Квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени

В математике квадратичная функция одной переменной — это функция вида ^[1]

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0,}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ — его переменная, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ — коэффициенты . Выражение ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c}$ , особенно если рассматривать его как объект сам по себе, а не как функцию, является квадратным многочленом , многочленом второй степени. В элементарной математике многочлен и связанная с ним полиномиальная функция редко различаются, а термины квадратичная функция и квадратичный многочлен являются почти синонимами и часто сокращаются до квадратичного .

Квадратный многочлен с двумя действительными корнями (пересечениями оси x ).

График действительной квадратичной функции от одной переменной — парабола . Если квадратичную функцию приравнять к нулю , то получится квадратное уравнение . Решения квадратного уравнения — это нули (или корни ) соответствующей квадратичной функции, которых может быть два, один или ноль. Решения описываются квадратичной формулой .

Квадратичный полином или квадратичная функция может включать более одной переменной. Например, квадратичная функция с двумя переменными ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ имеет вид

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

с по крайней мере одним из ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ не равным нулю. В общем случае нули такой квадратичной функции описывают коническое сечение ( окружность или другой эллипс , параболу или гиперболу ) в плоскости ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ – ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ . Квадратичная функция может иметь сколь угодно большое число переменных. Множество ее нулей образуют квадрику , которая является поверхностью в случае трех переменных и гиперповерхностью в общем случае.

Этимология

Прилагательное квадратный происходит от латинского слова quadrātum (« квадрат »). Член, возведенный во вторую степень, например ⁠ ⁠, ${\displaystyle \textstyle x^{2}}$ в алгебре называется квадратом, потому что это площадь квадрата со стороной ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ .

Терминология

Коэффициенты

Коэффициенты квадратичной функции часто считаются действительными или комплексными числами , но их можно брать в любом кольце , в этом случае область определения и кодомен — это это кольцо (см. оценку полинома ).

Степень

При использовании термина «квадратичный многочлен» авторы иногда подразумевают «имеющий степень ровно 2», а иногда «имеющий степень не более 2». Если степень меньше 2, это можно назвать « вырожденным случаем ». Обычно контекст устанавливает, какой из двух вариантов имеется в виду.

Иногда слово «порядок» используется в значении «степень», например, многочлен второго порядка. Однако, если «степень многочлена» относится к наибольшей степени ненулевого члена многочлена, то более типично «порядок» относится к наименьшей степени ненулевого члена степенного ряда .

Переменные

Квадратичный многочлен может включать одну переменную x (одномерный случай) или несколько переменных, таких как x , y и z (многомерный случай).

Случай с одной переменной

Любой квадратичный многочлен с одной переменной может быть записан как

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

где x — переменная, а a , b и c — коэффициенты . Такие многочлены часто возникают в квадратном уравнении. Решения этого уравнения называются корнями и могут быть выражены через коэффициенты в виде квадратной формулы . Каждый квадратный многочлен имеет связанную квадратичную функцию, графиком которой является парабола . ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Двумерные и многомерные случаи

Любой квадратный многочлен с двумя переменными можно записать как

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,}$

где x и y — переменные, a , b , c , d , e , f — коэффициенты, и один из a , b и c не равен нулю. Такие многочлены являются основополагающими для изучения конических сечений , поскольку неявное уравнение конического сечения получается путем приравнивания к нулю квадратичного многочлена, а нули квадратичной функции образуют (возможно, вырожденное) коническое сечение.

Аналогично, квадратичные многочлены с тремя и более переменными соответствуют квадратичным поверхностям или гиперповерхностям .

Квадратичные многочлены, которые имеют только члены второй степени, называются квадратичными формами .

Формы квадратичной функции одной переменной

Одномерная квадратичная функция может быть выражена в трех форматах: ^[2]

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ называется стандартной формой ,
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$называется факторизованной формой , где r ₁ и r ₂ — корни квадратной функции и решения соответствующего квадратного уравнения.
• ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$называется вершинной формой , где h и k — координаты x и y вершины соответственно.

