stringtranslate.com

Георг Кантор

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор ( / ˈ k æ n t ɔːr / KAN -tor , нем . математик , игравший в _ решающую роль в создании теории множеств , ставшей фундаментальной теорией математики. Кантор установил важность взаимно однозначного соответствия между членами двух множеств, определил бесконечные и хорошо упорядоченные множества и доказал, что действительных чисел больше, чем натуральных . Метод доказательства этой теоремы Кантора предполагает существование бесконечности бесконечностей . Он определил кардинальные и порядковые числа и их арифметику. Работы Кантора представляют большой философский интерес, и этот факт он хорошо осознавал. [2]

Первоначально теория трансфинитных чисел Кантора считалась противоречащей здравому смыслу и даже шокирующей. Это заставило его встретить сопротивление со стороны современников-математиков, таких как Леопольд Кронекер и Анри Пуанкаре [3], а позже со стороны Германа Вейля и Л. Э. Дж. Брауэра , в то время как Людвиг Витгенштейн выдвигал философские возражения ; см. «Споры по поводу теории Кантора» . Кантор, набожный христианин-лютеранин , [4] считал, что эта теория была передана ему Богом. [5] Некоторые христианские теологи (особенно нео-схоласты ) рассматривали работу Кантора как вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога [6]  – однажды приравняв теорию трансфинитных чисел к пантеизму [7]  – предложение, которое Кантор решительно отверг. Не все богословы были против теории Кантора; выдающийся философ-неосхоласт Константин Гутберлет поддерживал ее, а кардинал Иоганн Баптист Францелин принял ее как действительную теорию (после того, как Кантор сделал некоторые важные разъяснения). [8]

Возражения против работы Кантора иногда были резкими: публичная оппозиция и личные нападки Леопольда Кронекера включали описание Кантора как «научного шарлатана», «ренегата» и «развратителя молодежи». [9] Кронекер возражал против доказательств Кантора о том, что алгебраические числа счетны, а трансцендентные числа неисчислимы. Эти результаты теперь включены в стандартную учебную программу по математике. Спустя десятилетия после смерти Кантора Витгенштейн сетовал на то, что математика «насквозь пронизана пагубными идиомами теории множеств», которые он отверг как «полную чепуху», «смехотворную» и «неправильную». [10] В повторяющихся приступах депрессии Кантора с 1884 года и до конца его жизни обвиняли враждебное отношение многих его современников, [11] хотя некоторые объясняли эти эпизоды вероятными проявлениями биполярного расстройства . [12]

Резкая критика сопровождалась более поздними похвалами. В 1904 году Королевское общество наградило Кантора Медалью Сильвестра — высшей наградой, которую оно может удостоить за работу в области математики. [13] Давид Гильберт защищал его от критиков, заявляя: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором». [14] [15]

биография

Молодежь и учеба

Кантор, около 1870 г.

Георг Кантор родился в 1845 году в Санкт-Петербурге Российской империи и воспитывался в этом городе до одиннадцати лет. Старший из шести детей, он считался выдающимся скрипачом. Его дед Франц Бём (1788–1846) (брат скрипача Йозефа Бема ) был известным музыкантом и солистом Российского императорского оркестра. [16] Отец Кантора был членом Санкт-Петербургской фондовой биржи ; когда он заболел, семья переехала в Германию в 1856 году, сначала в Висбаден , затем во Франкфурт , в поисках более мягких зим, чем в Санкт-Петербурге. В 1860 году Кантор с отличием окончил Реальную школу в Дармштадте ; Были отмечены его исключительные способности в математике, в частности в тригонометрии . В августе 1862 года он окончил Höhere Gewerbeschule Darmstadt, ныне Технический университет Дармштадта . [17] [18] В 1862 году Кантор поступил в Швейцарский федеральный политехнический институт в Цюрихе. Получив значительное наследство после смерти отца в июне 1863 года, [19] Кантор перешёл в Берлинский университет , посещая лекции Леопольда Кронекера , Карла Вейерштрасса и Эрнста Куммера . Лето 1866 года он провел в Геттингенском университете , который тогда и позже был центром математических исследований. Кантор был хорошим студентом и получил докторскую степень в 1867 году. [19] [20]

Учитель и исследователь

Кантор защитил диссертацию по теории чисел в Берлинском университете в 1867 году. После недолгого преподавания в берлинской женской школе он поступил на работу в Университет Галле , где и провел всю свою карьеру. Он был удостоен необходимой степени за свою диссертацию, в том числе по теории чисел, которую он представил в 1869 году после своего назначения в Университет Галле . [20] [21]

В 1874 году Кантор женился на Валли Гутманн. У них было шестеро детей, последний (Рудольф) родился в 1886 году. Кантор смог содержать семью, несмотря на свою скромную академическую зарплату, благодаря наследству от отца. Во время своего медового месяца в горах Гарца Кантор провел много времени за математическими дискуссиями с Рихардом Дедекиндом , которого он встретил в Интерлакене в Швейцарии двумя годами ранее во время отпуска.

Кантор был повышен до звания экстраординарного профессора в 1872 году и стал профессором в 1879 году. Берлин, в то время ведущий университет Германии. Однако его работа встретила слишком сильное сопротивление, чтобы это стало возможным. [22] Кронекер, который возглавлял математику в Берлине до своей смерти в 1891 году, становился все более некомфортным от перспективы иметь Кантора в качестве коллеги, [23] воспринимая его как «развратителя молодежи» за то, что он преподавал свои идеи молодому поколению ученых. математики. [24] Хуже того, Кронекер, авторитетная фигура в математическом сообществе и бывший профессор Кантора, в корне не согласился с направленностью работы Кантора с тех пор, как он намеренно отложил публикацию первой крупной публикации Кантора в 1874 году. [20] Кронекер , который теперь считается одним из основателей конструктивной точки зрения в математике , не любил большую часть теории множеств Кантора, потому что она утверждала существование множеств, удовлетворяющих определенным свойствам, не приводя конкретных примеров множеств, члены которых действительно удовлетворяли этим свойствам. Всякий раз, когда Кантор подавал заявку на пост в Берлине, ему отказывали, и в этом процессе обычно участвовал Кронекер, [20] поэтому Кантор пришел к выводу, что позиция Кронекера сделает для него невозможным когда-либо покинуть Галле.

В 1881 году умер коллега Кантора по Галле Эдуард Гейне . Галле принял предложение Кантора предложить вакантное кресло Гейне Дедекинду, Генриху М. Веберу и Францу Мертенсу в таком порядке, но каждый из них отказался от кресла после того, как ему его предложили. В конце концов был назначен Фридрих Вангерин, но он никогда не был близок к Кантору.

