Решения уравнений поля Эйнштейна

Решения уравнений поля Эйнштейна — это метрики пространства-времени , полученные в результате решения уравнений поля Эйнштейна (УЭЭ) общей теории относительности . Решение уравнений поля дает многообразие Лоренца . Решения в широком смысле подразделяются на точные и неточные .

Уравнения поля Эйнштейна:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\,=\kappa T_{\mu \nu },}$

где – тензор Эйнштейна , – космологическая постоянная (иногда для простоты принимаемая за ноль), – метрический тензор , – константа, – тензор энергии-импульса . ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

Уравнения поля Эйнштейна связывают тензор Эйнштейна с тензором энергии-импульса, который представляет распределение энергии, импульса и напряжения в многообразии пространства-времени. Тензор Эйнштейна состоит из метрического тензора и его частных производных; таким образом, учитывая тензор энергии-импульса, уравнения поля Эйнштейна представляют собой систему десяти уравнений в частных производных , в которой можно решить метрический тензор.

Там, где это уместно, в этой статье будет использоваться абстрактная индексная нотация .

Решение уравнений

Важно понимать, что во многих случаях одних уравнений поля Эйнштейна недостаточно для определения эволюции гравитационной системы. Они зависят от тензора энергии-импульса , который зависит от динамики материи и энергии (например, траекторий движущихся частиц), которая, в свою очередь, зависит от гравитационного поля. Если кого-то интересует только предел слабого поля теории, динамику материи можно вычислить с использованием специальных методов относительности и / или законов гравитации Ньютона, а затем полученный тензор энергии-импульса можно включить в уравнения поля Эйнштейна. Но если требуется точное решение или решение, описывающее сильные поля, эволюцию метрики и тензора энергии-импульса необходимо решать вместе.

Для получения решений соответствующими уравнениями являются приведенные выше EFE (в любой форме) плюс уравнение неразрывности (для определения эволюции тензора энергии-напряжения):

${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}\,=0\,.}$

Этого явно недостаточно, так как имеется всего 14 уравнений (10 из уравнений поля и 4 из уравнения неразрывности) для 20 неизвестных (10 метрических компонент и 10 компонент тензора энергии-импульса). Уравнения состояния отсутствуют. В самом общем случае легко увидеть, что требуется как минимум еще 6 уравнений, а возможно, и больше, если существуют внутренние степени свободы (например, температура), которые могут меняться в пространстве-времени.

На практике обычно можно упростить задачу, заменив полный набор уравнений состояния простым приближением. Некоторые распространенные приближения:

• Вакуум :

${\displaystyle T_{ab}\,=0}$

• Идеальная жидкость :

${\displaystyle T_{ab}\,=(\rho +p)u_{a}u_{b}+pg_{ab}}$где ${\displaystyle u^{a}u_{a}=-1}$

Здесь – плотность массы-энергии, измеренная в мгновенной сопутствующей системе отсчета, – векторное поле четырех скоростей жидкости, – давление. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u_{a}}$ ${\displaystyle p}$

• Невзаимодействующая пыль (частный случай идеальной жидкости):

${\displaystyle T_{ab}\,=\rho u_{a}u_{b}}$

Для идеальной жидкости необходимо добавить еще одно уравнение состояния, связывающее плотность и давление . Это уравнение часто зависит от температуры, поэтому требуется уравнение теплопередачи или постулат о том, что теплообменом можно пренебречь. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$

Далее обратите внимание, что только 10 из исходных 14 уравнений являются независимыми, поскольку уравнение неразрывности является следствием уравнений Эйнштейна. Это отражает тот факт, что система является калибровочно-инвариантной (вообще, при отсутствии некоторой симметрии любой выбор криволинейной координатной сети в той же системе будет соответствовать численно другому решению). Требуется «фиксация калибровки», т.е. нам нужно наложить 4 (произвольных) ограничения на систему координат, чтобы получить однозначные результаты. Эти ограничения известны как координатные условия . ${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$

Популярным выбором датчика является так называемый «датчик Де Дондера», также известный как гармоническое условие или гармонический датчик.

${\displaystyle g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }=0\,.}$

В числовой теории относительности предпочтительной калибровкой является так называемое «разложение 3+1», основанное на формализме ADM . В этом разложении метрика записывается в виде

${\displaystyle ds^{2}\,=(-N+N^{i}N^{j}\gamma _{ij})dt^{2}+2N^{i}\gamma _{ij}dtdx^{j}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$, где ${\displaystyle i,j=1\dots 3\,.}$

${\displaystyle N}$и являются функциями пространственно-временных координат и могут выбираться произвольно в каждой точке. Остальные физические степени свободы содержатся в , которая представляет собой риманову метрику на 3-гиперповерхностях с постоянной . Например, наивный выбор , , будет соответствовать так называемой синхронной системе координат: той, в которой координата t совпадает с собственным временем для любого сопутствующего наблюдателя (частицы, которая движется по фиксированной траектории). ${\displaystyle N^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N_{i}=0}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Как только уравнения состояния выбраны и калибровка зафиксирована, можно решить полный набор уравнений. К сожалению, даже в простейшем случае гравитационного поля в вакууме (исчезающий тензор энергии-импульса) проблема слишком сложна, чтобы ее можно было точно решить. Чтобы получить физические результаты, мы можем либо обратиться к численным методам , попытаться найти точные решения путем наложения симметрии , либо попробовать промежуточные подходы, такие как методы возмущений или линейные аппроксимации тензора Эйнштейна .

Точные решения

Точные решения — это метрики Лоренца , соответствующие физически реалистичному тензору энергии-импульса и полученные путем решения ЭФЭ точно в замкнутой форме .

Внешняя ссылка

Статья в Scholarpedia на эту тему, написанная Малкольмом МакКаллумом.

Неточные решения

Решения, которые не являются точными, называются неточными решениями . Такие решения в основном возникают из-за сложности решения ЭФЭ в замкнутой форме и часто принимают форму приближений к идеальным системам. Многие неточные решения могут быть лишены физического содержания, но служат полезными контрпримерами теоретическим догадкам.

Аль Момин утверждает, что решение этих уравнений Курта Гёделя не описывает нашу Вселенную и, следовательно, является приближением. ^[1]

Приложения

Существуют как практические, так и теоретические причины для изучения решений уравнений поля Эйнштейна.

С чисто математической точки зрения интересно знать множество решений уравнений поля Эйнштейна. Некоторые из этих решений параметризуются одним или несколькими параметрами. С физической точки зрения знание решений уравнений поля Эйнштейна позволяет с высокой точностью моделировать астрофизические явления, включая черные дыры, нейтронные звезды и звездные системы. Прогнозы относительно анализируемой системы можно делать аналитически; такие предсказания включают прецессию перигелия Меркурия , существование области совместного вращения внутри вращающихся черных дыр и орбиты объектов вокруг массивных тел.

Смотрите также

• исчисление Риччи
• Альберт Эйнштейн

Рекомендации

1. Аль Момин (24 марта 2002 г.). «Решение Гёделя уравнениям поля Эйнштейна» (PDF) . www.math.nyu.edu .

• Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . ISBN WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0.
• Дж. А. Уиллер; И. Чуфолини (1995). Гравитация и инерция . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-03323-5.
• РДЖА Ламбурн (2010). Теория относительности, гравитации и космологии . Открытый университет , издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-13138-4.