Симметрия вторых производных

Математическая теорема

В математике симметрия вторых производных (также называемая равенством смешанных частных производных ) заключается в том, что при изменении порядка частных производных многомерной функции

${\displaystyle f\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}$

не изменяет результат, если выполняются некоторые условия непрерывности (см. ниже); то есть частные производные второго порядка удовлетворяют тождествам

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).}$

Другими словами, матрица частных производных второго порядка, известная как матрица Гессе , является симметричной матрицей .

Достаточные условия для соблюдения симметрии задаются теоремой Шварца , также называемой теоремой Клеро или теоремой Юнга . ^{[1] [2]}

В контексте уравнений в частных производных это называется условием интегрируемости Шварца .

Формальные выражения симметрии

В символах симметрию можно выразить так:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x\,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y\,\partial x}}.}$

Другое обозначение:

${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f\qquad {\text{or}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.}$

В терминах композиции дифференциального оператора D _i , который берет частную производную по x _i :

${\displaystyle D_{i}\circ D_{j}=D_{j}\circ D_{i}}$.

Из этого соотношения следует, что кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами , порожденное D _i , коммутативно ; но это верно только для операторов над областью достаточно дифференцируемых функций. Легко проверить симметрию применительно к мономам , так что можно взять многочлены от x _i как область. Фактически, гладкие функции являются другой допустимой областью.

История

Результат о равенстве смешанных частных производных при определенных условиях имеет долгую историю. Список неудачных предложенных доказательств начался с доказательства Эйлера , опубликованного в 1740 году, ^[3] хотя уже в 1721 году Бернулли неявно предположил результат без формального обоснования. ^[4] Клеро также опубликовал предложенное доказательство в 1740 году, и никаких других попыток не было до конца 18 века. Начиная с этого времени, в течение 70 лет был предложен ряд неполных доказательств. Доказательство Лагранжа (1797) было улучшено Коши (1823), но предполагало существование и непрерывность частных производных и . ^[5] Другие попытки были предприняты П. Бланше (1841), Дюамелем (1856), Штурмом (1857), Шлемильхом (1862) и Бертраном (1864). Наконец, в 1867 году Линделёф систематически проанализировал все предыдущие ошибочные доказательства и смог привести конкретный контрпример, в котором смешанные производные не были равны. ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

Шесть лет спустя Шварцу удалось дать первое строгое доказательство. ^[8] Дини позже внес свой вклад, найдя более общие условия, чем у Шварца. В конце концов, чистая и более общая версия была найдена Джорданом в 1883 году, которая до сих пор является доказательством, которое можно найти в большинстве учебников. Незначительные варианты более ранних доказательств были опубликованы Лораном (1885), Пеано (1889 и 1893), Дж. Эдвардсом (1892), П. Хаагом (1893), Дж. К. Уиттемором (1898), Виванти (1899) и Пьерпонтом (1905). Дальнейший прогресс был достигнут в 1907-1909 годах, когда Э. У. Хобсон и У. Х. Янг нашли доказательства с более слабыми условиями, чем у Шварца и Дини. В 1918 году Каратеодори дал другое доказательство, основанное на интеграле Лебега . ^[7]

Теорема Шварца

В математическом анализе теорема Шварца (или теорема Клеро о равенстве смешанных частных чисел ) ^[9], названная в честь Алексиса Клеро и Германа Шварца , утверждает, что для функции, определенной на множестве , если — точка такая, что некоторая окрестность содержится в и имеет непрерывные вторые частные производные в этой окрестности , то для всех i и j из ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \{1,2\ldots ,\,n\},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}f(\mathbf {p} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}f(\mathbf {p} ).}$

Частные производные этой функции коммутируют в этой точке.

