В философии математики абстракция актуальной бесконечности , также называемая завершенной бесконечностью , [1] предполагает принятие (если включена аксиома бесконечности ) бесконечных сущностей как данных , актуальных и завершенных объектов. Они могут включать в себя набор натуральных чисел , расширенные действительные числа , трансфинитные числа или даже бесконечную последовательность рациональных чисел . Фактическую бесконечность следует противопоставлять потенциальной бесконечности , в которой непрерывный процесс (например, «прибавление 1 к предыдущему числу») создает последовательность без последнего элемента, и где каждый отдельный результат конечен и достигается за конечное время. количество шагов. Этот тип процесса встречается в математике, например, в стандартных формализациях понятий бесконечного ряда , бесконечного произведения или предела . [2]
Древнегреческий термин для обозначения потенциальной или несобственной бесконечности был апейрон (неограниченный или неопределенный), в отличие от актуального или собственно бесконечного афоризма . [3] Апейрон противостоит тому, что имеет перас (предел). Эти понятия сегодня обозначаются потенциально бесконечными и актуально бесконечными соответственно.
Анаксимандр (610–546 до н. э.) считал апейрон принципом или главным элементом, составляющим все сущее. Очевидно, что «апейрон» был своего рода основным веществом. Представление Платона об апейроне более абстрактно и связано с неопределенной изменчивостью. Основными диалогами, в которых Платон обсуждает «апейрон», являются поздние диалоги «Парменид» и «Филеб» .
Аристотель резюмирует взгляды своих предшественников на бесконечность следующим образом:
«Только пифагорейцы помещают бесконечное среди чувственных объектов (они не считают число отдельным от них) и утверждают, что то, что находится вне неба, бесконечно. Платон, с другой стороны, утверждает, что вне тела нет ( формы не находятся снаружи, потому что они нигде), однако бесконечность присутствует не только в объектах чувств, но и в формах». (Аристотель) [4]
Эта тема была выдвинута Аристотелем при рассмотрении апейрона - в контексте математики и физики (изучения природы):
«Бесконечность оказывается противоположностью тому, что о ней говорят. Бесконечно не «то, что не имеет ничего за пределами себя», а «то, что всегда имеет что-то за пределами себя». (Аристотель) [5]
Вера в существование бесконечного исходит главным образом из пяти соображений: [6]
Аристотель постулировал, что реальная бесконечность невозможна, потому что, если бы она была возможна, то что-то достигло бы бесконечной величины и было бы «больше небес». Однако, говорил он, математика, относящаяся к бесконечности, не была лишена своей применимости из-за этой невозможности, потому что математикам для своих теорем нужна была не бесконечность, а лишь конечная, сколь угодно большая величина. [7]
Аристотель рассматривал тему бесконечности в физике и метафизике . Он различал актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальная бесконечность завершена и определенна и состоит из бесконечного числа элементов. Потенциальная бесконечность никогда не бывает полной: элементы можно добавлять всегда, но не бесконечно много.
«Ибо бесконечное вообще имеет такой способ существования: одна вещь всегда берется за другой, и каждая взятая вещь всегда конечна, но всегда различна».
— Аристотель, Физика, книга 3, глава 6.
Аристотель различал бесконечность в отношении сложения и деления.
Но у Платона есть две бесконечности: Великая и Малая.
— Физика, книга 3, глава 4.
«В качестве примера потенциально бесконечной по возрастанию серии можно всегда добавлять одно число за другим в ряд, начинающийся с 1,2,3... но процесс добавления все большего и большего числа чисел не может быть исчерпан или завершен. ." [ нужна цитата ]
Применительно к делению может начаться потенциально бесконечная последовательность делений, например, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, но процесс деления не может быть исчерпан или завершен.
«Ибо тот факт, что процесс деления никогда не заканчивается, обеспечивает потенциальное существование этой деятельности, а не то, что бесконечное существует отдельно».
— Метафизика, книга 9, глава 6.
Аристотель также утверждал, что греческие математики знали разницу между актуальной бесконечностью и потенциальной, но они «не нуждаются в [актуальной] бесконечности и не используют ее» ( Phys. III 2079 29). [8]
Подавляющее большинство философов-схоластов придерживалось девиза Infinitum actu non datur . Это означает, что существует только (развивающаяся, несобственная, «синкатегорематическая») потенциальная бесконечность, но не актуальная бесконечность (фиксированная, правильная, «категорематическая») . Однако были и исключения, например, в Англии.
Хорошо известно, что в средние века все философы-схоласты отстаивали принцип Аристотеля «infinitum actu non datur» как неопровержимый принцип. ( Г. Кантор ) [9]
Фактическая бесконечность существует в числе, времени и количестве. (Дж. Бэконторп [9, с. 96])
В эпоху Возрождения и в начале Нового времени голоса в пользу актуальной бесконечности были довольно редки.
Континуум на самом деле состоит из бесконечного числа неделимых ( Г. Галилей [9, с. 97]).
Я за реальную бесконечность. ( Г.В. Лейбниц [9, с. 97])
Однако большинство мыслителей досовременного периода [ нужна цитата ] соглашались с известной цитатой Гаусса:
Я протестую против использования бесконечной величины как чего-то завершенного, что никогда не допустимо в математике. Бесконечность — это просто способ выражения, истинный смысл — это предел, к которому некоторые отношения приближаются бесконечно близко, в то время как другим разрешено увеличиваться без ограничений. [10] ( К. Ф. Гаусс [в письме Шумахеру, 12 июля 1831 г.])
Фактическая бесконечность сейчас общепринята. Резкое изменение было инициировано Больцано и Кантором в 19 веке.
