поток Риччи

Уравнение в частных производных

Несколько стадий течения Риччи на двумерном многообразии.

В математических областях дифференциальной геометрии и геометрического анализа поток Риччи ( / ˈ r iː tʃ i / REE -chee , итальянский: [ˈrittʃi] ), иногда также называемый потоком Риччи Гамильтона , представляет собой определенное уравнение в частных производных для Риманова метрика . Его часто называют аналогом диффузии тепла и уравнения теплопроводности из-за формального сходства в математической структуре уравнения. Однако он нелинейен и демонстрирует множество явлений, которых нет при изучении уравнения теплопроводности.

Поток Риччи, названный так из-за присутствия тензора Риччи в его определении, был введен Ричардом Гамильтоном , который использовал его на протяжении 1980-х годов для доказательства новых поразительных результатов в римановой геометрии . Более поздние расширения методов Гамильтона различными авторами привели к новым приложениям к геометрии, включая разрешение гипотезы о дифференцируемой сфере Саймоном Брендлом и Ричардом Шоном .

Следуя предположению Шинг-Тунг Яу ^{[ нужна ссылка ]} о том, что особенности решений потока Риччи могут идентифицировать топологические данные, предсказанные гипотезой геометризации Уильяма Терстона , Гамильтон в 1990-х годах представил ряд результатов, которые были направлены на обоснование гипотезы. разрешение. В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман представил ряд фундаментальных новых результатов о потоке Риччи, включая новый вариант некоторых технических аспектов программы Гамильтона. Работа Перельмана сейчас широко рассматривается как доказательство гипотезы Терстона и гипотезы Пуанкаре , рассматриваемой как частный случай первой. Следует подчеркнуть, что гипотеза Пуанкаре является хорошо известной открытой проблемой в области геометрической топологии с 1904 года. Эти результаты Гамильтона и Перельмана считаются важной вехой в области геометрии и топологии.

Математическое определение

На гладком многообразии M гладкая риманова метрика g автоматически определяет тензор Риччи Ric ^g . Для каждого элемента p из M по определению g _p является положительно определенным скалярным произведением в касательном пространстве T _p M в точке p . Если дано однопараметрическое семейство римановых метрик g _t , можно рассмотреть производную∂/∂ т g _t , который затем присваивает каждому конкретному значению t и p симметричную билинейную форму на T _p M . Поскольку тензор Риччи римановой метрики также сопоставляет каждому p симметричную билинейную форму на T _p M , следующее определение имеет смысл.

• Для гладкого многообразия M и открытого вещественного интервала ( a , b ) поток Риччи сопоставляет каждому t в интервале ( a , b ) риманову метрику _gt на M такую , что∂/∂ т г _{т знак} равно -2 Рик ^{г _т} .

Тензор Риччи часто рассматривают как среднее значение секционных кривизн или как алгебраический след тензора кривизны Римана . Однако для анализа существования и единственности потоков Риччи чрезвычайно важно, что тензор Риччи можно определить в локальных координатах формулой, включающей первую и вторую производные метрического тензора. Это превращает поток Риччи в геометрически определенное уравнение в частных производных . Анализ эллиптичности формулы локальных координат дает основание существования потоков Риччи; соответствующий результат см. в следующем разделе.

Пусть k — ненулевое число. Учитывая поток Риччи g _t на интервале ( a , b ) , рассмотрим G _t = g _kt для t междуа/киб/к. Затем∂/∂ т грамм _т знак равно -2 k Рик ^{грамм _т} . Итак, при таком очень тривиальном изменении параметров число −2, фигурирующее в определении потока Риччи, можно было заменить любым другим ненулевым числом. По этой причине использование −2 можно рассматривать как произвольное соглашение, хотя ему следуют практически все статьи и описания потока Риччи. Единственное существенное отличие состоит в том, что если бы -2 было заменено положительным числом, то теорема существования, обсуждаемая в следующем разделе, стала бы теоремой, которая создает поток Риччи, который движется назад (а не вперед) в значениях параметров от исходных данных.

Параметр t обычно называют временем , хотя это лишь часть стандартной неформальной терминологии в математической области уравнений в частных производных. Это не физически значимая терминология. Фактически, в стандартной квантово-полевой интерпретации потока Риччи в терминах ренормгруппы параметр t соответствует длине или энергии, а не времени. ^[1]

Нормализованный поток Риччи

Предположим, что M — компактное гладкое многообразие, и пусть g _t — поток Риччи для t в интервале ( a , b ) . Определим Ψ: ( a , b )  →  (0, ∞) так, чтобы каждая из римановых метрик Ψ( t ) g _t имела объем 1; это возможно, поскольку M компактно. (В более общем смысле, это было бы возможно, если бы каждая риманова метрика g _t имела конечный объем.) Затем определите F : ( a , b )  →  (0, ∞) как первообразную Ψ , которая обращается в нуль в точке a . Поскольку Ψ положительнозначен, F является биекцией на свой образ (0, S ) . Теперь римановы метрики G _s   = Ψ( F ⁻¹ ( s )) g _{F ⁻¹ ( s )} , определенные для параметров s  ∈ (0, S ) , удовлетворяют

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}G_{s}=-2\operatorname {Ric} ^{G_{s}}+{\frac {2}{n}}{\frac {\int _{M}R^{G_{s}}\,d\mu _{G_{s}}}{\int _{M}d\mu _{G_{s}}}}G_{s}.}$$

Rскалярную кривизнунормализованным уравнением потока РиччиΨ

Основная причина рассмотрения нормализованного потока Риччи заключается в том, что он позволяет удобно сформулировать основные теоремы сходимости для потока Риччи. Однако это не обязательно, и практически для всех целей достаточно рассмотреть поток Риччи в его стандартной форме. Более того, нормированный поток Риччи вообще не имеет смысла на некомпактных многообразиях.

