Лебегово покрытие размерности

Топологически инвариантное определение размерности пространства

В математике размерность покрытия Лебега или топологическая размерность топологического пространства является одним из нескольких различных способов определения размерности пространства топологически инвариантным способом. ^{[1] [2]}

Неформальное обсуждение

Для обычных евклидовых пространств размерность покрытия Лебега — это просто обычная евклидова размерность: ноль для точек, один для прямых, два для плоскостей и т. д. Однако не все топологические пространства имеют такую ​​«очевидную» размерность , и поэтому в таких случаях требуется точное определение. Определение продолжается путем изучения того, что происходит, когда пространство покрывается открытыми множествами .

В общем случае топологическое пространство X может быть покрыто открытыми множествами , в том смысле, что можно найти набор открытых множеств, такой что X лежит внутри их объединения . Размерность покрытия — это наименьшее число n , такое что для каждого покрытия существует уточнение , при котором каждая точка в X лежит в пересечении не более чем n  + 1 покрывающих множеств. Это суть формального определения ниже. Цель определения — предоставить число ( целое число ), которое описывает пространство и не изменяется при непрерывной деформации пространства; то есть число, которое инвариантно относительно гомеоморфизмов .

Общая идея проиллюстрирована на схемах ниже, на которых изображены крышка и усовершенствования круга и квадрата.

Формальное определение

Анри Лебег использовал закрытые «кирпичи» для изучения покрывающей размерности в 1921 году. ^[3]

Первое формальное определение размерности покрытия было дано Эдуардом Чехом на основе более раннего результата Анри Лебега . ^[4]

Современное определение таково. Открытое покрытие топологического пространства X — это семейство открытых множеств U _α, такое, что их объединение есть все пространство, U _α = X . Порядок или слой открытого покрытия = { U _α } — это наименьшее число m (если оно существует), для которого каждая точка пространства принадлежит не более чем m открытым множествам в покрытии: другими словами, U _{α 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ U _{α m +1} = для α ₁ , ..., α _{m +1} различных. Уточнение открытого покрытия = { U _α } — это другое открытое покрытие = { V _β }, такое, что каждое V _β содержится в некотором U _α . Размерность покрытия топологического пространства X определяется как минимальное значение n такое, что каждое конечное открытое покрытие X имеет открытое измельчение с порядком n  + 1. Уточнение всегда можно выбрать конечным. ^[5] Таким образом, если n конечно, V _{β 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ V _{β n +2} = для β ₁ , ..., β _{n +2} различных. Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную размерность покрытия. ${\displaystyle \cup _{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle \emptyset }$

В качестве частного случая непустое топологическое пространство является нульмерным относительно размерности покрытия, если каждое открытое покрытие пространства имеет измельчение, состоящее из непересекающихся открытых множеств, то есть любая точка пространства содержится ровно в одном открытом множестве этого измельчения.

Примеры

Пустое множество имеет размерность покрытия -1: для любого открытого покрытия пустого множества каждая точка пустого множества не содержится ни в одном элементе покрытия, поэтому порядок любого открытого покрытия равен 0.

Любое заданное открытое покрытие единичной окружности будет иметь уточнение, состоящее из набора открытых дуг. Окружность имеет размерность один, согласно этому определению, потому что любое такое покрытие может быть дополнительно уточнено до стадии, когда заданная точка x окружности содержится не более чем в двух открытых дугах. То есть, с какого бы набора дуг мы ни начинали, некоторые из них можно отбросить или сжать, так что остаток все еще будет покрывать окружность, но с простыми наложениями.

Аналогично, любое открытое покрытие единичного диска в двумерной плоскости может быть уточнено так, что любая точка диска содержится не более чем в трех открытых множествах, в то время как двух в общем случае недостаточно. Таким образом, размерность покрытия диска равна двум.

В более общем случае n -мерное евклидово пространство имеет размерность покрытия n . ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

Характеристики

• Гомеоморфные пространства имеют одинаковую размерность покрытия. То есть размерность покрытия является топологическим инвариантом .
• Размерность покрытия нормального пространства X равна тогда и только тогда, когда для любого замкнутого подмножества A пространства X , если является непрерывным, то существует расширение до . Здесь — n -мерная сфера . ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow S^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:X\rightarrow S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$
• Теорема Остранда о цветной размерности. Если X — нормальное топологическое пространство и = { U _α } — локально конечное покрытие X порядка ≤ n + 1, то для каждого 1 ≤ i ≤ n + 1 существует семейство попарно непересекающихся открытых множеств _i = { V _{i , α} }, сжимающихся , т. е. V _{i , α} ⊆ U _α , и вместе покрывающих X . ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

