Логистическая карта

Простая полиномиальная карта, демонстрирующая хаотическое поведение

Логистическая карта — это полиномиальное отображение (эквивалент рекуррентного отношения ) степени 2 , которое часто называют архетипическим примером того, как сложное хаотическое поведение может возникнуть из очень простых нелинейных динамических уравнений. Карта, первоначально использованная Эдвардсом Лоренцем в 1960-х годах для демонстрации неправильных решений (например, уравнение 3 из ^[1] ), была популяризирована в статье 1976 года биологом Робертом Мэем ^[2] частично как демографическая карта с дискретным временем . модель, аналогичная логистическому уравнению, записанному Пьером Франсуа Верхюльстом . ^[3] Математически логистическая карта записывается

где x _n — число от нуля до единицы, которое представляет собой отношение существующей популяции к максимально возможной численности населения. Это нелинейное разностное уравнение предназначено для учета двух эффектов:

• воспроизводство , при котором численность населения будет увеличиваться со скоростью, пропорциональной текущей численности населения, когда размер популяции невелик,
• голод (смертность, зависящая от плотности), при которой темпы роста будут снижаться со скоростью, пропорциональной значению, полученному путем принятия теоретической «несущей способности» окружающей среды за вычетом текущей численности населения.

Обычно представляющие интерес значения параметра r находятся в интервале [0, 4] , так что x _n остается ограниченным на [0, 1] . Случай r = 4 логистической карты представляет собой нелинейное преобразование как карты побитового сдвига , так и случая µ = 2 карты палатки . Если r > 4 , это приводит к отрицательной численности населения. (Эта проблема не возникает в более старой модели Рикера , которая также демонстрирует хаотическую динамику.) Можно также рассматривать значения r в интервале [−2, 0] , так что x _n остается ограниченным на [−0,5, 1,5] . ^[4]

Характеристики карты

Поведение, зависящее от r

На изображении ниже показано амплитудное и частотное содержание некоторых итераций логистической карты для значений параметров от 2 до 4.

При изменении параметра r наблюдается следующее поведение:

Эволюция различных начальных условий в зависимости от r

• При r между 0 и 1 популяция в конечном итоге вымрет, независимо от первоначальной популяции.
• При r между 1 и 2 популяция быстро приблизится к значениюр - 1/р, независимо от начальной популяции.

