перспектива успешной скалярной теории гравитации выглядит очень маловероятной. Более того, если параметры скалярной теории подобраны так, чтобы отклонение света было правильным, то гравитационное красное смещение, скорее всего, будет неправильным.

Ни ^[12] обобщил некоторые теории, а также создал еще две. В первом случае ранее существовавшая специальная теория относительности пространственно-временная и универсальная временная координата взаимодействуют с материей и негравитационными полями, создавая скалярное поле. Это скалярное поле вместе со всеми остальными генерирует метрику.

Действие:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi }$

Миснер и др. ^[52] дает это без термина. дело в действии. ${\displaystyle \varphi R}$ ${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle \Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi }+e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]}$

t — универсальная временная координата. Эта теория является самосогласованной и полной. Но движение Солнечной системы через Вселенную приводит к серьезному расхождению с экспериментом.

Во второй теории Ni ^[12] имеются две произвольные функции , связанные с метрикой соотношением: ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle k(\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )}$

Ни ^[12] цитирует Розена ^[40] как имеющего два скалярных поля , которые связаны с метрикой следующим образом: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

У Папапетру ^[21] гравитационная часть лагранжиана равна:

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)}$

У Папапетру ^[22] имеется второе скалярное поле . Гравитационная часть лагранжиана теперь равна: ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,}$

Биметрические теории

Биметрические теории содержат как нормальную тензорную метрику, так и метрику Минковского (или метрику постоянной кривизны), а также могут содержать другие скалярные или векторные поля.

Розен ^[53] (1975) биметрическая теория. Действие таково:

${\displaystyle S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}}$

${\displaystyle \Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)\,}$

Лайтман–Ли ^[45] разработал метрическую теорию, основанную на неметрической теории Белинфанте и Свихарта. ^{[26] [27]} Результат известен как теория BSLL. Учитывая тензорное поле , и две константы , действие следующее: ${\displaystyle B_{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle f\,}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu |\alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}}$

а тензор энергии-импульса получается из:

${\displaystyle a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/\eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)}$

В Расталле ^[49] метрика является алгебраической функцией метрики Минковского и векторного поля. ^[54] Действие:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu ;\nu }K_{\mu ;\nu }+S_{m}}$

где

${\displaystyle F(N)=-{\frac {N}{2+N}}}$ и ${\displaystyle N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;}$

(см. Уилл ^[11] об уравнении поля для и ). ${\displaystyle T^{\mu \nu }\;}$ ${\displaystyle K_{\mu }\;}$

Квазилинейные теории

В Уайтхеде ^[7] физическая метрика строится ( Singe ) алгебраически из метрики Минковского и переменных материи, поэтому у нее даже нет скалярного поля. Конструкция это: ${\displaystyle g\;}$ ${\displaystyle \eta \;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{\alpha }\right]^{-}}$

где верхний индекс (-) указывает на величины, оцененные вдоль прошлого светового конуса точки поля , а ${\displaystyle \eta \;}$ ${\displaystyle x^{\alpha }\;}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}}$

Тем не менее, метрическая конструкция (из неметрической теории) с использованием анзаца «сокращения длины» подвергается критике. ^[55]

Дезер и Лоран ^[34] и Боллини–Джамбиаджи–Тиомно ^[37] представляют собой теории с линейной фиксированной калибровкой. Используя подход квантовой теории поля, объедините пространство-время Минковского с калибровочно-инвариантным действием тензорного поля со спином два (т. е. гравитона), чтобы определить ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;}$

Действие:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;}$

Тождество Бьянки, связанное с этой частичной калибровочной инвариантностью, неверно. Линейные теории с фиксированной калибровкой пытаются исправить это, нарушая калибровочную инвариантность гравитационного действия посредством введения вспомогательных гравитационных полей, которые связаны с . ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

Космологическая постоянная может быть введена в квазилинейную теорию с помощью простого способа замены фона Минковского на пространство-время де Ситтера или анти-де Ситтера , как это предложил Дж. Темпл в 1923 году. Предложения Темпла о том, как это сделать, подверглись критике со стороны CB. Рейнер в 1955 году. ^[56]

Тензорные теории

Общая теория относительности Эйнштейна — это простейшая и правдоподобная теория гравитации, которая может быть основана только на одном симметричном тензорном поле (метрическом тензоре ). Другие включают: гравитацию Старобинского (R+R^2), гравитацию Гаусса – Бонне , гравитацию f(R) и теорию гравитации Лавлока .

Старобинский

Гравитация Старобинского, предложенная Алексеем Старобинским, имеет лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}\right]}$

и использовался для объяснения инфляции в форме инфляции Старобинского . Вот константа. ${\displaystyle M}$

Гаусс – Бонне

Гравитация Гаусса – Бонне имеет действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

где коэффициенты дополнительных членов выбираются так, что действие сводится к общей теории относительности в 4 измерениях пространства-времени, а дополнительные члены становятся нетривиальными только при введении большего количества измерений.

4-я производная гравитации Стеллы

Четвертая производная гравитации Стелла, которая является обобщением гравитации Гаусса – Бонне, имеет действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+f_{1}R^{2}+f_{2}R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+f_{3}R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

е(Р)

f(R) гравитация оказывает действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}f(R)}$

и представляет собой семейство теорий, каждая из которых определяется отдельной функцией скаляра Риччи. Гравитация Старобинского на самом деле является теорией. ${\displaystyle f(R)}$

Бесконечная производная гравитация

Бесконечная производная гравитации - это ковариантная теория гравитации, квадратичная по кривизне, без кручения и инвариантная по четности, ^[57]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[M_{p}^{2}R+Rf_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R+R^{\mu \nu }f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

и

${\displaystyle 2f_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+2f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)=0,}$

чтобы гарантировать, что в пропагаторе гравитонов вокруг фона Минковского распространяются только безмассовые компоненты спина -2 и спина -0. За пределами шкалы действие становится нелокальным и возвращается к общей теории относительности в инфракрасном диапазоне для энергий ниже нелокального масштаба . В ультрафиолетовом режиме, на расстояниях и масштабах времени ниже нелокального масштаба, гравитационное взаимодействие ослабевает достаточно, чтобы разрешить точечную сингулярность, что означает, что сингулярность Шварцшильда потенциально может быть разрешена в теориях гравитации с бесконечными производными . ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}^{-1}}$

Лавлок

Гравитация Лавлока имеет действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}$

и может рассматриваться как обобщение общей теории относительности.

Скалярно-тензорные теории

Все они содержат по крайней мере один свободный параметр, в отличие от общей теории относительности, в которой свободных параметров нет.

Хотя обычно это не считается скалярно-тензорной теорией гравитации, метрика Калуцы-Клейна 5 на 5 сводится к метрике 4 на 4 и одному скаляру. Таким образом, если пятый элемент рассматривать как скалярное гравитационное поле, а не как электромагнитное поле, то Калуцу-Клейна можно считать прародителем скалярно-тензорных теорий гравитации. Это было признано Тири. ^[20]

Скалярно-тензорные теории включают Тири, ^[20] Джордана, ^[24] Бранса и Дике, ^[9] Бергмана, ^[36] Нордтвельдта (1970), Вагонера, ^[39] Бекенштейна ^[47] и Баркера. ^[48]

Действие основано на интеграле от лагранжиана . ${\displaystyle S\;}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;}$

${\displaystyle S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}}$

где – разные безразмерные функции для каждой отдельной скалярно-тензорной теории. Функция играет ту же роль, что и космологическая постоянная в общей теории относительности. — безразмерная константа нормализации, которая фиксирует текущее значение . К скаляру можно добавить произвольный потенциал. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle G_{N}\;}$ ${\displaystyle G\;}$

Полная версия сохранилась у Бергмана ^[36] и Ваггонера. ^[39] Особыми случаями являются:

Нордтведт, ^[38] ${\displaystyle \lambda =0\;}$

Поскольку в то время все равно считалось, что это значение равно нулю, это не могло считаться существенной разницей. Роль космологической постоянной в более современных работах обсуждается в разделе «Космологическая постоянная». ${\displaystyle \lambda }$

Бранса–Дике, ^[9] постоянна ${\displaystyle \omega \;}$

Бекенштейн ^[47] теория переменной массы. Начиная с параметров и , найденных из космологического решения, определяет функцию тогда ${\displaystyle r\;}$ ${\displaystyle q\;}$ ${\displaystyle \varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;}$ ${\displaystyle f\;}$

${\displaystyle \omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;}$

Баркер ^[48] постоянная G-теория

${\displaystyle \omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}}$

Корректировка позволяет скалярным тензорным теориям приблизиться к общей теории относительности в пределах текущей эпохи. Однако в ранней Вселенной могли быть существенные отличия от общей теории относительности. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty \;}$

Пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, общие скалярно-тензорные теории (включая теории Бранса-Дикке ^[9] ) никогда не могут быть полностью исключены, но поскольку эксперименты продолжают подтверждать общую теорию относительности более точно, и параметры должны быть точно настроены. так что предсказания более точно соответствуют предсказаниям общей теории относительности.