Коэффициент a имеет одинаковое значение во всех трех формах. Чтобы преобразовать стандартную форму в факторизованную , нужна только квадратная формула для определения двух корней r ₁ и r ₂ . Чтобы преобразовать стандартную форму в вершинную , нужен процесс, называемый завершением квадрата . Чтобы преобразовать факторизованную форму (или вершинную форму) в стандартную форму, нужно умножить, разложить и/или распределить множители.

График одномерной функции

${\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}}$

Независимо от формата, график квадратичной функции одной переменной — это парабола (как показано справа). Эквивалентно, это график квадратного уравнения двух переменных . ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

• Если a > 0 , парабола направлена ​​вверх.
• Если a < 0 , то парабола направлена ​​вниз.

Коэффициент a контролирует степень кривизны графика; большая величина a придает графику более замкнутый (резко изогнутый) вид.

Коэффициенты b и a вместе контролируют положение оси симметрии параболы (а также x -координату вершины и параметр h в форме вершины), которая находится в

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

Коэффициент c контролирует высоту параболы; точнее, это высота параболы в точке пересечения с осью Y.

Вершина

Вершина параболы — это место, где она поворачивает; поэтому ее также называют точкой поворота . Если квадратичная функция находится в вершинной форме, то вершина — это ( h , k ) . Используя метод завершения квадрата, можно повернуть стандартную форму

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

в

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

поэтому вершина ( h , k ) параболы в стандартной форме равна

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$^{[ необходима ссылка ]}

Если квадратичная функция находится в факторизованной форме

${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$

среднее значение двух корней, т.е.

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}}$

это x -координата вершины, и, следовательно, вершина ( h , k ) является

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).}$

Вершина также является максимальной точкой, если a < 0 , или минимальной точкой, если a > 0 .

Вертикальная линия

${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$

проходящая через вершину, также является осью симметрии параболы.

Максимальное и минимальное количество баллов

Используя исчисление , вершинную точку, являющуюся максимумом или минимумом функции, можно получить, найдя корни производной :

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b}$

x является корнем f '( x ) , если f '( x ) = 0 , что приводит к

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

с соответствующим значением функции

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},}$

поэтому снова координаты вершины ( h , k ) можно выразить как

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Корни одномерной функции

График y = ax ² + bx + c , где a и дискриминант b ² − 4 ac положительны, причем

• Корни и y -пересечение выделены красным
• Вершина и ось симметрии синего цвета
• Фокус и директриса розового цвета

Визуализация комплексных корней y = ax ² + bx + c : парабола повернута на 180° вокруг своей вершины ( оранжевый ). Ее пересечения с осью x повернуты на 90° вокруг своей средней точки, а декартова плоскость интерпретируется как комплексная плоскость ( зеленый ). ^[3]

Точные корни

Корни (или нули ) , r ₁ и r ₂ , одномерной квадратичной функции

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}$

— это значения x, для которых f ( x ) = 0 .

Если коэффициенты a , b и c действительны или комплексны , корни имеют вид

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Верхняя граница величины корней

Модуль корней квадратного уравнения не может быть больше, чем где - золотое сечение ^[4] ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Квадратный корень одномерной квадратичной функции

Квадратный корень одномерной квадратичной функции приводит к одному из четырех конических сечений, почти всегда либо к эллипсу , либо к гиперболе .