• 

  Эволюция различных начальных условий в зависимости от r со смещением

  При r между 2 и 3 популяция в конечном итоге также приблизится к тому же значению.р - 1/р, но сначала будет некоторое время колебаться вокруг этого значения. Скорость сходимости линейна, за исключением r = 3 , когда она значительно медленнее, меньше линейной (см. Бифуркационная память ).
• При r от 3 до 1 +  √ 6 ≈ 3,44949 популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между двумя значениями. Эти два значения зависят от r и определяются формулой ^[4] . ${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{2r}}\left(r+1\pm {\sqrt {(r-3)(r+1)}}\right)}$
• При r между 3,44949 и 3,54409 (приблизительно) почти при всех начальных условиях популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между четырьмя значениями. Последнее число является корнем полинома 12-й степени (последовательность A086181 в OEIS ).
• При увеличении r за пределы 3,54409 почти из всех начальных условий популяция будет приближаться к колебаниям среди 8 значений, затем 16, 32 и т. д. Длины интервалов параметров, которые приводят к колебаниям заданной длины, быстро уменьшаются; соотношение длин двух последовательных бифуркационных интервалов приближается к константе Фейгенбаума δ ≈ 4,66920 . Такое поведение является примером каскада удвоения периода .
• При r ≈ 3,56995 (последовательность A098587 в OEIS ) происходит начало хаоса, конец каскада удвоения периода. Практически из всех начальных условий мы уже не видим колебаний конечного периода. Незначительные изменения в первоначальной популяции со временем приводят к совершенно разным результатам, что является основной характеристикой хаоса.
• Большинство значений r за пределами 3,56995 демонстрируют хаотическое поведение, но все же существуют определенные изолированные диапазоны r , которые демонстрируют нехаотическое поведение; их иногда называют островами стабильности . Например, начиная с 1 +  √ 8 ^[5] (приблизительно 3,82843) существует диапазон параметров r , который показывает колебание между тремя значениями, а для несколько более высоких значений r колебание между 6 значениями, затем 12 и т. д.
• При возникает устойчивый цикл периода-3. ^[6] ${\displaystyle r=1+{\sqrt {8}}=3.8284...}$
• Развитие хаотического поведения логистической последовательности при изменении параметра r примерно от 3,56995 до примерно 3,82843 иногда называют сценарием Помо-Манневиля , характеризующимся периодической (ламинарной) фазой, прерываемой всплесками апериодического поведения. Такой сценарий имеет применение в полупроводниковых устройствах. ^[7] Существуют и другие диапазоны, которые дают колебания между 5 значениями и т. д.; все периоды колебаний происходят при некоторых значениях r . Окно удвоения периода с параметром c представляет собой диапазон r -значений, состоящий из последовательности поддиапазонов. k - й поддиапазон содержит значения r , для которых существует устойчивый цикл (цикл, который притягивает множество начальных точек единичной меры) периода 2 ^k c . Эта последовательность поддиапазонов называется каскадом гармоник . ^[8] В поддиапазоне с устойчивым циклом периода 2 ^{k *} c существуют неустойчивые циклы периода 2 ^k c для всех k < k * . Значение r в конце бесконечной последовательности поддиапазонов называется точкой накопления каскада гармоник. По мере увеличения r появляется последовательность новых окон с разными значениями c . Первый — для c = 1 ; все последующие окна, включающие нечетное c, происходят в порядке убывания c , начиная с произвольно большого c . ^{[8] [9]}
• При две хаотические полосы бифуркационной диаграммы пересекаются в первой точке Мисюревича логистического отображения. Оно удовлетворяет уравнениям . ^[10] ${\displaystyle r=3.678...,x=0.728...}$ ${\displaystyle r^{3}-2r^{2}-4r-8=0,x=1-1/r}$
• За пределами r = 4 почти все начальные значения в конечном итоге выходят за пределы интервала [0,1] и расходятся. Набор начальных условий, которые остаются в пределах [0,1], образуют канторово множество , и динамика, ограниченная этим канторовым множеством, хаотична. ^[11]

Для любого значения r существует не более одного устойчивого цикла. Если устойчивый цикл существует, он глобально стабилен и притягивает к себе почти все точки. ^{[12] : 13} Некоторые значения r с устойчивым циклом некоторого периода имеют бесконечное количество неустойчивых циклов различных периодов.

Бифуркационная диаграмма справа суммирует это. Горизонтальная ось показывает возможные значения параметра r, а вертикальная ось показывает набор значений x , асимптотически посещаемых почти из всех начальных условий при итерациях логистического уравнения с этим значением r .

Бифуркационная диаграмма логистической карты. Аттрактор для любого значения параметра r показан на вертикальной линии при этом r .

Бифуркационная диаграмма является самоподобной : если мы увеличим вышеупомянутое значение r ≈ 3,82843 и сосредоточимся на одном плече из трех, ситуация рядом будет выглядеть как уменьшенная и слегка искаженная версия всей диаграммы. То же самое справедливо и для всех остальных нехаотичных точек. Это пример глубокой и повсеместной связи между хаосом и фракталами .

Увеличение хаотичной области карты.

Стабильные области внутри хаотической области, где на границе между хаотичным и периодическим аттрактором происходит касательная бифуркация, дающая прерывистые траектории, как описано в сценарии Помо – Манневиля .

Мы также можем рассмотреть отрицательные значения r :

• При r между -2 и -1 логистическая последовательность также демонстрирует хаотическое поведение. ^[4]
• При r между -1 и 1 -  √ 6 и при x ₀ между 1/ r и 1-1/ r популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между двумя значениями, как в случае r между 3 и 1 +  √ 6 , и заданной по той же формуле. ^[4]

Хаос и логистическая карта

Паутинная диаграмма логистической карты, показывающая хаотическое поведение для большинства значений r > 3,57.