В 1882 году математическая переписка между Кантором и Дедекиндом прекратилась, по-видимому, в результате того, что Дедекинд отказался от кафедры в Галле. [25] Кантор также начал еще одну важную переписку с Гёстой Миттаг-Леффлером в Швеции и вскоре начал публиковаться в журнале Миттаг-Леффлера Acta Mathematica . Но в 1885 году Миттаг-Леффлер был обеспокоен философским характером и новой терминологией статьи, которую Кантор представил в Acta . [26] Он попросил Кантора забрать статью из Acta , пока она находилась в корректуре, написав, что это «... примерно на сто лет раньше». Кантор подчинился, но затем прекратил свои отношения и переписку с Миттаг-Леффлером, написав третьему лицу: «Если бы Миттаг-Леффлер добился своего, мне пришлось бы ждать до 1984 года, что мне показалось слишком большим требованием! . ... Но, конечно, я никогда больше не хочу ничего знать об Acta Mathematica ». [27]

Кантор пережил свой первый известный приступ депрессии в мае 1884 года. [19] [28] Критика его работы тяготила его разум: в каждом из пятидесяти двух писем, которые он написал Миттаг-Леффлеру в 1884 году, упоминался Кронекер. Отрывок из одного из этих писем раскрывает ущерб, нанесенный самоуверенности Кантора:

... Не знаю, когда вернусь к продолжению научной работы. В данный момент я решительно ничего не могу с этим поделать и ограничиваюсь самой необходимой обязанностью моих лекций; насколько счастливее я был бы заниматься научной деятельностью, если бы у меня была необходимая умственная свежесть. [29]

Этот кризис заставил его обратиться к лекциям по философии, а не по математике. Он также начал интенсивное изучение елизаветинской литературы , думая, что могут быть доказательства того, что Фрэнсис Бэкон написал пьесы, приписываемые Уильяму Шекспиру (см. Вопрос об авторстве Шекспира ); в конечном итоге это привело к появлению двух брошюр, опубликованных в 1896 и 1897 годах. [30]

Вскоре после этого Кантор выздоровел и впоследствии внес дальнейший важный вклад, в том числе свой диагональный аргумент и теорему . Однако он так и не достиг высокого уровня своих замечательных статей 1874–1884 годов, даже после смерти Кронекера 29 декабря 1891 года. [20] В конце концов он искал и добился примирения с Кронекером. Тем не менее философские разногласия и трудности, разделявшие их, сохранялись.

В 1889 году Кантор сыграл важную роль в основании Немецкого математического общества [20] и возглавил его первое собрание в Галле в 1891 году, где он впервые представил свой диагональный аргумент ; его репутация была достаточно сильной, несмотря на сопротивление Кронекера его работе, чтобы гарантировать, что он был избран первым президентом этого общества. Не обращая внимания на враждебность, которую Кронекер проявил по отношению к нему, Кантор пригласил его выступить на собрании, но Кронекер не смог этого сделать, потому что его жена умирала от травм, полученных в то время во время катания на лыжах. Георг Кантор также сыграл важную роль в создании первого Международного конгресса математиков , который состоялся в Цюрихе, Швейцария, в 1897 году. [20]

Спустя годы и смерть

После госпитализации Кантора в 1884 году нет никаких записей о том, что он снова находился в каком-либо санатории до 1899 года . [28] Вскоре после этой второй госпитализации 16 декабря внезапно умер младший сын Кантора Рудольф (Кантор читал лекцию о своих взглядах на теорию Бэкона и Уильяма Шекспир ), и эта трагедия лишила Кантора значительной части его страсти к математике. [31] Кантор снова был госпитализирован в 1903 году. Год спустя он был возмущен и взволнован докладом, представленным Юлиусом Кенигом на Третьем Международном конгрессе математиков . В статье была предпринята попытка доказать ложность основных положений теории трансфинитных множеств . Поскольку статья была зачитана перед его дочерьми и коллегами, Кантор счел себя публично униженным. [32] Хотя менее чем через день Эрнст Цермело продемонстрировал, что доказательство Кенига не удалось, Кантор остался потрясенным и на мгновение задался вопросом о Боге. [13] Кантор всю оставшуюся жизнь страдал от хронической депрессии, из-за чего его несколько раз освобождали от преподавания и неоднократно помещали в различные санатории. Событиям 1904 года предшествовала серия госпитализаций с интервалом в два-три года. [33] Однако он не отказался от математики полностью, читая лекции о парадоксах теории множеств ( парадокс Бурали-Форти , парадокс Кантора и парадокс Рассела ) на собрании Deutsche Mathematiker-Vereinigung в 1903 году и принимая участие в Международном конгрессе Математики в Гейдельберге в 1904 году.

В 1911 году Кантор был одним из выдающихся иностранных ученых, приглашенных на празднование 500-летия основания Университета Сент-Эндрюс в Шотландии. Кантор присутствовал, надеясь встретиться с Бертраном Расселом , чьи недавно опубликованные «Начала математики» неоднократно цитировали работы Кантора, но встреча не состоялась. В следующем году Сент-Эндрюс присвоил Кантору звание почетного доктора, но болезнь помешала ему получить эту степень лично.

Кантор вышел в отставку в 1913 году и жил в бедности и недоедании во время Первой мировой войны . [34] Публичное празднование его 70-летия было отменено из-за войны. В июне 1917 года он в последний раз лег в санаторий и постоянно писал жене с просьбой отпустить ее домой. 6 января 1918 года в санатории, где он провел последний год своей жизни, у Георга Кантора случился смертельный сердечный приступ. [19]

Математическая работа

Работа Кантора между 1874 и 1884 годами положила начало теории множеств . [35] До этой работы понятие множества было довольно элементарным и неявно использовалось с самого начала математики, начиная с идей Аристотеля . Никто не осознавал, что теория множеств имеет какое-то нетривиальное содержание. До Кантора существовали только конечные множества (которые легко понять) и «бесконечное» (которое считалось темой для философских, а не математических дискуссий). Доказав, что существует (бесконечно) много возможных размеров бесконечных множеств, Кантор установил, что теория множеств нетривиальна и ее необходимо изучать. Теория множеств стала играть роль фундаментальной теории в современной математике в том смысле, что она интерпретирует утверждения о математических объектах (например, числах и функциях) из всех традиционных областей математики (таких как алгебра , анализ и топология ). ) в одной теории и предоставляет стандартный набор аксиом для их доказательства или опровержения. Основные понятия теории множеств сейчас используются во всей математике. [36]

В одной из своих первых работ [37] Кантор доказал, что множество действительных чисел «более многочисленно», чем множество натуральных чисел ; это впервые показало, что существуют бесконечные множества разных размеров . Он также был первым, кто оценил важность взаимно-однозначных соответствий (далее обозначаемых «соответствием 1-к-1») в теории множеств. Он использовал это понятие для определения конечных и бесконечных множеств , разделив последние на счетные (или счетно бесконечные) множества и несчетные множества (несчетно бесконечные множества). [38]

Кантор разработал важные концепции топологии и их связь с мощностью . Например, он показал, что множество Кантора , открытое Генри Джоном Стивеном Смитом в 1875 году, [39] нигде не является плотным , а имеет ту же мощность, что и множество всех действительных чисел, тогда как рациональные числа всюду плотны, но счетны. Он также показал, что все счетные плотные линейные порядки без конечных точек порядково-изоморфны рациональным числам .

