Ковер Серпинского — плоский фрактал, впервые описанный Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ковер является обобщением множества Кантора на два измерения; другим таким обобщением является пыль Кантора .
Методика подразделения фигуры на меньшие копии самой себя , удаления одной или нескольких копий и рекурсивного продолжения может быть распространена на другие фигуры. Например, подразделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление среднего треугольника и рекурсивное продолжение приводит к треугольнику Серпинского . В трех измерениях похожая конструкция, основанная на кубах, известна как губка Менгера .
Построение ковра Серпинского начинается с квадрата . Квадрат разрезается на 9 конгруэнтных подквадратов в сетке 3 на 3, а центральный подквадрат удаляется. Затем та же процедура применяется рекурсивно к оставшимся 8 подквадратам, до бесконечности . Его можно реализовать как множество точек в единичном квадрате, координаты которых, записанные в системе счисления с основанием три, не имеют обе цифры «1» в одной и той же позиции, используя представление бесконечно малого числа . [1]
Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером правила конечного подразделения .
Площадь ковра равна нулю (в стандартной мере Лебега ).
Внутренняя часть ковра пуста.
Хаусдорфова размерность ковра равна . [2]
Серпинский продемонстрировал, что его ковер является универсальной плоской кривой. [3] То есть: ковер Серпинского является компактным подмножеством плоскости с лебеговым покрытием размерностью 1, и каждое подмножество плоскости с этими свойствами гомеоморфно некоторому подмножеству ковра Серпинского.
Эта «универсальность» ковра Серпинского не является истинным универсальным свойством в смысле теории категорий: она не характеризует это пространство однозначно с точностью до гомеоморфизма. Например, несвязное объединение ковра Серпинского и окружности также является универсальной плоской кривой. Однако в 1958 году Гордон Уайберн [4] однозначно охарактеризовал ковер Серпинского следующим образом: любая кривая, которая локально связна и не имеет «локальных точек сочленения», гомеоморфна ковру Серпинского. Здесь локальная точка сочленения — это точка p , для которой некоторая связная окрестность U точки p обладает свойством, что U − { p } не связна. Так, например, любая точка окружности является локальной точкой сочленения.
В той же статье Уайберн дал другую характеристику ковра Серпинского. Напомним, что континуум — это непустое связное компактное метрическое пространство. Предположим, что X — континуум, вложенный в плоскость. Предположим, что его дополнение в плоскости имеет счетное число связных компонент C 1 , C 2 , C 3 , ... и предположим:
Тогда X гомеоморфен ковру Серпинского.
Тема броуновского движения на ковре Серпинского привлекла интерес в последние годы. [5] Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайное блуждание на ковре Серпинского распространяется медленнее, чем неограниченное случайное блуждание на плоскости. Последнее достигает среднего расстояния, пропорционального √ n после n шагов, но случайное блуждание на дискретном ковре Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального β √ n для некоторого β > 2. Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более сильным неравенствам больших отклонений (так называемым «субгауссовым неравенствам») и что оно удовлетворяет эллиптическому неравенству Гарнака, не удовлетворяя параболическому. Существование такого примера было открытой проблемой в течение многих лет.
Разновидность ковра Серпинского, называемая решетом Уоллиса , начинается таким же образом, подразделяя единичный квадрат на девять меньших квадратов и удаляя средний из них. На следующем уровне подразделения он подразделяет каждый из квадратов на 25 меньших квадратов и удаляет средний, и он продолжается на i -м шаге подразделением каждого квадрата на (2 i + 1) 2 ( нечетные квадраты [6] ) меньших квадратов и удаляя средний. По произведению Уоллиса площадь полученного множества равна π/4 , в отличие от стандартного ковра Серпинского, имеющего нулевую предельную площадь. Хотя решето Уоллиса имеет положительную меру Лебега , ни одно подмножество, являющееся декартовым произведением двух множеств действительных чисел, не обладает этим свойством, поэтому его мера Жордана равна нулю. [7]
Фрактальные антенны для мобильных телефонов и Wi-Fi были созданы в виде нескольких итераций ковра Серпинского. Благодаря их самоподобию и масштабной инвариантности они легко вмещают несколько частот. Их также легко изготавливать и они меньше обычных антенн с аналогичными характеристиками, поэтому они оптимальны для карманных мобильных телефонов. [8] [9] [10]