Приведенные выше примеры являются частными случаями теории Хорндески , ^{[58] [59]} наиболее общего лагранжиана, построенного на основе метрического тензора и скалярного поля, приводящего к уравнениям движения второго порядка в 4-мерном пространстве. Было показано, что существуют жизнеспособные теории, выходящие за рамки Хорндески (с уравнениями движения более высокого порядка). ^{[60] [61] [62]}

Векторно-тензорные теории

Прежде чем мы начнем, Уилл (2001) сказал: «Многие альтернативные метрические теории, разработанные в 1970-х и 1980-х годах, можно рассматривать как теории «соломенного человека», изобретенные для того, чтобы доказать существование таких теорий или проиллюстрировать определенные свойства. Лишь немногие из них могли бы рассматриваться как хорошо мотивированные теории с точки зрения, скажем, теории поля или физики элементарных частиц. Примерами могут служить векторно-тензорные теории, изучаемые Уиллом, Нортведтом и Хеллингсом».

Хеллингс и Нордтведт ^[44] и Уилл и Нордтведт ^[43] являются векторно-тензорными теориями. Помимо метрического тензора существует времяподобное векторное поле. Гравитационное действие – это: ${\displaystyle K_{\mu }.}$

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu ;\nu }K^{\mu ;\nu }\right]+S_{m}}$

где константы и ${\displaystyle \omega ,\eta ,\epsilon ,\tau }$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=K_{\nu ;\mu }-K_{\mu ;\nu }.}$(См. Уилл ^[11] для уравнений поля для и ) ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }.}$

Уилл и Нордтведт ^[43] представляют собой особый случай, когда

${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1}$

Хеллингс и Нордведт ^[44] представляют собой частный случай, когда

${\displaystyle \tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega }$

Эти векторно-тензорные теории являются полуконсервативными, что означает, что они удовлетворяют законам сохранения импульса и углового момента, но могут иметь эффекты предпочтительной системы отсчета. Когда они сводятся к общей теории относительности, до тех пор, пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, никогда нельзя исключать общие векторно-тензорные теории. ${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =\tau =0}$

Другие метрические теории

Были предложены и другие метрические теории; теория Бекенштейна ^[63] обсуждается в разделе «Современные теории».

Неметрические теории

Теория Картана особенно интересна как потому, что это неметрическая теория, так и потому, что она очень стара. Статус теории Картана неясен. Уилл ^[11] утверждает, что все неметрические теории исключаются принципом эквивалентности Эйнштейна. Уилл (2001) смягчает это, объясняя экспериментальные критерии проверки неметрических теорий на соответствие принципу эквивалентности Эйнштейна. Миснер и др. ^[52] утверждает, что теория Картана является единственной неметрической теорией, которая выдержала все экспериментальные проверки до этого момента, а Турышев ^[64] относит теорию Картана к числу немногих, которые выдержали все экспериментальные проверки до этого момента. Ниже приводится краткий обзор теории Картана, изложенной Траутманом. ^[65]

Картан ^{[15] [16]} предложил простое обобщение теории гравитации Эйнштейна. Он предложил модель пространства-времени с метрическим тензором и линейной «связью», совместимой с метрикой, но не обязательно симметричной. Тензор кручения связи связан с плотностью собственного момента импульса. Независимо от Картана, аналогичные идеи были выдвинуты Скиамой и Кибблом в период с 1958 по 1966 год, кульминацией которых стал обзор 1976 года, проведенный Hehl et al.

Исходное описание дано в терминах дифференциальных форм, но в настоящей статье оно заменено более знакомым языком тензоров (рискуя потерять точность). Как и в общей теории относительности, лагранжиан состоит из безмассовой и массовой частей. Лагранжиан для безмассовой части равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}}}$

Это линейная связь. — полностью антисимметричный псевдотензор ( символ Леви-Чивита ) с и, как обычно, является метрическим тензором. Предположив, что линейная связь является метрической, можно устранить нежелательную свободу, присущую неметрической теории. Тензор энергии-импульса рассчитывается по формуле: ${\displaystyle \omega _{\nu }^{\mu }\;}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;}$ ${\displaystyle g^{\nu \xi }\,}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;}$

Кривизна пространства не является римановой, но в римановом пространстве-времени лагранжиан сводится к лагранжиану общей теории относительности.

Некоторые уравнения неметрической теории Белинфанте и Свихарта ^{[26] [27]} уже обсуждались в разделе, посвященном биметрическим теориям.

Отчетливо неметрическая теория представляет собой калибровочную теорию гравитации , которая заменяет метрику в своих уравнениях поля парой калибровочных полей в плоском пространстве-времени. С одной стороны, теория достаточно консервативна, поскольку по существу эквивалентна теории Эйнштейна–Картана (или общей теории относительности в пределе исчезновения спина), отличаясь главным образом природой своих глобальных решений. С другой стороны, она радикальна, поскольку заменяет дифференциальную геометрию геометрической алгеброй .

Современные теории с 1980-х по настоящее время

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после наблюдений вращения галактик, которые привели к гипотезе «темной материи». Не существует известного надежного списка для сравнения этих теорий. Здесь рассматриваются: Бекенштейн, ^[63] Моффат, ^[66] Моффат, ^[67] Моффат. ^{[68] [69]} Эти теории представлены с космологической постоянной или добавленным скалярным или векторным потенциалом.

Мотивации

Мотивы появления более поздних альтернатив общей теории относительности почти полностью космологические, связанные с такими конструкциями, как «инфляция», «темная материя» и «темная энергия», или заменяющие их. Основная идея состоит в том, что гравитация согласуется с общей теорией относительности в современную эпоху, но в ранней Вселенной она могла быть совершенно иной.

В 1980-х годах в мире физики медленно забрезжило осознание того, что существует несколько проблем, присущих нынешнему сценарию Большого взрыва, включая проблему горизонта и наблюдение о том, что в ранние времена, когда кварки только формировались, их было недостаточно. пространство во Вселенной содержит хотя бы один кварк. Теория инфляции была разработана для преодоления этих трудностей. Другой альтернативой было создание альтернативы общей теории относительности, согласно которой скорость света была выше в ранней Вселенной. Открытие неожиданных кривых вращения галактик застало всех врасплох. Может ли во Вселенной быть больше массы, чем мы думаем, или сама теория гравитации неверна? Сейчас консенсус заключается в том, что недостающая масса — это «холодная темная материя», но этот консенсус был достигнут только после того, как были опробованы альтернативы общей теории относительности, и некоторые физики до сих пор полагают, что альтернативные модели гравитации могут дать ответ.

В 1990-х годах исследования сверхновых обнаружили ускоренное расширение Вселенной, которое теперь обычно приписывают темной энергии . Это привело к быстрому восстановлению космологической постоянной Эйнштейна, и квинтэссенция стала альтернативой космологической постоянной. По крайней мере, одна новая альтернатива общей теории относительности попыталась объяснить результаты исследований сверхновых совершенно по-другому. Измерение скорости гравитации с помощью гравитационного события GW170817 исключило многие альтернативные теории гравитации как объяснения ускоренного расширения. ^{[70] [71] [72]} Еще одно наблюдение, вызвавшее недавний интерес к альтернативам Общей теории относительности, — это аномалия Пионера . Вскоре было обнаружено, что альтернативы общей теории относительности могут объяснить эту аномалию. Сейчас считается, что это объясняется неоднородным тепловым излучением.

