Канторовский набор

Набор точек на отрезке линии

В математике множество Кантора — это набор точек, лежащих на одном отрезке прямой , обладающий рядом неинтуитивных свойств. Он был открыт в 1874 году Генри Джоном Стивеном Смитом ^{[1] [2] [3] [4]} и введен немецким математиком Георгом Кантором в 1883 году. ^{[5] [6]}

Рассмотрев этот набор, Кантор и другие помогли заложить основы современной топологии множества точек . Наиболее распространенной конструкцией является троичное множество Кантора , построенное путем удаления средней трети отрезка прямой и последующего повторения процесса с оставшимися более короткими отрезками. Кантор упомянул троичную конструкцию лишь вскользь, как пример более общей идеи совершенного множества, нигде не плотного .

В более общем смысле, в топологии канторово пространство — это топологическое пространство, гомеоморфное тернарному множеству Кантора (оснащённое топологией подпространства). По теореме Л. Дж. Брауэра это эквивалентно совершенству, непустости, компактности, метризуемости и нульмерности. ^[7]

Расширение канторового множества. Каждая точка набора представлена ​​здесь вертикальной линией.

Конструкция и формула троичного множества

Тройной набор Кантора создается путем итеративного удаления открытой средней трети из набора отрезков линии. Начинаем с удаления открытой средней трети из интервала , оставляя два отрезка: . Далее удаляется открытая средняя треть каждого из этих оставшихся отрезков, оставляя четыре отрезка: . Тернарное множество Кантора содержит все точки интервала , которые не удаляются ни на одном этапе этого бесконечного процесса . Те же факты можно описать рекурсивно, полагая ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \left[0,1\right]}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$

и

${\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}{\bigl (}C_{n-1}\cup \left(2+C_{n-1}\right){\bigr )}}$

для того , чтобы ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}:=}$ ${\displaystyle {\color {Blue}\lim _{n\to \infty }C_{n}}}$ ${\displaystyle =\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}}$   для любого   . ${\displaystyle m\geq 0}$

Первые шесть шагов этого процесса проиллюстрированы ниже.

Используя идею самоподобных преобразований и явные замкнутые формулы для множества Кантора: ^[8] ${\displaystyle T_{L}(x)=x/3,}$ ${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$ ${\displaystyle C_{n}=T_{L}(C_{n-1})\cup T_{R}(C_{n-1}),}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=[0,1]\,\setminus \,\bigcup _{n=0}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)\!,}$

где каждая средняя треть удаляется как открытый интервал из окружающего ее закрытого интервала , или ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)}$ ${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n+1}}},{\frac {3k+3}{3^{n+1}}}\right]=\left[{\frac {k+0}{3^{n}}},{\frac {k+1}{3^{n}}}\right]}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\right)\!,}$

где средняя треть предыдущего замкнутого интервала удалена путем пересечения с ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n}}},{\frac {3k+2}{3^{n}}}\right)}$ ${\textstyle \left[{\frac {k+0}{3^{n-1}}},{\frac {k+1}{3^{n-1}}}\right]=\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\!.}$

Этот процесс удаления средних третей является простым примером правила конечного подразделения . Дополнение к троичному множеству Кантора является примером фрактальной струны .

С арифметической точки зрения множество Кантора состоит из всех действительных чисел единичного интервала , для которых не требуется цифра 1, чтобы их можно было выразить в виде троичной дроби (по основанию 3). Как показано на диаграмме выше, каждая точка в множестве Кантора уникально расположена по пути через бесконечно глубокое двоичное дерево , где путь поворачивает влево или вправо на каждом уровне в зависимости от того, на какой стороне удаленного сегмента находится точка. Представление каждого поворота налево цифрой 0 и каждого поворота направо цифрой 2 дает троичную дробь для точки. ${\displaystyle [0,1]}$

Конструкция Мандельброта путем «свертывания»

В книге «Фрактальная геометрия природы » математик Бенуа Мандельброт предлагает причудливый мысленный эксперимент, чтобы помочь читателям, не разбирающимся в математике, представить себе конструкцию . Его повествование начинается с представления стержня, возможно, из легкого металла, в котором вещество стержня «свертывается», итеративно смещаясь к его концам. По мере того, как сегменты стержня становятся меньше, они превращаются в тонкие, плотные слизни, которые в конечном итоге становятся слишком маленькими и тусклыми, чтобы их можно было увидеть. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

