Полет Леви

Случайное блуждание с длиной шага с тяжелым хвостом

Полет Леви — это случайное блуждание , в котором длины шагов имеют стабильное распределение ^[1] , распределение вероятностей с тяжелым хвостом . При определении блуждания в пространстве размерности больше единицы, шаги совершаются в изотропных случайных направлениях. Более поздние исследователи расширили использование термина «полет Леви», включив в него также случаи, когда случайное блуждание происходит на дискретной сетке, а не на непрерывном пространстве. ^[2]

Термин «полёт Леви» был придуман в честь Поля Леви Бенуа Мандельбротом [ ^3] , который использовал его для одного конкретного определения распределения размеров шагов. Он использовал термин « полёт Коши» для случая, когда распределение размеров шагов является распределением Коши ^[4], и « полёт Рэлея» для случая, когда распределение является нормальным распределением ^[5] (что не является примером распределения вероятностей с тяжёлым хвостом).

Частный случай, для которого Мандельброт использовал термин «полет Леви» ^[3], определяется функцией выживания распределения размеров шагов, U , которая ^[6]

${\displaystyle \Pr(U>u)={\begin{cases}1&:\ u<1,\\u^{-D}&:\ u\geq 1.\end{cases}}}$

Здесь D — параметр, связанный с фрактальной размерностью , а распределение является частным случаем распределения Парето .

Характеристики

Полеты Леви по построению являются марковскими процессами . Для общих распределений размера шага, удовлетворяющих степенному условию, расстояние от начала случайного блуждания стремится после большого числа шагов к устойчивому распределению благодаря обобщенной центральной предельной теореме , что позволяет моделировать многие процессы с использованием полетов Леви.

Плотности вероятности для частиц, совершающих полет Леви, можно смоделировать с помощью обобщенной версии уравнения Фоккера–Планка , которое обычно используется для моделирования броуновского движения . Уравнение требует использования дробных производных . Для длин прыжков, имеющих симметричное распределение вероятностей, уравнение принимает простую форму в терминах дробной производной Рисса . В одном измерении уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\varphi (x,t)+\gamma {\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}}$

где γ — константа, близкая к константе диффузии, α — параметр устойчивости ^{[ требуется ссылка ]} и f ( x , t ) — потенциал. Производную Рисса можно понять в терминах ее преобразования Фурье .

${\displaystyle F_{k}\left[{\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}\right]=-|k|^{\alpha }F_{k}[\varphi (x,t)]}$

Это можно легко распространить на несколько измерений.

Другим важным свойством полета Леви является расхождение дисперсий во всех случаях, за исключением α  = 2, т.е. броуновского движения. В общем случае дробный момент θ распределения расходится, если α  ≤  θ . Кроме того,

${\displaystyle \left\langle |x|^{\theta }\right\rangle \propto t^{\theta /\alpha }\quad {\text{if }}\theta <\alpha .}$

Экспоненциальное масштабирование длин шагов придает полетам Леви свойство масштабной инвариантности , ^{[ требуется ссылка ],} и они используются для моделирования данных, демонстрирующих кластеризацию. ^{[ требуется ссылка ]}

Рисунок 1. Пример 1000 шагов полета Леви в двух измерениях. Начало движения находится в точке [0,0], угловое направление распределено равномерно, а размер шага распределен в соответствии с распределением Леви (т.е. стабильным ) с α  = 1 и β  = 0, которое является распределением Коши . Обратите внимание на наличие больших скачков в местоположении по сравнению с броуновским движением, показанным на рисунке 2.

Рисунок 2. Пример 1000 шагов приближения к броуновскому движению типа полета Леви в двух измерениях. Начало движения находится в точке [0, 0], угловое направление распределено равномерно, а размер шага распределен в соответствии с распределением Леви (т.е. стабильным ) с α  = 2 и β  = 0 ( т.е. нормальным распределением ).