Космологическая константа и квинтэссенция

Космологическая постоянная – очень старая идея, восходящая к Эйнштейну в 1917 ^году . с удвоенной силой вернулся, когда данные о сверхновых показали, что расширение Вселенной ускоряется ${\displaystyle \Lambda \;}$ ${\displaystyle \Lambda =0\;}$

Для начала давайте посмотрим, как это влияет на уравнения ньютоновской гравитации и общей теории относительности. В ньютоновской гравитации добавление космологической постоянной меняет уравнение Ньютона – Пуассона на:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;}$

к

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;}$

В общей теории относительности это меняет действие Эйнштейна – Гильберта с

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

к

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

что меняет уравнение поля

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\;}$

к

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;}$

В альтернативных теориях гравитации точно таким же образом к действию можно добавить космологическую постоянную.

Космологическая постоянная — не единственный способ получить ускоренное расширение Вселенной в альтернативе общей теории относительности. Мы уже видели, как скалярный потенциал можно добавить к скалярным тензорным теориям. Это также можно сделать в любой альтернативе общей теории относительности, содержащей скалярное поле, добавив член внутри лагранжиана для гравитационной части действия, части ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \varphi \;}$ ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;}$

Поскольку это произвольная функция скалярного поля, ее можно задать так, чтобы она давала ускорение, большое в ранней Вселенной и малое в современную эпоху. Это известно как квинтэссенция. ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$

Подобный метод можно использовать в альтернативах общей теории относительности, использующих векторные поля, включая теории Расталла ^[49] и векторно-тензорные теории. Член, пропорциональный

${\displaystyle K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;}$

добавляется к лагранжиану гравитационной части действия.

Теории Фарнса

В декабре 2018 года астрофизик Джейми Фарнс из Оксфордского университета предложил теорию темной жидкости , связанную с представлениями о гравитационно-отталкивающих отрицательных массах, которые ранее были представлены Альбертом Эйнштейном . Теория может помочь лучше понять значительные количества неизвестной темной материи и темной энергии во Вселенной . ^[73]

Теория опирается на концепцию отрицательной массы и вновь вводит тензор сотворения Фреда Хойла , чтобы обеспечить создание материи только для частиц с отрицательной массой. Таким образом, частицы отрицательной массы окружают галактики и оказывают на них давление, напоминая темную материю. Поскольку эти предполагаемые частицы взаимно отталкивают друг друга, они раздвигают Вселенную, тем самым напоминая темную энергию. Создание материи позволяет плотности экзотических частиц с отрицательной массой оставаться постоянной в зависимости от времени и поэтому выглядит как космологическая константа . Уравнения поля Эйнштейна модифицируются следующим образом:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)}$

Согласно бритве Оккама, теория Фарнса является более простой альтернативой традиционной модели LambdaCDM, поскольку и темная энергия, и темная материя (две гипотезы) решаются с использованием одной жидкости с отрицательной массой (одна гипотеза). Теорию можно будет непосредственно проверить с помощью крупнейшего в мире радиотелескопа Square Kilometer Array , который должен заработать в 2022 году. ^[74]

Релятивистский МОНД

Оригинальная теория МОНД Милгрома была разработана в 1983 году как альтернатива «темной материи». Отклонения от закона гравитации Ньютона определяются масштабом ускорения, а не масштабом расстояний. МОНД успешно объясняет наблюдение Талли-Фишера о том, что светимость галактики должна масштабироваться как четвертая степень скорости вращения. Это также объясняет, почему несоответствие вращения в карликовых галактиках особенно велико.

Вначале с MOND было несколько проблем.

1. Он не включал релятивистские эффекты.
2. Это нарушило закон сохранения энергии, импульса и момента импульса.
3. Оно было непоследовательным в том смысле, что давало разные галактические орбиты для газа и звезд.
4. В нем не говорилось, как рассчитать гравитационное линзирование скоплений галактик.

К 1984 году проблемы 2 и 3 были решены путем введения лагранжиана ( AQUAL ). Релятивистская версия этого явления, основанная на скалярно-тензорной теории, была отвергнута, поскольку она позволяла волнам в скалярном поле распространяться быстрее света. Лагранжиан нерелятивистской формы:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {\frac {|\nabla \varphi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right\rbrack -\rho \varphi }$

Релятивистская версия этого имеет:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde {f}}\left(\ell _{0}^{2}g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi \right)}$

с нестандартным массовым действием. Здесь и — произвольные функции, выбранные так, чтобы обеспечить поведение Ньютона и МОНД в правильных пределах, а — масштаб длины МОНД. К 1988 году второе скалярное поле (PCC) устранило проблемы с более ранней скалярно-тензорной версией, но противоречило прецессии перигелия Меркурия и гравитационному линзированию галактик и скоплений. К 1997 году MOND был успешно включен в стратифицированную релятивистскую теорию [Сандерс], но, поскольку это теория предпочтительной системы отсчета , у нее есть свои проблемы. Бекенштейн ^[63] представил тензорно-векторно-скалярную модель (TeVeS). Он имеет два скалярных поля и векторное поле . Действие разделено на части для гравитации, скаляров, вектора и массы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle l_{0}=c^{2}/a_{0}\;}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sigma \;}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}}$

Гравитационная часть такая же, как и в общей теории относительности.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}&=-{\frac {1}{2}}\int \left[\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{,\beta }+{\frac {1}{2}}G\ell _{0}^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{v}&=-{\frac {K}{32\pi G}}\int \left[g^{\alpha \beta }g^{\mu \nu }U_{[\alpha ,\mu ]}U_{[\beta ,\nu ]}-{\frac {2\lambda }{K}}\left(g^{\mu \nu }U_{\mu }U_{\nu }+1\right)\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{m}&=\int L\left({\tilde {g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\ldots \right){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-U^{\alpha }U^{\beta }}$

${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }=e^{2\varphi }g^{\alpha \beta }+2U^{\alpha }U^{\beta }\sinh(2\varphi )}$

${\displaystyle k,K}$— константы, квадратные скобки в индексах представляют собой антисимметризацию, — множитель Лагранжа (рассчитанный в другом месте), а L — лагранжиан, переведенный из плоского пространства-времени в метрику . Обратите внимание, что G не обязательно равна наблюдаемой гравитационной постоянной . F — произвольная функция, и ${\displaystyle U_{[\alpha ,\mu ]}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle G_{Newton}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {3}{4}}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }}$

приведен в качестве примера с правильной асимптотикой; обратите внимание, как оно становится неопределенным, когда ${\displaystyle \mu =1}$

Параметрические постньютоновские параметры этой теории рассчитаны в ^[75] , где показано, что все ее параметры равны параметрам общей теории относительности, за исключением

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {4G}{K}}\left((2K-1)e^{-4\varphi _{0}}-e^{4\varphi _{0}}+8\right)-8\\[5pt]\alpha _{2}&={\frac {6G}{2-K}}-{\frac {2G(K+4)e^{4\varphi _{0}}}{(2-K)^{2}}}-1\end{aligned}}}$

оба из которых выражены в геометрических единицах , где ; так ${\displaystyle c=G_{Newtonian}=1}$

${\displaystyle G^{-1}={\frac {2}{2-K}}+{\frac {k}{4\pi }}.}$

Теории Моффата

Дж. Моффат ^[66] разработал несимметричную теорию гравитации . Это не метрическая теория. Сначала утверждалось, что она не содержит горизонта черной дыры, но Бурко и Ори ^[76] обнаружили, что несимметричная теория гравитации может содержать черные дыры. Позже Моффат заявил, что его также применяли для объяснения кривых вращения галактик без привлечения «темной материи». Дамур, Дезер и Макарти ^[77] раскритиковали несимметричную теорию гравитации, заявив, что она имеет неприемлемое асимптотическое поведение.