Логистическая функция f (синяя) и ее итерированные версии f ² , f ³ , f ⁴ и f ⁵ для r = 3,5 . Например, для любого начального значения на горизонтальной оси f ⁴ дает значение итерации, полученной четырьмя итерациями позже.

Относительная простота логистической карты делает ее широко используемой отправной точкой для рассмотрения концепции хаоса. Грубое описание хаоса состоит в том, что хаотические системы проявляют большую чувствительность к начальным условиям — свойство логистической карты для большинства значений r примерно от 3,57 до 4 (как отмечалось выше). ^[2] Распространенным источником такой чувствительности к начальным условиям является то, что карта представляет собой повторяющееся сгибание и растяжение пространства, на котором она определена. В случае логистической карты квадратично- разностное уравнение , описывающее ее, можно рассматривать как операцию растяжения и складывания на интервале (0,1) . ^[13]

На следующем рисунке показано растяжение и свертывание последовательности итераций карты. На рисунке (a) слева показан двумерный график Пуанкаре пространства состояний логистической карты для r = 4 и четко показана квадратичная кривая разностного уравнения ( 1 ). Однако мы можем встроить ту же последовательность в трехмерное пространство состояний, чтобы исследовать более глубокую структуру карты. Рисунок (b), справа, демонстрирует это, показывая, как изначально близлежащие точки начинают расходиться, особенно в тех областях x _t , которые соответствуют более крутым участкам графика.

Двух- и трехмерные графики Пуанкаре показывают структуру логистической карты в виде растяжения и складывания.

Это растяжение и складывание приводит не просто к постепенному расхождению последовательностей итераций, а к экспоненциальному расхождению (см. показатели Ляпунова ), о чем также свидетельствует сложность и непредсказуемость хаотичной логистической карты. Фактически экспоненциальное расхождение последовательностей итераций объясняет связь между хаосом и непредсказуемостью: небольшая ошибка в предполагаемом начальном состоянии системы будет иметь тенденцию соответствовать большой ошибке на более позднем этапе ее эволюции. Следовательно, предсказания о будущих состояниях постепенно (на самом деле, экспоненциально ) становятся хуже, когда в наших знаниях об начальном состоянии есть даже очень небольшие ошибки. Эта непредсказуемость и очевидная случайность привели к тому, что уравнение логистической карты стало использоваться в качестве генератора псевдослучайных чисел в первых компьютерах. ^[13]

При r = 2 функция пересекается точно в точке максимума, поэтому сходимость к точке равновесия имеет порядок . Следовательно, точку равновесия называют «сверхстабильной». Его показатель Ляпунова равен . Аналогичный аргумент показывает, что в каждом интервале, где динамическая система имеет устойчивый цикл, существует сверхстабильное значение. На графике показателя Ляпунова это можно увидеть в виде резких провалов. ^[14] ${\displaystyle rx(1-x)}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle \delta ^{2^{n}}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle r}$

Поскольку карта ограничена интервалом на прямой числовой линии, ее размерность меньше или равна единице. Численные оценки дают корреляционную размерность0,500 ± 0,005 ( Grassberger , 1983), размерность Хаусдорфа около 0,538 ( Grassberger 1981) и информационная размерность примерно 0,5170976 ( Grassberger 1983) для r ≈ 3,5699456 (наступление хаоса). Примечание. Можно показать, что размерность корреляции определенно находится в диапазоне от 0,4926 до 0,5024.