Кантор ввел фундаментальные конструкции в теории множеств, такие как степенное множество множества A , которое представляет собой множество всех возможных подмножеств A. Позже он доказал, что размер набора степеней A строго больше размера A , даже если A — бесконечное множество; этот результат вскоре стал известен как теорема Кантора . Кантор разработал целую теорию и арифметику бесконечных множеств , называемых кардиналами и ординалами , которая расширила арифметику натуральных чисел. Его обозначением кардинальных чисел была еврейская буква ( алеф ) с нижним индексом натурального числа; для порядковых номеров он использовал греческую букву ω ( омега ). Это обозначение используется до сих пор.

Гипотеза континуума , выдвинутая Кантором, была представлена ​​Дэвидом Гильбертом как первая из его двадцати трёх открытых задач в его выступлении на Международном конгрессе математиков 1900 года в Париже. Работа Кантора также привлекла положительное внимание, помимо знаменитого восхваления Гильберта. [15] Американский философ Чарльз Сандерс Пирс высоко оценил теорию множеств Кантора, а после публичных лекций, прочитанных Кантором на первом Международном конгрессе математиков, состоявшемся в Цюрихе в 1897 году, Адольф Гурвиц и Жак Адамар также выразили свое восхищение. На этом конгрессе Кантор возобновил дружбу и переписку с Дедекиндом. С 1905 года Кантор переписывался со своим британским поклонником и переводчиком Филиппом Журденом по вопросам истории теории множеств и религиозных идей Кантора. Позже это было опубликовано, как и несколько его разъяснительных работ.

Теория чисел, тригонометрические ряды и ординалы

Первые десять статей Кантора были посвящены теории чисел , теме его диссертации. По предложению Эдуарда Гейне , профессора Галле, Кантор обратился к анализу . Гейне предложил Кантору решить открытую проблему , ускользнувшую от Питера Густава Лежена Дирихле , Рудольфа Липшица , Бернхарда Римана и самого Гейне: единственность представления функции тригонометрическими рядами . Кантор решил эту проблему в 1869 году. Именно во время работы над этой проблемой он обнаружил трансфинитные ординалы, которые встречаются как индексы n в n -м производном множестве S n множества S нулей тригонометрического ряда. Учитывая тригонометрический ряд f(x) с S в качестве набора нулей, Кантор обнаружил процедуру, которая создавала еще один тригонометрический ряд, в котором S 1 был набором нулей , где S 1 — это набор предельных точек S . Если S k+1 — множество предельных точек SK , то он мог бы построить тригонометрический ряд, нули которого равны SK +1 . Поскольку множества Sk были замкнутыми, они содержали свои предельные точки, и пересечение бесконечной убывающей последовательности множеств S , S 1 , S 2 , S 3 ,... образовывало предельное множество, которое мы теперь назвали бы S ω . , а затем он заметил, что S ω также должен иметь набор предельных точек S ω+1 и так далее. У него были примеры, которые продолжались вечно, и вот возникла естественная бесконечная последовательность бесконечных чисел ω , ω  + 1, ω  + 2, ... [40]

Между 1870 и 1872 годами Кантор опубликовал еще несколько статей о тригонометрических рядах, а также статью, определяющую иррациональные числа как сходящиеся последовательности рациональных чисел . Дедекинд, с которым Кантор подружился в 1872 году, позже в том же году процитировал эту статью, в статье, где он впервые изложил свое знаменитое определение действительных чисел с помощью дедекиндовых сокращений . Расширяя понятие числа посредством своей революционной концепции бесконечной мощности, Кантор парадоксальным образом выступал против теорий бесконечно малых своих современников Отто Штольца и Поля дю Буа-Реймона , описывая их одновременно как «мерзость» и « холерную палочку математика". [41] Кантор также опубликовал ошибочное «доказательство» несогласованности бесконечно малых величин . [42]

Теория множеств

Иллюстрация диагонального аргумента Кантора в пользу существования несчетных множеств . [43] Последовательность внизу не может встречаться нигде в бесконечном списке последовательностей выше.

Начало теории множеств как раздела математики часто отмечается публикацией статьи Кантора 1874 года [ 35] «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen алгебраишен Zahlen» («Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»). . [44] Эта статья была первой, в которой было дано строгое доказательство существования более чем одного вида бесконечности. Раньше все бесконечные коллекции неявно считались равночисленными (то есть «одинакового размера» или имеющих одинаковое количество элементов). [45] Кантор доказал, что набор действительных чисел и набор натуральных чисел неравнозначны. Другими словами, действительные числа неисчислимы . Его доказательство отличается от диагонального аргумента , который он дал в 1891 году. [46] Статья Кантора также содержит новый метод построения трансцендентных чисел . Трансцендентные числа были впервые построены Жозефом Лиувиллем в 1844 году. [47]

Кантор установил эти результаты, используя две конструкции. Его первая конструкция показывает, как записывать действительные алгебраические числа [48] в виде последовательности a 1 , a 2 , a 3 , .... Другими словами, действительные алгебраические числа счетны. Свою вторую конструкцию Кантор начинает с любой последовательности действительных чисел. Используя эту последовательность, он строит вложенные интервалы , пересечение которых содержит действительное число, отсутствующее в последовательности. Поскольку любую последовательность действительных чисел можно использовать для построения вещественного числа, не входящего в эту последовательность, действительные числа не могут быть записаны как последовательность, то есть действительные числа не являются счетными. Применяя свою конструкцию к последовательности действительных алгебраических чисел, Кантор получает трансцендентное число. Кантор указывает, что его конструкции доказывают больше, а именно, они дают новое доказательство теоремы Лиувилля: каждый интервал содержит бесконечно много трансцендентных чисел. [49] Следующая статья Кантора содержит конструкцию, доказывающую, что множество трансцендентных чисел имеет ту же «силу» (см. ниже), что и множество действительных чисел. [50]

Между 1879 и 1884 годами Кантор опубликовал в журнале Mathematische Annalen серию из шести статей , которые вместе составили введение в его теорию множеств. В то же время росло сопротивление идеям Кантора во главе с Леопольдом Кронекером, который признавал математические концепции только в том случае, если их можно было построить за конечное число шагов из натуральных чисел, которые он считал интуитивно заданными. Для Кронекера иерархия бесконечностей Кантора была неприемлема, поскольку принятие концепции актуальной бесконечности открыло бы дверь парадоксам, которые поставили бы под сомнение обоснованность математики в целом. [51] В этот период Кантор также представил набор Кантора .

Пятая статья этой серии, « Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» (« Основы общей теории агрегатов» ), опубликованная в 1883 году, [52] была наиболее важной из шести и также была опубликована в виде отдельной монографии . Он содержал ответ Кантора своим критикам и показывал, что трансфинитные числа являются систематическим расширением натуральных чисел. Он начинается с определения хорошо упорядоченных множеств. Затем вводятся порядковые числа как типы порядка хорошо упорядоченных множеств. Затем Кантор определяет сложение и умножение кардинальных и порядковых чисел. В 1885 году Кантор расширил свою теорию типов порядков так, что порядковые числа стали просто частным случаем типов порядков.

В 1891 году он опубликовал статью, содержащую свой элегантный «диагональный аргумент» в пользу существования несчетного множества. Он применил ту же идею для доказательства теоремы Кантора : мощность степенного множества множества A строго больше мощности A. Это установило богатство иерархии бесконечных множеств, а также кардинальной и порядковой арифметики , определенной Кантором. Его аргумент является фундаментальным в решении проблемы остановки и доказательстве первой теоремы Гёделя о неполноте . Кантор написал гипотезу Гольдбаха в 1894 году.