Математика не сложна, но запутана, поэтому нижеприведенное представляет собой лишь краткий набросок. Начиная с несимметричного тензора , плотность лагранжа разбивается на ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle L=L_{R}+L_{M}\;}$

где то же, что и для материи в общей теории относительности. ${\displaystyle L_{M}\;}$

${\displaystyle L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;}$

где – член кривизны, аналогичный, но не равный кривизне Риччи в общей теории относительности, и – космологические константы, – антисимметричная часть . это соединение, и его немного сложно объяснить, поскольку оно определяется рекурсивно. Однако, ${\displaystyle R(W)\;}$ ${\displaystyle \lambda \;}$ ${\displaystyle \mu ^{2}\;}$ ${\displaystyle g_{[\nu \mu ]}\;}$ ${\displaystyle g_{\nu \mu }\;}$ ${\displaystyle W_{\mu }\;}$ ${\displaystyle W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;}$

Хауган и Кауфман ^[78] использовали измерения поляризации света, излучаемого галактиками, чтобы наложить жесткие ограничения на величину некоторых несимметричных параметров теории гравитации. Они также использовали эксперименты Хьюза-Древера, чтобы ограничить оставшиеся степени свободы. Их ограничения на восемь порядков жестче, чем предыдущие оценки.

Теория метрической асимметричной тензорной гравитации (MSTG) Моффата ^[68] способна предсказывать кривые вращения галактик без темной материи или MOND и утверждает, что она также может объяснить гравитационное линзирование скоплений галактик без темной материи. Оно имеет переменную , увеличивающуюся до окончательного постоянного значения примерно через миллион лет после Большого взрыва. ${\displaystyle G\;}$

Кажется, что теория содержит асимметричное тензорное поле и вектор тока источника . Действие разделено на: ${\displaystyle A_{\mu \nu }\;}$ ${\displaystyle J_{\mu }\;}$

${\displaystyle S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;}$

И гравитация, и масса соответствуют терминам общей теории относительности с космологической постоянной. Действие тела и связь материи тела:

${\displaystyle S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^{\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;}$

${\displaystyle S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu }\;}$

где

${\displaystyle F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }}$

и является символом Леви-Чивита . Связь по секулярному полю представляет собой связь Паули и является калибровочно-инвариантной для любого тока источника. Ток источника выглядит как фермионное поле материи, связанное с барионным и лептонным числом. ${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;}$

Скалярно-тензорно-векторная гравитация

Скалярно-тензорно-векторная гравитация Моффата ^[69] содержит тензорное, векторное и три скалярных поля. Но уравнения довольно просты. Действие разделено на: с терминами гравитации, векторного поля, скалярных полей и массы. — стандартный гравитационный член, за исключением того, что он перемещается внутрь интеграла. ${\displaystyle S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}}$ ${\displaystyle K_{\mu },}$ ${\displaystyle G,\omega ,\mu }$ ${\displaystyle S_{G}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{K}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\omega \left({\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }+V(K)\right),\qquad {\text{where }}\quad B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }.}$

${\displaystyle S_{S}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}{\frac {1}{G^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }G\,\nabla _{\nu }G-V(G)\right)+{\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\omega \,\nabla _{\nu }\omega -V(\omega )\right)+{1 \over \mu ^{2}G}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\mu \,\nabla _{\nu }\mu -V(\mu )\right).}$

Потенциальная функция векторного поля выбирается следующей:

${\displaystyle V(K)=-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }-{\frac {1}{4}}g\left(\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }\right)^{2}}$

где – константа связи. Функции, предполагаемые для скалярных потенциалов, не указаны. ${\displaystyle g}$

Бесконечная производная гравитация

Чтобы удалить призраки в модифицированном пропагаторе, а также получить асимптотическую свободу, Бисвас, Мазумдар и Сигел (2005) рассмотрели струнный бесконечный набор членов высших производных.

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)}$

где – экспонента целой функции оператора Даламбера . ^{[79] [80]} Это позволяет избежать сингулярности черной дыры вблизи начала координат и одновременно восстановить падение потенциала общей теории относительности на 1/r на больших расстояниях. ^[81] Лусто и Маццителли (1997) нашли точное решение этой теории, представляющее гравитационную ударную волну. ^[82] ${\displaystyle F(\Box )}$

Общая теория относительности самодействия (GRSI)

Модель самодействия общей теории относительности или GRSI ^[83] представляет собой попытку объяснить астрофизические и космологические наблюдения без темной материи и темной энергии путем добавления членов самодействия при расчете гравитационных эффектов в общей теории относительности , аналогичных терминам самодействия в общей теории относительности. квантовая хромодинамика . ^[84] Кроме того, модель объясняет соотношение Талли-Фишера , ^[85] соотношение радиального ускорения , ^[86] наблюдения, которые в настоящее время сложно понять в рамках Lambda-CDM .

Тестирование альтернатив общей теории относительности

Любая предполагаемая альтернатива общей теории относительности должна будет пройти множество тестов, чтобы стать принятой. Подробное описание этих тестов см. в Misner et al. ^[52] Глава 39, Уилл ^[11] Таблица 2.1 и Ni. ^[12] Большинство таких тестов можно отнести к следующим подразделам.

Самосогласованность

Самосогласованность среди неметрических теорий включает в себя исключение теорий, допускающих тахионы , призрачные полюса и полюса более высокого порядка, а также тех, у которых есть проблемы с поведением на бесконечности. Среди метрических теорий самосогласованность лучше всего иллюстрируется описанием нескольких теорий, которые не прошли этот тест. Классическим примером является теория поля со спином два Фирца и Паули; ^{В [17]} уравнения поля подразумевают, что гравитирующие тела движутся по прямым линиям, тогда как уравнения движения утверждают, что гравитация отклоняет тела от прямолинейного движения. Йылмаз (1971) ^[29] содержит тензорное гравитационное поле, используемое для построения метрики; это математически противоречиво, поскольку функциональная зависимость метрики от тензорного поля четко не определена.

Полнота

Чтобы быть полной, теория гравитации должна быть способна анализировать результаты каждого интересующего эксперимента. Поэтому она должна согласовываться с электромагнетизмом и всей остальной физикой. Например, любая теория, которая не может предсказать на основе первых принципов движение планет или поведение атомных часов, является неполной.

Многие ранние теории являются неполными, поскольку неясно, следует ли рассчитывать плотность, используемую теорией, на основе тензора энергии-импульса as или as , где - четырехскоростная скорость и - дельта Кронекера . Теории Тирри (1948) и Джордана ^[24] являются неполными, если параметр Жордана не установлен равным -1; в этом случае они соответствуют теории Бранса-Дикке ^[9] и поэтому заслуживают дальнейшего рассмотрения. Милн ^[19] является неполным, поскольку не дает предсказаний по гравитационному красному смещению. Теории Уитроу и Мордуха, ^{[30] [31],} Кустаанхеймо ^[32] и Кустаанхеймо и Нуотио ^[33] либо неполны, либо противоречивы. Включение уравнений Максвелла является неполным, если не предположить, что они наложены на плоское фоновое пространство-время, и когда это делается, они становятся противоречивыми, поскольку они предсказывают нулевое гравитационное красное смещение, когда используется волновая версия света (теория Максвелла). и ненулевое красное смещение, когда используется версия частицы (фотона). Другой, более очевидный пример — ньютоновская гравитация с уравнениями Максвелла; свет в виде фотонов отклоняется гравитационными полями (вполовину меньше, чем в общей теории относительности), а свет в виде волн — нет. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$ ${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \eta \;}$

Классические тесты

Существует три «классических» теста (начиная с 1910-х годов или ранее) способности теорий гравитации учитывать релятивистские эффекты; это гравитационное красное смещение , гравитационное линзирование (обычно тестируемое вокруг Солнца) и аномальное смещение перигелия планет. Каждая теория должна воспроизводить наблюдаемые результаты в этих областях, которые на сегодняшний день всегда соответствуют предсказаниям общей теории относительности. В 1964 году Ирвин И. Шапиро обнаружил четвертый тест, названный задержкой Шапиро . Его также обычно считают «классическим» тестом.

Соглашение с механикой Ньютона и специальной теорией относительности.