Однако часто можно сделать точные и точные утверждения о вероятности будущего состояния хаотической системы. Если (возможно, хаотическая) динамическая система имеет аттрактор , то существует вероятностная мера , которая дает долгосрочную долю времени, проведенного системой в различных областях аттрактора. В случае логистической карты с параметром r = 4 и начальным состоянием в (0,1) аттрактором также является интервал (0,1) , а вероятностная мера соответствует бета-распределению с параметрами a = 0,5 и b. = 0,5 . В частности, ^[15] инвариантной мерой является

${\displaystyle {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}.}$

Непредсказуемость не является случайностью, но в некоторых обстоятельствах очень на нее похожа. Следовательно, и к счастью, даже если мы знаем очень мало о начальном состоянии логистической карты (или какой-либо другой хаотической системы), мы все равно можем что-то сказать о распределении состояний сколь угодно далеко в будущем и использовать эти знания для обоснования решений . в зависимости от состояния системы.

Логистическая карта с показательной функцией Ляпунова .

Графическое представление

Диаграмму бифуркации логистической карты можно визуализировать с помощью следующего кода Python :

импортировать  numpy  как  npимпортировать  matplotlib.pyplot  как  pltинтервал  =  ( 2.8 ,  4 )  # начало, конецточность  =  0,0001повторения  =  600  # количество повторенийчислографик  =  200лим  =  НП . нули ( повторения )рис ,  biax  =  plt . подсюжеты ()инжир . set_size_inches ( 16 ,  9 )лим [ 0 ]  знак равно  np . случайный . ранд ()для  r  в  np . диапазон ( интервал [ 0 ],  интервал [ 1 ],  точность ): для  меня  в  диапазоне ( повторения  -  1 ): lims [ i  +  1 ]  =  r  *  lims [ i ]  *  ( 1  -  lims [ i ]) биакс . сюжет ([ r ]  *  numtoplot ,  lims [ reps  -  numtoplot  :],  "b." ,  размер маркера = 0,02 )биакс . set ( xlabel = "r" ,  ylabel = "x" ,  title = "логистическая карта" )плт . показывать ()

Особые случаи карты

Верхняя граница, когда 0 ≤ r ≤ 1

Хотя точные решения рекуррентного соотношения доступны только в небольшом количестве случаев, верхняя граница логистического отображения в замкнутой форме известна, когда 0 ≤ r ≤ 1 . ^[16] Есть два аспекта поведения логистической карты, которые должны быть отражены верхней границей в этом режиме: асимптотическое геометрическое затухание с постоянным r и быстрое начальное затухание, когда x ₀ близко к 1, вызванное (1 − x _n ) член рекуррентного соотношения. Следующая оценка отражает оба этих эффекта:

${\displaystyle \forall n\in \{0,1,\ldots \}\quad {\text{and}}\quad x_{0},r\in [0,1],\quad x_{n}\leq {\frac {x_{0}}{r^{-n}+x_{0}n}}.}$

Решение при r = 4

Частный случай r = 4 на самом деле может быть решен точно, как и случай r = 2 ; ^[17] , однако общий случай можно предсказать только статистически. ^[18] Решение при r = 4 : ^{[17] [19]}

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2^{n}\theta \pi \right),}$

где параметр начального состояния θ определяется выражением

${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}\left({\sqrt {x_{0}}}\right).}$

Для рационального θ после конечного числа итераций xn _{преобразуется} в периодическую последовательность. Но почти все θ иррациональны, а для иррационального θ x _n никогда не повторяется – он непериодичен. Это уравнение решения ясно демонстрирует две ключевые особенности хаоса – растяжение и складывание: коэффициент 2 ⁿ показывает экспоненциальный рост растяжения, что приводит к чувствительной зависимости от начальных условий , в то время как функция синуса, возведенная в квадрат, сохраняет x _n свернутым в пределах диапазона [0 ,1] .

Для r = 4 эквивалентным решением в терминах комплексных чисел вместо тригонометрических функций является ^[20]

${\displaystyle x_{n}={\frac {-\alpha ^{2^{n}}-\alpha ^{-2^{n}}+2}{4}}}$

где α — любое из комплексных чисел

${\displaystyle \alpha =1-2x_{0}\pm {\sqrt {\left(1-2x_{0}\right)^{2}-1}}}$

с модулем, равным 1. Подобно тому, как квадрат синуса в тригонометрическом решении не приводит ни к сжатию, ни к расширению множества посещенных точек, в последнем решении этот эффект достигается за счет единичного модуля α .

