Телепараллелизм

Телепараллелизм (также называемый телепараллельной гравитацией ) был попыткой Альберта Эйнштейна ^[1] основать единую теорию электромагнетизма и гравитации на математической структуре удаленного параллелизма, также называемого абсолютным или телепараллелизмом. В этой теории пространство-время характеризуется линейной связью без кривизны в сочетании с метрическим тензорным полем, которые определяются в терминах динамического тетрадного поля.

Телепараллельное пространство-время

Важнейшей новой идеей для Эйнштейна было введение тетрадного поля, т. е. набора ${X 1, X 2, X 3, X 4}$ четырех векторных полей , определенных на всем M $,$ таких, что для каждого $p \in M$ множество ${X 1 (p), X$ $2$ $($ $p$ $)$ $, X$ $3$ $($ $p$ $), X$ $4$ $($ $p$ $)}$ является базисом T $p$ $M$ , где $T$ $p$ $M$ обозначает слой над $p$ касательного векторного расслоения $TM$ . Следовательно, четырехмерное пространственно -временное многообразие $M$ должно быть параллелизуемым многообразием . Поле тетрад было введено, чтобы обеспечить возможность удаленного сравнения направлений касательных векторов в разных точках многообразия, отсюда и название удаленного параллелизма. Его попытка провалилась, поскольку в его упрощенном уравнении поля не было решения Шварцшильда.

Фактически, можно определить соединение распараллеливания (также называемое соединением Вайценбека ) ${X i}$ как линейное соединение $\nabla$ на $M$ такое, что ^[2]

$\nabla _{v}\left(f^{i}\mathrm {X} _{i}\right)=\left(vf^{i}\right)\mathrm {X} _{i}(p),$

где $v \in T p M$ и $fi —$ (глобальные) функции на $M$ ; таким образом, $f i X i$ — глобальное векторное поле на $M$ . Другими словами, все коэффициенты связности Вейценбека $\nabla$ относительно ${X i}$ тождественно равны нулю, что неявно определяется следующим образом:

$\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}=0,$

следовательно

${W^{k}}_{ij}=\omega ^{k}\left(\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}\right)\equiv 0,$

для коэффициентов связи (также называемых коэффициентами Вайценбека) в этом глобальном базисе. Здесь $ω k$ — двойственный глобальный базис (или кофрейм), определяемый формулой $ω i (X j) = δ я Дж$ .

Это то, что обычно происходит в $Rn$ $,$ в любом аффинном пространстве или группе Ли (например, «искривленная» сфера $S3,$ но «плоское» многообразие Вейценбека).

Используя закон преобразования связности или, что то же самое, свойства $\nabla$ , мы получаем следующий результат.

Предложение . В естественном базисе, связанном с локальными координатами $(U, x µ)$ , т. е. в голономной системе отсчета $\partial µ$ , (локальные) коэффициенты связности связи Вайценбека задаются формулой:
${\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }=h_{i}^{\beta }\partial _{\nu }h_{\mu }^{i},$
где $X i = h мкм я \partial µ$ для $i, µ = 1, 2,\dots n$ — локальные выражения глобального объекта, то есть данной тетрады.

Связность Вайценбека имеет исчезающую кривизну , но, вообще говоря, неисчезающее кручение .

Учитывая поле кадра ${X i}$ , можно также определить метрику, представляя поле кадра как ортонормированное векторное поле. Тогда можно было бы получить псевдориманово метрическое тензорное поле $g$ сигнатуры (3,1) по формуле

$g\left(\mathrm {X} _{i},\mathrm {X} _{j}\right)=\eta _{ij},$

где

$\eta _{ij}=\operatorname {diag} (-1,-1,-1,1).$

Соответствующее базовое пространство-время в этом случае называется пространством-временем Вайценбека . ^[3]

Стоит отметить, что эти «параллельные векторные поля» порождают метрический тензор в качестве побочного продукта.

Новая теория телепараллельной гравитации

Новая теория телепараллельной гравитации (или новая общая теория относительности ) представляет собой теорию гравитации в пространстве-времени Вайценбека и приписывает гравитацию тензору кручения, образованному из параллельных векторных полей.

