Гипотеза Гольдбаха

Четные целые числа как суммы двух простых чисел

Гипотеза Гольдбаха — одна из старейших и самых известных нерешённых проблем теории чисел и всей математики . Он гласит, что каждое четное натуральное число больше 2 является суммой двух простых чисел .

Было показано, что гипотеза верна для всех целых чисел меньше4 × 10 ¹⁸ , но, несмотря на значительные усилия, остается недоказанным.

История

Происхождение

7 июня 1742 г. прусский математик Кристиан Гольдбах написал Леонарду Эйлеру письмо (письмо XLIII) ^[2] , в котором предложил следующую гипотезу:

Каждое целое число, которое можно записать как сумму двух простых чисел, можно также записать как сумму любого количества простых чисел, пока все члены не станут единицами.

Гольдбах следовал ныне заброшенному соглашению считать 1 простым числом ^[3] , так что сумма единиц будет суммой простых чисел. Затем он выдвинул вторую гипотезу на полях своего письма, которая подразумевает первую: ^[4]

... eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
Каждое целое число больше 2 можно записать как сумму трёх простых чисел.

Эйлер ответил письмом от 30 июня 1742 года ^[5] и напомнил Гольдбаху о их более раннем разговоре (« ... so Ew vormals mit mir communicirt haben... »), в котором Гольдбах заметил, что первый из этих из утверждения вытекают две гипотезы

Каждое положительное четное целое число можно записать как сумму двух простых чисел.

Фактически это эквивалентно его второй, маргинальной гипотезе. В письме от 30 июня 1742 года Эйлер заявил: ^{[6] [7]}

Дасс ... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, stop ich für ein ganz gewisses теорема, uneachtet ich dasselbe nicht Demonstriren kann.
То, что... всякое четное целое число есть сумма двух простых чисел, я считаю вполне достоверной теоремой, хотя доказать ее не могу.

Частичные результаты

Сильная гипотеза Гольдбаха гораздо сложнее слабой гипотезы Гольдбаха . Используя метод Виноградова, Николай Чудаков ^[8] Йоханнес ван дер Корпут ^[9] и Теодор Эстерманн ^[10] показали, что почти все четные числа можно записать в виде суммы двух простых чисел (в том смысле, что дробь четных чисел вверх к некоторому N , которое можно записать таким образом, стремится к 1 по мере увеличения N ). В 1930 году Лев Шнирельманн доказал, что любое натуральное число больше 1 можно записать как сумму не более чем C простых чисел, где C — эффективно вычислимая константа; см. плотность Шнирельмана . ^{[11] [12]} Константа Шнирельмана — это наименьшее число C с этим свойством. Сам Шнирельман получил C <800 000 . Этот результат впоследствии был усилен многими авторами, такими как Оливье Рамаре , который в 1995 году показал, что каждое четное число n ≥ 4 на самом деле является суммой не более 6 простых чисел. Самый известный в настоящее время результат вытекает из доказательства Харальдом Хелфготтом слабой гипотезы Гольдбаха ^[13] , из которого непосредственно следует, что каждое четное число n ≥ 4 является суммой не более 4 простых чисел. ^{[14] [15]}

В 1924 году Харди и Литтлвуд показали в предположении обобщенной гипотезы Римана, что число четных чисел до X , нарушающих гипотезу Гольдбаха, намного меньше, чем X ^{1 ⁄ 2 + c} для малых c . ^[16]

В 1948 году, используя методы теории решета , Альфред Реньи показал, что каждое достаточно большое четное число можно записать в виде суммы простого и почти простого числа с не более чем K множителями. ^[17] Чэнь Цзинжунь в 1973 году с помощью теории решета показал, что каждое достаточно большое четное число можно записать как сумму либо двух простых чисел, либо простого и полупростого числа ( произведение двух простых чисел). ^[18] Дополнительную информацию см. в теореме Чена .

В 1975 году Хью Монтгомери и Роберт Чарльз Вон показали, что «большинство» четных чисел выражаются как сумма двух простых чисел. Точнее, они показали, что существуют положительные константы c и C такие, что для всех достаточно больших чисел N каждое четное число меньше N является суммой двух простых чисел, за исключением не более CN ^{1 − c} . В частности, множество четных целых чисел, не являющихся суммой двух простых чисел, имеет нулевую плотность .

