Постоянный пучок

В математике постоянный пучок на топологическом пространстве , связанный с множеством, — это пучок множеств , на которых все стебли равны . Он обозначается как или . Постоянный предпучок со значением — это предпучок , который назначает каждому открытому подмножеству значение , и все отображения ограничений которого являются тождественным отображением . Постоянный пучок , связанный с , — это свёртывание постоянного предпучка, связанного с . Этот пучок отождествляется с пучком локально постоянных -значных функций на . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

В некоторых случаях множество может быть заменено объектом из некоторой категории (например, когда это категория абелевых групп или коммутативных колец ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textbf {C}}}$ ${\displaystyle {\textbf {C}}}$

Постоянные пучки абелевых групп появляются, в частности, как коэффициенты в когомологиях пучков .

Основы

Пусть будет топологическим пространством, а множеством. Сечения постоянного пучка над открытым множеством можно интерпретировать как непрерывные функции , где задана дискретная топология . Если связно , то эти локально постоянные функции являются постоянными. Если — единственное отображение в одноточечное пространство и рассматривается как пучок на , то прообразом является постоянный пучок на . Пространство пучков является проекционным отображением (где задана дискретная топология). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:X\to \{{\text{pt}}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{{\text{pt}}\}}$ ${\displaystyle f^{-1}A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\times A\to X}$

Подробный пример

Постоянный предпучок на двухточечном дискретном пространстве

Двухточечное дискретное топологическое пространство

Пусть — топологическое пространство, состоящее из двух точек и с дискретной топологией . имеет четыре открытых множества: . Пять нетривиальных включений открытых множеств показаны на схеме. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}}$ ${\displaystyle X}$

Предпучок на выбирает набор для каждого из четырех открытых множеств и отображение ограничений для каждого из включений (с отображением тождества для ). Постоянный предпучок со значением , обозначаемый , является предпучком, где все четыре множества являются , целыми числами и все отображения ограничений являются тождеством. является функтором на диаграмме включений (предпучком), поскольку он является постоянным. Он удовлетворяет аксиоме склеивания, но не является пучком, поскольку он нарушает аксиому локальной тождественности на пустом множестве. Это происходит потому, что пустое множество покрывается пустым семейством множеств, , и, что бессодержательно, любые две секции в равны при ограничении любым множеством в пустом семействе . Следовательно, аксиома локальной тождественности подразумевала бы, что любые две секции в равны, что неверно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset U}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varnothing =\bigcup \nolimits _{U\in \{\}}U}$ ${\displaystyle F(\varnothing )}$ ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle F(\varnothing )}$

Чтобы преобразовать это в предпучок , который удовлетворяет локальной аксиоме тождества, пусть , одноэлементный набор, и задайте значение для всех непустых наборов. Для каждого включения открытых наборов пусть ограничение будет уникальным отображением в 0, если меньший набор пуст, или отображением тождества в противном случае. Обратите внимание, что это принудительно выполняется локальной аксиомой тождества. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(\varnothing )=0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle G(\varnothing )=0}$

Промежуточный шаг для постоянного пучка

Теперь является разделенным предпучком (удовлетворяет локальному тождеству), но в отличие от него нарушает аксиому склеивания. Действительно, является несвязным , покрыт непересекающимися открытыми множествами и . Выберем различные секции в над и соответственно. Поскольку и ограничиваются одним и тем же элементом 0 над , аксиома склеивания гарантировала бы существование уникальной секции на , которая ограничивается на и на ; но карты ограничения являются тождеством, давая , что ложно. Интуитивно, слишком мал, чтобы нести информацию как о связных компонентах , так и . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m\neq n}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G(\{p,q\})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m=s=n}$ ${\displaystyle G(\{p,q\})}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$

Постоянный пучок на двухточечном топологическом пространстве

Модифицируем далее, чтобы удовлетворить аксиоме склеивания, пусть

${\displaystyle H(\{p,q\})=\mathrm {Fun} (\{p,q\},\mathbf {Z} )\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$,

-значные функции на , и определяют отображения ограничений для естественного ограничения функций на и , с нулевым отображением, ограничивающим на . Тогда есть пучок, называемый постоянным пучком на со значением . Поскольку все отображения ограничений являются кольцевыми гомоморфизмами, есть пучок коммутативных колец. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle H}$

Смотрите также

• Локально постоянный пучок

Ссылки

1. "Имеет ли расширение постоянного пучка нулевым пучком какое-нибудь хорошее описание?". Mathematics Stack Exchange . Получено 2022-07-08 .

• Раздел II.1 книги Хартшорна, Робина (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Раздел 2.4.6 книги Теннисона, BR (1975), Теория пучков , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20784-3