В новой теории телепараллельной гравитации фундаментальные предположения заключаются в следующем:

В основе пространства-времени лежит пространство-время Вайценбека, фундаментальной структурой которого является четверка параллельных векторных полей. Эти параллельные векторные поля порождают метрический тензор как побочный продукт. Все физические законы выражаются уравнениями, ковариантными или инвариантными по форме относительно группы общих преобразований координат.
Принцип эквивалентности справедлив только в классической физике.
Уравнения гравитационного поля выводятся из принципа действия.
Уравнения поля представляют собой уравнения в частных производных по полевым переменным не выше второго порядка.

В 1961 году Кристиан Мёллер ^[4] возродил идею Эйнштейна, а Пеллегрини и Плебански ^[5] нашли лагранжеву формулировку абсолютного параллелизма .

Тетрадная теория гравитации Мёллера

В 1961 г. Мёллер ^[4]^[6] показал, что тетрадное описание гравитационных полей позволяет более рационально трактовать комплекс энергии-импульса , чем теория, основанная только на метрическом тензоре . Преимущество использования тетрад в качестве гравитационных переменных было связано с тем, что это позволяло строить выражения для комплекса энергии-импульса, обладающие более удовлетворительными трансформационными свойствами, чем в чисто метрической формулировке. В 2015 году было показано, что полная энергия материи и гравитации пропорциональна скаляру Риччи трехмерного пространства с точностью до линейного порядка возмущения. ^[7]

Новый перевод телепараллельной калибровочной теории гравитации

Независимо в 1967 году Хаяси и Накано ^[8] возродили идею Эйнштейна, а Пеллегрини и Плебански ^[5] начали формулировать калибровочную теорию группы сдвигов пространства-времени . ^{[ нужны разъяснения ]} Хаяси указал на связь между калибровочной теорией группы перевода пространства-времени и абсолютным параллелизмом. Первую формулировку пучка волокон предложил Чо. ^[9] Эта модель позже изучалась Швейцером и др., ^[10] Нитшем и Хель, Мейером; ^{[ нужна цитация ]} более поздние достижения можно найти у Альдрованди и Перейры, Гронвальда, Итина, Малуфа и да Роча Нето, Мюнха, Обухова и Перейры, а также Шукинга и Суровица. ^{[ нужна цитата ]}

В настоящее время телепараллелизм изучается исключительно как теория гравитации ^[11] без попыток объединить ее с электромагнетизмом. В этой теории гравитационное поле оказывается полностью представленным трансляционным калибровочным потенциалом $B a µ$ , как и должно быть в калибровочной теории для группы трансляций.

Если этот выбор сделан, то никакой лоренцевой калибровочной симметрии больше не существует , поскольку внутренний слой пространства Минковского — над каждой точкой пространственно-временного многообразия — принадлежит расслоению с абелевой группой $R$ $4$ в качестве структурной группы . Однако трансляционную калибровочную симметрию можно ввести следующим образом: вместо того, чтобы рассматривать тетрады как фундаментальные, мы вместо этого вводим фундаментальную трансляционную калибровочную симметрию $R$ $4$ (которая действует на внутренние слои пространства Минковского аффинно, так что этот слой снова становится локальным) с связь $B$ и «координатное поле» $x$ , принимающее значения в слое пространства Минковского.

Точнее, пусть $π : M \to M$ — расслоение Минковского над пространственно-временным многообразием $M$ . Для каждой точки $p$ $\in$ $M$ слой $Mp$ $является$ аффинным пространством . В диаграмме слоя $($ $V$ $,$ $ψ$ $)$ координаты обычно обозначаются как $ψ$ $= ($ $x$ $µ$ $,$ $x$ $a$ $)$ , где $x$ $µ$ — координаты на пространственно-временном многообразии $M$ , а $x$ $a$ — координаты в слое $M$ $p$ .

Используя обозначение абстрактного индекса , пусть $a, b, c,\dots$ относятся к $M p$ , а $µ, ν,\dots$ относятся к касательному расслоению $TM$ . В любой конкретной калибровке значение $x a$ в точке p определяется сечением

$x^{\mu }\to \left(x^{\mu },x^{a}=\xi ^{a}(p)\right).$

Ковариантная производная

$D_{\mu }\xi ^{a}\equiv \left(d\xi ^{a}\right)_{\mu }+{B^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }$

определяется относительно формы связности $B$ , 1-формы, принимающей значения в алгебре Ли трансляционной абелевой группы $R 4$ . Здесь d — внешняя производная $a$ - го компонента x $,$ который является скалярным полем (так что это не чисто абстрактное обозначение индекса). При калибровочном преобразовании полем сдвига $α a$

$x^{a}\to x^{a}+\alpha ^{a}$

${B^{a}}_{\mu }\to {B^{a}}_{\mu }-\partial _{\mu }\alpha ^{a}$

и поэтому ковариантная производная $x a = ξ a (p)$ является калибровочно-инвариантной . Это отождествляется с трансляционной (ко-) тетрадой.