СВЕРТЫВАНИЕ: Конструкция стержня Кантора является результатом процесса, который я называю свертыванием. Он начинается с круглой планки. Лучше всего думать об этом как об очень низкой плотности. Затем материя «свертывается» из средней трети этого такта в конечные трети, так что положение последних остается неизменным. Затем материя свертывается из средней трети каждой конечной трети в ее конечные трети, и так до бесконечности, пока не останется бесконечно большое количество бесконечно тонких кусочков бесконечно высокой плотности. Эти пули располагаются вдоль линии очень специфическим образом, вызванным процессом генерации. На этой иллюстрации свертывание (которое в конечном итоге требует удара молотком!) прекращается, когда и печатная машина, и наш глаз перестают следить за ним; последняя линия неотличима от предпоследней: каждая из ее конечных частей видится серой пулей, а не двумя параллельными черными пулями. ^[9]

Состав

Поскольку множество Кантора определяется как набор неисключенных точек, пропорция (т. е. мера ) оставшегося единичного интервала может быть найдена путем удаления общей длины. Эта сумма представляет собой геометрическую прогрессию

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.}$

Так что оставшаяся пропорция равна 1 − 1 = 0.

Этот расчет предполагает, что множество Кантора не может содержать интервал ненулевой длины. Может показаться удивительным, что там что-то должно остаться — ведь сумма длин удаленных интервалов равна длине исходного интервала. Однако более пристальный взгляд на процесс показывает, что что-то должно остаться, поскольку удаление «средней трети» каждого интервала предполагает удаление открытых наборов (множеств, которые не включают свои конечные точки). Поэтому удаление отрезка линии (1/3,2/3) из исходного интервала [0, 1] оставляет за собой точки1/3и2/3. Последующие шаги не удаляют эти (или другие) конечные точки, поскольку удаленные интервалы всегда являются внутренними по отношению к оставшимся интервалам. Итак, множество Кантора не пусто , а фактически содержит несчетное количество точек (как следует из приведенного выше описания в терминах путей в бесконечном бинарном дереве).

Может показаться, что остались только концы отрезков построения, но это тоже не так. Номер1/4, например, имеет уникальную троичную форму 0.020202... = 0.02 . Он находится в нижней трети, верхней трети этой трети, нижней трети этой верхней трети и так далее. Поскольку он никогда не находится ни в одном из средних сегментов, его никогда не удаляют. Однако он также не является конечной точкой какого-либо среднего сегмента, поскольку не кратен какой-либо степени 1/3. ^[10] Все концы отрезков являются конечными троичными дробями и содержатся в множестве

${\displaystyle \left\{x\in [0,1]\mid \exists i\in \mathbb {N} _{0}:x\,3^{i}\in \mathbb {Z} \right\}\qquad {\Bigl (}\subset \mathbb {N} _{0}\,3^{-\mathbb {N} _{0}}{\Bigr )}}$

которое представляет собой счетное бесконечное множество. Что касается мощности , почти все элементы множества Кантора не являются ни конечными точками интервалов, ни рациональными точками, такими как 1/4. Все канторово множество фактически несчетно.

Характеристики

Мощность

Можно показать, что в этом процессе осталось столько же точек, сколько было вначале, и что, следовательно, множество Кантора несчетно . Чтобы убедиться в этом, мы покажем, что существует функция f из канторового множества в замкнутый интервал [0,1], которая является сюръективной (т.е. f отображается из на [0,1]), так что мощность ее не меньше, чем из [0,1]. Поскольку это подмножество [0,1], его мощность также не больше, поэтому две мощности фактически должны быть равными по теореме Кантора–Бернштейна–Шредера . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Чтобы построить эту функцию, рассмотрим точки в интервале [0, 1] в терминах системы счисления по основанию 3 (или троичной записи). Напомним, что собственные троичные дроби, точнее: элементы , допускают в этих обозначениях более одного представления, как, например, ${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \setminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$1/3, это можно записать как 0,1 ₃ = 0,1 0 ₃ , а также как 0,0222... ₃ = 0,0 2 ₃ , и2/3, это можно записать как 0,2 ₃ = 0,2 0 ₃ , но также и как 0,1222... ₃ = 0,1 2 ₃ . ^[11] Когда мы удаляем среднюю треть, она содержит числа с троичными цифрами в форме 0,1xxxxx... ₃ , где xxxxx... ₃ находится строго между 00000... ₃ и 22222... ₃ . Таким образом, числа, оставшиеся после первого шага, состоят из

• Числа вида 0,0xxxxxx... ₃ (в том числе 0,022222... ₃ = 1/3)
• Числа вида 0,2xxxxxx... ₃ (в том числе 0,222222... ₃ = 1)

Это можно резюмировать, сказав, что те числа с троичным представлением, в которых первая цифра после точки счисления не равна 1, являются числами, оставшимися после первого шага.