Один из простых способов доказать эту теорему (в случае , когда , и , что легко влечет за собой общий результат) — применить теорему Грина к градиенту ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle j=2}$ ${\displaystyle f.}$

Элементарное доказательство для функций на открытых подмножествах плоскости состоит в следующем (путем простого сведения общий случай теоремы Шварца легко сводится к плоскому случаю). ^[10] Пусть — дифференцируемая функция на открытом прямоугольнике , содержащем точку , и предположим, что она непрерывна при непрерывна и над Определим ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$ ${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$ ${\displaystyle \Omega .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right),\\v\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a,\,b+k\right),\\w\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right)-f\left(a,\,b+k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{aligned}}}$

Эти функции определены для , где и содержится в ${\displaystyle \left|h\right|,\,\left|k\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon \right]\times \left[b-\varepsilon ,\,b+\varepsilon \right]}$ ${\displaystyle \Omega .}$

По теореме о среднем значении для фиксированного h и k , не равного нулю, можно найти в открытом интервале с ${\displaystyle \theta ,\theta ',\phi ,\phi '}$ ${\displaystyle (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w\left(h,\,k\right)&=u\left(h,\,k\right)-u\left(0,\,k\right)=h\,\partial _{x}u\left(\theta h,\,k\right)\\&=h\,\left[\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+k\right)-\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b\right)\right]\\&=hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)\\w\left(h,\,k\right)&=v\left(h,\,k\right)-v\left(h,\,0\right)=k\,\partial _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\&=k\left[\partial _{y}f\left(a+h,\,b+\phi k\right)-\partial _{y}f\left(a,\,b+\phi k\right)\right]\\&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

Так как , то первое равенство ниже можно разделить на : ${\displaystyle h,\,k\neq 0}$ ${\displaystyle hk}$

${\displaystyle {\begin{aligned}hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right),\\\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

Устремляя к нулю в последнем равенстве, предположения о непрерывности относительно и теперь подразумевают, что ${\displaystyle h,\,k}$ ${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$ ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f\left(a,\,b\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f\left(a,\,b\right).}$

Этот отчет представляет собой простой классический метод, который можно найти во многих учебниках, например, в работах Беркилла, Апостола и Рудина. ^{[10] [11] [12]}

Хотя приведенный выше вывод является элементарным, этот подход можно также рассматривать с более концептуальной точки зрения, чтобы результат стал более очевидным. ^{[13] [14] [15] [16] [17]} Действительно, операторы разности коммутируют и стремятся к , когда стремится к 0, с аналогичным утверждением для операторов второго порядка. ^[a] Здесь для вектора на плоскости и направленного вектора или оператор разности определяется как ${\displaystyle \Delta _{x}^{t},\,\,\Delta _{y}^{t}}$ ${\displaystyle \Delta _{x}^{t}f,\,\,\Delta _{y}^{t}f}$ ${\displaystyle \partial _{x}f,\,\,\partial _{y}f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\tbinom {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {0}{1}}}$

${\displaystyle \Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.}$

По основной теореме исчисления для функций на открытом интервале с ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a,b)\subset I}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{\prime }(x)\,dx=f(b)-f(a).}$

Следовательно

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}|f^{\prime }(c)|}$.

Это обобщенная версия теоремы о среднем значении . Напомним, что элементарное обсуждение максимумов или минимумов для вещественных функций подразумевает, что если непрерывна на и дифференцируема на , то существует точка в такая, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle {f(b)-f(a) \over b-a}=f^{\prime }(c).}$

Для векторнозначных функций с конечномерным нормированным пространством аналога равенства выше нет, более того, оно не выполняется. Но поскольку , неравенство выше является полезной заменой. Более того, использование сопряжения двойственного с его двойственной нормой дает следующее неравенство: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \inf f^{\prime }\leq f^{\prime }(c)\leq \sup f^{\prime }}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\|f^{\prime }(c)\|}$.

Эти версии теоремы о среднем значении обсуждаются в работах Рудина, Хермандера и других авторов. ^{[19] [20]}

Для функции на открытом множестве в плоскости определим и . Кроме того, для множества ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle D_{1}=\partial _{x}}$ ${\displaystyle D_{2}=\partial _{y}}$ ${\displaystyle t\neq 0}$

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}f(x,y)=[f(x+t,y)-f(x,y)]/t,\,\,\,\,\,\,\Delta _{2}^{t}f(x,y)=[f(x,y+t)-f(x,y)]/t}$.

