Ссылка (теория узлов)

Кольца Борромео — связь с тремя компонентами, каждая из которых эквивалентна распутыванию.

В математической теории узлов связь — это набор узлов , которые не пересекаются, но которые могут быть связаны (или завязаны) вместе. Узел можно описать как связь с одним компонентом. Связи и узлы изучаются в разделе математики, называемом теорией узлов . В этом определении подразумевается, что существует тривиальная ссылка, обычно называемая несвязью , но это слово также иногда используется в контексте, где нет понятия тривиальной связи.

Например, связь коразмерности 2 в 3-мерном пространстве представляет собой подпространство 3 - мерного евклидова пространства (или часто 3-сферы ), компоненты связности которого гомеоморфны окружностям .

Простейший нетривиальный пример связи с более чем одним компонентом называется связью Хопфа , которая состоит из двух окружностей (или развязок ), связанных вместе один раз. Окружности в кольцах Борромео связаны вместе, несмотря на то, что никакие две из них не связаны напрямую. Таким образом, кольца Борромео образуют связь Брунна и фактически представляют собой простейшую такую связь.

Обобщения

Понятие связи можно обобщить несколькими способами.

Общие коллекторы

Часто слово « связь» используется для описания любого подмногообразия сферы , диффеоморфного несвязному объединению конечного числа сфер . $S^{n}$ $S^{j}$

В полной общности слово link по сути то же самое, что и слово knot — контекст таков, что имеется подмногообразие M многообразия N (считающееся тривиально вложенным) и нетривиальное вложение M в N , нетривиальное в том смысле, что 2-е вложение не изотопно 1-му. Если M несвязно, вложение называется link (или говорят, что оно связано ). Если M связно, оно называется knot.

Спутывания, зацепления ниток и косички

Хотя (1-мерные) связи определяются как вложения окружностей, часто бывает интересно и особенно технически полезно рассматривать вложенные интервалы (нити), как в теории кос .

В самом общем виде можно рассматривать клубок ^[1]^[2] – клубок – это вложение

T\двоеточие X\to \mathbf {R} ^{2}\times I

(гладкого) компактного 1-многообразия с краем в плоскости, умноженной на интервал, такой, что край вложен в $(X,\partial X)$ $I=[0,1],$ $T(\partial X)$

\mathbf {R} \times \{0,1\}

( ).

\{0,1\}=\частичное I

Типом сплетения является многообразие X вместе с фиксированным вложением $\partial X.$

Конкретно, связное компактное 1-многообразие с границей является интервалом или окружностью (компактность исключает открытый интервал и полуоткрытый интервал, ни один из которых не дает нетривиальных вложений, поскольку открытый конец означает, что их можно сжать в точку), поэтому возможно несвязное компактное 1-многообразие является набором из n интервалов и m окружностей. Условие, что граница X лежит в $I=[0,1]$ $S^{1}$ $(0,1)$ $[0,1),$ $I=[0,1]$ $S^{1}.$

\mathbf {R} \times \{0,1\}

говорит, что интервалы либо соединяют две линии, либо соединяют две точки на одной из линий, но не накладывает никаких условий на окружности. Можно рассматривать сплетения как имеющие вертикальное направление ( I ), лежащие между и, возможно, соединяющие две линии

( и ),

\mathbf {R} \times 0

\mathbf {R} \times 1

и затем иметь возможность двигаться в двухмерном горизонтальном направлении ( ) $\mathbf {R} ^{2}$

между этими линиями; их можно спроецировать, чтобы сформировать диаграмму клубка , аналогичную диаграмме узла .

К спутываниям относятся связи (если X состоит только из кругов), косы и другие элементы, например, нить, соединяющая две линии вместе с кругом, связанным вокруг нее.

В этом контексте коса определяется как клубок, который всегда идет вниз – производная которого всегда имеет ненулевую составляющую в вертикальном направлении ( I ). В частности, она должна состоять исключительно из интервалов и не должна замыкаться сама на себя; однако не делается никаких указаний на то, где на линии лежат концы.

Ссылка на строку— это клубок, состоящий только из интервалов, при этом концы каждой нити должны находиться в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), ... — т. е. соединять целые числа и заканчиваться в том же порядке, в котором они начинались (можно использовать любой другой фиксированный набор точек); если это имеет ℓ компонентов, мы называем это « ℓ -компонентной струнной связью». Струнная связь не обязательно должна быть косой — она может загибаться сама на себя, например, двухкомпонентная струнная связь, которая имеет простой узел . Коса, которая также является струнной связью, называется чистой косой и соответствует обычному такому понятию.

Ключевая техническая ценность сплетений и связей струн заключается в том, что они имеют алгебраическую структуру. Изотопические классы сплетений образуют тензорную категорию , где для структуры категории можно составить два сплетения, если нижний конец одного равен верхнему концу другого (чтобы границы можно было сшить), наложив их друг на друга — они не образуют буквально категорию (точечно), потому что нет идентичности, поскольку даже тривиальное сплетение занимает вертикальное пространство, но с точностью до изотопии они это делают. Тензорная структура задается сопоставлением сплетений — размещением одного сплетения справа от другого.

Для фиксированного ℓ изотопические классы ℓ -компонентных строковых связей образуют моноид (можно составить все ℓ -компонентные строковые связи, и будет тождество), но не группу, поскольку изотопические классы строковых связей не обязаны иметь обратные. Однако классы согласования (и, следовательно, также гомотопические классы) строковых связей имеют обратные, где обратный класс задается переворачиванием строковой связи вверх ногами, и, таким образом, образуют группу.

Каждое звено можно разрезать, чтобы сформировать струнное звено, хотя это не уникально, и инварианты звеньев иногда можно понимать как инварианты струнных звеньев – это касается , например, инвариантов Милнора . Сравните с замкнутыми косами .

Смотрите также

Ссылки

^ Хабеггер, Натан; Лин, XS (1990), «Классификация связей с точностью до гомотопии», Журнал Американского математического общества , 2, 3 (2), Американское математическое общество: 389–419, doi : 10.2307/1990959 , JSTOR 1990959
^ Хабеггер, Натан; Масбаум, Грегор (2000), «Интеграл Концевича и инварианты Милнора», Топология , 39 (6): 1253–1289, CiteSeerX 10.1.1.31.6675 , doi : 10.1016/S0040-9383(99)00041-5