Отрывок из статьи Георга Кантора с его определением

В 1895 и 1897 годах Кантор опубликовал статью, состоящую из двух частей, в Mathematische Annalen под редакцией Феликса Кляйна ; это были его последние значительные работы по теории множеств. [53] Первая статья начинается с определения множества, подмножества и т. д. способами, которые сейчас в значительной степени приемлемы. Рассмотрены кардинальная и порядковая арифметика. Кантор хотел, чтобы вторая статья включала доказательство гипотезы континуума, но ему пришлось ограничиться изложением своей теории хорошо упорядоченных множеств и порядковых чисел. Кантор пытается доказать, что если A и B — множества, где A эквивалентно подмножеству B , а B эквивалентно подмножеству A , то A и B эквивалентны. Эрнст Шредер сформулировал эту теорему чуть раньше, но его доказательство, как и доказательство Кантора, было ошибочным. Феликс Бернштейн представил правильное доказательство в своей докторской диссертации 1898 года; отсюда и название теорема Кантора-Бернштейна-Шредера .

Переписка один на один

Биективная функция

Статья Кантора в Крелле 1874 года была первой, в которой использовалось понятие соответствия 1-к-1 , хотя он не использовал эту фразу. Затем он начал искать соответствие 1 к 1 между точками единичного квадрата и точками единичного отрезка прямой . В письме 1877 года Ричарду Дедекинду Кантор доказал гораздо более сильный результат: для любого положительного целого числа n существует соответствие 1 к 1 между точками на единичном отрезке прямой и всеми точками в n - мерном пространстве . Об этом открытии Кантор писал Дедекинду: « Je le vois, mais je ne le crois pas! » («Я вижу это, но не верю!») [54] Результат, который он нашел столь поразительным, имеет значение для геометрия и понятие размерности .

В 1878 году Кантор представил в Crelle's Journal еще одну статью, в которой точно определил понятие соответствия 1-к-1 и ввел понятие « мощности » (термин, который он взял у Якоба Штайнера ) или «эквивалентности» множеств: два набора эквивалентны (имеют одинаковую мощность), если между ними существует соответствие 1:1. Кантор определил счетные множества (или счетные множества) как множества, которые можно поставить в соответствие 1-к-1 с натуральными числами , и доказал, что рациональные числа счетны. Он также доказал, что n -мерное евклидово пространство Rn имеет ту же мощность, что и действительные числа R , как и счетное бесконечное произведение копий R. Хотя он свободно использовал счетность как концепцию, он не писал слова «счетность» до 1883 года. Кантор также обсудил свои мысли о размерности , подчеркнув, что его отображение между единичным интервалом и единичным квадратом не было непрерывным .

Эта статья вызвала недовольство Кронекера, и Кантор хотел отозвать ее; однако Дедекинд убедил его не делать этого, и Карл Вейерштрасс поддержал публикацию. [55] Тем не менее, Кантор больше никогда ничего не представлял Креллю.

Гипотеза континуума

Кантор был первым, кто сформулировал то, что позже стало известно как гипотеза континуума или CH: не существует множества, мощность которого была бы больше, чем у натуральных чисел, и меньше, чем у действительных чисел (или, что то же самое, мощность вещественных чисел точно равна алеф-один, а не просто алеф -один). Кантор верил в истинность гипотезы континуума и в течение многих лет тщетно пытался ее доказать . Его неспособность доказать гипотезу континуума вызвала у него значительную тревогу. [11]

Трудности, с которыми Кантор столкнулся при доказательстве гипотезы континуума, были подчеркнуты более поздними достижениями в области математики: результат Курта Гёделя 1940 года и результат Пола Коэна 1963 года вместе подразумевают, что гипотезу континуума нельзя ни доказать, ни опровергнуть с использованием стандарта Цермело– Теория множеств Френкеля плюс аксиома выбора (комбинация, называемая « ZFC »). [56]

Абсолютная бесконечность, теорема хорошего порядка и парадоксы

В 1883 году Кантор разделил бесконечное на трансфинитное и абсолютное . [57]

Трансфинитное увеличивается по величине, а абсолютное не увеличивается. Например, ординал α является трансфинитным, потому что его можно увеличить до α + 1. С другой стороны, ординалы образуют абсолютно бесконечную последовательность, которую нельзя увеличивать по величине, поскольку к ней нельзя добавить более крупные ординалы. [58] В 1883 году Кантор также ввел принцип упорядоченности : «каждое множество может быть упорядочено» и заявил, что это «закон мышления». [59]

Кантор расширил свою работу об абсолютной бесконечности, используя ее в доказательстве. Примерно в 1895 году он начал рассматривать свой принцип хорошего порядка как теорему и попытался ее доказать. В 1899 году он отправил Дедекинду доказательство эквивалентной теоремы об алефе: мощность каждого бесконечного множества есть алеф . [60] Во-первых, он определил два типа кратностей: согласованные кратности (множества) и несовместные кратности (абсолютно бесконечные кратности). Затем он предположил, что ординалы образуют множество, доказал, что это приводит к противоречию, и пришел к выводу, что ординалы образуют противоречивую кратность. Он использовал эту противоречивую множественность для доказательства теоремы алеф. [61] В 1932 году Цермело раскритиковал конструкцию доказательства Кантора. [62]

Кантор избежал парадоксов , признав, что существует два типа множественностей. В его теории множеств, когда предполагается, что ординалы образуют множество, возникающее противоречие подразумевает только то, что ординалы образуют несовместимую кратность. Напротив, Бертран Рассел рассматривал все коллекции как наборы, что приводит к парадоксам. В теории множеств Рассела ординалы образуют множество, поэтому возникающее противоречие означает, что теория противоречива . С 1901 по 1903 год Рассел обнаружил три парадокса, подразумевающие противоречивость его теории множеств: парадокс Бурали-Форти (который только что упоминался), парадокс Кантора и парадокс Рассела . [63] Рассел назвал парадоксы в честь Чезаре Бурали-Форти и Кантора, хотя ни один из них не верил, что они нашли парадоксы. [64]

В 1908 году Цермело опубликовал свою систему аксиом теории множеств . У него было две мотивации для разработки системы аксиом: устранение парадоксов и обеспечение доказательства теоремы о хорошем порядке . [65] Цермело доказал эту теорему в 1904 году, используя аксиому выбора , но его доказательство подверглось критике по ряду причин. [66] Его ответ на критику включал его систему аксиом и новое доказательство теоремы о хорошем порядке. Его аксиомы поддерживают это новое доказательство и устраняют парадоксы, ограничивая образование множеств. [67]

В 1923 году Джон фон Нейман разработал систему аксиом, которая устраняет парадоксы, используя подход, аналогичный подходу Кантора, а именно, идентифицируя коллекции, которые не являются множествами, и обрабатывая их по-другому. Фон Нейман утверждал, что класс слишком велик, чтобы быть множеством, если его можно привести во взаимно однозначное соответствие с классом всех множеств. Он определил множество как класс, который является членом некоторого класса, и сформулировал аксиому: класс не является множеством тогда и только тогда, когда между ним и классом всех множеств существует взаимно однозначное соответствие. Эта аксиома подразумевает, что эти большие классы не являются множествами, что устраняет парадоксы, поскольку они не могут быть членами какого-либо класса. [68] Фон Нейман также использовал свою аксиому для доказательства теоремы о хорошем порядке: как и Кантор, он предположил, что ординалы образуют множество. Полученное противоречие означает, что класс всех ординалов не является множеством. Тогда его аксиома обеспечивает взаимно однозначное соответствие между этим классом и классом всех множеств. Это соответствие хорошо упорядочивает класс всех множеств, из чего следует теорема о хорошем порядке. [69] В 1930 году Цермело определил модели теории множеств, которые удовлетворяют аксиоме фон Неймана . [70]

Философия, религия, литература и математика Кантора.