На втором этапе удаляются числа вида 0.01xxxx... ₃ и 0.21xxxx... ₃ , и (при соответствующем уходе за конечными точками) можно сделать вывод, что оставшиеся числа - это числа с троичными числами, где ни один из первых две цифры это 1.

Продолжая таким же образом, чтобы число не было исключено на шаге n , оно должно иметь троичное представление, n -я цифра которого не равна 1. Чтобы число попало в множество Кантора, оно не должно быть исключено ни на каком шаге, оно должно допускать числовое представление, состоящее полностью из 0 и 2.

Стоит подчеркнуть, что числа типа 1,1/3= 0,1 ₃ и7/9= 0,21 ₃ находятся в множестве Кантора, так как имеют троичные числа, полностью состоящие из 0 и 2: 1 = 0,222... ₃ = 0,2 ₃ ,1/3= 0,0222... ₃ = 0,0 2 ₃ и7/9= 0,20222... ₃ = 0,20 2 ₃ . Все последние числа являются «конечными точками», а эти примеры — правыми предельными точками . То же самое справедливо и для левых предельных точек функции , например ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$2/3= 0,1222... ₃ = 0,1 2 ₃ = 0,2 0 ₃ и8/9= 0,21222... ₃ = 0,21 2 ₃ = 0,22 0 ₃ . Все эти конечные точки являются собственными тройными дробями (элементами ) вида ${\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$п/д, где знаменатель q представляет собой степень 3 , когда дробь находится в неприводимой форме. ^[10] Троичное представление этих дробей заканчивается (т.е. конечно) или — напомним выше, что каждая правильная троичная дробь имеет по два представления — бесконечно и «заканчивается» либо на бесконечное число повторяющихся нулей, либо на бесконечное множество повторяющихся двоек. Такая дробь является левой предельной точкой , если ее троичное представление не содержит единиц и «заканчивается» бесконечным множеством повторяющихся нулей. Точно так же правильная троичная дробь является правой предельной точкой, если ее троичная дробь снова не содержит единиц и «заканчивается» бесконечным множеством повторяющихся двоек. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Это множество конечных точек плотно в (но не плотно в [0, 1]) и составляет счетное бесконечное множество. Числа, в которых нет конечных точек, в своем троичном представлении также имеют только 0 и 2, но они не могут заканчиваться бесконечным повторением ни цифры 0, ни цифры 2, потому что тогда это была бы конечная точка. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Функция от до [0,1] определяется путем взятия троичных чисел, которые полностью состоят из 0 и 2, замены всех 2 на 1 и интерпретации последовательности как двоичного представления действительного числа. В формуле ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}$   где   ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}$

Для любого числа y из [0,1] его двоичное представление можно перевести в троичное представление числа x , заменив все единицы на двойки. При этом f ( x ) = y , так что y находится в диапазоне f . Например, если у = ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$3/5= 0.100110011001... ₂ = 0. 1001 , пишем x = 0. 2002 = 0.200220022002... ₃ =7/10. Следовательно, f сюръективен. Однако f не является инъективным — значения, для которых f ( x ) совпадают, находятся на противоположных концах одной из удаленных средних третей . Например, возьмите

1/3= 0,0 2 ₃ (что является правой предельной точкой и левой предельной точкой средней трети [ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3,2/3]) и

2/3= 0,2 0 ₃ (что является левой предельной точкой и правой предельной точкой средней трети [ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3,2/3])

так

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}_{3})=0.0{\overline {1}}_{2}=\!\!&\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}$

Таким образом, в канторовом множестве столько же точек, сколько в интервале [0, 1] (имеющем несчетную мощность ) . Однако множество концов удаленных интервалов счетно, поэтому в канторовом множестве должно быть несчетное количество чисел, не являющихся конечными точками интервала. Как отмечалось выше, одним из примеров такого числа является ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$1/4, что можно записать как 0,020202... ₃ = 0,02 в троичной записи. В самом деле, для любого , существует такое, что . Впервые это было продемонстрировано Штейнгаузом в 1917 году, который доказал с помощью геометрического аргумента эквивалентное утверждение, что для каждого . ^[12] Поскольку эта конструкция обеспечивает инъекцию из в , мы имеем как непосредственное следствие . Если предположить, что для любого бесконечного множества (утверждение, как показано, эквивалентно аксиоме выбора Тарского ), это обеспечивает еще одну демонстрацию того, что . ${\displaystyle a\in [-1,1]}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a=y-x}$ ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }$ ${\displaystyle a\in [-1,1]}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq |[-1,1]|={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle |A\times A|=|A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}$