${h^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }$

которая представляет собой одноформу , принимающую значения в алгебре Ли трансляционной абелевой группы $R 4$ , следовательно, она калибровочно-инвариантна. ^[12] Но что это значит? $x a = ξ a (p)$ — локальное сечение (чисто трансляционного) аффинного внутреннего расслоения $M \to M$ , еще одна важная структура в дополнение к трансляционному калибровочному полю $B a µ$ . Геометрически это поле определяет происхождение аффинных пространств; он известен как радиус-вектор Картана . В рамках калибровочной теории одноформа

$h^{a}={h^{a}}_{\mu }dx^{\mu }=\left(\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }\right)dx^{\mu }$

возникает как нелинейное трансляционное калибровочное поле с $ξ a,$ интерпретируемое как поле Голдстоуна, описывающее спонтанное нарушение трансляционной симметрии.

Грубая аналогия: представьте себе $M p$ как экран компьютера, а внутреннее смещение — как положение указателя мыши. Думайте об изогнутом коврике для мыши как о пространстве-времени, а о положении мыши — как о положении. Сохраняя ориентацию мыши фиксированной, если мы перемещаем мышь по изогнутому коврику, положение указателя мыши (внутреннее смещение) также меняется, и это изменение зависит от пути; т.е. оно не зависит только от начального и конечного положения мыши. Изменение внутреннего смещения при перемещении мыши по замкнутому пути на коврике — это кручение.

Еще одна грубая аналогия: представьте себе кристалл с линейными дефектами ( краевыми и винтовыми дислокациями , но не дисклинациями ). Параллельный транспорт точки M по пути определяется путем подсчета количества пересеченных кристаллических связей (вверх/вниз, вперед/назад и влево/вправо). Вектор Бюргерса соответствует кручению. Наклоны соответствуют кривизне, поэтому ими пренебрегают.

Кручение — то есть поступательная напряженность поля телепараллельной гравитации (или поступательная «кривизна») —

${T^{a}}_{\mu \nu }\equiv \left(DB^{a}\right)_{\mu \nu }=D_{\mu }{B^{a}}_{\nu }-D_{\nu }{B^{a}}_{\mu },$

является калибровочным инвариантом .

We can always choose the gauge where $x a$ is zero everywhere, although $M p$ is an affine space and also a fiber; thus the origin must be defined on a point-by-point basis, which can be done arbitrarily. This leads us back to the theory where the tetrad is fundamental.

Teleparallelism refers to any theory of gravitation based upon this framework. There is a particular choice of the action that makes it exactly equivalent^[9] to general relativity, but there are also other choices of the action which are not equivalent to general relativity. In some of these theories, there is no equivalence between inertial and gravitational masses.^[13]

Unlike in general relativity, gravity is due not to the curvature of spacetime but to the torsion thereof.

Non-gravitational contexts

There exists a close analogy of geometry of spacetime with the structure of defects in crystal.^[14]^[15] Dislocations are represented by torsion, disclinations by curvature. These defects are not independent of each other. A dislocation is equivalent to a disclination-antidisclination pair, a disclination is equivalent to a string of dislocations. This is the basic reason why Einstein's theory based purely on curvature can be rewritten as a teleparallel theory based only on torsion. There exists, moreover, infinitely many ways of rewriting Einstein's theory, depending on how much of the curvature one wants to reexpress in terms of torsion, the teleparallel theory being merely one specific version of these.^[16]

A further application of teleparallelism occurs in quantum field theory, namely, two-dimensional non-linear sigma models with target space on simple geometric manifolds, whose renormalization behavior is controlled by a Ricci flow, which includes torsion. This torsion modifies the Ricci tensor and hence leads to an infrared fixed point for the coupling, on account of teleparallelism ("geometrostasis").^[17]