Существование и уникальность

Пусть – гладкое замкнутое многообразие и – любая гладкая риманова метрика на . Используя теорему Нэша – Мозера о неявной функции , Гамильтон (1982) показал следующую теорему существования: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle M}$

• Существует положительное число и поток Риччи, параметризованный таким, который сходится в топологии к при уменьшении до 0. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle t}$

Он показал следующую теорему единственности:

• Если и — два потока Риччи, как в приведенной выше теореме существования, то для всех ${\displaystyle \{g_{t}:t\in (0,T)\}}$ ${\displaystyle \{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}}$ ${\displaystyle g_{t}={\widetilde {g}}_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,\min\{T,{\widetilde {T}}\}).}$

Теорема существования дает однопараметрическое семейство гладких римановых метрик. Фактически любое такое однопараметрическое семейство также плавно зависит от параметра. Именно это говорит о том, что относительно любой гладкой координатной карты на функция является гладкой для любого . ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\times (0,T)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$

Деннис ДеТурк впоследствии дал доказательство приведенных выше результатов, в котором вместо этого используется теорема Банаха о неявной функции. ^[2] Его работа, по сути, является более простой римановой версией известного доказательства и интерпретации корректности уравнений Эйнштейна в лоренцевой геометрии Ивонны Шоке-Брюа .

Как следствие теоремы существования и единственности Гамильтона, при наличии данных можно однозначно говорить о потоке Риччи с начальными данными и можно выбрать его максимально возможное значение, которое может быть бесконечным. Принцип, лежащий практически во всех основных применениях потока Риччи, в частности в доказательстве гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации, заключается в том, что при приближении к этому максимальному значению поведение метрик может выявить и отразить глубокую информацию о . ${\displaystyle (M,g_{0})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle M}$

Теоремы сходимости

Полное изложение следующих теорем о сходимости дано в работах Эндрюса и Хоппера (2011) и Брендла (2010).

Пусть ( M , g ₀ ) — гладкое замкнутое риманово многообразие. При любом из следующих трех условий:

• M двумерный
• M трехмерен, а g ₀ имеет положительную кривизну Риччи.
• M имеет размерность больше трех, а метрика произведения на ( M , g ₀ ) × ℝ имеет положительную изотропную кривизну.

нормированный поток Риччи с начальными данными g ₀ существует для всего положительного времени и плавно сходится при стремлении t к бесконечности к метрике постоянной кривизны.

Трехмерный результат принадлежит Гамильтону (1982). Доказательство Гамильтона, вдохновленное и в общих чертах смоделированное на эпохальной статье Джеймса Илса и Джозефа Сэмпсона 1964 года о сходимости теплового потока гармонической карты , ^[3] включало множество новых особенностей, таких как расширение принципа максимума на случай симметричных 2-тензоров. . Его статья (вместе со статьей Илса-Сэмпсона) является одной из наиболее широко цитируемых в области дифференциальной геометрии. Его результат изложен в работе Chow, Lu & Ni (2006, глава 3).

С точки зрения доказательства двумерный случай правильно рассматривать как совокупность трех различных результатов, по одному для каждого случая, когда эйлерова характеристика M положительна , равна нулю или отрицательна. Как продемонстрировал Гамильтон (1988), отрицательный случай обрабатывается принципом максимума, а нулевой случай обрабатывается интегральными оценками; положительный случай более тонкий, и Гамильтон имел дело с подслучайом, в котором g ₀ имеет положительную кривизну, объединив прямую адаптацию оценки градиента Питера Ли и Шинг-Тунг Яу к потоку Риччи вместе с инновационной «оценкой энтропии». Полный положительный случай был продемонстрирован Беннетом Чоу (1991) в рамках расширения методов Гамильтона. Поскольку любой поток Риччи на двумерном многообразии ограничен одним конформным классом , его можно преобразовать в уравнение в частных производных для скалярной функции на фиксированном римановом _{многообразии} ( M , g0 ) . Таким образом, поток Риччи в этой ситуации также можно изучать чисто аналитическими методами; соответственно, существуют альтернативные негеометрические доказательства теоремы о двумерной сходимости.

Случай более высокой размерности имеет более длительную историю. Вскоре после прорывного результата Гамильтона Герхард Хейскен распространил свои методы на более высокие размерности, показав, что если g ₀ почти имеет постоянную положительную кривизну (в смысле малости некоторых компонент разложения Риччи ), то нормированный поток Риччи плавно сходится к постоянной кривизне. . Гамильтон (1986) нашел новую формулировку принципа максимума в терминах захвата выпуклыми множествами, что привело к общему критерию, связывающему сходимость потока Риччи положительно искривленных метрик с существованием «сжимающих множеств» для некоторого многомерного обыкновенного дифференциала. уравнение . Как следствие, ему удалось решить случай, когда M четырехмерен и g ₀ имеет оператор положительной кривизны. Двадцать лет спустя Кристоф Бём и Буркхард Вилкинг нашли новый алгебраический метод построения «сжимающих множеств», тем самым устранив предположение о четырёхмерности из результата Гамильтона (Böhm & Wilking 2008). Саймон Брендл и Ричард Шон показали, что положительность изотропной кривизны сохраняется потоком Риччи на замкнутом многообразии; применив метод Бема и Уилкинга, они смогли вывести новую теорему о сходимости потока Риччи (Brendle & Schoen 2009). Их теорема о сходимости включала в качестве частного случая решение теоремы о дифференцируемой сфере , которая в то время была давней гипотезой. Приведенная выше теорема о сходимости принадлежит Брендлу (2008), который включает в себя более ранние результаты о многомерной сходимости Хейскена, Гамильтона, Бёма и Уилкинга и Брендла и Шона.

Следствия

Результаты в размерностях три и выше показывают, что любое гладкое замкнутое многообразие М , допускающее метрику g0 данного типа, должно быть _{пространственной} формой положительной кривизны. Поскольку эти пространственные формы в значительной степени понятны благодаря работам Эли Картана и других, можно сделать такие выводы, как

• Предположим, что M — гладкое замкнутое трехмерное многообразие, допускающее гладкую риманову метрику положительной кривизны Риччи. Если M односвязно, то оно должно быть диффеоморфно 3-сфере.

Итак, если бы можно было напрямую показать, что любое гладкое замкнутое односвязное трехмерное многообразие допускает гладкую риманову метрику положительной кривизны Риччи , то сразу же последовала бы гипотеза Пуанкаре . Однако в нынешнем понимании этот результат известен только как (тривиальное) следствие гипотезы Пуанкаре, а не наоборот.

Возможные расширения

Для любого n, большего двух, существует множество замкнутых n -мерных гладких многообразий, которые не имеют гладких римановых метрик постоянной кривизны. Поэтому нельзя надеяться, что удастся просто исключить условия кривизны из приведенных выше теорем сходимости. Можно было бы заменить условия кривизны некоторыми альтернативами, но существование компактных многообразий, таких как комплексное проективное пространство , которое имеет метрику оператора неотрицательной кривизны ( метрика Фубини-Студи ), но не имеет метрики постоянной кривизны, делает это неясным. насколько эти условия можно было бы отодвинуть. Аналогично, возможность формулировки аналогичных результатов о сходимости для римановых метрик отрицательной кривизны осложняется существованием замкнутых римановых многообразий, кривизна которых сколь угодно близка к постоянной, но при этом не допускает метрик постоянной кривизны. ^[4]

Неравенства Ли–Яу

Используя технику, впервые предложенную Питером Ли и Шинг-Тунг Яу для параболических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях, Гамильтон (1993a) доказал следующее «неравенство Ли-Яу». ^[5]

• Пусть — гладкое многообразие и решение потока Риччи, каждое из которых имеет ограниченную кривизну. Кроме того, предположим, что каждый из них имеет оператор неотрицательной кривизны. Тогда для любой кривой с имеем ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}R^{g(t)}(\gamma (t)){\big )}+{\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))\geq 0.}$$

Перельман (2002) показал следующее альтернативное неравенство Ли – Яу.

• Пусть – гладкое замкнутое -многообразие, и – решение потока Риччи. Рассмотрим обратное уравнение теплопроводности для -форм, т.е. учитывая и , рассмотрим частное решение, которое при интегрировании слабо сходится к дельта-мере Дирака при увеличении до . Тогда для любой кривой с имеем ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\omega +\Delta ^{g(t)}\omega =0}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle t_{0}\in (0,T)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t),t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_{g(t)}^{2}}{2}}.}$$
  где . ${\displaystyle \omega =(4\pi (t_{0}-t))^{-n/2}e^{-f}{\text{d}}\mu _{g(t)}}$

Оба этих замечательных неравенства имеют огромное значение для доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации. Члены в правой части неравенства Ли – Яу Перельмана мотивируют определение его функционала «приведенной длины», анализ которого приводит к его «теореме о неколлапсе». Теорема о неколлапсе позволяет применить теорему Гамильтона о компактности (Гамильтон 1995) для построения «моделей особенностей», которые представляют собой потоки Риччи на новых трехмерных многообразиях. Благодаря оценке Гамильтона–Айви эти новые потоки Риччи имеют неотрицательную кривизну. Затем можно применить неравенство Ли-Яу Гамильтона, чтобы увидеть, что скалярная кривизна в каждой точке является неубывающей (неотрицательной) функцией времени. Это мощный результат, который позволяет провести множество дальнейших аргументов. В конце концов, Перельман показывает, что любая из его моделей сингулярностей асимптотически подобна полному градиентному сжимающемуся солитону Риччи, который полностью классифицирован; см. предыдущий раздел.

См. Chow, Lu & Ni (2006, главы 10 и 11) для получения подробной информации о неравенстве Ли-Яу Гамильтона; книги Чоу и др. (2008) и Мюллер (2006) содержат разъяснения обоих приведенных выше неравенств.

Примеры

Метрики постоянной кривизны и Эйнштейна

Позвольте быть римановым многообразием, которое является Эйнштейном , что означает, что существует число такое, что . Тогда является потоком Риччи с , так как тогда ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\text{Ric}}^{g}=\lambda g}$ ${\displaystyle g_{t}=(1-2\lambda t)g}$ ${\displaystyle g_{0}=g}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\lambda g=-2\operatorname {Ric} ^{g}=-2\operatorname {Ric} ^{g_{t}}.}$

Если замкнуто, то согласно теореме единственности Гамильтона, приведенной выше, это единственный поток Риччи с начальными данными . В частности, видно, что: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

• если положительно, то поток Риччи «сжимается», поскольку масштабный коэффициент меньше 1 для положительного ; более того, видно, что это может быть только меньше , чтобы это была риманова метрика. Это простейшие примеры «сингулярности конечного времени». ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1-2\lambda t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1/2\lambda }$ ${\displaystyle g_{t}}$
• если равно нулю, что является синонимом Риччи-плоскости, то оно не зависит от времени, и поэтому максимальный интервал существования равен всей действительной линии. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{t}}$
• если отрицательно, то поток Риччи «расширяется», поскольку масштабный коэффициент больше 1 для всех положительных ; более того, видно, что ее можно брать сколь угодно большой. Говорят, что поток Риччи для этой исходной метрики «бессмертен». ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1-2\lambda t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

В каждом случае, поскольку римановы метрики, присвоенные различным значениям, отличаются только постоянным масштабным коэффициентом, можно видеть, что нормированный поток Риччи существует во все времена и постоянен в ; в частности, оно плавно сходится (к своему постоянному значению) при . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

Условие Эйнштейна имеет частный случай постоянной кривизны; следовательно, частные примеры сферы (с ее стандартной метрикой) и гиперболического пространства являются частными случаями вышесказанного.

Солитоны Риччи

Солитоны Риччи — это потоки Риччи, которые могут менять свой размер, но не форму, вплоть до диффеоморфизмов.

• Цилиндры S ^k × R ^l (при k ≥ 2) аналогично сжимаются под действием потока Риччи с точностью до диффеоморфизмов
• Важным двумерным примером является сигарный солитон , который задается метрикой ( dx ²  +  dy ² )/( e ^{4 t}  +  x ²  +  y ² ) на евклидовой плоскости. Хотя эта метрика сжимается под воздействием потока Риччи, ее геометрия остается прежней. Такие решения называются устойчивыми солитонами Риччи.
• Примером трехмерного устойчивого солитона Риччи является солитон Брайанта , который вращательно-симметричен, имеет положительную кривизну и получается путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобная конструкция работает в произвольном измерении.
• Существует множество семейств кэлеровых многообразий, инвариантных относительно действия U ( n ) и бирациональных Cn , которые являются ^{солитонами} Риччи. Эти примеры были построены Цао и Фельдманом-Ильманеном-Кнопфом. (Чоу-Кнопф, 2004 г.)
• Четырехмерный пример, демонстрирующий только симметрию тора, был недавно обнаружен Бамлером-Чифарелли-Конлоном-Дерюэлем.

Градиентно сжимающий солитон Риччи состоит из гладкого риманова многообразия ( M , g ) и f  ∈  C ^∞ ( M ) таких, что

${\displaystyle \operatorname {Ric} ^{g}+\operatorname {Hess} ^{g}f={\frac {1}{2}}g.}$

Одним из главных достижений Перельмана (2002) было показать, что если M — замкнутое трехмерное гладкое многообразие, то особенности конечного времени потока Риччи на M моделируются на полных градиентных сжимающих солитонах Риччи (возможно, на основных многообразиях отличается от М ). В 2008 году Хуай-Дун Цао , Бин-Лонг Чен и Си-Пин Чжу завершили классификацию этих солитонов, показав:

• Предположим, ( M , g , f ) полный градиентно сжимающий солитон Риччи с dim( M ) = 3. Если M односвязно, то риманово многообразие ( M , g ) изометрично , или , каждое со своим стандартным римановым метрики. Первоначально это было показано Перельманом (2003a) с некоторыми дополнительными условными предположениями. Заметим, что если M не односвязно, то можно рассмотреть универсальное накрытие , и тогда приведенная выше теорема применима к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi :M'\to M,}$ ${\displaystyle (M',\pi ^{\ast }g,f\circ \pi ).}$

Пока еще нет хорошего понимания градиентного сжатия солитонов Риччи в каких-либо более высоких измерениях.

Связь с униформизацией и геометризацией

Первая работа Гамильтона о потоке Риччи была опубликована одновременно с гипотезой геометризации Уильяма Терстона , которая касается топологической классификации трехмерных гладких многообразий. ^[6] Идея Гамильтона заключалась в том, чтобы определить своего рода нелинейное уравнение диффузии , которое имело бы тенденцию сглаживать неровности в метрике. Подходящие канонические формы уже были определены Терстоном; возможности, называемые геометриями модели Терстона , включают трехсферу S ³ , трехмерное евклидово пространство E ³ , трехмерное гиперболическое пространство H ³ , которые являются однородными и изотропными , и пять немного более экзотических римановых многообразий, которые однородны, но не изотропный. (Этот список тесно связан с классификацией Бьянки трехмерных вещественных алгебр Ли на девять классов, но не идентичен ей.)

Гамильтону удалось доказать, что любое гладкое замкнутое трехмногообразие, допускающее метрику положительной кривизны Риччи, также допускает уникальную геометрию Терстона, а именно сферическую метрику, которая действительно действует как притягивающая неподвижная точка под потоком Риччи, перенормированным для сохранения объема. (При неперенормированном потоке Риччи многообразие схлопывается в точку за конечное время.) Однако это не доказывает гипотезу полной геометризации из-за ограничительного предположения о кривизне.

Действительно, триумфом геометрии девятнадцатого века стало доказательство теоремы об униформизации , аналогичной топологической классификации гладких двумерных многообразий, в которой Гамильтон показал, что поток Риччи действительно превращает отрицательно искривленное двумерное многообразие в двумерное многообразие. дырчатый тор, локально изометричный гиперболической плоскости. Эта тема тесно связана с важными темами анализа, теории чисел, динамических систем, математической физики и даже космологии.