Концепция существования актуальной бесконечности была важной общей проблемой в сфере математики, философии и религии. Сохранение ортодоксальности отношений между Богом и математикой, хотя и не в той форме, которую придерживались его критики, долгое время было заботой Кантора. [71] Он прямо обратился к этому пересечению этих дисциплин во введении к своей книге « Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» , где подчеркнул связь между своим взглядом на бесконечное и философским. [72] Для Кантора его математические взгляды были неразрывно связаны с их философскими и теологическими последствиями – он отождествлял Абсолютную Бесконечность с Богом, [73] и считал, что его работа о трансфинитных числах была непосредственно передана ему Богом, который выбрали Кантора, чтобы раскрыть их миру. [5] Он был набожным лютеранином, чьи явные христианские убеждения сформировали его философию науки. [74] Джозеф Добен проследил влияние христианских убеждений Кантора на развитие теории трансфинитных множеств. [75] [76]

Споры среди математиков возникли из противоположных взглядов философии математики на природу актуальной бесконечности. Некоторые придерживались мнения, что бесконечность — это абстракция, математически необоснованная, и отрицали ее существование. [77] Математики трех основных школ мысли ( конструктивизм и два его ответвления, интуиционизм и финитизм ) выступили против теорий Кантора в этом вопросе. Для конструктивистов, таких как Кронекер, это отрицание актуальной бесконечности проистекает из фундаментального несогласия с идеей о том, что неконструктивные доказательства , такие как диагональный аргумент Кантора, являются достаточным доказательством того, что что-то существует, вместо этого утверждая, что требуются конструктивные доказательства . Интуиционизм также отвергает идею о том, что актуальная бесконечность является выражением какой-либо реальности, но приходит к решению другим путем, чем конструктивизм. Во-первых, аргумент Кантора опирается на логику, чтобы доказать существование трансфинитных чисел как реальной математической сущности, тогда как интуиционисты считают, что математические сущности не могут быть сведены к логическим суждениям, а вместо этого возникают в интуиции разума. [78] Во-вторых, понятие бесконечности как выражения реальности само по себе недопустимо в интуиционизме, поскольку человеческий разум не может интуитивно построить бесконечное множество. [79] Такие математики, как Л. Э. Дж. Брауэр и особенно Анри Пуанкаре, заняли интуиционистскую позицию против работы Кантора. Наконец, атаки Витгенштейна были финитистскими: он считал, что диагональный аргумент Кантора объединяет интенционал набора кардинальных или действительных чисел с его расширением , таким образом объединяя концепцию правил создания набора с фактическим набором. [10]

Некоторые христианские богословы рассматривали работу Кантора как вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога. [6] В частности, мыслители -неотомисты считали существование фактической бесконечности, состоящей из чего-то иного, чем Бог, ставящим под угрозу «исключительные претензии Бога на высшую бесконечность». [80] Кантор твердо верил, что эта точка зрения является неправильным толкованием бесконечности, и был убеждён, что теория множеств может помочь исправить эту ошибку: [81] «...трансфинитные виды в такой же степени находятся в распоряжении намерений Творца». и Его абсолютная безграничная воля, как и конечные числа». [82] Выдающийся немецкий философ-неосхоласт Константин Гутберлет был сторонником такой теории, считая, что она не противоречит природе Бога. [8]

Кантор также считал, что его теория трансфинитных чисел противоречит как материализму , так и детерминизму  , и был шокирован, когда понял, что он был единственным преподавателем в Галле, который не придерживался детерминистских философских убеждений. [83]

Для Кантора было важно, чтобы его философия давала «органическое объяснение» природы, и в своей книге «Grundlagen» 1883 года он сказал, что такое объяснение может быть получено только путем использования ресурсов философии Спинозы и Лейбница. [84] Делая эти заявления, Кантор, возможно, находился под влиянием Ф. А. Тренделенбурга , чьи лекции он посещал в Берлине, а Кантор, в свою очередь, подготовил латинский комментарий к Книге 1 « Этики » Спинозы . Тренделенбург также был экспертом Кантора Habilitationsschrift . [85] [86]

В 1888 году Кантор опубликовал свою переписку с несколькими философами о философских последствиях своей теории множеств. В обширных попытках убедить других христианских мыслителей и авторитетов принять его взгляды, Кантор переписывался с христианскими философами, такими как Тильман Пеш и Йозеф Хонтхейм , [87], а также с такими теологами, как кардинал Иоганн Баптист Франзелин , который однажды ответил, приравняв теория трансфинитных чисел с пантеизмом . [7] Хотя позже этот кардинал признал теорию обоснованной, благодаря некоторым разъяснениям Кантора. [8] Кантор даже отправил одно письмо непосредственно самому Папе Льву XIII и адресовал ему несколько брошюр. [81]

Философия Кантора о природе чисел привела его к утверждению веры в свободу математики постулировать и доказывать концепции вне сферы физических явлений, как выражения внутренней реальности. Единственные ограничения этой метафизической системы заключаются в том, что все математические понятия должны быть лишены внутренних противоречий и следовать из существующих определений, аксиом и теорем. Это убеждение резюмировано в его утверждении, что «суть математики — это ее свобода». [88] Эти идеи аналогичны идеям Эдмунда Гуссерля , с которым Кантор встретился в Галле. [89]

Между тем сам Кантор яростно выступал против бесконечно малых величин , называя их одновременно «мерзостью» и « холерной палочкой математики». [41]

Статья Кантора 1883 года показывает, что он хорошо осознавал оппозицию, с которой сталкивались его идеи: «... я осознаю, что в этом начинании я ставлю себя в определенную оппозицию широко распространенным взглядам на математическую бесконечность и мнениям, часто защищаемым о природе чисел». [90]

Поэтому он уделяет много места оправданию своей ранней работы, утверждая, что математические понятия могут быть свободно введены до тех пор, пока они свободны от противоречий и определены в терминах ранее принятых понятий. Он также цитирует Аристотеля, Рене Декарта , Джорджа Беркли , Готфрида Лейбница и Бернара Больцано о бесконечности. Вместо этого он всегда решительно отвергал философию Иммануила Канта как в области философии математики, так и в области метафизики. Он разделял девиз Б. Рассела «Кант или Кантор» и определял Канта «того софистического филистера , который так мало знал математику». [91]

Родословная Кантора

Название на мемориальной доске (на русском языке): «В этом здании родился и жил с 1845 по 1854 год великий математик и создатель теории множеств Георг Кантор», Васильевский остров , Санкт-Петербург.