Тогда для открытого множества обобщенную теорему о среднем значении можно применить дважды: ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle \left|\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left|D_{1}D_{2}f(x_{0}+tr,y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|.}$

Таким образом, стремится к , поскольку стремится к 0. Тот же аргумент показывает, что стремится к . Следовательно, поскольку операторы разности коммутируют, то же самое делают и операторы частных дифференциалов и , как и утверждается. ^{[21] [22] [23] [24] [25]} ${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$

Замечание. Двумя применениями классической теоремы о среднем значении,

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f(x_{0}+t\theta ,y_{0}+t\theta ^{\prime })}$

для некоторых и в . Таким образом, первое элементарное доказательство можно переосмыслить с использованием операторов разности. Наоборот, вместо использования обобщенной теоремы о среднем значении во втором доказательстве можно использовать классическую теорему о среднем значении. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Доказательство теоремы Клеро с использованием повторных интегралов

Свойства повторных интегралов Римана непрерывной функции F на компактном прямоугольнике [ a , b ] × [ c , d ] легко устанавливаются. ^[26] Из равномерной непрерывности F немедленно следует, что функции и непрерывны. ^[27] Из этого следует, что ${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy}$ ${\displaystyle h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\,dy}$;

более того, немедленно следует, что повторный интеграл положителен, если F положителен. ^[28] Равенство выше является простым случаем теоремы Фубини , не включающим теорию меры . Титчмарш (1939) доказывает это простым способом, используя аппроксимирующие суммы Римана, соответствующие подразделениям прямоугольника на меньшие прямоугольники.

Чтобы доказать теорему Клеро, предположим, что f — дифференцируемая функция на открытом множестве U , для которой существуют и непрерывны смешанные вторые частные производные f _yx и f _xy . Используя дважды основную теорему исчисления ,

${\displaystyle \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y)\,dx\,dy=\int _{c}^{d}f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\,dy=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

Сходным образом

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y)\,dy\,dx=\int _{a}^{b}f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\,dx=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

Два повторных интеграла, следовательно, равны. С другой стороны, поскольку f _xy ( x , y ) непрерывна, второй повторный интеграл можно выполнить, сначала проинтегрировав по x , а затем по y . Но тогда повторный интеграл f _yx − f _xy на [ a , b ] × [ c , d ] должен исчезнуть. Однако, если повторный интеграл непрерывной функции function F исчезает для всех прямоугольников, то F должен быть тождественно равен нулю; иначе F или − F были бы строго положительными в некоторой точке и, следовательно, по непрерывности на прямоугольнике, что невозможно. Следовательно, f _yx − f _xy должны исчезать тождественно, так что f _yx = f _xy всюду. ^{[29] [30] [31] [32] [33]}

Достаточность дважды дифференцируемости

Более слабое условие, чем непрерывность вторых частных производных (которая подразумевается последней), которого достаточно для обеспечения симметрии, состоит в том, что все частные производные сами по себе дифференцируемы . ^[34] Другое усиление теоремы, в котором утверждается существование переставленной смешанной частной производной, было представлено Пеано в короткой заметке 1890 года на Mathesis :

Если определено на открытом множестве ; и существует всюду на ; непрерывно в , и если существует в окрестности , то существует в и . ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial _{1}f(x,\,y)}$ ${\displaystyle \partial _{2,1}f(x,\,y)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \partial _{2,1}f}$ ${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)\in E}$ ${\displaystyle \partial _{2}f(x,\,y_{0})}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle \partial _{1,2}f}$ ${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)}$ ${\displaystyle \partial _{1,2}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)}$^[35]

Формулировка теории распределения

Теория распределений (обобщенных функций) устраняет аналитические проблемы с симметрией. Производная интегрируемой функции всегда может быть определена как распределение, а симметрия смешанных частных производных всегда выполняется как равенство распределений. Использование формального интегрирования по частям для определения дифференциации распределений возвращает вопрос симметрии к тестовым функциям , которые являются гладкими и, безусловно, удовлетворяют этой симметрии. Более подробно (где f — распределение, записанное как оператор на тестовых функциях, а φ — тестовая функция),

${\displaystyle \left(D_{1}D_{2}f\right)[\phi ]=-\left(D_{2}f\right)\left[D_{1}\phi \right]=f\left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_{2}\phi \right]=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi ].}$

Другой подход, определяющий преобразование Фурье функции, состоит в том, чтобы заметить, что при таких преобразованиях частные производные становятся операторами умножения, которые коммутируют гораздо более очевидно. ^[a]

Требование непрерывности

Симметрия может быть нарушена, если функция не имеет дифференцируемых частных производных, что возможно, если не выполняется теорема Клеро (вторые частные производные не являются непрерывными ).