Обратите внимание, что термин «униформизация» предполагает своего рода сглаживание неровностей геометрии, тогда как термин «геометризация» предполагает размещение геометрии на гладком многообразии. Геометрия используется здесь точно так же, как понятие геометрии Клейна ( более подробную информацию см. в разделе «Гипотеза о геометризации »). В частности, результатом геометризации может быть геометрия, не являющаяся изотропной . В большинстве случаев, включая случаи постоянной кривизны, геометрия уникальна. Важной темой в этой области является взаимодействие между реальными и сложными формулировками. В частности, во многих дискуссиях по униформизации говорится о сложных кривых, а не о реальных двухмногообразиях.

Особенности

Гамильтон показал, что компактное риманово многообразие всегда допускает кратковременное решение потока Риччи. Позже Ши обобщил результат существования за короткое время на полные многообразия ограниченной кривизны. ^[7] Однако в целом из-за сильно нелинейного характера уравнения потока Риччи сингулярности образуются за конечное время. Эти особенности являются особенностями кривизны, что означает, что по мере приближения к сингулярному времени норма тензора кривизны стремится к бесконечности в области особенности. Фундаментальная проблема потока Риччи — понять все возможные геометрии особенностей. В случае успеха это может привести к пониманию топологии многообразий. Например, анализ геометрии сингулярных областей, которые могут развиваться в трехмерном потоке Риччи, является ключевым компонентом доказательства Перельмана «Гипотезы Пуанкаре и геометризации». ${\displaystyle |\operatorname {Rm} |}$

Пределы обострения особенностей

Для изучения образования особенностей полезно, как и при изучении других нелинейных дифференциальных уравнений, рассмотреть пределы обострений. Интуитивно говоря, мы приближаемся к сингулярной области потока Риччи, изменяя масштаб времени и пространства. При определенных предположениях увеличенный поток стремится к предельному потоку Риччи , называемому моделью сингулярности . Модели сингулярности представляют собой древние потоки Риччи, т.е. их можно бесконечно продолжать в прошлое. Понимание возможных моделей сингулярности потока Риччи — это активная исследовательская работа. ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t)),t\in (-\infty ,0]}$

Ниже мы обрисуем процедуру разрушения более подробно: Пусть поток Риччи развивает сингулярность при . Пусть – последовательность точек пространства-времени такая, что ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T),}$ ${\displaystyle t\rightarrow T}$ ${\displaystyle (p_{i},t_{i})\in M\times [0,T)}$

${\displaystyle K_{i}:=\left|\operatorname {Rm} (g_{t_{i}})\right|(p_{i})\rightarrow \infty }$

как . Затем рассматриваются параболически масштабированные метрики ${\displaystyle i\rightarrow \infty }$

${\displaystyle g_{i}(t)=K_{i}g\left(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\right),\quad t\in [-K_{i}t_{i},0]}$

Из-за симметрии уравнения потока Риччи при параболических расширениях метрики также являются решениями уравнения потока Риччи. В случае, если ${\displaystyle g_{i}(t)}$

${\displaystyle |Rm|\leq K_{i}{\text{ on }}M\times [0,t_{i}],}$

т.е. до момента достижения максимума кривизны при , то указанная последовательность потоков Риччи последовательно плавно сходится к предельному древнему потоку Риччи . Заметим, что, вообще говоря , не диффеоморфно . ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle (M,g_{i}(t),p_{i})}$ ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t),p_{\infty })}$ ${\displaystyle M_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$

Особенности типа I и типа II.

Гамильтон различает особенности типа I и типа II в потоке Риччи. В частности, говорят, что поток Риччи сталкивается с сингулярностью, когда время имеет тип I, если ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sup _{t<T}(T-t)|Rm|<\infty }$.

В противном случае особенность имеет тип II. Известно, что пределы разрушения особенностей типа I представляют собой градиентно сжимающиеся солитоны Риччи . ^[8] В случае типа II остается открытым вопрос, должна ли модель сингулярности быть устойчивым солитоном Риччи — до сих пор все известные примеры таковыми являются.

Особенности в трехмерном потоке Риччи

В 3d хорошо понятны возможные пределы разрушения сингулярностей потока Риччи. Гамильтон, Перельман и недавние ^{[ когда? ]} работы Брендла, разрушение в точках максимальной кривизны приводит к одной из следующих трех моделей сингулярности:

• Сжимающаяся круглая сферическая форма пространства ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$
• Усадочный круглый цилиндр ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
• Солитон Брайанта

Первые две модели особенностей возникают из особенностей типа I, тогда как последняя возникает из особенности типа II.

Особенности в четырехмерном потоке Риччи

О возможных сингулярностях в четырех измерениях известно очень мало, за исключением того, что возможностей гораздо больше, чем в трех измерениях. На сегодняшний день известны следующие модели сингулярности

• ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$
• 4-й солитон Брайанта
• Компактное многообразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны
• Компактный градиентный сжимающийся солитон Калера – Риччи
• Термоусадочная машина FIK ^[9]
• Термоусадочная машина BCCD ^[10]

Обратите внимание, что первые три примера являются обобщениями трехмерных моделей особенностей. Сжиматель FIK моделирует коллапс встроенной сферы с числом самопересечения  −1.