Множество Кантора содержит столько же точек, сколько интервал, из которого оно взято, но само по себе не содержит интервалов ненулевой длины. Иррациональные числа обладают тем же свойством, но множество Кантора обладает дополнительным свойством замкнутости , поэтому оно даже не является плотным ни в одном интервале, в отличие от иррациональных чисел, которые плотны в каждом интервале.

Было высказано предположение , что все алгебраические иррациональные числа нормальны . Поскольку члены множества Кантора не являются нормальными, это означало бы, что все члены множества Кантора либо рациональны, либо трансцендентальны .

Самоподобие

Множество Кантора является прототипом фрактала . Он самоподобен , поскольку равен двум копиям самого себя, если каждую копию уменьшить в 3 раза и перевести. Точнее, множество Кантора равно объединению двух функций, левого и правого преобразований самоподобия самого себя и , которые оставляют множество Кантора инвариантным с точностью до гомеоморфизма : ${\displaystyle T_{L}(x)=x/3}$ ${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$ ${\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}$

Повторяющуюся итерацию можно представить как бесконечное двоичное дерево . То есть в каждом узле дерева можно рассматривать поддерево слева или справа. Взятие набора вместе с функциональной композицией образует моноид , диадический моноид . ${\displaystyle T_{L}}$ ${\displaystyle T_{R}}$ ${\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}$

Автоморфизмы бинарного дерева представляют собой его гиперболические вращения и задаются модулярной группой . Таким образом, множество Кантора является однородным пространством в том смысле, что для любых двух точек и в множестве Кантора существует гомеоморфизм с . Явную конструкцию можно описать легче, если мы рассматриваем множество Кантора как пространство произведения счетного числа копий дискретного пространства . Тогда отображение , определенное посредством, является инволютивным гомеоморфизмом, меняющим местами и . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h(x)=y}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Закон сохранения

Было обнаружено, что за масштабирование и самоподобие всегда ответственна та или иная форма закона сохранения. В случае множества Кантора видно, что й момент (где – фрактальная размерность ) всех сохранившихся интервалов на любом этапе процесса построения равен константе, равной единице в случае множества Кантора. ^{[13] [14]} Мы знаем, что существуют интервалы размера, присутствующие в системе на -м шаге ее построения. Тогда, если мы обозначим оставшиеся интервалы как, то момент th будет с тех пор . ${\displaystyle d_{f}}$ ${\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}$ ${\displaystyle N=2^{n}}$ ${\displaystyle 1/3^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}$ ${\displaystyle d_{f}}$ ${\displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}$

Хаусдорфова размерность канторового множества равна ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Топологические и аналитические свойства

Хотя «множество Кантора» обычно относится к исходному множеству Кантора со средней третью, описанному выше, топологи часто говорят о «множестве Кантора», что означает любое топологическое пространство , которое гомеоморфно (топологически эквивалентно) ему.

Как показывает приведенный выше аргумент суммирования, множество Кантора несчетно, но имеет меру Лебега 0. Поскольку множество Кантора является дополнением объединения открытых множеств , оно само является замкнутым подмножеством действительных чисел и, следовательно, полным метрическим пространством . Поскольку он также полностью ограничен , теорема Гейне-Бореля гласит, что он должен быть компактным .

Для любой точки множества Кантора и любой сколь угодно малой окрестности точки существует какое-то другое число с троичной цифрой, состоящей только из 0 и 2, а также числа, троичные цифры которых содержат 1. Следовательно, каждая точка множества Кантора является точкой накопления (также называемой точкой кластера или предельной точкой) множества Кантора, но ни одна из них не является внутренней точкой . Замкнутое множество, в котором каждая точка является точкой накопления, также называется в топологии совершенным множеством , а замкнутое подмножество интервала без внутренних точек нигде не является плотным в интервале.

Каждая точка множества Кантора является также точкой накопления дополнения к множеству Кантора.