Связь с другими понятиями измерения

• Для паракомпактного пространства X размерность покрытия можно эквивалентно определить как минимальное значение n , такое, что каждое открытое покрытие X ( любого размера) имеет открытое измельчение с порядком n  + 1. ^[7] В частности, это справедливо для всех метрических пространств. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$
• Теорема Лебега о покрытии. Размерность покрытия Лебега совпадает с аффинной размерностью конечного симплициального комплекса .
• Размерность покрытия нормального пространства меньше или равна большой индуктивной размерности .
• Размерность покрытия паракомпактного хаусдорфова пространства больше или равна его когомологической размерности (в смысле пучков ), ^[8] то есть для каждого пучка абелевых групп на и каждого больше размерности покрытия . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,A)=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$
• В метрическом пространстве можно усилить понятие кратности покрытия: покрытие имеет r -кратность n + 1 , если каждый r -шар пересекается не более чем с n + 1 множествами в покрытии. Эта идея приводит к определениям асимптотической размерности и размерности Ассуада–Нагаты пространства: пространство с асимптотической размерностью n является n -мерным «в больших масштабах», а пространство с размерностью Ассуада–Нагаты n является n -мерным «в каждом масштабе».

Смотрите также

• Теорема Каратеодори о расширении
• Задача о геометрическом покрытии множества
• Теория размерности
• Метакомпактное пространство
• Точечно-конечная коллекция

Примечания

1. Лебег, Анри (1921). «Sur les Correspondions entre les Points de Deux Espaces» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 2 : 256–285. дои : 10.4064/fm-2-1-256-285.
2. Дуда, Р. (1979). «Истоки концепции размерности». Colloquium Mathematicum . 42 : 95–110. doi : 10.4064/cm-42-1-95-110 . MR  0567548.
3. Лебег 1921.
4. Куперберг, Кристина , ред. (1995), Собрание сочинений Витольда Гуревича, Американское математическое общество, Серия собраний сочинений, т. 4, Американское математическое общество, стр. xxiii, сноска 3, ISBN 9780821800119Открытие Лебега привело позднее к введению Э. Чехом измерения покрытия.
5. Предложение 1.6.9 из Engelking, Ryszard (1978). Теория размерности (PDF) . Математическая библиотека Северной Голландии. Том 19. Амстердам-Оксфорд-Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 0-444-85176-3. МР  0482697.
6. Остранд 1971.
7. Предложение 3.2.2 из Engelking, Ryszard (1978). Теория размерности (PDF) . Математическая библиотека Северной Голландии. Том 19. Амстердам-Оксфорд-Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 0-444-85176-3. МР  0482697.
8. Годеман 1973, II.5.12, стр. 236

Ссылки

• Эдгар, Джеральд А. (2008). «Топологическое измерение». Мера, топология и фрактальная геометрия . Бакалаврские тексты по математике (второе изд.). Springer-Verlag . стр. 85–114. ISBN 978-0-387-74748-4. МР  2356043.
• Engelking, Ryszard (1978). Теория размерности (PDF) . North-Holland Mathematical Library. Том 19. Амстердам-Оксфорд-Нью-Йорк: North-Holland. ISBN 0-444-85176-3. МР  0482697.
• Годемент, Роджер (1958). Алгебрическая топология и теория искусств . Публикации Института математики Страсбургского университета (на французском языке). Том. III. Париж: Германн. МР  0102797.
• Гуревич, Витольд; Уоллман, Генри (1941). Теория размерности . Princeton Mathematical Series. Том 4. Princeton University Press . MR  0006493.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2. МР  3728284.
• Остранд, Филлип А. (1971). «Покрывающая размерность в общих пространствах». Общая топология и приложение . 1 (3): 209–221. MR  0288741.

Дальнейшее чтение

Исторический

• Карл Менгер , Общие пространства и декартовы пространства , (1926) Сообщения Амстердамской академии наук. Английский перевод перепечатан в Classics on Fractals , редактор Джеральд А. Эдгар, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7 
• Карл Менгер , «Теория размеров» , (1928) Издательство BG Teubner, Лейпциг.

Современный

• Пирс, Алан Р. (1975). Теория размерности общих пространств. Cambridge University Press . ISBN 0-521-20515-8. МР  0394604.
• В. В. Федорчук, «Основы теории размерности» , опубликованные в Энциклопедии математических наук, том 17, «Общая топология I» , (1993) А. В. Архангельский и Л. С. Понтрягин (ред.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 . 

Внешние ссылки

• «Измерение Лебега», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]