Отношение к диффузии

Чтобы понять, почему уравнение эволюции, определяющее поток Риччи, действительно является своего рода нелинейным уравнением диффузии, мы можем более подробно рассмотреть частный случай (реальных) двухмногообразий. Любой метрический тензор на двухмногообразии можно записать относительно экспоненциальной изотермической координатной карты в виде

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right).}$

(Эти координаты служат примером конформной координатной диаграммы, поскольку правильно представлены углы, но не расстояния.)

Самый простой способ вычислить тензор Риччи и оператор Лапласа-Бельтрами для нашего риманова двухмногообразия — использовать метод дифференциальных форм Эли Картана . Возьмите поле кофрейма

${\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy}$

так что метрический тензор становится

${\displaystyle \sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right).}$

Далее по произвольной гладкой функции вычислите внешнюю производную ${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}.}$

Возьмите двойник Ходжа

${\displaystyle \star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy.}$

Возьмите еще одну внешнюю производную

${\displaystyle d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy}$

(где мы использовали антикоммутативное свойство внешнего произведения ). То есть,

${\displaystyle d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

Взятие еще одного дуала Ходжа дает

${\displaystyle \Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)}$

что дает желаемое выражение для оператора Лапласа/Бельтрами

${\displaystyle \Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right).}$

Чтобы вычислить тензор кривизны, мы берем внешнюю производную ковекторных полей, составляющих наш кофрейм:

${\displaystyle d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}.}$

Из этих выражений мы можем считать единственную независимую одноформовую спиновую связность

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,}$

где мы воспользовались антисимметричным свойством связи ( ). Возьмите еще одну внешнюю производную ${\displaystyle {\omega ^{2}}_{1}=-{\omega ^{1}}_{2}}$

${\displaystyle d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy.}$

Это дает кривизне две формы

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}$

из которого мы можем считать единственную линейно независимую компоненту тензора Римана , используя

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

А именно

${\displaystyle {R^{1}}_{212}=-\Delta p}$

из которого единственными ненулевыми компонентами тензора Риччи являются

${\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta p.}$

Отсюда находим компоненты относительно кобазиса координат , а именно

${\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right).}$

Но метрический тензор тоже диагональный, причем

${\displaystyle g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)}$

и после некоторых элементарных манипуляций получаем изящное выражение для потока Риччи:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p.}$

Это явно аналогично самому известному из всех уравнений диффузии — уравнению теплопроводности.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}$

где теперь обычный лапласиан на евклидовой плоскости. Читатель может возразить, что уравнение теплопроводности, конечно, является линейным уравнением в частных производных — где же обещанная нелинейность в PDE, определяющем поток Риччи? ${\displaystyle \Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}}$

Ответ заключается в том, что нелинейность возникает потому, что оператор Лапласа-Бельтрами зависит от той же функции p, которую мы использовали для определения метрики. Но обратите внимание, что плоская евклидова плоскость определяется взятием . Таким образом, если он мал по величине, мы можем считать, что он определяет небольшие отклонения от геометрии плоской плоскости, а если мы сохраняем только члены первого порядка при вычислении экспоненты, поток Риччи на нашем двумерном почти плоском римановом многообразии становится обычное двумерное уравнение теплопроводности. Это вычисление предполагает, что точно так же, как (согласно уравнению теплопроводности) неравномерное распределение температуры в горячей пластине имеет тенденцию становиться более однородным с течением времени, так и (согласно потоку Риччи) почти плоское риманово многообразие будет иметь тенденцию сглаживать точно так же тепло можно отводить «в бесконечность» в бесконечной плоской пластине. Но если наша горячая пластина имеет конечный размер и не имеет границы, по которой можно отводить тепло, мы можем рассчитывать на гомогенизацию температуры, но, очевидно, мы не можем рассчитывать на то, что она уменьшится до нуля. Точно так же мы ожидаем, что поток Риччи, приложенный к искаженной круглой сфере, будет стремиться со временем скруглить геометрию, но не превратить ее в плоскую евклидову геометрию. ${\displaystyle p(x,y)=0}$ ${\displaystyle p}$

Недавние улучшения

Поток Риччи интенсивно изучается с 1981 года. Некоторые недавние работы были сосредоточены на вопросе о том, как именно развиваются римановы многообразия более высокой размерности под действием потока Риччи и, в частности, какие типы параметрических особенностей могут образовываться. Например, определенный класс решений потока Риччи демонстрирует, что на развивающемся -мерном метрическом римановом многообразии , имеющем определенное топологическое свойство (положительная эйлерова характеристика ), будут формироваться шейные особенности, когда поток приближается к некоторому характерному времени . В некоторых случаях такие пережимания образуют многообразия, называемые солитонами Риччи . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Для трехмерного многообразия Перельман показал, как пройти мимо особенностей, используя операцию на многообразии .

Метрики Кэлера остаются кэлеровыми при потоке Риччи, и поэтому поток Риччи также изучался в этой ситуации, где он называется потоком Кэлера – Риччи .