Функция f ( x ,  y ), как показано в уравнении ( 1 ), не имеет симметричных вторых производных в начале координат.

Примером несимметрии является функция (по Пеано ) ^{[36] [37]}

Это можно визуализировать с помощью полярной формы ; она всюду непрерывна, но ее производные в точке (0, 0) не могут быть вычислены алгебраически. Скорее, предел разностных отношений показывает, что , поэтому график имеет горизонтальную касательную плоскость в точке (0, 0) , и частные производные существуют и всюду непрерывны. Однако вторые частные производные не непрерывны в точке (0, 0) , и симметрия нарушается. Фактически, вдоль оси x производная по оси y равна , и поэтому: ${\displaystyle f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}}$ ${\displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$ ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle f_{x},f_{y}}$ ${\displaystyle f_{y}(x,0)=x}$

${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon }}=1.}$

Напротив, вдоль оси y производная x , и так далее . То есть, в точке (0, 0) , хотя смешанные частные производные существуют, и в любой другой точке симметрия сохраняется. ${\displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$ ${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$ ${\displaystyle f_{yx}\neq f_{xy}}$

Вышеуказанная функция, записанная в полярных координатах, может быть выражена как

${\displaystyle f(r,\,\theta )={\frac {r^{2}\sin {4\theta }}{4}},}$

показывая, что функция совершает четыре колебания при обходе произвольно малого контура, содержащего начало координат. Поэтому интуитивно понятно, что локальное поведение функции в точке (0, 0) не может быть описано как квадратичная форма, и матрица Гессе, таким образом, не является симметричной.

В общем случае, обмен предельными операциями не обязательно коммутирует . При наличии двух переменных вблизи (0, 0) и двух предельных процессов на

${\displaystyle f(h,\,k)-f(h,\,0)-f(0,\,k)+f(0,\,0)}$

что соответствует тому, что h → 0 сначала, и тому, что k → 0 сначала. Это может иметь значение, если смотреть на члены первого порядка, которые применяются первыми. Это приводит к построению патологических примеров, в которых вторые производные несимметричны. Этот вид примеров относится к теории действительного анализа , где поточечное значение функций имеет значение. При рассмотрении как распределения значения второй частной производной могут быть изменены в произвольном наборе точек, пока это имеет меру Лебега 0. Поскольку в примере гессиан симметричен везде, кроме (0, 0) , нет противоречия с тем фактом, что гессиан, рассматриваемый как распределение Шварца , симметричен.

В теории Лжи

Рассмотрим дифференциальные операторы первого порядка D _i как бесконечно малые операторы в евклидовом пространстве . То есть, D _i в некотором смысле порождает однопараметрическую группу трансляций, параллельных оси x _i . Эти группы коммутируют друг с другом, и, следовательно, бесконечно малые генераторы делают то же самое; скобка Ли

[ Ди , Дj _{] =} 0

является отражением этого свойства. Другими словами, производная Ли одной координаты по другой равна нулю.

Применение к дифференциальным формам

Теорема Клеро-Шварца является ключевым фактом, необходимым для доказательства того, что для каждой (или по крайней мере дважды дифференцируемой) дифференциальной формы вторая внешняя производная равна нулю: . Это подразумевает, что каждая дифференцируемая точная форма (т. е. форма такая, что для некоторой формы ) замкнута (т. е. ), поскольку . ^[38] ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle d^{2}\omega :=d(d\omega )=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =d\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\alpha =0}$ ${\displaystyle d\alpha =d(d\omega )=0}$

В середине XVIII века теория дифференциальных форм впервые была изучена в простейшем случае 1-форм на плоскости, т. е. , где и — функции на плоскости. Изучение 1-форм и дифференциалов функций началось с работ Клеро 1739 и 1740 годов. На этом этапе его исследования трактовались как способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Формально Клеро показал, что 1-форма на открытом прямоугольнике замкнута, т. е . , тогда и только тогда имеет вид для некоторой функции в круге. Решение для можно записать с помощью интегральной формулы Коши ${\displaystyle A\,dx+B\,dy}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \omega =A\,dx+B\,dy}$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(x,y)\,dy;}$