Приложения

Определение полета Леви происходит из математики, связанной с теорией хаоса , и полезно в стохастических измерениях и моделировании случайных или псевдослучайных природных явлений. Примерами являются анализ данных землетрясений , финансовая математика , криптография , анализ сигналов, а также множество приложений в астрономии , биологии и физике .

Было обнаружено, что скачки между состояниями климата, наблюдаемыми в палеоклиматических записях, можно описать как полет Леви или альфа-стабильный процесс ^[7] Другим применением является гипотеза поиска пищи полетом Леви . Когда акулы и другие океанские хищники не могут найти пищу, они отказываются от броуновского движения , случайного движения, наблюдаемого в закрученных молекулах газа, в пользу полета Леви — смеси длинных траекторий и коротких случайных движений, обнаруженных в турбулентных жидкостях. Исследователи проанализировали более 12 миллионов движений, зарегистрированных в течение 5700 дней у 55 животных, помеченных регистраторами данных, из 14 видов океанских хищников в Атлантическом и Тихом океанах, включая шелковых акул , желтоперого тунца , голубого марлина и меч-рыбу. Данные показали, что полеты Леви, перемежаемые броуновским движением, могут описывать охотничьи модели животных. ^{[8] [9] [10] [11]} Птицы и другие животные (включая людей) ^[12] следуют по траекториям, которые были смоделированы с использованием полета Леви (например, при поиске пищи). ^[13] Примером животного, в частности жука, который использует модели полета Леви, является Pterostichus melanarius . Когда жуки голодны и пищи мало, они избегают искать добычу в местах, которые посещали другие особи P. melanarius . Такое поведение оптимально для широко распространенной добычи, которая не всегда может быть полностью потреблена за один раз, например, слизней. ^[14]

Кроме того, биологический полет, по-видимому, может быть имитирован другими моделями, такими как составные коррелированные случайные блуждания, которые растут в масштабах, сходясь к оптимальным блужданиям Леви. ^[13] Составные броуновские блуждания могут быть точно настроены на теоретически оптимальные блуждания Леви, но они не так эффективны, как поиск Леви в большинстве типов ландшафтов, что предполагает, что давление отбора для характеристик блужданий Леви более вероятно, чем многомасштабные нормальные диффузионные модели. ^[15]

Эффективная маршрутизация в сети может быть реализована с помощью соединений, имеющих распределение длины полета Леви с определенными значениями альфа. ^[2]

Смотрите также

• Аномальная диффузия
• Распределение с толстым хвостом
• Распределение с тяжелым хвостом
• Процесс Леви
• Альфа-стабильное распределение Леви
• Гипотеза о полете Леви в поисках пищи

Примечания

1. Чечкин, Алексей В.; Мецлер, Ральф; Клафтер, Джозеф; Гончар, Всеволод Ю. (2008). «Введение в теорию полетов Леви». Аномальный транспорт . С. 129–162. doi :10.1002/9783527622979.ch5. ISBN 9783527622979.
2. JM Kleinberg (2000). «Навигация в маленьком мире». Nature . 406 (6798): 845. Bibcode :2000Natur.406..845K. doi : 10.1038/35022643 . PMID  10972276.
3. Мандельброт (1982, стр. 289)
4. Мандельброт (1982, стр. 290)
5. Мандельброт (1982, стр. 288)
6. Мандельброт (1982, стр. 294)
7. PD Ditlevsen, «Наблюдение альфа-стабильного шума и бистабильного климатического потенциала в записях ледяного керна», Geophys. Res. Lett 26, 1441-1444, 1999.
8. Sims, David W.; Southall, Emily J.; Humphries, Nicolas E.; Hays, Graeme C.; Bradshaw, Corey JA; Pitchford, Jonathan W.; James, Alex; Ahmed, Mohammed Z.; Brierley, Andrew S.; Hindell, Mark A.; Morritt, David; Musyl, Michael K.; Righton, David; Shepard, Emily LC; Wearmouth, Victoria J.; Wilson, Rory P.; Witt, Matthew J.; Metcalfe, Julian D. (2008). «Законы масштабирования поведения морских хищников при поиске». Nature . 451 (7182): 1098–1102. Bibcode :2008Natur.451.1098S. doi :10.1038/nature06518. PMID  18305542. S2CID  4412923.
9. Хамфрис, Николас Э.; Кейрос, Нуно; Дайер, Дженнифер Р.М.; Паде, Николас Г.; Музиль, Майкл К.; Шефер, Курт М.; Фуллер, Дэниел В.; Брунншвайлер, Юрг М.; Дойл, Томас К.; Хоутон, Джонатан Д.Р.; Хейс, Грэм К.; Джонс, Кэтрин С.; Нобл, Лесли Р.; Уирмут, Виктория Дж.; Саутхолл, Эмили Дж.; Симс, Дэвид В. (2010). «Экологический контекст объясняет закономерности движения морских хищников по типу Леви и Броуновскому» (PDF) . Nature . 465 (7301): 1066–1069. Bibcode : 2010Natur.465.1066H. doi : 10.1038/nature09116. PMID  20531470. S2CID  4316766.
10. Витце, Александра. «У акул есть математические навыки». discovery.com . Получено 22 февраля 2013 г.
11. Дейси, Джеймс (11 июня 2010 г.). «Акулы охотятся с помощью полетов Леви». Physicsworld.com . Получено 22 февраля 2013 г.
12. Рейнольдс, Гретхен (1 января 2014 г.). «Плавание по нашему миру как у птиц» и некоторые авторы утверждали, что движение пчел. The New York Times .
13. Sims, David W. ; Reynolds, Andrew M.; Humphries, Nicholas E.; Southall, Emily J.; Wearmouth, Victoria J.; Metcalfe, Brett; Twitchett, Richard J. (29 июля 2014 г.). «Иерархические случайные блуждания в ископаемых следах и происхождение оптимального поведения при поиске». Труды Национальной академии наук . 111 (30): 11073–11078. Bibcode :2014PNAS..11111073S. doi : 10.1073/pnas.1405966111 . ISSN  0027-8424. PMC 4121825 . PMID  25024221. 
14. Гай, Адам Г.; Бохан, Дэвид А.; Пауэрс, Стивен Дж.; Рейнольдс, Эндрю М. (2008-09-01). «Избегание жужелицами запаха своего вида: механизм возникновения моделей поиска без чешуи». Animal Behaviour . 76 (3): 585–591. doi :10.1016/j.anbehav.2008.04.004. ISSN  0003-3472.
15. Хамфрис, NE; Симс, DW (2014). «Оптимальные стратегии добычи пищи: прогулки Леви уравновешивают поиск и эксплуатацию участков в очень широком диапазоне условий» (PDF) . Журнал теоретической биологии . 358 : 179–193. Bibcode :2014JThBi.358..179H. doi :10.1016/j.jtbi.2014.05.032. PMID  24882791.

Ссылки

• Мандельброт, Бенуа Б. (1982). Фрактальная геометрия природы (обновленное и дополненное издание). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9. OCLC  7876824.

Дальнейшее чтение

• Ченг, З.; Савит, Р. (1987). "Фрактальное и нефрактальное поведение в полетах Леви" (PDF) . Журнал математической физики . 28 (3): 592. Bibcode :1987JMP....28..592C. doi :10.1063/1.527644. hdl : 2027.42/70735 .
• Шлезингер, Майкл Ф.; Клафтер, Джозеф; Зумофен, Герт (декабрь 1999 г.). «Выше, ниже и за пределами броуновского движения» (PDF) . American Journal of Physics . 67 (12): 1253–1259. Bibcode :1999AmJPh..67.1253S. doi :10.1119/1.19112. Архивировано из оригинала (PDF) 28.03.2012.

Внешние ссылки

• Сравнение картин Джексона Поллока с моделью самолета Леви