Примечания

1. Фридан, Д. (1980). «Нелинейные модели в измерениях 2+ε». Письма о физических обзорах (представленная рукопись). 45 (13): 1057–1060. Бибкод : 1980PhRvL..45.1057F. doi : 10.1103/PhysRevLett.45.1057.
2. ДеТурк, Деннис М. (1983). «Деформация метрик в направлении их тензоров Риччи». Дж. Дифференциальная геометрия . 18 (1): 157–162. дои : 10.4310/jdg/1214509286 .
3. Иллс, Джеймс младший; Сэмпсон, Дж. Х. (1964). «Гармонические отображения римановых многообразий». амер. Дж. Математика . 86 (1): 109–160. дои : 10.2307/2373037. JSTOR  2373037.
4. Громов, М.; Терстон, В. (1987). «Константы сжатия для гиперболических многообразий». Изобретать. Математика . 89 (1): 1–12. дои : 10.1007/BF01404671. S2CID  119850633.
5. Ли, Питер; Яу, Шинг-Тунг (1986). «О параболическом ядре оператора Шрёдингера». Акта математика . 156 (3–4): 153–201. дои : 10.1007/BF02399203 . S2CID  120354778.
6. Уикс, Джеффри Р. (1985). Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия . Нью-Йорк: Марсель Деккер. ISBN 978-0-8247-7437-0.. Популярная книга, объясняющая основу программы классификации Терстона.
7. Ши, W.-X. (1989). «Деформация метрики на полных римановых многообразиях». Журнал дифференциальной геометрии . 30 : 223–301. дои : 10.4310/jdg/1214443292 .
8. Эндерс, Дж.; Мюллер, Р.; Топпинг, П. (2011). «Об особенностях типа I в потоке Риччи». Коммуникации в анализе и геометрии . 19 (5): 905–922. arXiv : 1005.1624 . doi : 10.4310/CAG.2011.v19.n5.a4. S2CID  968534.
9. Максимо, Д. (2014). «О разрушении особенностей четырехмерного потока Риччи». Дж. Рейн Анжью. Математика . 2014 (692): 153–171. arXiv : 1204.5967 . doi : 10.1515/crelle-2012-0080. S2CID  17651053.
10. Бамлер, Р.; Чифарелли, К.; Конлон, Р.; Дерюэль, А. (2022). «Новый полный двумерный сжимающийся градиентный солитон Кэлера-Риччи». arXiv : 2206.10785 [math.DG].

Рекомендации

Статьи для популярной математической аудитории.

• Андерсон, Майкл Т. (2004). «Геометризация трехмерных многообразий посредством потока Риччи» (PDF) . Замечания амер. Математика. Соц . 51 (2): 184–193. МР  2026939.
• Милнор, Джон (2003). «К гипотезе Пуанкаре и классификации трехмерных многообразий» (PDF) . Замечания амер. Математика. Соц . 50 (10): 1226–1233. МР  2009455.
• Морган, Джон В. (2005). «Недавний прогресс в области гипотезы Пуанкаре и классификации трехмерных многообразий». Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 42 (1): 57–78. дои : 10.1090/S0273-0979-04-01045-6 . МР  2115067.
• Тао, Т. (2008). «Поток Риччи» (PDF) . В Гауэрсе, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 279–281. ISBN 978-0-691-11880-2.

Исследовательские статьи.

• Бём, Кристоф; Вилкинг, Буркхард (2008). «Многообразия с операторами положительной кривизны являются пространственными формами». Анна. математики. (2) . 167 (3): 1079–1097. arXiv : math/0606187 . дои : 10.4007/анналы.2008.167.1079. JSTOR  40345372. MR  2415394. S2CID  15521923.
• Брендл, Саймон (2008). «Общий результат сходимости потока Риччи в более высоких измерениях». Герцог Мат. Дж . 145 (3): 585–601. arXiv : 0706.1218 . дои : 10.1215/00127094-2008-059. МР  2462114. S2CID  438716. Збл  1161.53052.
• Брендл, Саймон ; Шон, Ричард (2009). «Многообразия с кривизной в 1/4 дюйма являются космическими формами». Дж. Амер. Математика. Соц . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Бибкод : 2009JAMS...22..287B. дои : 10.1090/S0894-0347-08-00613-9. JSTOR  40587231. MR  2449060. S2CID  2901565.
• Цао, Хуай-Донг ; Си-Пин Чжу (июнь 2006 г.). «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - применение теории Гамильтона-Перельмана потока Риччи» (PDF) . Азиатский математический журнал . 10 (2). МР  2488948. Ошибка.
  • Пересмотренная версия: Хуай-Дун Цао; Си-Пин Чжу (2006). «Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math.DG/0612069 .
• Чоу, Беннетт (1991). «Поток Риччи на двумерной сфере». Дж. Дифференциальная геометрия . 33 (2): 325–334. дои : 10.4310/jdg/1214446319 . МР  1094458. Збл  0734.53033.
• Колдинг, Тобиас Х .; Миникоцци, Уильям П. II (2005). «Оценки времени угасания потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях и вопрос Перельмана» (PDF) . Дж. Амер. Математика. Соц . 18 (3): 561–569. arXiv : math/0308090 . дои : 10.1090/S0894-0347-05-00486-8. JSTOR  20161247. MR  2138137. S2CID  2810043.
• Гамильтон, Ричард С. (1982). «Трёхмногообразия с положительной кривизной Риччи». Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 255–306. дои : 10.4310/jdg/1214436922 . МР  0664497. Збл  0504.53034.
• Гамильтон, Ричард С. (1986). «Четырехмногообразия с оператором положительной кривизны». Дж. Дифференциальная геометрия . 24 (2): 153–179. дои : 10.4310/jdg/1214440433 . МР  0862046. Збл  0628.53042.
• Гамильтон, Ричард С. (1988). «Течение Риччи на поверхностях». Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986) . Созерцание Математика. Том. 71. Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд. стр. 237–262. doi : 10.1090/conm/071/954419. МР  0954419.
• Гамильтон, Ричард С. (1993a). «Оценка Харнака потока Риччи». Дж. Дифференциальная геометрия . 37 (1): 225–243. дои : 10.4310/jdg/1214453430 . МР  1198607. Збл  0804.53023.
• Гамильтон, Ричард С. (1993b). «Вечные решения потока Риччи». Дж. Дифференциальная геометрия . 38 (1): 1–11. дои : 10.4310/jdg/1214454093 . МР  1231700. Збл  0792.53041.
• Гамильтон, Ричард С. (1995a). «Свойство компактности решений потока Риччи». амер. Дж. Математика . 117 (3): 545–572. дои : 10.2307/2375080. JSTOR  2375080. MR  1333936.
• Гамильтон, Ричард С. (1995b). «Образование особенностей в потоке Риччи». Обзоры по дифференциальной геометрии, Vol. II (Кембридж, Массачусетс, 1993 г.) . Межд. Пресс, Кембридж, Массачусетс. стр. 7–136. дои : 10.4310/SDG.1993.v2.n1.a2 . МР  1375255.
• Гамильтон, Ричард С. (1997). «Четырехмногообразия с положительной изотропной кривизной». Комм. Анальный. Геом . 5 (1): 1–92. дои : 10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1 . МР  1456308. Збл  0892.53018.
• Гамильтон, Ричард С. (1999). «Неособые решения потока Риччи на трехмерных многообразиях». Комм. Анальный. Геом . 7 (4): 695–729. дои : 10.4310/CAG.1999.v7.n4.a2 . МР  1714939.
• Брюс Кляйнер ; Джон Лотт (2008). «Заметки о бумагах Перельмана». Геометрия и топология . 12 (5): 2587–2855. arXiv : math.DG/0605667 . дои : 10.2140/gt.2008.12.2587. MR  2460872. S2CID  119133773.
• Перельман, Гриша (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math/0211159 .
• Перельман, Гриша (2003а). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math/0303109 .
• Перельман, Гриша (2003б). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math/0307245 .

