Канторово пространство

В математике пространство Кантора , названное в честь Георга Кантора , представляет собой топологическую абстракцию классического множества Кантора : топологическое пространство является пространством Кантора, если оно гомеоморфно множеству Кантора. В теории множеств топологическое пространство 2 ^ω называется «канторовым пространством».

Примеры

Канторово множество само по себе является канторовым пространством. Но каноническим примером канторова пространства является счетное топологическое произведение дискретного двухточечного пространства {0, 1}. Обычно это записывается как или 2 ^{ω (где 2 обозначает} набор из 2 элементов {0,1} с дискретной топологией ). Точка в 2 ^ω представляет собой бесконечную двоичную последовательность, то есть последовательность, которая принимает только значения 0 или 1. Учитывая такую ​​последовательность a ₀ , a ₁ , a ₂ ,..., можно сопоставить ее с действительным числом. ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n+1}}}.}$

Это отображение дает гомеоморфизм 2 ^ω на канторово множество, демонстрируя, что 2 ^ω действительно является канторовым пространством.

Канторовы пространства широко встречаются в реальном анализе . Например, они существуют как подпространства в каждом совершенном , полном метрическом пространстве . (Чтобы убедиться в этом, заметим, что в таком пространстве любое непустое совершенное множество содержит два непересекающихся непустых совершенных подмножества сколь угодно малого диаметра, и поэтому можно имитировать построение обычного канторова множества .) Кроме того, каждое несчетное , Сепарабельное , вполне метризуемое пространство содержит в качестве подпространств канторовы пространства. Сюда входит большинство общих пространств реального анализа.

Характеристика

Топологическая характеристика канторовых пространств дается теоремой Брауэра : ^[1]

Любые два непустых бикомпакта без изолированных точек и имеющие счетные базы , состоящие из открыто-замкнутых множеств, гомеоморфны друг другу.

Топологическое свойство наличия базы, состоящей из открыто-замкнутых множеств, иногда называют « нульмерностью ». Теорему Брауэра можно переформулировать так:

Топологическое пространство является канторовым тогда и только тогда, когда оно непусто, совершенно , компактно, вполне несвязно и метризуемо .

Эта теорема также эквивалентна (через теорему Стоуна о представлении булевых алгебр ) тому факту, что любые две счетные безатомные булевы алгебры изоморфны .

Характеристики

Как и следовало ожидать из теоремы Брауэра, канторовы пространства существуют в нескольких формах. Но многие свойства канторовых пространств могут быть установлены с помощью 2 ^ω , поскольку его конструкция как произведения делает его доступным для анализа.

Канторовы пространства обладают следующими свойствами:

• Мощность любого канторова пространства равна мощности континуума . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• Произведение двух (или даже любого конечного или счетного числа) канторовых пространств является канторовым пространством. Наряду с функцией Кантора этот факт можно использовать для построения кривых, заполняющих пространство .
• (Непустое) хаусдорфово топологическое пространство компактно метризуемо тогда и только тогда, когда оно является непрерывным образом канторова пространства. ^{[2] [3] [4]}

Пусть C ( X ) обозначает пространство всех вещественных, ограниченных непрерывных функций на топологическом пространстве X. Пусть K обозначает компактное метрическое пространство , а ∆ обозначает канторово множество. Тогда множество Кантора обладает следующим свойством:

• C ( K ) изометрично замкнутому подпространству C ( ∆). ^[5]

В общем, эта изометрия не уникальна и, следовательно, не является универсальным свойством в категориальном смысле.

• Группа всех гомеоморфизмов канторова пространства проста . ^[6]

Смотрите также

• Космос (математика)
• Канторовский набор
• Канторов куб

Рекомендации

1. Брауэр, LEJ (1910), «О структуре совершенных множеств точек» (PDF) , Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen , 12 : 785–794..
2. Н. Л. Карозерс, Краткий курс по теории банахового пространства , Тексты для студентов Лондонского математического общества 64 , (2005) Издательство Кембриджского университета. См. главу 12.
3. Уиллард, указ. цит. , См. раздел 30.7.
4. «Пью «Настоящий математический анализ», стр. 108-112 Теорема Кантора о сюръективности».
5. Карозерс, указ. соч.
6. Р.Д. Андерсон, Алгебраическая простота некоторых групп гомеоморфизмов , Американский журнал математики 80 (1958), стр. 955-963.

• Кекрис, А. (1995). Классическая описательная теория множеств ( Тексты для аспирантов по математике, 156 изд.). Спрингер. ISBN 0-387-94374-9.