Для любых двух точек множества Кантора найдется какая-то троичная цифра, где они различаются — в одной будет 0, а в другой 2. Разделив множество Кантора на «половинки» в зависимости от значения этой цифры, можно получить разбиение множество Кантора разделилось на два замкнутых множества, разделяющих исходные две точки. В относительной топологии множества Кантора точки разделены замкнуто- замкнутым множеством . Следовательно, множество Кантора полностью несвязно . Как компактное, полностью несвязное пространство Хаусдорфа , множество Кантора является примером пространства Стоуна .

Как топологическое пространство, множество Кантора естественно гомеоморфно произведению счетного числа копий пространства , где каждая копия несет дискретную топологию . Это пространство всех двухзначных последовательностей . ${\displaystyle \{0,1\}}$

${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \},}$

которое также можно отождествить с набором 2-адических целых чисел . Основой открытых множеств топологии произведения являются множества цилиндров ; гомеоморфизм отображает их в топологию подпространства , которую множество Кантора наследует от естественной топологии на вещественной прямой . Эта характеристика канторова пространства как произведения компактов дает второе доказательство того, что канторово пространство компактно, посредством теоремы Тихонова .

Согласно приведенной выше характеристике, множество Кантора гомеоморфно p -адическим целым числам и, если из него удалить одну точку, p -адическим числам .

Множество Кантора — это подмножество действительных чисел, которые являются метрическим пространством по отношению к обычной метрике расстояния ; следовательно, множество Кантора само по себе является метрическим пространством, используя ту же метрику. В качестве альтернативы можно использовать p -адическую метрику : для данных двух последовательностей расстояние между ними равно , где – наименьший индекс такой, что ; если такого индекса нет, то две последовательности одинаковы, и расстояние определяется как нулевое. Эти две метрики создают одну и ту же топологию на множестве Кантора. ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}$

Выше мы видели, что канторово множество представляет собой вполне несвязное совершенное компактное метрическое пространство. Действительно, в каком-то смысле оно единственное: всякое непустое вполне несвязное совершенное компактное метрическое пространство гомеоморфно канторову множеству. Дополнительную информацию о пространствах, гомеоморфных множеству Кантора , см . в разделе «Пространство Кантора».

Множество Кантора иногда рассматривается как «универсальное» в категории компактных метрических пространств, поскольку любое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора; однако эта конструкция не уникальна, и поэтому множество Кантора не является универсальным в точном категориальном смысле. Свойство «универсальности» имеет важные применения в функциональном анализе , где его иногда называют теоремой о представлении компактных метрических пространств . ^[15]

Для любого целого числа q ≥ 2 топология на группе G = Z _q ^ω (счетная прямая сумма) дискретна. Хотя двойственная по Понтрягину Γ также является Z _q ^ω , топология Γ компактна. Видно, что Γ вполне несвязно и совершенно, а значит, гомеоморфно канторову множеству. Гомеоморфизм проще всего явно выписать в случае q = 2 (см. Рудин, 1962, стр. 40).

Мера и вероятность

Множество Кантора можно рассматривать как компактную группу двоичных последовательностей, и поэтому оно наделено естественной мерой Хаара . Если нормализовать так, что мера набора равна 1, это модель бесконечной последовательности подбрасываний монеты. Кроме того, можно показать, что обычная мера Лебега на отрезке является образом меры Хаара на канторовом множестве, а естественная инъекция в троичное множество является каноническим примером сингулярной меры . Также можно показать, что мера Хаара является образом любой вероятности , что в некотором смысле позволяет Кантору задать универсальное вероятностное пространство.

В теории меры Лебега множество Кантора является примером множества, которое несчетно и имеет нулевую меру. ^[16] Напротив, набор имеет меру Хаусдорфа , равную 1, в размерности log 2 / log 3. ^[17]

Числа Кантора

Если мы определим число Кантора как член множества Кантора, то ^[18]

1. Каждое действительное число в [0, 2] представляет собой сумму двух чисел Кантора.
2. Между любыми двумя числами Кантора находится число, не являющееся числом Кантора.

