Закрытый набор

Подмножество, которое одновременно открыто и закрыто

В топологии закрыто- открытое множество ( сумма закрыто -открытого множества ) в топологическом пространстве — это множество, которое одновременно открыто и закрыто . То, что это возможно, может показаться нелогичным, поскольку общие значения слов «открыто» и «закрыто» являются антонимами, но их математические определения не являются взаимоисключающими . Множество является закрытым, если его дополнение открыто, что оставляет возможность существования открытого множества, дополнение которого также открыто, что делает оба множества одновременно открытыми и закрытыми и, следовательно, замкнуто-открытыми. Как описал тополог Джеймс Манкрес , в отличие от двери , «множество может быть открытым или закрытым, или и тем, и другим, или ни одним!» ^[1] подчеркивая, что значение «открытых»/«закрытых» для дверей не связано с их значением для множеств (и поэтому дихотомия открытой/закрытой двери не переносится на открытые/закрытые множества). Этот контраст с дверями дал название классу топологических пространств, известных как « дверные пространства ».

Примеры

В любом топологическом пространстве и пустое множество , и все пространство открыто-замкнуты. ^{[2] [3]} ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Теперь рассмотрим пространство , которое состоит из объединения двух открытых интервалов и Топология on наследуется как топология подпространства от обычной топологии на вещественной прямой . Множество открыто -замкнуто, как и множество. Это вполне типичный пример: всякий раз, когда пространство таким образом состоит из конечного числа непересекающихся связных компонентов , эти компоненты будут открыто-замкнутыми. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2,3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2,3).}$

Теперь пусть это бесконечное множество в дискретной метрике  , то есть две точки имеют расстояние 1, если они не являются одной и той же точкой, и 0 в противном случае. В полученном метрическом пространстве любое одноэлементное множество открыто; следовательно, любое множество, являющееся объединением отдельных точек, открыто. Поскольку любое множество открыто, то и дополнение к любому множеству открыто, а значит, любое множество закрыто. Итак, все множества в этом метрическом пространстве открыто-замкнуты. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,q\in X}$

В качестве менее тривиального примера рассмотрим пространство всех рациональных чисел с их обычной топологией и множество всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Используя тот факт, что их нет в единице, можно довольно легко показать, что это открытое подмножество. of ( не является замкнуто-замкнутым подмножеством реальной линии ; оно не является ни открытым, ни закрытым ) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Характеристики

• Топологическое пространство связно тогда и только тогда , когда единственными замкнуто-замкнутыми множествами являются пустое множество и оно само. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Множество является открытозамкнутым тогда и только тогда, когда его граница пуста. ^[4]
• Любое открыто-замкнутое множество представляет собой объединение (возможно, бесконечного числа) компонент связности.
• Если все компоненты связности открыты (например, если оно имеет лишь конечное число компонентов или если оно локально связно ), то множество является открытозамкнутым в том и только в том случае, если оно представляет собой объединение компонентов связности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Топологическое пространство дискретно тогда и только тогда , когда все его подмножества открытозамкнуты. ${\displaystyle X}$
• Используя объединение и пересечение в качестве операций, открыто-замкнутые подмножества данного топологического пространства образуют булеву алгебру . Любая булева алгебра может быть получена таким образом из подходящего топологического пространства: см. теорему Стоуна о представлении булевых алгебр . ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Дверное пространство  - топологическое пространство, в котором каждое подмножество либо открыто, либо закрыто (или и то, и другое).Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Список тождеств и отношений множеств  . Равенства для комбинаций множеств.

Примечания

1. Мункрес 2000, с. 91.
2. Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 348.(относительно действительных чисел и пустого множества в R)
3. Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., с. 56.(относительно топологических пространств)
4. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 87. ИСБН 0-486-66352-3. Пусть – подмножество топологического пространства. Докажите, что тогда и только тогда, когда открыто и закрыто. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)=\varnothing }$ ${\displaystyle A}$(Дано в упражнении 7)

Рекомендации

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. ОСЛК  42683260.
• Моррис, Сидни А. «Топология без слез». Архивировано из оригинала 19 апреля 2013 года.