В качестве примера несогласия с ньютоновскими экспериментами можно привести теорию Биркгофа ^[18] , которая достаточно надежно предсказывает релятивистские эффекты, но требует, чтобы звуковые волны распространялись со скоростью света. Это было следствием допущения, сделанного для упрощения обработки столкновения масс. ^{[ нужна цитата ]}

Принцип эквивалентности Эйнштейна

Принцип эквивалентности Эйнштейна состоит из трех компонентов. Во-первых, это уникальность свободного падения, также известная как принцип слабой эквивалентности. Это выполняется, если инертная масса равна гравитационной массе. η — параметр, используемый для проверки максимально допустимого нарушения принципа слабой эквивалентности. Первые испытания принципа слабой эквивалентности были проведены Этвёшем до 1900 года и ограничили η до значения менее 5 × 10.⁻⁹ . Современные тесты сократили это значение до менее чем 5 × 10.⁻¹³ . Второе — лоренц-инвариантность. В отсутствие гравитационных эффектов скорость света постоянна. Тестовым параметром для этого является δ . Первые тесты лоренц-инвариантности были проведены Майкельсоном и Морли до 1890 года и ограничили δ до значения менее 5 × 10.⁻³ . Современные тесты снизили это значение до менее чем 1 × 10.⁻²¹ . Третий — локальная позиционная инвариантность, которая включает пространственную и временную инвариантность. Результат любого локального негравитационного эксперимента не зависит от того, где и когда он проводится. Пространственная локальная инвариантность положения проверяется с помощью измерений гравитационного красного смещения. Тестовым параметром для этого является α . Верхние пределы этого значения, установленные Паундом и Ребкой в ​​1960 году, ограничивали значение α менее 0,1. Современные тесты снизили это значение до менее чем 1 × 10.⁻⁴ . ^[2]

Гипотеза Шиффа утверждает, что любая полная, самосогласованная теория гравитации, воплощающая слабый принцип эквивалентности, обязательно воплощает принцип эквивалентности Эйнштейна. Это, вероятно, верно, если теория имеет полное сохранение энергии. Метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. Крайне немногие неметрические теории удовлетворяют этому требованию. Например, неметрическая теория Белинфанте и Свихарта ^{[26] [27]} устраняется формализмом THεμ для проверки принципа эквивалентности Эйнштейна. Гравитация калибровочной теории является заметным исключением, где сильный принцип эквивалентности по существу представляет собой минимальную связь калибровочной ковариантной производной .

Параметрический постньютоновский формализм

См. также «Тесты общей теории относительности» , Misner et al. ^[52] и Уилл ^[11] для получения дополнительной информации.

Работа над разработкой стандартизированного, а не специального набора тестов для оценки альтернативных моделей гравитации началась с Эддингтона в 1922 году и привела к созданию стандартного набора параметрических постньютоновских чисел в Нордтведте и Уилле ^[87] и Уилле и Нордтведте. ^[43] Каждый параметр измеряет отдельный аспект того, насколько теория отклоняется от ньютоновской гравитации. Поскольку здесь мы говорим об отклонении от теории Ньютона, они измеряют только эффекты слабого поля. Эффекты сильных гравитационных полей будут рассмотрены позже.

Вот эти десять: ${\displaystyle \gamma ,\beta ,\eta ,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4}.}$

• ${\displaystyle \gamma }$является мерой кривизны пространства, равной нулю для ньютоновской гравитации и единице для общей теории относительности.
• ${\displaystyle \beta }$является мерой нелинейности при добавлении гравитационных полей, одной из мер общей теории относительности.
• ${\displaystyle \eta }$— это проверка эффектов предпочтительного местоположения.
• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$измерить степень и характер «эффектов предпочтительной системы координат». Любая теория гравитации, в которой хотя бы один из трех ненулевой, называется теорией выделенной системы отсчета.
• ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4},\alpha _{3}}$измерить степень и характер нарушений глобальных законов сохранения. Теория гравитации обладает четырьмя законами сохранения энергии-импульса и шестью законами сохранения углового момента только в том случае, если все пять равны нулю.

Сильная гравитация и гравитационные волны

Параметрический постньютоновский подход является лишь мерой эффектов слабого поля. Сильные гравитационные эффекты можно наблюдать в компактных объектах, таких как белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры. Экспериментальные тесты, такие как стабильность белых карликов, скорость замедления вращения пульсаров, орбиты двойных пульсаров и существование горизонта черной дыры, могут быть использованы в качестве тестов, альтернативных общей теории относительности. Общая теория относительности предсказывает, что гравитационные волны распространяются со скоростью света. Многие альтернативы общей теории относительности утверждают, что гравитационные волны движутся быстрее света, возможно, нарушая причинно-следственную связь. После обнаружения в нескольких сообщениях слияния нейтронных звезд GW170817 , в котором световые и гравитационные волны, как было измерено, двигались с одинаковой скоростью с ошибкой 1/10 ¹⁵ , многие из этих модифицированных теорий гравитации были исключены.

Космологические тесты

Полезные тесты космологического масштаба только начинают становиться доступными. ^{[2] : 88} Учитывая ограниченность астрономических данных и сложность теорий, сравнения включают сложные параметры. Например, Рейес и др. ^[88] проанализировали 70 205 светящихся красных галактик с кросс-корреляцией, включающей оценки скорости галактик и гравитационные потенциалы, оцененные с помощью линзирования, но результаты все еще предварительны. ^{[1] : 164}

Для тех теорий, которые стремятся заменить темную материю, ограничениями выступают такие наблюдения, как кривая вращения галактики , соотношение Талли-Фишера , более высокая скорость вращения карликовых галактик и гравитационное линзирование из-за галактических скоплений. Для теорий, которые стремятся заменить инфляцию , самым строгим критерием является размер пульсаций в спектре космического микроволнового фонового излучения . Для тех теорий, которые включают или стремятся заменить темную энергию, в качестве тестов можно использовать результаты яркости сверхновой и возраста Вселенной. Еще одним испытанием является плоскостность Вселенной. Согласно общей теории относительности, сочетание барионной материи, темной материи и темной энергии делает Вселенную абсолютно плоской.

Результаты проверки теорий

Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий

( Подробнее см. Уилл ^[11] и Ni ^{[12] . Миснер и др. [52]} приводят таблицу для перевода параметров из обозначения Ni в обозначение Уилла)

Общей теории относительности уже более 100 лет, в течение которых одна альтернативная теория гравитации за другой не согласовывалась со все более точными наблюдениями. Одним из показательных примеров является параметризованный постньютоновский формализм . В следующей таблице перечислены параметрические постньютоновские значения для большого количества теорий. Если значение в ячейке совпадает со значением в заголовке столбца, то полную формулу будет слишком сложно включать сюда.

† Теория неполна и может принимать одно из двух значений. В списке указано значение, наиболее близкое к нулю. ${\displaystyle \zeta _{4}}$

На данный момент все экспериментальные тесты согласуются с общей теорией относительности, и поэтому параметрический постньютоновский анализ немедленно исключает все скалярные теории поля в таблице. Полный список параметрических постньютоновских параметров недоступен для Уайтхеда, ^[7] Дезера-Лорана, ^[34] Боллини-Джамбиаджи-Тиомино, ^[37] , но в этих трех случаях [ ^{нужна ссылка ]} что находится в сильном противоречии с Общая теория относительности и результаты экспериментов. В частности, эти теории предсказывают неправильные амплитуды земных приливов. (Незначительная модификация теории Уайтхеда позволяет избежать этой проблемы. Однако модификация предсказывает эффект Нордтведта , который был ограничен экспериментально.) ${\displaystyle \beta =\xi }$

Теории, которые не проходят другие проверки

Стратифицированные теории Ni, ^[42] Ли Лайтмана и Ni ^[46] не подходят, поскольку все они не могут объяснить продвижение перигелия Меркурия. Биметрические теории Лайтмана и Ли, ^[45] Розена, ^[41] Растолла ^[49] не проходят некоторые тесты, связанные с сильными гравитационными полями. Скалярно-тензорные теории включают общую теорию относительности как частный случай, но согласуются с параметрическими постньютоновскими значениями общей теории относительности только тогда, когда они равны общей теории относительности с точностью до экспериментальной ошибки. По мере того как экспериментальные тесты становятся более точными, отклонение скалярно-тензорных теорий от общей теории относительности сводится к нулю. То же самое и с векторно-тензорными теориями: отклонение векторно-тензорных теорий от общей теории относительности сводится к нулю. Кроме того, векторно-тензорные теории полуконсервативны; они имеют ненулевое значение, которое может оказать измеримое влияние на приливы и отливы на Земле. Неметрические теории, такие как Белинфанте и Суихарт ^{[26] [27]} , обычно не согласуются с экспериментальными проверками принципа эквивалентности Эйнштейна. И это не оставляет в качестве вероятной альтернативы общей теории относительности ничего, кроме, возможно, Картана. ^[15] Так было до тех пор, пока космологические открытия не подтолкнули к развитию современных альтернатив. ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Рекомендации