Описательная теория множеств

Множество Кантора — это скудное множество (или множество первой категории) как подмножество [0,1] (хотя и не как подмножество самого себя, поскольку это пространство Бэра ). Таким образом, множество Кантора демонстрирует, что понятия «размера» с точки зрения мощности, меры и категории (Бэра) не обязательно должны совпадать. Как и множество , множество Кантора является «маленьким» в том смысле, что оно представляет собой нулевое множество (множество нулевой меры) и является скудным подмножеством [0,1]. Однако, в отличие от , который счетен и имеет «малую» мощность, мощность такая же, как у [0,1], континуума , и является «большой» в смысле мощности. Фактически, также возможно построить скудное подмножество [0,1], но положительной меры, и нетощее подмножество, но нулевой меры: ^[19] Взяв счетное объединение «толстых» канторовых множеств меры (см. конструкцию Смита–Вольтерра–Кантора ниже), мы получаем множество, имеющее положительную меру (равную 1), но скудное на [0,1], поскольку каждое из них нигде не плотно. Затем рассмотрим набор . Так как , не может быть тощим, но так как , должно иметь нулевую меру. ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\displaystyle \lambda =(n-1)/n}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$

Варианты

Радиальный график первых десяти шагов ^[20]

Набор Смита – Вольтерры – Кантора

Вместо многократного удаления средней трети каждой фигуры, как в наборе Кантора, мы могли бы также продолжать удалять любой другой фиксированный процент (кроме 0% и 100%) из середины. В случае, когда середина8/10интервала удаляется, мы получаем удивительно доступный случай — набор состоит из всех чисел из [0,1], которые можно записать в виде десятичной дроби, состоящей полностью из 0 и 9. Если на каждом этапе удалять фиксированный процент, то ограничивающее множество будет иметь нулевую меру, так как длина остатка как для любого такого, что . ${\displaystyle (1-f)^{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0<f\leq 1}$

С другой стороны, «толстые канторовы множества» положительной меры могут быть созданы путем удаления меньших частей середины отрезка на каждой итерации. Таким образом, можно построить множества, гомеоморфные канторовскому множеству, имеющие положительную меру Лебега, но при этом нигде не плотные. Если интервал длины ( ) удалить из середины каждого сегмента на n- й итерации, то общая удаленная длина составит , а предельное множество будет иметь меру Лебега . Таким образом, в некотором смысле канторово множество средних третей представляет собой предельный случай с . Если , то остаток будет иметь положительную меру при . Этот случай известен как множество Смита-Вольтерры-Кантора , которое имеет меру Лебега . ${\displaystyle r^{n}}$ ${\displaystyle r\leq 1/3}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-1}r^{n}=r/(1-2r)}$ ${\displaystyle \lambda =(1-3r)/(1-2r)}$ ${\displaystyle r=1/3}$ ${\displaystyle 0<r<1/3}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ ${\displaystyle r=1/4}$ ${\displaystyle 1/2}$

Стохастический набор Кантора

Можно изменить конструкцию множества Кантора, разделив его случайно, а не поровну. Кроме того, чтобы включить время, мы можем разделить только один из доступных интервалов на каждом шаге вместо того, чтобы делить все доступные интервалы. В случае стохастического триадного множества Кантора результирующий процесс можно описать следующим уравнением скорости ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=-{\frac {x^{2}}{2}}c(x,t)+2\int _{x}^{\infty }(y-x)c(y,t)\,dy,}$

и для стохастического диадического множества Кантора ^[21]

${\displaystyle {{\partial c(x,t)} \over {\partial t}}=-xc(x,t)+(1+p)\int _{x}^{\infty }c(y,t)\,dy,}$

где - количество интервалов размера между и . В случае триадного множества Кантора фрактальная размерность меньше, чем его детерминированный аналог . В случае стохастического диадического множества Кантора фрактальная размерность снова меньше, чем у его детерминированного аналога . В случае стохастического диадического набора Кантора решение для демонстрирует динамическое масштабирование , поскольку его решение в долгосрочном пределе находится там, где фрактальная размерность стохастического диадического набора Кантора . В любом случае, как и триадическое множество Кантора, th момент ( ) стохастического триадного и диадического множества Кантора также являются сохраняющимися величинами. ${\displaystyle c(x,t)dx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+dx}$ ${\displaystyle 0.5616}$ ${\displaystyle 0.6309}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ln(1+p)/\ln 2}$ ${\displaystyle c(x,t)}$ ${\displaystyle t^{-(1+d_{f})}e^{-xt}}$ ${\displaystyle d_{f}=p}$ ${\displaystyle d_{f}}$ ${\textstyle \int x^{d_{f}}c(x,t)\,dx={\text{constant}}}$

Канторова пыль

Канторова пыль — это многомерная версия множества Кантора. Его можно сформировать, взяв конечное декартово произведение канторова множества на самого себя, сделав его канторовым пространством . Как и множество Кантора, пыль Кантора имеет нулевую меру . ^[22]

Прогресс рекурсии канторовых кубов к канторовской пыли

Другим 2D-аналогом множества Кантора является ковер Серпинского , где квадрат делится на девять меньших квадратов, а средний удаляется. Оставшиеся квадраты затем делятся еще на девять каждый, а середина удаляется, и так до бесконечности. ^[23] Одним из трехмерных аналогов является губка Менгера .

