В математике злоупотребление обозначениями происходит , когда автор использует математическое обозначение таким образом, который не является полностью формально правильным, но который может помочь упростить изложение или предложить правильную интуицию (при этом, возможно, минимизируя ошибки и путаницу). Однако, поскольку концепция формальной/синтаксической корректности зависит как от времени, так и от контекста, некоторые обозначения в математике, которые помечены как неправомерные в одном контексте, могут быть формально правильными в одном или нескольких других контекстах. Зависящие от времени злоупотребления обозначениями могут возникать, когда новые обозначения вводятся в теорию некоторое время до того, как теория впервые формализована; их можно формально исправить, укрепив и/или иным образом улучшив теорию. Злоупотребление обозначениями следует противопоставлять неправильному использованию обозначений, которое не имеет презентационных преимуществ первого и которого следует избегать (например, неправильное использование констант интегрирования [1] ).
Связанное понятие — злоупотребление языком или злоупотребление терминологией, когда неправильно используется термин , а не обозначение. Злоупотребление языком — это почти синонимичное выражение для злоупотреблений, которые по своей природе не являются нотационными. Например, в то время как слово представление правильно обозначает групповой гомоморфизм из группы G в GL( V ) , где V — векторное пространство , принято называть V «представлением G ». Другое распространенное злоупотребление языком состоит в идентификации двух математических объектов, которые различны, но канонически изоморфны . [2] Другие примеры включают в себя идентификацию постоянной функции с ее значением, идентификацию группы с бинарной операцией с именем ее базового множества или идентификацию с евклидовым пространством размерности три, снабженным декартовой системой координат . [3]
Многие математические объекты состоят из множества , часто называемого базовым множеством, снабженного некоторой дополнительной структурой, такой как математическая операция или топология . Распространенным злоупотреблением обозначения является использование одного и того же обозначения для базового множества и структурированного объекта (явление, известное как подавление параметров [3] ). Например, может обозначать множество целых чисел , группу целых чисел вместе со сложением , или кольцо целых чисел со сложением и умножением . В общем, с этим нет проблем, если объект, на который ссылаются, хорошо понятен, и избегание такого злоупотребления обозначениями может даже сделать математические тексты более педантичными и более трудными для чтения. Когда это злоупотребление обозначениями может сбивать с толку, можно различать эти структуры, обозначая группу целых чисел со сложением и кольцо целых чисел.
Аналогично, топологическое пространство состоит из множества X (базового множества) и топологии , которая характеризуется множеством подмножеств X ( открытых множеств ). Чаще всего рассматривается только одна топология на X , поэтому обычно не возникает проблем с упоминанием X как базового множества и пары, состоящей из X и его топологии — даже если они являются технически различными математическими объектами. Тем не менее, в некоторых случаях может случиться, что две разные топологии рассматриваются одновременно на одном и том же множестве. В этом случае следует проявлять осторожность и использовать обозначения, такие как и , чтобы различать различные топологические пространства.
Во многих учебниках можно встретить такие предложения, как «Пусть будет функцией ...». Это злоупотребление обозначениями, поскольку имя функции есть и обозначает значение для элемента ее области определения. Более точные правильные формулировки включают «Пусть будет функцией переменной ...» или «Пусть будет функцией ...». Такое злоупотребление обозначениями широко распространено, поскольку упрощает формулировку, а систематическое использование правильного обозначения быстро становится педантичным.
Аналогичное злоупотребление обозначениями встречается в предложениях типа «Рассмотрим функцию ...», когда на самом деле это полиномиальное выражение, а не функция как таковая. Функция, которая ассоциируется с , может быть обозначена Тем не менее, это злоупотребление обозначениями широко используется, поскольку оно более краткое, но в целом не запутанное.
Многие математические структуры определяются через характеризующее свойство (часто универсальное свойство ). После того, как это желаемое свойство определено, могут быть различные способы построения структуры, и соответствующие результаты являются формально различными объектами, но которые имеют точно такие же свойства (т.е. изоморфны ). Поскольку нет способа различить эти изоморфные объекты через их свойства, стандартно считать их равными, даже если это формально неверно. [2]
Одним из примеров этого является декартово произведение , которое часто рассматривается как ассоциативное:
Но это, строго говоря, неверно: если , и , то тождество будет подразумевать, что и , и поэтому ничего не будет значить. Однако эти равенства можно узаконить и сделать строгими в теории категорий — используя идею естественного изоморфизма .
Другой пример подобных злоупотреблений встречается в таких утверждениях, как «существуют две неабелевы группы порядка 8», что, если говорить более строго, означает «существуют два класса изоморфизма неабелевых групп порядка 8».
Обозначение класса эквивалентности отношения эквивалентности через x вместо [ x ] является злоупотреблением обозначениями. Формально, если множество X разделено отношением эквивалентности ~, то для каждого x ∈ X класс эквивалентности { y ∈ X | y ~ x } обозначается [ x ]. Но на практике, если оставшаяся часть обсуждения сосредоточена на классах эквивалентности, а не на отдельных элементах базового множества, то квадратные скобки в обсуждении обычно опускаются.
Например, в модульной арифметике конечная группа порядка n может быть образована путем разбиения целых чисел с помощью отношения эквивалентности « x ~ y тогда и только тогда, когда x ≡ y (mod n )». Элементами этой группы тогда будут [0], [1], ..., [ n − 1], но на практике их обычно обозначают просто как 0, 1, ..., n − 1.
Другим примером является пространство (классы) измеримых функций над пространством с мерой или классы интегрируемых по Лебегу функций, где отношение эквивалентности — равенство « почти всюду ».
Термины «злоупотребление языком» и «злоупотребление нотацией» зависят от контекста. Запись « f : A → B » для частичной функции от A до B почти всегда является злоупотреблением нотацией, но не в контексте теории категорий , где f можно рассматривать как морфизм в категории множеств и частичных функций.