в то время как если , то замкнутое свойство является тождеством . (На современном языке это одна из версий леммы Пуанкаре .) ^[39] ${\displaystyle \omega =df}$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$

Примечания

1. Их также можно перефразировать в терминах действия операторов на функции Шварца на плоскости. При преобразовании Фурье операторы разности и дифференциации являются просто операторами умножения. ^[18]

1. "Теорема Юнга" (PDF) . Калифорнийский университет в Беркли. Архивировано из оригинала (PDF) 2006-05-18 . Получено 2015-01-02 .
2. Аллен 1964, стр. 300–305.
3. Эйлер 1740.
4. Sandifer 2007, стр. 142–147, сноска: Comm. акад. наук. Имп. Петрополь. 7 (1734/1735) 1740 , 174–189, 180–183; Опера Омния , 1.22, 34-56..
5. Мингуцци 2015.
6. Линделёф 1867.
7. Хиггинс 1940.
8. Шварц 1873.
9. Джеймс 1966, стр.  ^{[ нужна страница ]} .
10. Burkill 1962, стр. 154–155
11. Апостол 1965.
12. Рудин 1976.
13. Hörmander 2015, стр. 7, 11. Это сжатое изложение, возможно, самое короткое.
14. Дьедонне 1960, стр. 179–180.
15. Годеман 1998б, стр. 287–289.
16. Ланг 1969, стр. 108–111.
17. Картан 1971, стр. 64–67.
18. Хёрмандер 2015, Глава VII.
19. Хёрмандер 2015, стр. 6.
20. Рудин 1976, стр.  ^{[ нужная страница ]} .
21. Хёрмандер 2015, стр. 11.
22. Дьедонне 1960.
23. Годеман 1998а.
24. Ланг 1969.
25. Картан 1971.
26. Титчмарш 1939, стр.  ^{[ нужна страница ]} .
27. Титчмарш 1939, стр. 23–25.
28. Титчмарш 1939, стр. 49–50.
29. Спивак 1965, стр. 61.
30. Макграт 2014.
31. Аксой и Мартелли 2002.
32. Акслер 2020, стр. 142–143.
33. Маршалл, Дональд Э., Теоремы Фубини и Клеро (PDF) , Вашингтонский университет
34. Хаббард и Хаббард 2015, стр. 732–733.
35. Рудин 1976, стр. 235–236.
36. Хобсон 1921, стр. 403–404.
37. Апостол 1974, стр. 358–359.
38. Вт 2010.
39. Кац 1981.