Исторические замечания

изображение второй итерации канторовой пыли в двух измерениях

изображение 4-й итерации канторовой пыли в двух измерениях

Кантор представил то, что мы сегодня называем троичным множеством Кантора, как пример « идеального множества точек , которое не является всюду плотным в любом интервале, каким бы малым он ни был». ^{[24] [25]} Кантор описал троичные разложения как «множество всех действительных чисел, заданных формулой: где коэффициенты произвольно принимают два значения 0 и 2, а ряд может состоять из конечного числа или бесконечное число элементов». ^[24] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle z=c_{1}/3+c_{2}/3^{2}+\cdots +c_{\nu }/3^{\nu }+\cdots }$ ${\displaystyle c_{\nu }}$

Топологическое пространство является совершенным, если все его точки являются предельными точками или, что то же самое, если оно совпадает со своим производным множеством . Подмножества реальной линии, такие как , можно рассматривать как топологические пространства в соответствии с индуцированной топологией подпространства. ^[7] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

К изучению производных множеств Кантора привели его результаты о единственности тригонометрических рядов . ^[25] Последний многое сделал для того, чтобы направить его на путь разработки абстрактной общей теории бесконечных множеств .

Бенуа Мандельброт много писал о канторовой пыли и ее связи с природными фракталами и статистической физикой . ^[9] Далее он размышлял о загадочной или даже расстраивающей природе таких структур для представителей математического и физического сообщества. В «Фрактальной геометрии природы» он описал, как «когда я начал заниматься этой темой в 1962 году, все были согласны с тем, что пыль Кантора по меньшей мере так же чудовищна, как кривые Коха и Пеано », и добавил, что «каждый уважающий себя физик автоматически был отключается при упоминании Кантора и готов бежать на милю от любого, кто утверждает, что интересуется наукой». ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Смотрите также

• 

  изображение 6-й итерации канторовой пыли в двух измерениях

  Индикаторная функция множества Кантора
• Набор Смита – Вольтерры – Кантора
• Функция Кантора
• Канторов куб
• ожерелье Антуана
• Снежинка Коха
• Фанат Кнастера-Куратовского
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Последовательность Мозера – де Брейна

  

  Заглавная колонка с узором, напоминающим набор Кантора, но выраженным в двоичной, а не троичной форме. Гравюра с изображением Иль-де-Филы из «Описания Египта» Жана-Батиста Проспера Жоллуа и Эдуарда Девилье, Imprimerie Impériale, Париж, 1809–1828 гг.

