В теории множеств бесконечное множество — это множество , которое не является конечным . Бесконечные множества могут быть счетными и несчетными . [1]
Множество натуральных чисел (существование которых постулируется аксиомой бесконечности ) бесконечно. [1] Это единственное множество, бесконечность которого прямо требуется аксиомами . Существование любого другого бесконечного множества можно доказать в теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), но только показав, что оно следует из существования натуральных чисел.
Множество бесконечно тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа существует подмножество , мощность которого равна этому натуральному числу. [ нужна цитата ]
Если аксиома выбора верна, то множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно включает счетное бесконечное подмножество.
Если множество множеств бесконечно или содержит бесконечный элемент, то его объединение бесконечно. Набор мощности бесконечного множества бесконечен. [2] Любое надмножество бесконечного множества бесконечно. Если бесконечное множество разбить на конечное число подмножеств, то хотя бы одно из них должно быть бесконечным. Любое множество, которое можно отобразить в бесконечное множество, является бесконечным. Декартово произведение бесконечного множества и непустого множества бесконечно. Декартово произведение бесконечного числа множеств, каждое из которых содержит не менее двух элементов, либо пусто, либо бесконечно; если аксиома выбора верна, то оно бесконечно.
Если бесконечное множество является хорошо упорядоченным , то оно должно иметь непустое, нетривиальное подмножество, не имеющее наибольшего элемента.
В ZF набор бесконечен тогда и только тогда, когда набор степеней его набора степеней является дедекиндовым бесконечным множеством , имеющим собственное подмножество , равное самому себе. [3] Если аксиома выбора также верна, то бесконечные множества — это в точности дедекиндово-бесконечные множества.
Если бесконечное множество является хорошо упорядочиваемым , то оно имеет множество неизоморфных правильных порядков.
Важные идеи, обсуждаемые Дэвидом Бертоном в его книге «История математики: введение», включают в себя то, как определять «элементы» или части набора, как определять уникальные элементы в наборе и как доказывать бесконечность. [4] Бертон также обсуждает доказательства различных типов бесконечности, включая счетные и несчетные множества. [4] Темы, используемые при сравнении бесконечных и конечных множеств, включают упорядоченные множества , мощность, эквивалентность, координатные плоскости , универсальные множества , отображение, подмножества, непрерывность и трансцендентность . [4] На идеи множества Кантора повлияли тригонометрия и иррациональные числа. Другие ключевые идеи теории бесконечных множеств, упомянутые Бертоном, Паулой, Нарли и Роджером, включают действительные числа, такие как π , целые числа и число Эйлера . [4] [5] [6]
И Бертон, и Роджерс используют конечные множества, чтобы начать объяснять бесконечные множества, используя такие концепции доказательства, как отображение, доказательство по индукции или доказательство от противного. [4] [6] Математические деревья также можно использовать для понимания бесконечных множеств. [7] Бертон также обсуждает доказательства бесконечных множеств, включая такие идеи, как объединения и подмножества. [4]
В главе 12 книги «История математики: введение» Бертон подчеркивает, как такие математики, как Цермело , Дедекинд , Галилей , Кронекер , Кантор и Больцано , исследовали теорию бесконечных множеств и повлияли на нее. Многие из этих математиков либо обсуждали бесконечность, либо иным образом дополняли идеи бесконечных множеств. Потенциальные исторические влияния, такие как история Пруссии в 1800-х годах, привели к увеличению научных математических знаний, включая теорию бесконечных множеств Кантора. [4]
Одним из потенциальных применений теории бесконечных множеств является генетика и биология. [8]
Множество всех целых чисел , {..., -1, 0, 1, 2, ...} является счётным бесконечным множеством. Множество всех четных целых чисел также является счетным множеством, даже если оно является собственным подмножеством целых чисел. [2]
Множество всех рациональных чисел является счетным множеством, поскольку существует биекция множества целых чисел. [2]
Множество всех действительных чисел представляет собой несчетно бесконечное множество. Множество всех иррациональных чисел также является несчетно бесконечным. [2]