References

^ Einstein, Albert (1928). "Riemann-Geometrie mit Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus". Preussische Akademie der Wissenschaften, Phys.-math. Klasse, Sitzungsberichte. 1928: 217–221.
^ Bishop, R. L.; Goldberg, S. I. (1968). Tensor Analysis on Manifolds. p. 223.
^ Goenner, Hubert F. M. (2004). "On the History of Unified Field Theories". Living Reviews in Relativity. 7 (1): 2. Bibcode:2004LRR.....7....2G. doi:10.12942/lrr-2004-2. PMC 5256024. PMID 28179864.
^ a b Møller, Christian (1961). "Conservation laws and absolute parallelism in general relativity". Mat. Fys. Dan. Vid. Selsk. 1 (10): 1–50.
^ a b Pellegrini, C.; Plebanski, J. (1963). "Tetrad fields and gravitational fields". Mat. Fys. SKR. Dan. Vid. Selsk. 2 (4): 1–39.
^ Møller, Christian (1961). "Further remarks on the localization of the energy in the general theory of relativity". Ann. Phys. 12 (1): 118–133. Bibcode:1961AnPhy..12..118M. doi:10.1016/0003-4916(61)90148-8.
^ Abedi, Habib; Salti, Mustafa (2015-07-31). "Multiple field modified gravity and localized energy in teleparallel framework". General Relativity and Gravitation. 47 (8): 93. Bibcode:2015GReGr..47...93A. doi:10.1007/s10714-015-1935-z. ISSN 0001-7701. S2CID 123324599.
^ Hayashi, K.; Nakano, T. (1967). "Extended Translation Invariance and Associated Gauge Fields". Prog. Theor. Phys. 38 (2): 491–507. Bibcode:1967PThPh..38..491H. doi:10.1143/ptp.38.491.
^ a b Cho, Y.-M. (1976). "Einstein Lagrangian as the translational Yang–Mills Lagrangian". Physical Review D. 14 (10): 2521. Bibcode:1976PhRvD..14.2521C. doi:10.1103/physrevd.14.2521.
^ Schweizer, M.; Straumann, N.; Wipf, A. (1980). "Postnewtonian generation of gravitational waves in a theory of gravity with torsion". Gen. Rel. Grav. 12 (11): 951–961. arXiv:2305.01603. Bibcode:1980GReGr..12..951S. doi:10.1007/bf00757366. S2CID 121759701.
^ Arcos, H. I.; Pereira, J. G. (January 2005). "Torsion Gravity: a Reappraisal". Int. J. Mod. Phys. D. 13 (10): 2193–2240. arXiv:gr-qc/0501017. Bibcode:2004IJMPD..13.2193A. doi:10.1142/S0218271804006462. S2CID 119540585.
^ Hehl, F. W.; McCrea, J. D.; Mielke, E. W.; Ne’eman, Y. (1995). "Metric-affine gauge theory of gravity: field equations, Noether identities, world spinors, and breaking of dilation invariance". Phys. Rep. 258 (1): 1–171. arXiv:gr-qc/9402012. Bibcode:1995PhR...258....1H. doi:10.1016/0370-1573(94)00111-F. S2CID 119346282.
^ Combi, L.; Romero, G.E. (2018). "Is teleparallel gravity really equivalent to general relativity?". Annalen der Physik. 530 (1): 1700175. arXiv:1708.04569. Bibcode:2018AnP...53000175C. doi:10.1002/andp.201700175. hdl:11336/36421. S2CID 119509267.
^ Kleinert, Hagen (1989). Gauge Fields in Condensed Matter Vol II. pp. 743–1440.
^ Kleinert, Hagen (2008). Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism, and Gravitation (PDF). pp. 1–496. Bibcode:2008mfcm.book.....K.
^ Kleinert, Hagen (2010). "New Gauge Symmetry in Gravity and the Evanescent Role of Torsion" (PDF). Electron. J. Theor. Phys. 24: 287–298. arXiv:1005.1460. Bibcode:2011pchm.conf..174K. doi:10.1142/9789814335614_0016. ISBN 978-981-4335-60-7. S2CID 17972657.
^ Braaten, E.; Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (1985). "Torsion and geometrostasis in nonlinear sigma models". Nuclear Physics B. 260 (3–4): 630. Bibcode:1985NuPhB.260..630B. doi:10.1016/0550-3213(85)90053-7.

External links

Selected Papers on Teleparallelism, translated and edited by D. H. Delphenich
Teleparallel gravity at the nLab
Teleparallel Structures and Gravity Theories by Luca Bombelli