1. Клифтон, Тимоти; Педро Г. Феррейра; Антонио Падилья; Константинос Скордис (2012). «Модифицированная гравитация и космология». Отчеты по физике . 513 число 3 (1): 1–189. arXiv : 1106.2476 . Бибкод : 2012PhR...513....1C. doi :10.1016/j.physrep.2012.01.001. S2CID  119258154.
2. Уилл, Клиффорд М. (01 декабря 2014 г.). «Противостояние общей теории относительности и эксперимента». Живые обзоры в теории относительности . 17 (1): 4. arXiv : 1403,7377 . Бибкод : 2014LRR....17....4W. дои : 10.12942/lrr-2014-4 . ISSN  2367-3613. ПМК 5255900 . ПМИД  28179848. 
3. Асмодель, Э. (2017). «Испытания общей теории относительности: обзор». arXiv : 1705.04397v1 [physical.class-ph].
4. Эйнштейн, А (1916). «Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie». Аннален дер Физик . 49 (7): 769. Бибкод : 1916АнП...354..769Е. дои : 10.1002/andp.19163540702.
5. Эйнштейн, А. (1917) Über die Spezielle und die Allgemeinen Relativaätstheorie, Gemeinverständlich, Vieweg, Брауншвейг
6. Бойовальд, Каноническая гравитация и приложения, Cambridge University Press, 2001, глава 3, ISBN 978-0-521-19575-1 
7. Уайтхед, А.Н. (1922) Принципы относительности , Кембриджский университет. Нажимать
8. Эйнштейн А. и Гроссманн М. (1913), Zeitschrift für Mathematik und Physik 62, 225
9. Бранс, К.; Дике, Р.Х. (1961). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Физический обзор . 124 (3): 925–935. Бибкод : 1961PhRv..124..925B. doi : 10.1103/physrev.124.925.
10. это не совсем так, как первоначально заявил Мах, см. другие варианты принципа Маха.
11. Will, CM (первоначально опубликовано в 1981 г./пересмотренное издание 1993 г.) Теория и эксперимент в гравитационной физике , Cambridge Univ. Нажимать
12. Ni, Вэй-Тоу (1972). «Теоретические основы для проверки релятивистской гравитации. IV. Сборник метрических теорий гравитации и их ПОСТ-ньютоновских пределов». Астрофизический журнал . 176 : 769. Бибкод : 1972ApJ...176..769N. дои : 10.1086/151677.
13. Ланг, Р. (2002) Экспериментальные основы общей теории относительности
14. Несмотря на то, что презентации Турышева (2006) и Ланга (2002) являются важным источником для этой статьи, они содержат множество фактических ошибок.
15. Картан, É (1922). «Sur une обобщение понятия курбюры Римана и пространств кручения». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris (на французском языке). 174 : 593–595.
16. Картан, Э. (1923). «Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée» (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 3 (на французском языке). 40 : 325–412. дои : 10.24033/asens.751 .
17. Фирц, М.; Паули, В. (1939). «О релятивистских волновых уравнениях для частиц произвольного спина в электромагнитном поле». Труды Лондонского королевского общества А. 173 (953): 211–232. Бибкод : 1939RSPSA.173..211F. дои : 10.1098/rspa.1939.0140. S2CID  123189221.
18. Биркгоф, GD (1943). «Материя, электричество и гравитация в плоском пространстве-времени». Труды Национальной академии наук . 29 (8): 231–239. Бибкод : 1943PNAS...29..231B. дои : 10.1073/pnas.29.8.231 . ПМК 1078600 . ПМИД  16578082. 
19. Milne EA (1948) Кинематическая теория относительности , Clarendon Press, Оксфорд.
20. Тири, М. Ив (1948). «Уравнения единой теории Калуцы». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 226 : 216.
21. Папапетру, А. (1954). «Eine Theorie des Gravitationsfeldes mit einer Feldfunktion». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 139 (5). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 518–532. Бибкод : 1954ZPhy..139..518P. дои : 10.1007/bf01374560. ISSN  1434-6001. S2CID  121257875.
22. Папапетру, Ахиллес (1954). «Eine neue Theorie des Gravitationsfeldes. I». Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 12 (3–4). Уайли: 129–141. дои : 10.1002/мана.19540120301. ISSN  0025-584X.и Папапетру, Ахиллес (1954). «Новая теория гравитации. II». Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 12 (3–4). Уайли: 143–154. дои : 10.1002/мана.19540120302. ISSN  0025-584X.
23. Литтлвуд, Делавэр (1953). «Конформные преобразования и кинематическая относительность». Математические труды Кембриджского философского общества . 49 (1). Издательство Кембриджского университета (CUP): 90–96. Бибкод : 1953PCPS...49...90л. дои : 10.1017/s0305004100028085. ISSN  0305-0041. S2CID  122974469.
24. Джордан, П. (1955) Schwerkraft und Weltall, Vieweg, Брауншвейг
25. Бергман, О (1956). «Скалярная теория поля как теория гравитации». Американский журнал физики . 24 (1): 39. Бибкод : 1956AmJPh..24...38B. дои : 10.1119/1.1934129.
26. Белинфанте, Ф.Дж.; Суихарт, Дж. К. (1957a). «Феноменологическая линейная теория гравитации. Часть I». Анналы физики . 1 (2): 168. Бибкод : 1957AnPhy...1..168B. дои : 10.1016/0003-4916(57)90057-x.
27. Белинфанте, Ф.Дж.; Суихарт, Дж. К. (1957b). «Феноменологическая линейная теория гравитации. Часть II». Анналы физики . 2 : 196. дои : 10.1016/0003-4916(57)90058-1.
28. Йылмаз, Х (1958). «Новый подход к общей теории относительности». Физический обзор . 111 (5): 1417. Бибкод : 1958PhRv..111.1417Y. doi : 10.1103/physrev.111.1417.
29. Йылмаз, Х (1973). «Новый подход к теории относительности и гравитации». Анналы физики . 81 : 179–200. Бибкод : 1973AnPhy..81..179Y. дои : 10.1016/0003-4916(73)90485-5.
30. Whitrow, GJ ; Мордух, GE (1960). «Общая теория относительности и лоренц-инвариантные теории гравитации». Природа . 188 (4753): 790–794. Бибкод : 1960Natur.188..790W. дои : 10.1038/188790a0. S2CID  4194677.
31. Whitrow, GJ; Мордух, GE (1965). «Релятивистские теории гравитации». Перспективы в астрономии . 6 (1): 1–67. Бибкод : 1965ВА......6....1Вт. дои : 10.1016/0083-6656(65)90002-4.
32. Кустаанхеймо, П (1966). «Маршрутная зависимость гравитационного красного смещения». Письма по физике . 23 (1): 75–77. Бибкод : 1966PhL....23...75K. дои : 10.1016/0031-9163(66)90266-6.
33. Kustaanheimo, PE и Nuotio, VS (1967) Publ. Астрон. Обс. Хельсинки № 128
34. Дезер, С.; Лоран, Бельгия (1968). «Гравитация без самодействия». Анналы физики . 50 (1): 76–101. Бибкод : 1968AnPhy..50...76D. дои : 10.1016/0003-4916(68)90317-5.
35. Пейдж, К.; Таппер, Б. Я. (1968). «Скалярные теории гравитации с переменной скоростью света». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 138 : 67–72. Бибкод : 1968MNRAS.138...67P. дои : 10.1093/mnras/138.1.67.
36. Бергманн, PG (1968). «Комментарии к скалярно-тензорной теории». Международный журнал теоретической физики . 1 (1): 25–36. Бибкод : 1968IJTP....1...25B. дои : 10.1007/bf00668828. S2CID  119985328.