Примечания

1. Смит, Генри Дж. С. (1874). «Об интегрировании разрывных функций». Труды Лондонского математического общества . Первая серия. 6 : 140–153.
2. «Канторовое множество» также было обнаружено Полем дю Буа-Реймоном (1831–1889). См . дю Буа-Реймон, Поль (1880), «Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung», Mathematische Annalen (на немецком языке), 16 , сноска на стр. 128. «Канторовое множество» было также открыто в 1881 году Вито Вольтеррой (1860–1940). См.: Вольтерра, Вито (1881), «Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate expire» [Некоторые наблюдения о точечной разрывной функции], Giornale di Matematiche (на итальянском языке), 19 : 76–86..
3. Феррейрос, Хосе (1999). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике . Базель, Швейцария: Birkhäuser Verlag. стр. 162–165. ISBN 9783034850513.
4. Стюарт, Ян (26 июня 1997 г.). Играет ли Бог в кости?: Новая математика хаоса . Пингвин. ISBN 0140256024.
5. Кантор, Георг (1883). «Über unendliche, Lineare Punktmannigfaltigkeiten V» [О бесконечных линейных точечных многообразиях (множествах), Часть 5]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 21 : 545–591. дои : 10.1007/bf01446819. S2CID  121930608. Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 г. Проверено 10 января 2011 г.
6. Пейтген, Х.-О.; Юргенс, Х.; Саупе, Д. (2004). Хаос и фракталы: новые рубежи науки (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 65. ИСБН 978-1-4684-9396-2.
7. Кекрис, Александр С. (1995). Классическая описательная теория множеств. Тексты для аспирантов по математике. Том. 156. Спрингер Нью-Йорк, Нью-Йорк. стр. 31, 35. doi :10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-0-387-94374-9.
8. Солтанифар, Мохсен (2006). «Другое описание семейства канторовых множеств среднего а». Американский журнал студенческих исследований . 5 (2): 9–12. дои : 10.33697/ajur.2006.014 .
9. Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы (Обновленное и дополненное ред.). Нью-Йорк. ISBN 0-7167-1186-9. ОСЛК  36720923.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Белкастро, Сара-Мари; Грин, Майкл (январь 2001 г.), «Набор Кантора содержит ? Правда?», The College Mathematics Journal , 32 (1): 55, doi : 10.2307/2687224, JSTOR  2687224 ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$
11. Это альтернативное повторяющееся представление числа с конечной цифрой встречается в любой позиционной системе с архимедовым абсолютным значением .
12. Карозерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 31–32. ISBN 978-0-521-69624-1.
13. Крапивский, PL; Бен-Наим, Э. (1994). «Мультимасштабирование в стохастических фракталах». Буквы по физике А. 196 (3–4): 168. Бибкод : 1994PhLA..196..168K. дои : 10.1016/0375-9601(94)91220-3.
14. Хасан, МК; Роджерс, Дж.Дж. (1995). «Модели фрагментации и стохастические фракталы». Буквы по физике А. 95 (1): 208. Бибкод : 1995PhLA..208...95H. дои : 10.1016/0375-9601(95)00727-К.
15. Уиллард, Стивен (1968). Общая топология . Аддисон-Уэсли. АСИН  B0000EG7Q0.
16. Ирвин, Лора. «Теорема 36: множество Кантора является несчетным множеством с нулевой мерой». Теорема недели . Архивировано из оригинала 15 марта 2016 г. Проверено 27 сентября 2012 г.
17. Фальконер, KJ (24 июля 1986 г.). Геометрия фрактальных множеств (PDF) . Издательство Кембриджского университета. стр. 14–15. ISBN 9780521337052.
18. Шредер, Манфред (1991). Фракталы, хаос, степенные законы: минуты из бесконечного рая . Дувр. стр. 164–165. ISBN 0486472043.
19. Гельбаум, Бернард Р. (1964). Контрпримеры в анализе . Олмстед, Джон М.Х. (Джон Мейгс Хаббелл), 1911–1997. Сан-Франциско: Холден-Дэй. ISBN 0486428753. ОСЛК  527671.
20. "Радиальный набор Кантора" .
21. Хасан, МК; Павел, Н.И.; Пандит, РК; Куртс, Дж. (2014). «Диадическое множество Кантора и его кинетический и стохастический аналог». Хаос, солитоны и фракталы . 60 : 31–39. arXiv : 1401.0249 . Бибкод : 2014CSF....60...31H. дои :10.1016/j.chaos.2013.12.010. S2CID  14494072.
22. Хельмберг, Гилберт (2007). Знакомство с фракталами. Вальтер де Грюйтер. п. 46. ​​ИСБН 978-3-11-019092-2.
23. Хельмберг, Гилберт (2007). Знакомство с фракталами. Вальтер де Грюйтер. п. 48. ИСБН 978-3-11-019092-2.
24. Кантор, Георг (2021). «Основы общей теории множеств: математико-философское исследование теории бесконечного», английский перевод Джеймса Р. Мейера». www.jamesrmeyer.com . Сноска 22 в разделе 10 . Проверено 16 мая 2022 г.
25. Флерон, Джулиан Ф. (1994). «Заметка об истории множества Кантора и функции Кантора». Журнал «Математика» . 67 (2): 136–140. дои : 10.2307/2690689. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690689.

Рекомендации

• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . Пример 29. ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Уайз, Гэри Л.; Холл, Эрик Б. (1993). Контрпримеры в теории вероятности и реальном анализе . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . Глава 1. ISBN 0-19-507068-2.
• Фальконер, KJ (24 июля 1986 г.). Геометрия фрактальных множеств . Кембриджские трактаты по математике. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0521337054.
• Маттила, Пертти (25 февраля 1999 г.). Геометрия множеств и мер в евклидовом пространстве: фракталы и спрямляемость . Кембриджские исследования в области высшей математики. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521655951.
• Маттила, Пертти (2015). Анализ Фурье и размерность Хаусдорфа . Кембриджские исследования в области высшей математики. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316227619..
• Зигмунд, А. (1958). Тригонометрическая серия, Тт. Я и II . Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• «Канторовое множество», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Канторовы множества и Канторовы множества и функции в кратчайшие сроки
• Канторовский сет в Platonic Realms