Бернар Больцано , который ввел понятие множества (по-немецки: Менге ), и Георг Кантор, который представил теорию множеств , выступили против общего отношения. Кантор выделил три сферы бесконечности: (1) бесконечность Бога (которую он назвал «абсолютом»), (2) бесконечность реальности (которую он назвал «природой») и (3) трансфинитные числа и математические множества. .
Множество, которое больше любого конечного множества, т. е. множество, обладающее тем свойством, что каждое конечное множество [членов рассматриваемого вида] является лишь его частью, я назову бесконечным множеством. (Б. Больцано [2, с. 6])
Соответственно я различаю вечную нетварную бесконечность или absolutum, которая обусловлена Богом и его атрибутами, и тварную бесконечность или transfinitum, которую приходится использовать везде, где в тварной природе должна быть замечена актуальная бесконечность, например в отношении , по моему твердому убеждению, фактически бесконечное число созданных индивидуумов, как во Вселенной, так и на нашей Земле и, скорее всего, даже в каждом сколь угодно малом протяженном клочке пространства. (Георг Кантор) [11] (Г. Кантор [8, с. 252])
Числа – свободное творение человеческого разума. ( Р. Дедекинд [3а, стр. III])
Одно из доказательств основано на понятии Бога. Сначала из высочайшего совершенства Бога мы заключаем возможность создания трансфинитного, затем, из Его всеблагодати и великолепия, заключаем необходимость того, чтобы творение трансфинитного действительно произошло. (Г. Кантор [3, с. 400])
Кантор различал два типа актуальной бесконечности — трансфинитную и абсолютную, о чем он утверждал:
Эти понятия следует строго различать, поскольку первое, конечно, бесконечно , но способно возрастать , тогда как второе неспособно увеличиваться и, следовательно, неопределимо как математическое понятие. Эту ошибку мы находим, например, в пантеизме . (Г. Кантор, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , in Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , стр. 375, 378) [12]
Фактическая бесконечность сейчас общепринята, потому что математики научились строить с ее помощью алгебраические утверждения. Например, можно записать символ , со словесным описанием, который « означает завершенную ( счетную ) бесконечность». Этот символ можно добавить в качестве ur-элемента в любой набор. Можно также привести аксиомы , определяющие сложение, умножение и неравенство; в частности, порядковая арифметика , такая, что выражения типа можно интерпретировать как «любое натуральное число меньше полной бесконечности». Даже такие утверждения «здравого смысла» возможны и непротиворечивы. Теория достаточно хорошо развита, что довольно сложные алгебраические выражения, такие как , и даже могут быть интерпретированы как действительные алгебраические выражения, могут быть даны словесное описание и могут использоваться в самых разнообразных теоремах и утверждениях в последовательной и содержательной форме. мода. Способность определять порядковые числительные последовательно и осмысленно делает большую часть дискуссий спорной; Какого бы личного мнения ни придерживался человек о бесконечности или конструктивности, очевидно, что существует богатая теория работы с бесконечностями с использованием инструментов алгебры и логики.
Математическое значение термина «актуальный» в актуальной бесконечности является синонимом определенного , завершенного , расширенного или экзистенциального , [13], но его не следует путать с физически существующим . Поэтому вопрос о том, образуют ли натуральные или вещественные числа определенные множества, не зависит от вопроса о том, существуют ли бесконечные вещи физически в природе .
Сторонники интуиционизма , начиная с Кронекера , отвергают утверждение о том, что на самом деле существуют бесконечные математические объекты или множества. Следовательно, они реконструируют основы математики таким образом, чтобы не предполагать существования реальных бесконечностей. С другой стороны, конструктивный анализ признает существование полной бесконечности целых чисел.
Для интуиционистов бесконечность описывается как потенциал ; Термины, синонимичные этому понятию, являются становящими или конструктивными . [13] Например, Стивен Клини описывает понятие ленты машины Тьюринга как «линейную «ленту», (потенциально) бесконечную в обоих направлениях». [14] Чтобы получить доступ к памяти на ленте, машина Тьюринга перемещает считывающую головку вдоль нее за конечное число шагов: следовательно, лента только «потенциально» бесконечна, поскольку — хотя всегда есть возможность сделать еще один шаг — сама бесконечность на самом деле никогда не достигал. [15]
Математики обычно принимают реальную бесконечность. [16] Георг Кантор – самый выдающийся математик, защищавший настоящую бесконечность. Он решил, что натуральные и действительные числа могут быть определенными множествами, и что если отвергнуть аксиому евклидовой конечности (которая утверждает, что реальности, по отдельности и в совокупности, обязательно конечны), то мы не вступаем в какое-либо противоречие. .
Современная конвенциональная интерпретация порядковых и кардинальных чисел состоит в том, что они состоят из набора специальных символов и связанного с ними формального языка , в рамках которого могут быть сделаны утверждения. Все такие утверждения обязательно имеют конечную длину. Правильность манипуляций основана только на основных принципах формального языка: алгебрах терминов , переписывании терминов и так далее. Говоря более абстрактно, и теория (конечных) моделей , и теория доказательств предлагают необходимые инструменты для работы с бесконечностями. Не обязательно «верить» в бесконечность, чтобы записывать алгебраически допустимые выражения, используя символы бесконечности.
Философская проблема актуальной бесконечности касается того, является ли это понятие связным и эпистемически обоснованным.
Классическая теория множеств принимает понятие актуальных завершенных бесконечностей. Однако некоторые финитистские философы математики и конструктивисты возражают против этой идеи.
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ){{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )