Траектория

Путь движущегося объекта

Иллюстрация, показывающая направленную траекторию пули, выпущенной по поднимающейся в гору цели.

Траектория или путь полета — это путь, по которому движется объект массы в пространстве в зависимости от времени . В классической механике траектория определяется гамильтоновой механикой через канонические координаты ; следовательно, полная траектория определяется положением и импульсом одновременно.

Масса может быть снарядом или спутником . ^[1] Например, это может быть орбита — путь планеты , астероида или кометы , когда она движется вокруг центральной массы .

В теории управления траектория — это упорядоченный во времени набор состояний динамической системы (см., например, карту Пуанкаре ). В дискретной математике траектория — это последовательность значений, вычисляемая путем многократного применения отображения к элементу ее источника. ${\displaystyle (f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Физика траекторий

Знакомый пример траектории — путь снаряда, например брошенного мяча или камня. В существенно упрощенной модели объект движется только под действием однородного силового гравитационного поля . Это может быть хорошим приближением для камня, брошенного на короткие расстояния, например, на поверхность Луны . В этом простом приближении траектория принимает форму параболы . Обычно при определении траекторий может возникнуть необходимость учитывать неоднородные силы гравитации и сопротивление воздуха ( сопротивление и аэродинамику ). Этому посвящена дисциплина баллистика .

Одним из замечательных достижений механики Ньютона был вывод Кеплером законов движения планет . В гравитационном поле точечной массы или сферически-симметричной протяженной массы (например, Солнца ) траектория движущегося объекта представляет собой коническое сечение , обычно эллипс или гиперболу . ^[a] Это с достаточно хорошим приближением согласуется с наблюдаемыми орбитами планет , комет и искусственных космических аппаратов, хотя если комета проходит близко к Солнцу, то на нее также влияют другие силы, такие как солнечный ветер и радиационное давление , которые изменяют орбиту и заставляют комету выбрасывать материал в космос.

Теория Ньютона позже развилась в раздел теоретической физики, известный как классическая механика . Он использует математику дифференциального исчисления (которое также было начато Ньютоном в юности). На протяжении веков бесчисленное количество учёных внесли свой вклад в развитие этих двух дисциплин. Классическая механика стала наиболее яркой демонстрацией силы рационального мышления, то есть разума , как в науке, так и в технике. Это помогает понять и предсказать огромный спектр явлений ; траектории – это всего лишь один пример.

Рассмотрим частицу массы , движущуюся в потенциальном поле . С физической точки зрения масса представляет собой инерцию , а поле представляет собой внешние силы определенного типа, известные как «консервативные». Учитывая каждую соответствующую позицию, есть способ сделать вывод о связанной с ней силе, которая будет действовать в этой позиции, скажем, из гравитации. Однако не все силы можно выразить таким образом. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Движение частицы описывается дифференциальным уравнением второго порядка

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V({\vec {x}}(t)){\text{ with }}{\vec {x}}=(x,y,z).}$

В правой части сила выражена через градиент потенциала, взятый в точках траектории . Это математическая форма второго закона движения Ньютона : для таких ситуаций сила равна произведению массы на ускорение. ${\displaystyle \nabla V}$

Примеры

Равномерная гравитация, отсутствие сопротивления и ветра

Траектории массы, брошенной под углом 70°,
 без сопротивления
 с сопротивлением Стокса
 с сопротивлением Ньютона

Идеальный случай движения снаряда в однородном гравитационном поле при отсутствии других сил (например, сопротивления воздуха) впервые исследовал Галилео Галилей . Пренебрежение влиянием атмосферы на формирование траектории считалось бы бесполезной гипотезой практичными исследователями на протяжении всего Средневековья в Европе . Тем не менее, предвидя существование вакуума , ^{который позже был} продемонстрирован на Земле его сотрудником Евангелистой Торричелли ^, Галилей смог положить начало будущей науке механике . ^{[ нужна цитата ]} В почти вакууме, как оказывается, например, на Луне , его упрощенная параболическая траектория оказывается по существу правильной.

В последующем анализе мы выведем уравнение движения снаряда, измеренное в инерциальной системе отсчета , покоящейся относительно земли. С рамкой связана правая система координат, начало которой находится в точке старта снаряда. Ось - касается земли, а ось перпендикулярна ей (параллельна линиям гравитационного поля). Пусть – ускорение свободного падения . Относительно равнинной местности пусть начальная горизонтальная скорость равна , а начальная вертикальная скорость равна . Будет также показано, что дальность и максимальная высота равны . Максимальная дальность при заданной начальной скорости достигается при , т.е. начальный угол равен 45 . Этот диапазон составляет , а максимальная высота на максимальном расстоянии составляет . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v_{h}=v\cos(\theta )}$ ${\displaystyle v_{v}=v\sin(\theta )}$ ${\displaystyle 2v_{h}v_{v}/g}$ ${\displaystyle v_{v}^{2}/2g}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{h}=v_{v}}$ ${\displaystyle ^{\circ }}$ ${\displaystyle v^{2}/g}$ ${\displaystyle v^{2}/(4g)}$

Вывод уравнения движения

Предположим, что движение снаряда измеряется в системе свободного падения , которая находится в точке ( x , y ) = (0,0) в  момент t  = 0. Уравнение движения снаряда в этой системе координат (по принципу эквивалентности) ) было бы . Координаты этой системы свободного падения относительно нашей инерциальной системы отсчета будут равны . То есть, . ${\displaystyle y=x\tan(\theta )}$ ${\displaystyle y=-gt^{2}/2}$ ${\displaystyle y=-g(x/v_{h})^{2}/2}$