Учебники

• Эндрюс, Бен; Хоппер, Кристофер (2011). Поток Риччи в римановой геометрии: полное доказательство теоремы о дифференцируемой сфере 1/4-сжатия . Конспект лекций по математике. Том. 2011. Гейдельберг: Springer. дои : 10.1007/978-3-642-16286-2. ISBN 978-3-642-16285-5.
• Брендл, Саймон (2010). Поток Риччи и теорема о сфере . Аспирантура по математике. Том. 111. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/gsm/111. ISBN 978-0-8218-4938-5.
• Цао, HD; Чоу, Б.; Чу, Южная Каролина; Яу, С.Т., ред. (2003). Сборник статей о Ricci Flow . Серия по геометрии и топологии. Том. 37. Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. ISBN 1-57146-110-8.
• Чоу, Беннетт; Чу, Сунь-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Айзенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2007). Поток Риччи: методы и приложения. Часть I. Геометрические аспекты . Математические обзоры и монографии. Том. 135. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/135. ISBN 978-0-8218-3946-1.
• Чоу, Беннетт; Чу, Сунь-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Айзенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2008). Поток Риччи: методы и приложения. Часть II. Аналитические аспекты . Математические обзоры и монографии. Том. 144. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/144. ISBN 978-0-8218-4429-8.
• Чоу, Беннетт; Чу, Сунь-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Айзенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2010). Поток Риччи: методы и приложения. Часть III. Геометрико-аналитические аспекты . Математические обзоры и монографии. Том. 163. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/163. ISBN 978-0-8218-4661-2.
• Чоу, Беннетт; Чу, Сунь-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Айзенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2015). Поток Риччи: методы и приложения. Часть IV. Долговременные решения и связанные темы . Математические обзоры и монографии. Том. 206. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/206. ISBN 978-0-8218-4991-0.
• Чоу, Беннетт; Кнопф, Дэн (2004). Поток Риччи: Введение . Математические обзоры и монографии. Том. 110. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/110. ISBN 0-8218-3515-7.
• Чоу, Беннетт; Лу, Пэн; Ни, Лей (2006). «Поток Риччи» Гамильтона . Аспирантура по математике. Том. 77. Пекин, Нью-Йорк: Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Научная пресса. дои : 10.1090/gsm/077. ISBN 978-0-8218-4231-7.
• Морган, Джон В.; Фонг, Фредерик Цз-Хо (2010). Поток Риччи и геометризация трехмерных многообразий . Серия университетских лекций. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/улект/053. ISBN 978-0-8218-4963-7.
• Морган, Джон; Тиан, Банда (2007). Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре . Монографии Клэя по математике. Том. 3. Провиденс, Род-Айленд, и Кембридж, Массачусетс: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. ISBN 978-0-8218-4328-4.
• Мюллер, Рето (2006). Дифференциальные неравенства Харнака и поток Риччи . Серия EMS лекций по математике. Цюрих: Европейское математическое общество (EMS). дои : 10.4171/030. hdl : 2318/1701023. ISBN 978-3-03719-030-2.
• Топпинг, Питер (2006). Лекции о потоке Риччи . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 325. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511721465. ISBN 0-521-68947-3.
• Чжан, Ци С. (2011). Неравенства Соболева, тепловые ядра при потоке Риччи и гипотеза Пуанкаре . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4398-3459-6.

Внешние ссылки

• Айзенберг, Джеймс А. «Риччи Флоу» (видео) . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 12 декабря 2021 г. Проверено 23 апреля 2014 г.