Напротив, при r = 2 решение ^[20]

${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\left(1-2x_{0}\right)^{2^{n}}}$

для x ₀ ∈ [0,1) . Поскольку (1 − 2 x ₀ ) ∈ (−1,1) для любого значения x ₀ , отличного от нестабильной неподвижной точки 0, член (1 − 2 x ₀ ) ^{2 n} стремится к 0, когда n стремится к бесконечности, поэтому x _n переходит в стабильную фиксированную точку1/2.

Нахождение циклов любой длины при r = 4

Для случая r = 4 практически из всех начальных условий последовательность итераций хаотична. Тем не менее, существует бесконечное количество начальных условий, которые приводят к циклам, и действительно существуют циклы длины k для всех целых чисел k > 0 . Мы можем использовать связь логистической карты с диадическим преобразованием (также известным как карта битового сдвига ), чтобы найти циклы любой длины. Если x следует логистическому отображению x _{n + 1} = 4 x _n (1 − x _n ), а y следует двоичному преобразованию

${\displaystyle y_{n+1}={\begin{cases}2y_{n}&0\leq y_{n}<{\tfrac {1}{2}}\\2y_{n}-1&{\tfrac {1}{2}}\leq y_{n}<1,\end{cases}}}$

то они связаны гомеоморфизмом

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2\pi y_{n}\right).}$

Причина, по которой диадическое преобразование также называется картой битового сдвига, заключается в том, что когда y записывается в двоичной записи, карта перемещает двоичную точку на одну позицию вправо (и если бит слева от двоичной точки становится «1», эта «1» меняется на «0»). Например, цикл длиной 3 возникает, если итерация имеет 3-битную повторяющуюся последовательность в своем двоичном представлении (которая также не является однобитной повторяющейся последовательностью): 001, 010, 100, 110, 101 или 011. Итерация 001001001... отображается в 010010010..., которая отображается в 100100100..., которая, в свою очередь, отображается в исходный 001001001...; так что это 3-цикл карты битового сдвига. А остальные три повторяющиеся последовательности двоичного расширения дают 3-цикл 110110110... → 101101101... → 011011011... → 110110110.... Любой из этих 3-циклов можно преобразовать в дробную форму: например, первый заданный 3-цикл можно записать как1/7→2/7→4/7→1/7. Использование приведенного выше перевода карты битового сдвига в логистическую карту дает соответствующий логистический цикл 0,611260467... → 0,950484434... → 0,188255099... → 0,611260467.... Мы могли бы аналогичным образом перевести другой битовый сдвиг 3- цикл в соответствующий логистический цикл. Аналогично, циклы любой длины k можно найти в карте битового сдвига и затем преобразовать в соответствующие логистические циклы. ${\displaystyle r=4}$

Однако, поскольку почти все числа в [0,1) иррациональны, почти все начальные условия карты побитового сдвига приводят к непериодичности хаоса. Это один из способов увидеть, что логистическая карта r = 4 хаотична почти для всех начальных условий.

Количество циклов (минимальной) длины k = 1, 2, 3,… для логистической карты с r = 4 ( палаточная карта с µ = 2 ) представляет собой известную целочисленную последовательность (последовательность A001037 в OEIS ): 2, 1 , 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161.... Это говорит нам о том, что логистическая карта с r = 4 имеет 2 фиксированные точки, 1 цикл длины 2, 2 цикла длиной 3 и так далее. Эта последовательность принимает особенно простой вид для простых k : 2 ⋅2 ^{к - 1} - 1/к. Например: 2 ⋅ 2 ^{13 – 1} – 1/13= 630 — количество циклов длины 13. Поскольку этот случай логистического отображения хаотичен почти для всех начальных условий, все эти циклы конечной длины неустойчивы.