Ссылки

• Аксой, А.; Мартелли, М. (2002), «Смешанные частные производные и теорема Фубини», College Mathematics Journal of MAA , 33 (2): 126–130, doi :10.1080/07468342.2002.11921930, S2CID  124561972
• Аллен, РГД (1964). Математический анализ для экономистов. Нью-Йорк: St. Martin's Press. ISBN 9781443725224.
• Апостол, Том М. (1965), Математический анализ: современный подход к передовому исчислению , Лондон: Addison-Wesley, OCLC  901554874
• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ , Эддисон-Уэсли, ISBN 9780201002881
• Акслер, Шелдон (2020), Измерение, интегрирование и вещественный анализ , Graduate Texts in Mathematics, т. 282, Springer, ISBN 9783030331436
• Бурбаки, Николя (1952), «Глава III: Меры по компактным пространствам мест», Elements de mathématique, Livre VI: Integration (на французском языке), Hermann et Cie
• Беркилл, Дж. К. (1962), Первый курс математического анализа , Cambridge University Press , ISBN 9780521294683(переиздано в 1978 г.)
• Картан, Анри (1971), Calcul Differentiel (на французском), Герман , ISBN 9780395120330
• Клеро, AC (1739), «Общие исследования по интегральному исчислению», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences : 425–436.
• Клеро, AC (1740), «Sur l'интеграция или построение дифференциальных уравнений первого порядка», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences , 2 : 293–323
• Дьедонне, Ж. (1937), «Sur les fonctions continue numérique définies dans une produit de deux espaces Compacts», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 205 : 593–595
• Дьедонне, Ж. (1960), Основы современного анализа , Чистая и прикладная математика, т. 10, Academic Press, ISBN 9780122155505
• Дьедонне, Ж. (1976), Трактат об анализе. Том II. , Чистая и прикладная математика, том 10-II, перевод IG Macdonald , Academic Press, ISBN 9780122155024
• Эйлер, Леонард (1740). «De Infinitis Curvis Eiusdem Generis seu Methodus Inveniendi aequationes pro Infinitis Curvis Eiusdem Generis» [О бесконечном (многих) однотипных кривых, то есть метод нахождения уравнений для бесконечного (многого) однотипных кривых. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни). 7 : 174–189, 180–183 – через Архив Эйлера, поддерживаемый Тихоокеанским университетом.
• Джилки, Питер; Пак, Чон Хён; Васкес-Лоренцо, Рамон (2015), Аспекты дифференциальной геометрии I , Лекции по синтезу математики и статистики, т. 15, Морган и Клейпул, ISBN 9781627056632
• Годеман, Роджер (1998a), Математический анализ I, Спрингер
• Годеман, Роджер (1998b), Математический анализ II, Springer
• Хиггинс, Томас Джеймс (1940). «Заметка об истории смешанных частных производных». Scripta Mathematica . 7 : 59–62. Архивировано из оригинала 2017-04-19 . Получено 2017-04-19 .
• Хобсон, Э. У. (1921), Теория функций действительной переменной и теория рядов Фурье. Том I. , Cambridge University Press
• Хермандер, Ларс (2015), Анализ линейных частных дифференциальных операторов I: Теория распределений и анализ Фурье , Классика математики (2-е изд.), Springer, ISBN 9783642614972
• Хаббард, Джон ; Хаббард, Барбара (2015). Вектор исчисления, линейная алгебра и дифференциальные формы (5-е изд.). Matrix Editions. ISBN 9780971576681.
• Джеймс, RC (1966). Продвинутый анализ. Белмонт, Калифорния: Уодсворт.
• Джордан, Камилла (1893), Курс анализа политехнической школы. Том I. Calcul différentiel (Les Grands Classiques Gauthier-Villars) , Éditions Jacques Gaba]
• Кац, Виктор Дж. (1981), «История дифференциальных форм от Клеро до Пуанкаре», Historia Mathematica , 8 (2): 161–188, doi :10.1016/0315-0860(81)90027-6
• Ланг, Серж (1969), Реальный анализ , Эддисон-Уэсли , ISBN 0201041790
• Линделеф, Л.Л. (1867), «Замечания о различиях в манипуляциях по формуле d2 z/dx dy = d2 z/dy dx», Acta Societatis Scientiarum Fennicae , 8 : 205–213
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, hdl : 2027/uc1.b4250788
• Макграт, Питер Дж. (2014), «Еще одно доказательство теоремы Клеро», Amer. Math. Monthly , 121 (2): 165–166, doi :10.4169/amer.math.monthly.121.02.165, S2CID  12698408
• Minguzzi, E. (2015). «Равенство смешанных частных производных при условиях слабой дифференцируемости». Real Analysis Exchange . 40 : 81–98. arXiv : 1309.5841 . doi :10.14321/realanalexch.40.1.0081. S2CID  119315951.
• Нахбин, Леопольдо (1965), Элементы теории приближения , Notas de Matemática, vol. 33, Рио-де-Жанейро: Fascículo publicado pelo Instituto de Matematica Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа, Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
• Сэндифер, К. Эдвард (2007), «Смешанные частные производные равны», Ранняя математика Леонарда Эйлера, т. 1 , Математическая ассоциация Америки, ISBN 9780883855591
• Шварц, HA (1873), «Коммуникация», Archives des Sciences Physiques et Naturelles , 48 : 38–44.
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях. Современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления , WA Benjamin
• Тао, Теренс (2006), Анализ II (PDF) , Тексты и чтения по математике, т. 38, Hindustan Book Agency, doi : 10.1007/978-981-10-1804-6, ISBN 8185931631
• Титчмарш, EC (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press
• Ту, Лоринг В. (2010), Введение в многообразия (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3

Дальнейшее чтение

• «Частная производная», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]