Локально постоянный пучок

Теория снопа

В алгебраической топологии локально постоянный пучок на топологическом пространстве X — это пучок на X такой, что для каждого x в X существует открытая окрестность U точки x такая , что ограничение является постоянным пучком на U. Ее еще называют локальной системой . Когда X — стратифицированное пространство , конструктивный пучок — это примерно пучок, локально постоянный на каждом члене стратификации. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$

Базовым примером является ориентационный пучок на многообразии , поскольку каждая точка многообразия допускает ориентируемую открытую окрестность (хотя само многообразие может быть неориентируемым).

В качестве другого примера, пусть , будет пучком голоморфных функций на X и задан . Тогда ядро ​​P является локально постоянным пучком, но не постоянным там (поскольку оно не имеет ненулевого глобального сечения). ^[1] ${\displaystyle X=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle P=z{\partial \over \partial z}-{1 \over 2}}$ ${\displaystyle X-\{0\}}$

Если - локально постоянный пучок множеств в пространстве X , то каждый путь в X определяет биекцию. Более того, два гомотопических пути определяют одну и ту же биекцию. Следовательно, существует корректно определенный функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle p:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p(0)}{\overset {\sim }{\to }}{\mathcal {F}}_{p(1)}.}$

${\displaystyle \Pi _{1}X\to \mathbf {Set} ,\,x\mapsto {\mathcal {F}}_{x}}$

где - фундаментальный группоид X : категория , объекты которой являются точками X и чьи морфизмы являются гомотопическими классами путей. Более того, если X линейно связен , локально линейно связен и полулокально односвязен (поэтому X имеет универсальное покрытие ), то каждый функтор имеет указанный выше вид; т. е . категория функтора эквивалентна категории локально постоянных пучков на X . ${\displaystyle \Pi _{1}X}$ ${\displaystyle \Pi _{1}X\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fct} (\Pi _{1}X,\mathbf {Set} )}$

Если X локально связно , то присоединение категории предпучков и расслоений ограничивается эквивалентностью между категорией локально постоянных пучков и категорией накрывающих пространств X. ^{[2] [3]}

Рекомендации

1. Кашивара и Шапира 2002, пример 2.9.14.
2. Самуэли, Тамаш (2009). «Фундаментальные группы топологии». Группы Галуа и фундаментальные группы. Издательство Кембриджского университета. п. 57. ИСБН 9780511627064.
3. Мак Лейн, Сондерс (1992). «Связки множеств». Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса. Ике Мурдейк. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 104. ИСБН 0-387-97710-4. ОКЛК  24428855.

• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2002). Шкивы на многообразиях. Том. 292. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-02661-8. ISBN 978-3-662-02661-8.
• Лурье, Дж. «§ A.1 высшей алгебры (последнее обновление: сентябрь 2017 г.)» (PDF) .

Внешние ссылки

• Локально постоянный пучок в n Lab
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/locally_constant_sheaves.html (рекомендуется)