Универсальность

Универсальность Фейгенбаума одномерных карт

Универсальность одномерных карт с параболическими максимумами и константами Фейгенбаума , ^{[21] [22]} хорошо видна на карте, предложенной в качестве игрушечной модели для дискретной лазерной динамики: , где – амплитуда электрического поля, ^[23] – коэффициент усиления лазера как бифуркация параметр. ${\displaystyle \delta =4.669201...}$ ${\displaystyle \alpha =2.502907...}$ ${\displaystyle x\rightarrow Gx(1-\tanh(x))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

Постепенное увеличение интервала меняет динамику с регулярной на хаотическую ^[24] с качественно той же бифуркационной диаграммой , что и для логистической карты. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Оценка перенормировки

Константы Фейгенбаума можно оценить с помощью аргумента перенормировки. (Раздел 10.7, ^[14] ).

В силу универсальности мы можем использовать другое семейство функций, которое также претерпевает неоднократное удвоение периода на пути к хаосу, и хотя это не совсем логистическое отображение, оно все равно будет давать те же константы Фейгенбаума.

Дайте определение семье

$${\displaystyle f_{r}(x)=-(1+r)x+x^{2}}$$

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=r_{0},r_{1},r_{2},...}$

Первая бифуркация происходит при . После бифуркации удвоения периода мы можем найти устойчивую орбиту периода 2 с помощью , что дает ${\displaystyle r=r_{0}=0}$ ${\displaystyle f_{r}(p)=q,f_{r}(q)=p}$

$${\displaystyle {\begin{cases}p={\frac {1}{2}}(r+{\sqrt {r(r+4)}})\\q={\frac {1}{2}}(r-{\sqrt {r(r+4)}})\end{cases}}}$$

${\displaystyle r=r_{1}}$ ${\displaystyle x=p}$ ${\displaystyle T(x)=x/c+p}$

$${\displaystyle (T^{-1}\circ f_{r}^{2}\circ T)(x)=-(1+S(r))x+x^{2}+O(x^{3})}$$

${\displaystyle S(r)=r^{2}+4r-2,c=r^{2}+4r-3{\sqrt {r(r+4)}}}$ ${\displaystyle S(r)=0}$ ${\displaystyle S(r_{1})\approx 0}$

По самоподобию третья бифуркация при и т.д. Таким образом, мы имеем , или . Итерируя эту карту, мы находим , и . ${\displaystyle S(r)\approx r_{1}}$ ${\displaystyle r_{n}\approx S(r_{n+1})}$ ${\displaystyle r_{n+1}\approx {\sqrt {r_{n}+6}}-2}$ ${\displaystyle r_{\infty }=\lim _{n}r_{n}\approx \lim _{n}S^{-n}(0)={\frac {1}{2}}({\sqrt {17}}-3)}$ ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {r_{\infty }-r_{n}}{r_{\infty }-r_{n+1}}}\approx S'(r_{\infty })\approx 1+{\sqrt {17}}}$

Таким образом, мы имеем оценки , и . Они находятся в пределах 10% от истинных значений. ${\displaystyle \delta \approx 1+{\sqrt {17}}=5.12...}$ ${\displaystyle \alpha \approx r_{\infty }^{2}+4r_{\infty }-3{\sqrt {r_{\infty }^{2}+4r_{\infty }}}\approx -2.24...}$

Логистическая карта и логистическое обыкновенное дифференциальное уравнение

Логистическая карта демонстрирует многочисленные характеристики как периодических, так и хаотических решений, тогда как логистическое обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) демонстрирует регулярные решения, обычно называемые S-образной сигмовидной функцией. Логистическую карту можно рассматривать как дискретный аналог логистического ОДУ, и их корреляция широко обсуждается в литературе ^[25].