Теперь, переведя обратно в инерциальную систему координат, координаты снаряда будут выглядеть так: ${\displaystyle y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2}$

${\displaystyle y=-{g\sec ^{2}\theta \over 2v_{0}^{2}}x^{2}+x\tan \theta ,}$

(где v ₀ — начальная скорость, — угол возвышения, а g — ускорение свободного падения). ${\displaystyle \theta }$

Дальность и высота

Траектории снарядов, выпущенных под разными углами места, но с одинаковой скоростью 10 м/с в вакууме и однородном нисходящем поле силы тяжести 10 м/с ² . Точки располагаются с интервалом 0,05 с, а длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. t = время с момента запуска, T = время полета, R = дальность и H = высшая точка траектории (указана стрелками).

Диапазон R — это наибольшее расстояние, которое объект проходит вдоль оси X в секторе I. Начальная скорость vi — это скорость _, с которой указанный объект запускается из начальной точки. Начальный угол θi — это угол _, под которым указанный объект выпускается. G — соответствующее гравитационное притяжение объекта в нулевой среде.

${\displaystyle R={v_{i}^{2}\sin 2\theta _{i} \over g}}$

Высота h — это наибольшая параболическая высота, которую достигает объект на своей траектории .

${\displaystyle h={v_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i} \over 2g}}$

Угол подъема

Пример, показывающий, как рассчитать траекторию пули

По углу возвышения и начальной скорости : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{h}=v\cos \theta ,\quad v_{v}=v\sin \theta \;}$

давая диапазон как

${\displaystyle R=2v^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )/g=v^{2}\sin(2\theta )/g\,.}$

Это уравнение можно перестроить, чтобы найти угол для требуемого диапазона.

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)}$(Уравнение II: угол запуска снаряда)

Обратите внимание, что синусоидальная функция такова, что для данного диапазона существует два решения . Угол , дающий максимальный диапазон, можно найти, рассматривая производную или относительно и приравнивая ее к нулю. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d_{h}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta }={2v^{2} \over g}\cos(2\theta )=0}$

который имеет нетривиальное решение в , или . Тогда максимальный диапазон будет . Под этим углом получается максимальная высота . ${\displaystyle 2\theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$ ${\displaystyle R_{\max }=v^{2}/g\,}$ ${\displaystyle \sin(\pi /2)=1}$ ${\displaystyle {v^{2} \over 4g}}$

Чтобы найти угол, дающий максимальную высоту для данной скорости, вычислите производную максимальной высоты по , то есть которая равна нулю, когда . Таким образом, максимальная высота получается при выстреле снаряда прямо вверх. ${\displaystyle H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}}$

Орбитальные объекты

Если вместо однородной направленной вниз гравитационной силы мы рассмотрим два тела, вращающиеся по орбитам с взаимной гравитацией между ними, мы получим законы движения планет Кеплера . Их вывод был одной из главных работ Исаака Ньютона и во многом послужил мотивацией для развития дифференциального исчисления .

Ловля мячей

Если снаряд, такой как бейсбольный или крикетный мяч, движется по параболической траектории с незначительным сопротивлением воздуха, и если игрок расположен так, чтобы поймать его при его падении, он увидит, что его угол возвышения постоянно увеличивается на протяжении всего полета. Тангенс угла подъема пропорционален времени, прошедшему с момента поднятия мяча в воздух, обычно путем удара битой. Даже когда мяч действительно опускается, ближе к концу полета, угол его подъема, видимый игроком, продолжает увеличиваться. Таким образом, игрок видит его так, как будто он поднимается вертикально с постоянной скоростью. Нахождение места, из которого кажется, что мяч устойчиво поднимается, помогает игроку занять правильную позицию для ловли. Если он находится слишком близко к игроку с битой, отбившему мяч, будет казаться, что он поднимается с возрастающей скоростью. Если он находится слишком далеко от игрока с битой, будет казаться, что он быстро замедляется, а затем начинает опускаться.

Примечания

1. Теоретически орбита может быть радиальной прямой, кругом или параболой. Это предельные случаи, вероятность возникновения которых в реальности равна нулю.

Смотрите также

• Траектория кормового пересечения
• Смещение (геометрия)
• Галилеева инвариантность
• Орбита (динамика)
• Орбита (теория групп)
• Орбитальная траектория
• Фугоид
• Планетарная орбита
• Сюжет со свининой
• Движение снаряда
• Дальность полета снаряда
• Жесткое тело
• Мировая линия

Рекомендации

1. Мета, Рохит. «11». Принципы физики . п. 378.

Внешние ссылки

• Апплет Projectile Motion Flash. Архивировано 14 сентября 2008 г. в Wayback Machine :)
• Калькулятор траектории
• Интерактивное моделирование движения снаряда.
• Projectile Lab, симулятор траектории на JavaScript
• Движение параболического снаряда: стрельба безобидным транквилизатором в падающую обезьяну Роберто Кастилья-Мелендес, Роксана Рамирес-Эррера и Хосе Луис Гомес-Муньос, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Траектория, ScienceWorld.
• Java-симуляция движения снаряда с сопротивлением воздуха первого порядка. Архивировано 3 июля 2012 года в Wayback Machine.
• Java-моделирование движения снаряда; нацеливание решений, парабола безопасности.