37. Боллини, CG; Джамбиаджи, Джей-Джей; Темно, Дж. (1970). «Линейная теория гравитации». Lettere al Nuovo Cimento . 3 (3): 65–70. дои : 10.1007/bf02755901. S2CID  123522840.
38. Нордтведт-младший, К. (1970). «Постньютоновская метрика для общего класса скалярно-тензорных теорий гравитации с наблюдательными последствиями». Астрофизический журнал . 161 : 1059. Бибкод : 1970ApJ...161.1059N. дои : 10.1086/150607 .
39. Вагонер, Роберт В. (1970). «Скалярно-тензорная теория и гравитационные волны». Физический обзор D . 1 (12): 3209–3216. Бибкод : 1970PhRvD...1.3209W. doi : 10.1103/PhysRevD.1.3209.
40. Розен, Н. (1971). «Теория гравитации». Физический обзор D . 3 (10): 2317. Бибкод : 1971PhRvD...3.2317R. doi :10.1103/physrevd.3.2317.
41. Розен, Н. (1975). «Биметрическая теория гравитации II». Общая теория относительности и гравитация . 6 (3): 259–268. Бибкод : 1975GReGr...6..259R. дои : 10.1007/BF00751570. S2CID  120122429.
42. Ni, Вэй-Тоу (1973). «Новая теория гравитации». Физический обзор D . 7 (10): 2880–2883. Бибкод : 1973PhRvD...7.2880N. doi : 10.1103/PhysRevD.7.2880.
43. Уилл, CM; Нордтведт-младший, К. (1972). «Законы сохранения и предпочтительные системы отсчёта в релятивистской гравитации I». Астрофизический журнал . 177 : 757. Бибкод : 1972ApJ...177..757W. дои : 10.1086/151754 .
44. Хеллингс, Рональд; Нордтведт, Кеннет (1973). «Векторно-метрическая теория гравитации». Физический обзор D . 7 (12): 3593–3602. Бибкод : 1973PhRvD...7.3593H. doi : 10.1103/PhysRevD.7.3593.
45. Лайтман, Алан; Ли, Дэвид (1973). «Новая двухметрическая теория гравитации с априорной геометрией». Физический обзор D . 8 (10): 3293–3302. Бибкод : 1973PhRvD...8.3293L. doi : 10.1103/PhysRevD.8.3293. hdl : 2060/19730019712 . S2CID  122756259.
46. Ли, Д.; Лайтман, А.; Ни, В. (1974). «Законы сохранения и вариационные принципы в метрических теориях гравитации». Физический обзор D . 10 (6): 1685–1700. Бибкод : 1974PhRvD..10.1685L. doi :10.1103/PhysRevD.10.1685.
47. Бекенштейн, Джейкоб (1977). «Являются ли массы покоя частиц переменными? Теория и ограничения из экспериментов в Солнечной системе». Физический обзор D . 15 (6): 1458–1468. Бибкод : 1977PhRvD..15.1458B. doi :10.1103/PhysRevD.15.1458.
48. Баркер, BM (1978). «Общая скалярно-тензорная теория гравитации с постоянной G». Астрофизический журнал . 219 : 5. Бибкод : 1978ApJ...219....5B. дои : 10.1086/155749.
49. Rastall, P (1979). «Ньютоновская теория гравитации и ее обобщение». Канадский физический журнал . 57 (7): 944–973. Бибкод : 1979CaJPh..57..944R. дои : 10.1139/стр79-133.
50. Нордстрем, Г (1912). «Принцип относительности и гравитация». Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 13 :1126.
51. Нордстрем, Г (1913). «Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitätsprinzips». Аннален дер Физик . 42 (13): 533. Бибкод : 1913АнП...347..533Н. дои : 10.1002/andp.19133471303.
52. Миснер, CW, Торн, KS и Уиллер, JA (1973) Гравитация, WH Freeman & Co.
53. Розен, Н. (1973). «Биметрическая теория гравитации». Общая теория относительности и гравитация . 4 (6): 435–447. Бибкод : 1973GReGr...4..435R. дои : 10.1007/BF01215403. S2CID  189831561.
54. Уилл (1981) называет это биметрическим, но я не понимаю, почему это не просто теория векторного поля.
55. Филд, Дж. Х. (2007). «Запаздывающие электрические и магнитные поля движущегося заряда: новый взгляд на вывод Фейнмана о потенциалах Льенара-Вихерта». arXiv : 0704.1574 [физика.класс-ph].
56. Гэри Гиббонс; Уилл (2008). «О множественных смертях теории гравитации Уайтхеда». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 39 (1): 41–61. arXiv : gr-qc/0611006 . Бибкод : 2008ШПМП..39...41Г. дои :10.1016/j.shpsb.2007.04.004. S2CID  17017857.См. Ронни Десмет и Мишель Вебер (под редакцией), Уайтхед. Алгебра метафизики. Меморандум Летнего института прикладной метафизики процессов, Лувен-ля-Нев, Éditions Chromatika, 2010.
57. Бисвас, Тиртхабир; Гервик, Эрик; Койвисто, Томи; Мазумдар, Анупам (2012). «К теориям гравитации без сингулярностей и призраков». Письма о физических отзывах . 108 (3): 031101. arXiv : 1110.5249 . Бибкод : 2012PhRvL.108c1101B. doi :10.1103/PhysRevLett.108.031101. PMID  22400725. S2CID  5517893.
58. Хорндески, Грегори Уолтер (1974-09-01). «Уравнения скалярно-тензорного поля второго порядка в четырехмерном пространстве». Международный журнал теоретической физики . 10 (6): 363–384. Бибкод : 1974IJTP...10..363H. дои : 10.1007/BF01807638. ISSN  0020-7748. S2CID  122346086.
59. Деффайе, К.; Эспозито-Фарезе, Г.; Викман, А. (3 апреля 2009 г.). «Ковариантный Галилеон». Физический обзор D . 79 (8): 084003. arXiv : 0901.1314 . Бибкод : 2009PhRvD..79h4003D. doi : 10.1103/PhysRevD.79.084003. ISSN  1550-7998. S2CID  118855364.
60. Сумалакарреги, Мигель; Гарсиа-Беллидо, Хуан (19 марта 2014 г.). «Преобразование гравитации: от производных связей с материей к скалярно-тензорным теориям второго порядка за пределами лагранжиана Хорндески». Физический обзор D . 89 (6): 064046. arXiv : 1308.4685 . Бибкод : 2014PhRvD..89f4046Z. doi : 10.1103/PhysRevD.89.064046. ISSN  1550-7998. S2CID  119201221.
61. Глейз, Жером; Ланглуа, Дэвид; Пьяцца, Федерико; Верницци, Филиппо (27 мая 2015 г.). «Здоровые теории за пределами Хорндески». Письма о физических отзывах . 114 (21): 211101. arXiv : 1404.6495 . Бибкод : 2015PhRvL.114u1101G. doi :10.1103/PhysRevLett.114.211101. ISSN  0031-9007. PMID  26066423. S2CID  119117834.
62. Ачур, Джибрил Бен; Крисостоми, Марко; Кояма, Казуя; Ланглуа, Дэвид; Нуи, Карим; Тасинато, Джанмассимо (декабрь 2016 г.). «Вырожденные скалярно-тензорные теории более высокого порядка за пределами Хорндески до кубического порядка». Журнал физики высоких энергий . 2016 (12): 100. arXiv : 1608.08135 . Бибкод : 2016JHEP...12..100A. дои : 10.1007/JHEP12(2016)100. ISSN  1029-8479. S2CID  59248448.
63. Бекенштейн, JD (2004). «Пересмотренная теория гравитации для модифицированной парадигмы ньютоновской динамики». Физический обзор D . 70 (8): 083509. arXiv : astro-ph/0403694 . Бибкод :2004PhRvD..70х3509B. doi : 10.1103/physrevd.70.083509.
64. Турышев, С.Г. (2006) Проверка гравитации в Солнечной системе, http://star-www.st-and.ac.uk/~hz4/workshop/workshopppt/turychev.pdf
65. Траутман, А. (1972) Об уравнениях Эйнштейна-Картана I, Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences 20, 185-190
66. Моффат (1995). «Несимметричная теория гравитации». Буквы по физике Б. 355 (3–4): 447–452. arXiv : gr-qc/9411006 . Бибкод : 1995PhLB..355..447M. дои : 10.1016/0370-2693(95)00670-G. S2CID  15879285.