Смотрите также

• Логистическая функция , решение непрерывного аналога логистической карты: логистического дифференциального уравнения .
• Устойчивость по Ляпунову # Определение для систем с дискретным временем
• Мальтузианская модель роста
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений , частным случаем которых является логистическое отображение, ограниченное вещественной линией.
• Сеть радиальной базисной функции , которая иллюстрирует обратную задачу для логистической карты.
• Уравнение Шредера
• Жесткое уравнение

Примечания

1. Лоренц, Эдвард Н. (1 февраля 1964 г.). «Проблема вывода климата из основных уравнений». Расскажи нам . 16 (1): 1–11. Бибкод : 1964Скажите...16....1Л. doi :10.1111/j.2153-3490.1964.tb00136.x. ISSN  0040-2826.
2. Мэй, Роберт М. (1976). «Простые математические модели с очень сложной динамикой». Природа . 261 (5560): 459–467. Бибкод : 1976Natur.261..459M. дои : 10.1038/261459a0. hdl : 10338.dmlcz/104555 . PMID  934280. S2CID  2243371.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Логистическое уравнение». Математический мир .
4. Цучия, Такаши; Ямагиси, Дайсуке (11 февраля 1997 г.). «Полная бифуркационная диаграмма логистической карты». З. Натурфорш . 52а (6–7): 513–516. Бибкод : 1997ZNatA..52..513T. дои : 10.1515/zna-1997-6-708 . S2CID  101491730.
5. Чжан, Ченг (октябрь 2010 г.). «Третий период начинается». Журнал «Математика» . 83 (4): 295–297. дои : 10.4169/002557010x521859. S2CID  123124113.
6. Беххофер, Джон (1 апреля 1996 г.). «Рождение периода 3, еще раз». Журнал «Математика» . 69 (2): 115–118. дои : 10.1080/0025570X.1996.11996402. ISSN  0025-570X.
7. Джеффрис, Карсон; Перес, Хосе (1982). «Наблюдение прерывистого пути Помо – Манневиля к хаосу в нелинейном генераторе». Физический обзор А. 26 (4): 2117–2122. Бибкод : 1982PhRvA..26.2117J. doi :10.1103/PhysRevA.26.2117. S2CID  119466337.
8. Мэй, РМ (1976). «Простые математические модели с очень сложной динамикой». Природа . 261 (5560): 459–67. Бибкод : 1976Natur.261..459M. дои : 10.1038/261459a0. hdl : 10338.dmlcz/104555 . PMID  934280. S2CID  2243371.
9. Баумол, Уильям Дж .; Бенхабиб, Джесс (февраль 1989 г.). «Хаос: значение, механизм и экономические приложения». Журнал экономических перспектив . 3 (1): 77–105. дои : 10.1257/jep.3.1.77 .
10. "Точка Мисюревича на логистической карте" . sprott.Physics.wisc.edu . Проверено 8 мая 2023 г.
11. Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . амер. Математический соц. ISBN 978-0-8218-8328-0.
12. Колле, Пьер; Экманн, Жан-Пьер (1980). Итерированные карты на интервале как динамические системы . Биркгаузер. ISBN 978-3-7643-3026-2.
13. Глейк, Джеймс (1987). Хаос: создание новой науки . Лондон: Книги Пингвина. ISBN 978-0-14-009250-9.
14. Строгац, Стивен (2019). «10.1: Неподвижные точки и паутина». Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике (2-е изд.). Бока-Ратон. ISBN 978-0-367-09206-1. ОСЛК  1112373147.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
15. Якобсон, М. (1981). «Абсолютно непрерывные инвариантные меры для однопараметрических семейств одномерных отображений». Связь в математической физике . 81 (1): 39–88. Бибкод : 1981CMaPh..81...39J. дои : 10.1007/BF01941800. S2CID  119956479.
16. Кэмпбелл, Тревор; Бродерик, Тамара (2017). «Автоматизированный масштабируемый байесовский вывод с помощью базовых наборов Гильберта». arXiv : 1710.05053 [stat.ML].
17. Шредер, Эрнст (1870). «Über iterierte Funktionen». Математика. Анна . 3 (2): 296–322. дои : 10.1007/BF01443992. S2CID  116998358.
18. Литтл, М.; Хиш, Д. (2004). «Хаотический поиск корня для небольшого класса многочленов» (PDF) . Журнал разностных уравнений и приложений . 10 (11): 949–953. arXiv : nlin/0407042 . дои : 10.1080/10236190412331285351. S2CID  122705492.
19. Лоренц, Эдвард (1964). «Проблема вывода климата из основных уравнений». Расскажи нам . 16 (февраль): 1–11. Бибкод : 1964Скажите...16....1Л. дои : 10.3402/tellusa.v16i1.8893 .
20. Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математические Аннален . 3 (2): 296–322. дои : 10.1007/BF01443992. S2CID  116998358.
21. Фейгенбаум, MJ (1976) «Универсальность в сложной дискретной динамике», Годовой отчет теоретического отдела Лос-Аламоса, 1975-1976 гг.
22. Фейгенбаум, Митчелл (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Бибкод : 1978JSP....19...25F. CiteSeerX 10.1.1.418.9339 . дои : 10.1007/BF01020332. S2CID  124498882. 
23. Окулов, А Ю; Ораевский А.Н. (1986). «Пространственно-временное поведение светового импульса, распространяющегося в нелинейной недисперсионной среде». J. Опт. Соц. Являюсь. Б.​ 3 (5): 741–746. Бибкод : 1986JOSAB...3..741O. дои : 10.1364/JOSAB.3.000741. S2CID  124347430.
24. Окулов, А Ю; Ораевский А.Н. (1984). «Регулярная и стохастическая самомодуляция в кольцевом лазере с нелинейным элементом». Советский журнал квантовой электроники . 14 (2): 1235–1237. Бибкод : 1984QuEle..14.1235O. doi : 10.1070/QE1984v014n09ABEH006171.
25. Шен, Бо-Вэнь; Пилке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин (12 августа 2023 г.). «50-летие метафорического эффекта бабочки со времен Лоренца (1972): мультистабильность, многомасштабная предсказуемость и чувствительность в числовых моделях». Атмосфера . 14 (8): 1279. Бибкод : 2023Атмос..14.1279С. дои : 10.3390/atmos14081279 . ISSN  2073-4433.