Бабушка и дедушка Кантора по отцовской линии были из Копенгагена и бежали в Россию из-за срыва наполеоновских войн . Прямых сведений о них очень мало. [92] Отец Кантора, Георг Вальдемар Кантор, получил образование в лютеранской миссии в Санкт-Петербурге, и его переписка с сыном показывает, что они оба были набожными лютеранами. О происхождении и образовании Георга Вальдемара достоверно известно очень мало. [93] Мать Кантора, Мария Анна Бём, была австро-венгеркой, родившейся в Санкт-Петербурге и крещенной католичкой ; после замужества она перешла в протестантизм . Однако есть письмо брата Кантора Луи их матери, в котором говорится:

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im Socialen Leben Sind mir Christen Liber ... [93]

(«Даже если мы десять раз произошли от евреев, и хотя я в принципе полностью поддерживаю равные права для евреев, в общественной жизни я предпочитаю христиан...»), что можно было бы прочитать как подразумевающее, что она была еврейского происхождения. [94]

По словам биографов Эрика Темпла Белла , Кантор имел еврейское происхождение, хотя оба родителя были крещены. [95] В статье 1971 года, озаглавленной «К биографии Георга Кантора», британский историк математики Айвор Граттан-Гиннесс упоминает (« Анналы науки 27», стр. 345–391, 1971), что он не смог найти свидетельств еврейского происхождения. родословная. (Он также утверждает, что жена Кантора, Валли Гуттманн, была еврейкой).

В письме, написанном Полу Таннери в 1896 году (Пол Таннери, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paris, 1934, стр. 306), Кантор утверждает, что его бабушка и дедушка по отцовской линии были членами сефардской еврейской общины Копенгагена. В частности, Кантор заявляет, описывая своего отца: «Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde...» («Он родился в Копенгагене в семье евреев (буквально: «израильтян») из местная португальско - еврейская община » ) . _ Венгерская еврейская община. [99]

В письме Бертрану Расселу Кантор описал свое происхождение и самовосприятие следующим образом:

Ни мой отец, ни моя мать не были немецкой крови, первая из них была датчанкой, родившейся в Копенгагене, моя мать австро-венгерского происхождения. Вы должны знать, сэр, что я не обычный Жермен , поскольку я родился 3 марта 1845 года в Сент-Питерборо, столице России, но я поехал туда со своими отцом, матерью, братьями и сестрой, которым в 1856 году было одиннадцать лет. , в Германию. [100]

В 1930-е годы были документально подтверждены заявления, ставившие под сомнение еврейское происхождение:

Чаще [то есть, чем происхождение матери] обсуждался вопрос о том, был ли Георг Кантор еврейского происхождения. Об этом сообщается в сообщении Датского генеалогического института в Копенгагене от 1937 года относительно его отца: «Настоящим засвидетельствовано, что Георг Вольдемар Кантор, 1809 или 1814 года рождения, не присутствует в реестрах еврейской общины, и что он совершенно без сомнения не был евреем...» [93]

Биографии

До 1970-х годов основными научными публикациями о Канторе были две короткие монографии Артура Морица Шёнфлиса (1927) – в основном переписка с Миттаг-Леффлером – и Френкеля (1930). Оба были во вторых и третьих руках; ни один из них не имел особого отношения к своей личной жизни. Этот пробел был в значительной степени заполнен книгой Эрика Темпла Белла « Математики» (1937), которую один из современных биографов Кантора описывает как «возможно, самую широко читаемую современную книгу по истории математики »; и как «один из худших». [101] Белл представляет отношения Кантора с отцом как Эдипа , разногласия Кантора с Кронекером как ссору между двумя евреями, а безумие Кантора как романтическое отчаяние из-за его неспособности добиться признания своей математики. Граттан-Гиннесс (1971) обнаружил, что ни одно из этих утверждений не соответствует действительности, но их можно найти во многих книгах того периода из-за отсутствия какого-либо другого повествования. Существуют и другие легенды, не зависящие от Белла, в том числе легенда, в которой отец Кантора назван подкидышем, отправленным в Санкт-Петербург неизвестными родителями. [102] Критика книги Белла содержится в биографии Джозефа Добена . [103] Пишет Добен:

Кантор посвятил часть своей наиболее оскорбительной переписки, а также часть «Beiträge» нападкам на то, что он в какой-то момент назвал « бесконечно малой холерной бациллой математики», которая распространилась из Германии благодаря работам Томаэ , дю Буа Реймона. и Штольц , чтобы заразить итальянскую математику... Любое принятие бесконечно малых обязательно означало, что его собственная теория чисел была неполной. Таким образом, принять работы Томаэ, дю Буа-Реймона, Штольца и Веронезе означало отрицать совершенство собственного творения Кантора. Понятно, что Кантор развернул тщательную кампанию по дискредитации творчества Веронезе всеми возможными способами. [104]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Граттан-Гиннесс 2000, стр. 351.
  2. ^ Биографический материал в этой статье в основном взят из Dauben 1979. Grattan-Guinness 1971 и Purkert and Ilgauds 1985 являются полезными дополнительными источниками.
  3. ^ Даубен 2004, с. 1.
  4. ^ Добен, Джозеф Уоррен (1979). Георг Кантор «Математика и философия бесконечного» . Пресса Принстонского университета. стр. введение. ISBN 9780691024479.
  5. ^ аб Даубен 2004, стр. 8, 11, 12–13.
  6. ^ аб Даубен 1977, с. 86; Даубен 1979, стр. 120, 143.
  7. ^ аб Даубен 1977, с. 102.
  8. ^ abc Dauben 1979, гл. 6.
  9. ^ Даубен 2004, с. 1; Даубен 1977, с. 89 15н .
  10. ^ аб Родич 2007.
  11. ^ аб Даубен 1979, с. 280: «... традиция, ставшая популярной благодаря Артуру Морицу Шенфлису, обвиняла настойчивую критику Кронекера и неспособность Кантора подтвердить свою гипотезу континуума» в повторяющихся приступах депрессии Кантора.
  12. ^ Даубен 2004, с. 1. Текст включает цитату 1964 года психиатра Карла Поллитта, одного из врачей, осматривавших Кантора в Галле Нервенклиник, который назвал психическое заболевание Кантора «циклической маниакально-депрессивным расстройством».
  13. ^ аб Даубен 1979, с. 248.
  14. ^ Гильберт (1926, стр. 170): «Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können». (Буквально: «Из рая, который создал для нас Кантор, никто не должен иметь возможности нас изгнать».)
  15. ^ аб Рид, Констанс (1996). Гильберт. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 177. ИСБН 978-0-387-04999-1.
  16. ^ ru: Музыкальная энциклопедия (Музыкальная энциклопедия).
  17. ^ "Георг Кантор (1845-1918)" . www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 14 сентября 2019 г.
  18. ^ Георг Кантор 1845-1918 . Биркгаузер. 1985. ISBN 978-3764317706.
  19. ^ abcde "Биография Кантора". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Проверено 6 октября 2017 г.
  20. ^ abcdefgh Бруно, Леонард К.; Бейкер, Лоуренс В. (1999). Математика и математики: история математических открытий во всем мире. Детройт, Мичиган: UX L. p. 54. ИСБН 978-0787638139. ОСЛК  41497065.
  21. ^ О'Коннор, Джон Дж; Робертсон, Эдмунд Ф. (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор». MacTutor История математики.
  22. ^ Даубен 1979, с. 163.
  23. ^ Даубен 1979, с. 34.
  24. ^ Даубен 1977, с. 89 15н.
  25. ^ Даубен 1979, стр. 2–3; Граттан-Гиннесс 1971, стр. 354–355.
  26. ^ Даубен 1979, с. 138.
  27. ^ Даубен 1979, с. 139.
  28. ^ аб Даубен 1979, с. 282.
  29. ^ Даубен 1979, с. 136; Граттан-Гиннесс 1971, стр. 376–377. Письмо от 21 июня 1884 г.
  30. ^ Даубен 1979, стр. 281–283.
  31. ^ Даубен 1979, с. 283.
  32. ^ Обсуждение статьи Кенига см. Dauben 1979, стр. 248–250. Реакцию Кантора см. Dauben 1979, стр. 248, 283.
  33. ^ Даубен 1979, стр. 283–284.
  34. ^ Даубен 1979, с. 284.
  35. ^ Аб Джонсон, Филипп Э. (1972). «Происхождение и развитие теории множеств». Двухлетний математический журнал колледжа . 3 (1): 55–62. дои : 10.2307/3026799. JSTOR  3026799.
  36. ^ Суппес, Патрик (1972). Аксиоматическая теория множеств. Дувр. п. 1. ISBN 9780486616308. За некоторыми редкими исключениями, сущности, которые изучаются и анализируются в математике, можно рассматривать как определенные наборы или классы объектов... Как следствие, многие фундаментальные вопросы о природе математики могут быть сведены к вопросам теории множеств.
  37. ^ Кантор 1874 г.
  38. ^ Счётное множество — это множество, которое либо конечно, либо счётно; следовательно, счетные множества являются бесконечными счетными множествами. Однако эта терминология не используется повсеместно, и иногда слово «счетный» используется как синоним слова «счетный».
  39. ^ Набор Кантора перед Американской математической ассоциацией Кантора
  40. ^ Кук, Роджер (1993). «Уникальность тригонометрических рядов и описательная теория множеств, 1870–1985». Архив истории точных наук . 45 (4): 281. doi :10.1007/BF01886630. S2CID  122744778.
  41. ^ Аб Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Георгиевич (2012). «Бюрджессианская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии». Основы науки . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . doi : 10.1007/s10699-011-9223-1. S2CID  119250310.
  42. ^ Эрлих, П. (2006). «Возникновение неархимедовой математики и корни заблуждения. I. Возникновение неархимедовой системы величин» (PDF) . Арх. Хист. Точная наука . 60 (1): 1–121. дои : 10.1007/s00407-005-0102-4. S2CID  123157068. Архивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2013 г.
  43. ↑ Это близко соответствует первой части статьи Кантора 1891 года.
  44. ^ Кантор 1874. Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 840–843.
  45. ↑ Например, геометрические задачи, поставленные Галилеем и Джоном Дунсом Скотом, предполагали, что все бесконечные множества равночисленны – см. Moore, AW (апрель 1995 г.). «Краткая история бесконечности». Научный американец . 272 (4): 112–116 (114). Бибкод : 1995SciAm.272d.112M. doi : 10.1038/scientificamerican0495-112.
  46. ^ Эту и дополнительную информацию о математической важности работы Кантора по теории множеств см., например, Suppes 1972.
  47. ↑ Лиувилл, Джозеф (13 мая 1844 г.). A propos de l'existence des nombres transtransants.
  48. ^ Действительные алгебраические числа — это действительные корни полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами .
  49. ^ Для получения более подробной информации о статье Кантора см . первую статью Георга Кантора по теории множеств и Грей, Роберт (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 101 (9): 819–832. дои : 10.2307/2975129. JSTOR  2975129.. Грей (стр. 821–822) описывает компьютерную программу, которая использует конструкции Кантора для генерации трансцендентного числа.
  50. ^ Конструкция Кантора начинается с множества трансценденталов T и удаляет счетное подмножество { t n } (например, t n  =  e  /n ). Назовите этот набор T 0 . Тогда Т  = Т 0  ∪ { т п } = Т 0  ∪ { т 2 п -1 } ∪ { т 2 п }. Множество вещественных чисел R  = T  ∪ { a n } = T 0  ∪ { t n } ∪ { a n }, где a n — последовательность действительных алгебраических чисел. Таким образом, и T , и R представляют собой объединение трех попарно непересекающихся множеств: T 0 и двух счетных множеств. Однозначное соответствие между T и R задается функцией: f ( t ) =  t , если t  ∈  T 0 , f ( t 2 n -1 ) =  t n и f ( t 2 n ) =  a н . Кантор фактически применял свою конструкцию к иррациональным, а не к трансцендентным числам, но он знал, что она применима к любому множеству, образованному удалением счетного числа чисел из множества действительных чисел (Кантор 1879, стр. 4).
  51. ^ Даубен 1977, с. 89.
  52. ^ Кантор 1883.
  53. ^ Кантор (1895), Кантор (1897). Английский перевод — Cantor 1955.
  54. ^ Уоллес, Дэвид Фостер (2003). Все и многое другое: компактная история бесконечности. Нью-Йорк: WW Norton and Company. п. 259. ИСБН 978-0-393-00338-3.
  55. ^ Даубен 1979, стр. 69, 324 63n . Статья была представлена ​​в июле 1877 года. Дедекинд поддержал ее, но отложил публикацию из-за противодействия Кронекера. Вейерштрасс активно поддерживал это.
  56. ^ Некоторые математики считают, что эти результаты решили проблему, и, самое большее, допускают возможность исследовать формальные следствия CH или его отрицания, или аксиом, которые подразумевают одно из них. Другие продолжают искать «естественные» или «правдоподобные» аксиомы, которые, будучи добавлены в ZFC, позволят либо доказать, либо опровергнуть CH, или даже получить прямые доказательства за или против самого CH; среди наиболее выдающихся из них — У. Хью Вудин . В одной из последних статей Гёделя утверждается, что CH ложен и что континуум имеет мощность Алеф-2.
  57. ^ Кантор 1883, стр. 587–588; Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 916–917.
  58. ^ Халлетт 1986, стр. 41–42.
  59. ^ Мур 1982, с. 42.
  60. ^ Мур 1982, с. 51. Доказательство эквивалентности. Если множество упорядочено, то его мощность равна алефу, поскольку алефы являются кардиналами хорошо упорядоченных множеств. Если мощность набора равна алефу, то он может быть хорошо упорядочен, поскольку между ним и хорошо упорядоченным набором, определяющим алеф, существует взаимно однозначное соответствие.
  61. ^ Халлетт 1986, стр. 166–169.
  62. ^ Доказательство Кантора, которое является доказательством от противного , начинается с предположения, что существует множество S , мощность которого не является алефом. Функция от ординалов до S строится путем последовательного выбора разных элементов S для каждого ординала. Если в этой конструкции закончились элементы, то функция хорошо упорядочивает множество S . Это означает, что мощность S является алефом, что противоречит предположению о S . Следовательно, функция отображает все ординалы один к одному в S . Образ функции представляет собой противоречивую подмножественность, содержащуюся в S , поэтому множество S представляет собой противоречивую кратность, что является противоречием. Цермело раскритиковал конструкцию Кантора: «интуиция времени применяется здесь к процессу, который выходит за рамки любой интуиции, и постулируется фиктивная сущность, в отношении которой предполагается, что она может делать последовательные произвольные выборы». (Халлетт, 1986, стр. 169–170.)
  63. ^ Мур 1988, стр. 52–53; Мур и Гарсиадиего 1981, стр. 330–331.
  64. ^ Мур и Гарсиадиего 1981, стр. 331, 343; Пуркерт 1989, с. 56.
  65. ^ Мур 1982, стр. 158–160. Мур утверждает, что последнее было его основной мотивацией.
  66. ^ Мур посвящает этой критике главу: «Цермело и его критики (1904–1908)», Мур 1982, стр. 85–141.
  67. ^ Мур 1982, стр. 158–160. Цермело 1908, стр. 263–264; Английский перевод: ван Хейеноорт, 1967, с. 202.
  68. ^ Халлетт 1986, стр. 288, 290–291. Кантор указывал, что противоречивые множественности сталкиваются с одним и тем же ограничением: они не могут быть членами какой-либо множественности. (Халлетт 1986, стр. 286.)
  69. ^ Халлетт 1986, стр. 291–292.
  70. ^ Цермело 1930; Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 1208–1233.
  71. ^ Даубен 1979, с. 295.
  72. ^ Даубен 1979, с. 120.
  73. ^ Халлетт 1986, с. 13. Сравните с сочинениями Фомы Аквинского .
  74. ^ Хедман, Брюс (1993). «Концепция бесконечности Кантора: последствия бесконечности для случайностей». Перспективы науки и христианской веры . 45 (1): 8–16 . Проверено 5 марта 2020 г.
  75. ^ Добен, Джозеф Уоррен (1979). Георг Кантор: его математика и философия бесконечного. Издательство Принстонского университета. doi : 10.2307/j.ctv10crfh1. ISBN 9780691024479. JSTOR  j.ctv10crfh1. S2CID  241372960.
  76. ^ Добен, Джозеф Уоррен (1978). «Георг Кантор: Персональная матрица его математики». Исида . 69 (4): 548. дои : 10.1086/352113. JSTOR  231091. PMID  387662. S2CID  26155985 . Проверено 5 марта 2020 г. Религиозное измерение, которое Кантор приписывал своим трансфинитным числам, не следует сбрасывать со счетов как отклонение. Это также не следует забывать или отделять от его существования как математика. Теологическая сторона теории множеств Кантора, хотя, возможно, и не имеет отношения к пониманию ее математического содержания, тем не менее важна для полного понимания его теории и того, почему она развивалась на ранних стадиях именно так.
  77. ^ Даубен 1979, с. 225
  78. ^ Даубен 1979, с. 266.
  79. ^ Снаппер, Эрнст (1979). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм» (PDF) . Журнал «Математика» . 524 (4): 207–216. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976784. Архивировано из оригинала (PDF) 15 августа 2012 года . Проверено 2 апреля 2013 г.
  80. ^ Давенпорт, Энн А. (1997). «Католики, катары и концепция бесконечности в тринадцатом веке». Исида . 88 (2): 263–295. дои : 10.1086/383692. JSTOR  236574. S2CID  154486558.
  81. ^ аб Даубен 1977, с. 85.
  82. ^ Кантор 1932, с. 404. Перевод в Добене 1977, с. 95.
  83. ^ Даубен 1979, с. 296.
  84. ^ Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме». Американский католический философский ежеквартальный журнал . 83 (4): 533–553. doi : 10.5840/acpq200983444.
  85. ^ Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме». Американский католический философский ежеквартальный журнал . 84 (3): 535.
  86. ^ Феррейрос, Хосе (2004). «Мотивы, лежащие в основе теории множеств Кантора — физические, биологические и философские вопросы» (PDF) . Наука в контексте . 17 (1–2): 49–83. дои : 10.1017/S0269889704000055. PMID  15359485. S2CID  19040786. Архивировано (PDF) из оригинала 21 сентября 2020 г.
  87. ^ Даубен 1979, с. 144.
  88. ^ Даубен 1977, стр. 91–93.
  89. ^ О Канторе, Гуссерле и Готлобе Фреге см. Хилл и Розадо Хэддок (2000).
  90. ^ "Даубен 1979, стр. 96.
  91. ^ Рассел, Бертран Автобиография Бертрана Рассела , Джорджа Аллена и Анвина Ltd., 1971 (Лондон), том. 1, с. 217.
  92. ↑ Например , единственным свидетельством Граттан-Гиннесса о дате смерти дедушки является то, что он подписал документы на помолвку своего сына.
  93. ^ abc Purkert and Ilgauds 1985, стр. 15.
  94. ^ Дополнительную информацию см.: Даубен 1979, с. 1 и примечания; Grattan-Guinness 1971, стр. 350–352 и примечания; Пуркерт и Ильгаудс, 1985; письмо взято из Aczel 2000, стр. 93–94, из поездки Луи в Чикаго в 1863 году. На немецком, как и на английском языке, неясно, включен ли получатель.
  95. ^ Люди математики: жизнь и достижения великих математиков от Зенона до Пуанкаре , 1937, ET Bell
  96. ^ Таннери, Поль (1934) Memoires Scientifique 13 Переписка , Готье-Виллар, Париж, стр. 306.
  97. ^ Даубен 1979, с. 274.
  98. ^ Мендельсон, Эзра (редактор) (1993) Современные евреи и их музыкальные программы, Oxford University Press, стр. 9.
  99. ^ Ismerjük oket?: zsidó származású nevezetes magyarok arcképcarnoka , Иштван Ремени Гинес Ex Libris, (Будапешт, 1997), страницы 132–133
  100. ^ Рассел, Бертран. Автобиография , т. я, с. 229. На английском языке в оригинале; курсив также как в оригинале.
  101. ^ Граттан-Гиннесс 1971, с. 350.
  102. ^ Grattan-Guinness 1971 (цитата со стр. 350, примечание), Dauben 1979, стр. 1 и примечания. (Еврейские стереотипы Белла, похоже, были удалены из некоторых послевоенных изданий.)
  103. ^ Даубен 1979
  104. ^ Добен, Дж.: Развитие канторовской теории множеств, стр. ~ 181–219. См. стр. 216–217. В Босе, Х.; Банн, Р.; Добен, Дж.; Граттан-Гиннесс , И.; Хокинс, Т.; Педерсен, К. От исчисления к теории множеств, 1630–1910. Вступительная история. Под редакцией И. Граттан-Гиннесса. Джеральд Дакворт и Ко. Лтд., Лондон, 1980 г.

Рекомендации

Библиография

К более старым источникам о жизни Кантора следует относиться с осторожностью. См. раздел § Биографии выше.

Основная литература на английском языке

Основная литература на немецком языке

Вторичная литература

Внешние ссылки