67. Моффат (2003). «Биметрическая теория гравитации, изменение скорости света и затемнение сверхновых». Международный журнал современной физики Д. 12 (2): 281–298. arXiv : gr-qc/0202012 . Бибкод : 2003IJMPD..12..281M. дои : 10.1142/S0218271803002366. S2CID  12305911.
68. Моффат (2005). «Теория гравитации, кривые вращения галактик и космология без темной материи». Журнал космологии и физики астрочастиц . 2005 (5): 003. arXiv : astro-ph/0412195 . Бибкод : 2005JCAP...05..003M. дои : 10.1088/1475-7516/2005/05/003. S2CID  307531.
69. Моффат (2006). «Скалярно-тензорно-векторная теория гравитации». Журнал космологии и физики астрочастиц . 2006 (3): 004. arXiv : gr-qc/0506021 . Бибкод : 2006JCAP...03..004M. дои : 10.1088/1475-7516/2006/03/004. S2CID  17376981.
70. Ломбрайзер, Лукас; Лима, Нельсон (2017). «Проблемы самоускорения в модифицированной гравитации из-за гравитационных волн и крупномасштабной структуры». Буквы по физике Б. 765 : 382–385. arXiv : 1602.07670 . Бибкод : 2017PhLB..765..382L. doi :10.1016/j.physletb.2016.12.048. S2CID  118486016.
71. «Попытки разгадать загадку теории Эйнштейна могут скоро закончиться» . физ.орг . 10 февраля 2017 г. . Проверено 29 октября 2017 г.
72. Хаг Рзетельный (25 февраля 2017 г.). «Теоретическая битва: темная энергия против модифицированной гравитации». Арс Техника . Проверено 27 октября 2017 г.
73. Фарнс, Дж.С. (2018). «Объединяющая теория темной энергии и темной материи: отрицательные массы и создание материи в модифицированной структуре ΛCDM». Астрономия и астрофизика . 620 : А92. arXiv : 1712.07962 . Бибкод : 2018A&A...620A..92F. дои : 10.1051/0004-6361/201832898. S2CID  53600834.
74. Оксфордский университет (5 декабря 2018 г.). «Приведение Вселенной к равновесию: новая теория может объяснить отсутствие 95 процентов космоса». ЭврекАлерт! . Проверено 6 декабря 2018 г.
75. Саги, Ева (июль 2009 г.). «Предпочтительные параметры системы отсчета в тензорно-векторно-скалярной теории гравитации и ее обобщении». Физический обзор D . 80 (4): 044032. arXiv : 0905.4001 . Бибкод : 2009PhRvD..80d4032S. doi : 10.1103/PhysRevD.80.044032. S2CID  118854650.
76. Бурко, Л.М.; Ори, А. (1995). «Об образовании черных дыр в несимметричной гравитации». Письма о физических отзывах . 75 (13): 2455–2459. arXiv : gr-qc/9506033 . Бибкод : 1995PhRvL..75.2455B. doi : 10.1103/physrevlett.75.2455. PMID  10059316. S2CID  16615589.
77. Дамур; Дезер; Маккарти (1993). Несимметричная гравитация имеет неприемлемую глобальную асимптотику. arXiv : gr-qc/9312030 . Бибкод : 1993nghu.book.....D.
78. Хоган, Марк; Кауфманн, Тьерри (1996). «Новая проверка принципа эквивалентности Эйнштейна и изотропии пространства». Физический обзор D . 52 (6): 3168–3175. arXiv : gr-qc/9504032 . Бибкод : 1995PhRvD..52.3168H. doi :10.1103/physrevd.52.3168. PMID  10019545. S2CID  14791921.
79. Бисвас, Тиртхабир; Мазумдар, Анупам; Сигел, Уоррен (2006). «Прыгающие вселенные в струнной гравитации». Журнал космологии и физики астрочастиц . 2006 (3): 009. arXiv : hep-th/0508194 . Бибкод : 2006JCAP...03..009B. дои : 10.1088/1475-7516/2006/03/009. S2CID  7445076.
80. Бисвас, Тиртхабир; Конрой, Айндриу; Кошелев Алексей С.; Мазумдар, Анупам (2013). «Обобщенная гравитация квадратичной кривизны без призраков». Классическая и квантовая гравитация . 31 (1): 015022. arXiv : 1308.2319 . Бибкод : 2014CQGra..31a5022B. дои : 10.1088/0264-9381/31/1/015022. S2CID  119103482.
81. Бисвас, Тиртхабир; Гервик, Эрик; Койвисто, Томи; Мазумдар, Анупам (2011). «К сингулярности и теориям гравитации без призраков». Письма о физических отзывах . 108 (3): 031101. arXiv : 1110.5249 . Бибкод : 2012PhRvL.108c1101B. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.031101. PMID  22400725. S2CID  5517893.
82. Лусто, Карлос О; Маццителли, Франсиско Д. (1997). «Точная самосогласованная гравитационная ударная волна в квазиклассической гравитации». Физический обзор D . 56 (6): 3471–3477. arXiv : gr-qc/9611009 . Бибкод : 1997PhRvD..56.3471L. doi :10.1103/PhysRevD.56.3471. S2CID  5075915.
83. Окс, Евгений (2023). «Обзор последних достижений в области темной материи с точки зрения принципа бритвы Оккама». Новые обзоры астрономии . 96 : 101673. Бибкод : 2023NewAR..9601673O. дои : 10.1016/j.newar.2023.101673. ISSN  1387-6473. S2CID  256262366.
84. Дёр, Александр (2019). «Объяснение темной материи и темной энергии, согласующееся со Стандартной моделью физики элементарных частиц и общей теорией относительности». Евро. Физ. Жур. С.​ 79 (10): 883. arXiv : 1709.02481 . Бибкод : 2019EPJC...79..883D. doi : 10.1140/epjc/s10052-019-7393-0. S2CID  119218121.
85. Деур, А. (июнь 2009 г.). «Последствия взаимодействия гравитон-гравитон для темной материи». Буквы по физике Б. 676 (1–3): 21–24. arXiv : 0901.4005 . Бибкод : 2009PhLB..676...21D. doi :10.1016/j.physletb.2009.04.060.
86. Деур, А.; Сарджент, К.; Терзич, Б. (2020). «Значение гравитационных нелинейностей в динамике дисковых галактик». Астрофиз. Дж . 896 (2): 94. arXiv : 1909.00095 . Бибкод : 2020ApJ...896...94D. дои : 10.3847/1538-4357/ab94b6 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
87. Нордтведт-младший, К.; Уилл, СМ (1972). «Законы сохранения и предпочтительные системы отсчёта в релятивистской гравитации II». Астрофизический журнал . 177 : 775. Бибкод : 1972ApJ...177..775N. дои : 10.1086/151755 .
88. Рейес, Рейнабель; Мандельбаум, Рэйчел; Селяк, Урос; Бальдауф, Тобиас; Ганн, Джеймс Э.; Ломбрайзер, Лукас; Смит, Роберт Э. (2010). «Подтверждение общей теории относительности в больших масштабах на основе слабого линзирования и скоростей галактик». Природа . 464 (7286). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 256–258. arXiv : 1003.2185 . Бибкод : 2010Natur.464..256R. дои : 10.1038/nature08857. ISSN  0028-0836. PMID  20220843. S2CID  205219902.
89. Эйнштейн, А (1912). «Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes». Аннален дер Физик (на немецком языке). 38 (7): 355–369. Бибкод : 1912АнП...343..355Е. дои : 10.1002/andp.19123430704.
90. Эйнштейн, А (1912). «Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes». Аннален дер Физик (на немецком языке). 38 (7): 443. Бибкод : 1912АнП...343..443Е. дои : 10.1002/andp.19123430709.
91. Эйнштейн, А.; Фоккер, AD (1914). «Die Nordströmsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des Absoluten Differentkalküls». Аннален дер Физик . 44 (10): 321–328. Бибкод : 1914АнП...349..321Е. дои : 10.1002/andp.19143491009.

Внешние ссылки

• Кэрролл, Шон . Видеолекция-обсуждение возможностей и ограничений пересмотра общей теории относительности. Темная энергия или что еще хуже: был ли Эйнштейн не прав? на ютубе