Рекомендации

• Грассбергер, П .; Прокачча, И. (1983). «Измерение странности странных аттракторов». Физика Д. 9 (1–2): 189–208. Бибкод : 1983PhyD....9..189G. дои : 10.1016/0167-2789(83)90298-1.
• Грассбергер, П. (1981). «О хаусдорфовой размерности фрактальных аттракторов». Журнал статистической физики . 26 (1): 173–179. Бибкод : 1981JSP....26..173G. дои : 10.1007/BF01106792. S2CID  119833080.
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850840-3.
• Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос . Издательство Персей. ISBN 978-0-7382-0453-6.
• Туфилларо, Николас; Эбботт, Тайлер; Рейли, Иеремия (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу . Аддисон-Уэсли Нью-Йорк. ISBN 978-0-201-55441-0.

Внешние ссылки

• Гиперучебник Хаоса. Вводный курс по хаосу и фракталам.
• Интерактивная визуализация логистической карты в виде блокнота Jupyter .
• Логистическая карта и хаос Элмера Г. Винса
• Сложность и хаос (аудиокнига) Роджера Уайта. Глава 5 посвящена логистическому уравнению.
• «История повторяющихся карт» в книге Стивена Вольфрама « Новый вид науки» . Шампейн, Иллинойс: Wolfram Media, стр. 918, 2002.
• «Очень краткая история универсальности в удвоении периода» П. Цвитановича.
• «Не такая уж короткая история универсальной функции» П. Цвитановича.
• Дискретное логистическое уравнение Марека Боднара по мотивам работы Фила Рамсдена, Демонстрационный проект Wolfram .
• Мультипликативное соединение двух логистических карт К. Пеллисера-Лостао и Р. Лопеса-Руиса после работы Эда Пегга-младшего, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Использование SAGE для исследования дискретного логистического уравнения