Если то уравнение описывает гиперболу, как можно увидеть, возведя обе стороны в квадрат. Направления осей гиперболы определяются ординатой минимальной точки соответствующей параболы. Если ордината отрицательна, то большая ось гиперболы (через ее вершины ) горизонтальна, а если ордината положительна, то большая ось гиперболы вертикальна. ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$

Если то уравнение описывает либо окружность, либо другой эллипс, либо вообще ничего. Если ордината максимальной точки соответствующей параболы положительна, то ее квадратный корень описывает эллипс, но если ордината отрицательна, то он описывает пустое место точек. ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$

Итерация

Чтобы выполнить итерацию функции , ее применяют многократно, используя выходные данные одной итерации в качестве входных данных для следующей. ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

Не всегда можно вывести аналитическую форму , что означает n- ^ю итерацию . (Верхний индекс может быть расширен до отрицательных чисел, ссылаясь на итерацию обратной функции , если обратная функция существует.) Но есть некоторые аналитически разрешимые случаи. ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Например, для итерационного уравнения

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}$

один имеет

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}$

где

${\displaystyle g(x)=ax^{2}}$и ${\displaystyle h(x)=x-c.}$

Итак, по индукции,

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}$

можно получить, где можно легко вычислить как ${\displaystyle g^{(n)}(x)}$

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}$

Наконец, у нас есть

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c}$

как решение.

Более подробную информацию о связи между f и g см. в разделе Топологическая сопряженность . А хаотическое поведение в общей итерации см. в разделе Комплексный квадратичный многочлен .

Логистическая карта

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

с параметром 2< r <4 может быть решена в некоторых случаях, один из которых хаотичен , а другой нет. В хаотическом случае r =4 решение имеет вид

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

где начальный параметр условия задается как . Для рационального , после конечного числа итераций отображается в периодическую последовательность. Но почти все являются иррациональными, и, для иррационального , никогда не повторяется – он непериодический и проявляет чувствительную зависимость от начальных условий , поэтому его называют хаотическим. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$

Решение логистического отображения при r =2 имеет вид

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

для . Так как для любого значения, отличного от неустойчивой неподвижной точки 0, член стремится к 0, когда n стремится к бесконечности, то стремится к устойчивой неподвижной точке ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

Двумерная (двух переменных) квадратичная функция

Двумерная квадратичная функция — это многочлен второй степени вида

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

где A, B, C, D и E — фиксированные коэффициенты , а F — постоянный член. Такая функция описывает квадратичную поверхность . Приравнивание к нулю описывает пересечение поверхности с плоскостью , которая является геометрическим местом точек, эквивалентным коническому сечению . ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle z=0,}$

Минимум/максимум

Если функция не имеет максимума и минимума, то ее график образует гиперболический параболоид . ${\displaystyle 4AB-E^{2}<0,}$

Если функция имеет минимум, если и A > 0 , и B > 0 , и максимум, если и A < 0 , и B < 0 ; ее график образует эллиптический параболоид. В этом случае минимум или максимум достигается при : ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0,}$ ${\displaystyle (x_{m},y_{m}),}$

${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},}$

${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.}$

Если и функция не имеет максимума и минимума, то ее график образует параболический цилиндр . ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0,}$

Если и функция достигает максимума/минимума на прямой — минимума, если A >0, и максимума, если A <0; ее график образует параболический цилиндр. ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0,}$

Смотрите также

• Квадратичная форма
• Квадратное уравнение
• Матричное представление конических сечений
• Квадрик
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений
• Список математических функций

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик Вольфганг. "Квадратное уравнение". MathWorld . Получено 06.01.2013 .
2. Хьюз Халлетт, Дебора Дж .; Конналли, Эрик; МакКаллум, Уильям Джордж (2007). Колледжская алгебра . John Wiley & Sons Inc. стр. 205. ISBN 9780471271758.
3. "Комплексные корни стали видимыми – забавные факты о математике" . Получено 1 октября 2016 г.
4. Лорд, Ник (2007-11-01). «Золотые границы для корней квадратных уравнений». The Mathematical Gazette . 91 (522): 549 – через JSTOR .

• Гленко, Макгроу-Хилл. Алгебра 1. ISBN 9780078250835.
• Саксон, Джон Х. Алгебра 2. ISBN 9780939798629.