В теории узлов диаграмма узла или связи является чередующейся, если пересечения чередуются под, над, под, над, при движении вдоль каждого компонента связи. Связь является чередующейся, если она имеет чередующуюся диаграмму.
Многие узлы с числом пересечений менее 10 являются чередующимися. Этот факт и полезные свойства чередующихся узлов, такие как гипотезы Тейта , позволили ранним табуляторам узлов, таким как Тейт, построить таблицы с относительно небольшим количеством ошибок или пропусков. Простейшие непеременные простые узлы имеют 8 пересечений (и таких три: 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Предполагается, что с увеличением числа пересечений процент чередующихся узлов экспоненциально быстро стремится к 0.
Чередующиеся связи в конечном итоге играют важную роль в теории узлов и теории 3-многообразий , поскольку их дополнения обладают полезными и интересными геометрическими и топологическими свойствами. Это привело Ральфа Фокса к вопросу: «Что такое чередующийся узел?». Тем самым он спрашивал, какие недиаграммные свойства дополнения узла будут характеризовать чередующиеся узлы. [1]
В ноябре 2015 года Джошуа Эван Грин опубликовал препринт, в котором была дана характеристика чередующихся связей в терминах определенных остовных поверхностей, т. е. определение чередующихся связей (частным случаем которых являются чередующиеся узлы) без использования концепции диаграммы связей . [2]
Различная геометрическая и топологическая информация раскрывается в альтернирующей диаграмме. Простота и разделимость зацепления легко видны из диаграммы. Число пересечений редуцированной альтернирующей диаграммы является числом пересечений узла. Последнее является одной из знаменитых гипотез Тейта.
Диаграмма переменного узла находится во взаимно-однозначном соответствии с планарным графом . Каждое пересечение связано с ребром, а половина связанных компонентов дополнения диаграммы связана с вершинами в шахматном порядке.
Гипотезы Тейта таковы:
Морвен Тислтуэйт , Луис Кауфман и К. Мурасуги доказали первые две гипотезы Тейта в 1987 году, а Морвен Тислтуэйт и Уильям Менаско доказали гипотезу Тейта о полете в 1991 году.
Менаско , применив теорему Терстона о гиперболизации для многообразий Хакена , показал, что любое простое нерасщепляемое знакопеременное зацепление является гиперболическим , т. е. дополнение зацепления имеет гиперболическую геометрию , если только зацепление не является торическим зацеплением .
Таким образом, гиперболический объем является инвариантом многих чередующихся связей. Марк Лакенби показал, что объем имеет верхние и нижние линейные границы как функции числа областей кручения сокращенной чередующейся диаграммы.