В 1951 году Юрий Линник доказал существование константы K такой, что каждое достаточно большое четное число представляет собой сумму двух простых чисел и не более K степеней 2. Янош Пинц и Имре Ружа обнаружили в 2020 году, что K = 8 работает. ^[19] Если принять обобщенную гипотезу Римана , K = 7 также работает, как показали Роджер Хит-Браун и Ян-Кристоф Шлаге-Пухта в 2002 году. ^[20]

Доказательство слабой гипотезы было представлено в 2013 году Харальдом Хелфготтом в серии «Анналы математических исследований» . Хотя статья была принята, Хелфготт решил внести существенные изменения, предложенные рецензентом. Несмотря на несколько поправок, доказательство Хелфготта еще не появилось в рецензируемой публикации. ^{[21] [22] [23]} Слабая гипотеза вытекает из сильной гипотезы: если n − 3 является суммой двух простых чисел, то n является суммой трёх простых чисел. Однако обратный вывод и, следовательно, сильная гипотеза Гольдбаха останутся недоказанными, если доказательство Хельфготта верно.

Результаты вычислений

Для малых значений n сильная гипотеза Гольдбаха (и, следовательно, слабая гипотеза Гольдбаха) может быть проверена непосредственно. Например, в 1938 году Нильс Пиппинг кропотливо проверил гипотезу с точностью до n =100 000 . ^[24] С появлением компьютеровбыло проверено гораздо больше значений n ; Т. Оливейра и Силва провел распределенный компьютерный поиск, который подтвердил гипотезу для n ≤4 × 10 ¹⁸ (и перепроверено до4 × 10 ¹⁷ ) по состоянию на 2013 год. Одна из записей этого поиска заключается в том, что3 325 581 707 333 960 528 — наименьшее число, которое нельзя записать в виде суммы двух простых чисел, одно из которых меньше 9781. ^[25]

Калли-Хугилл и Дудек доказывают ^[26] (частичный и условный) результат о гипотезе Римана: существует сумма двух нечетных простых чисел в интервале (x, x + 9696 log^2 x] для всех x ≥ 2.

В популярной культуре

Гипотеза Гольдбаха ( китайский :哥德巴赫猜想) — это название биографии китайского математика и теоретика чисел Чэнь Цзинжуня , написанной Сюй Чи .

Эта гипотеза является центральным моментом в сюжете романа 1992 года « Дядя Петрос и гипотеза Гольдбаха» греческого писателя Апостолоса Доксиадиса , в рассказе Айзека Азимова « Шестьдесят миллионов триллионов комбинаций » , а также в детективном романе Мишель «Никто, кого вы не знаете» 2008 года. Ричмонд . ^[27]

Гипотеза Гольдбаха является частью сюжета испанского фильма 2007 года «Комната Ферма» .

Гипотеза Гольдбаха стала основной темой исследования героини актрисы Эллы Рампф Маргариты во французско-швейцарском фильме 2023 года « Теорема Маргариты» . ^[28]

Официальное заявление

Каждая из трех гипотез имеет естественный аналог в современном определении простого числа, согласно которому единица исключается. Современная версия первой гипотезы такова:

Каждое целое число, которое можно записать как сумму двух простых чисел, можно также записать как сумму любого количества простых чисел, пока либо все члены не станут двумя (если целое число четное), либо один член не будет равен трем, а все остальные члены не станут равными двум. два (если целое число нечетное).

Современная версия маргинальной гипотезы такова:

Каждое целое число больше 5 можно записать как сумму трёх простых чисел.

А современная версия старой гипотезы Гольдбаха, о которой ему напомнил Эйлер, такова:

Каждое четное целое число больше 2 можно записать как сумму двух простых чисел.

Эти современные версии могут быть не полностью эквивалентны соответствующим оригинальным утверждениям. Например, если бы существовало четное целое число N = p + 1 , большее 4, где p — простое число, которое нельзя было бы выразить как сумму двух простых чисел в современном смысле слова, то это было бы контрпримером к современной версии формулы. третья гипотеза (не являющаяся контрпримером к исходной версии). Таким образом, современная версия, вероятно, сильнее (но чтобы подтвердить это, нужно было бы доказать, что первая версия, свободно применимая к любому положительному четному целому числу n , не может исключить существование такого конкретного контрпримера N ). В любом случае современные утверждения имеют те же отношения друг с другом, что и более старые утверждения. То есть второе и третье современные утверждения эквивалентны, и любое из них подразумевает первое современное утверждение.

Третье современное утверждение (эквивалентное второму) — это форма, в которой гипотеза обычно выражается сегодня. Она также известна как « сильная », «четная» или «бинарная» гипотеза Гольдбаха. Более слабая форма второго современного утверждения, известная как « слабая гипотеза Гольдбаха », «нечетная гипотеза Гольдбаха» или «троичная гипотеза Гольдбаха», утверждает, что

Каждое нечетное целое число больше 7 можно записать как сумму трех нечетных простых чисел.

Эвристическое обоснование

Суммы двух простых чисел на пересечениях трех прямых

Статистические соображения, сосредоточенные на вероятностном распределении простых чисел, представляют неофициальные доказательства в пользу гипотезы (как в слабой, так и в сильной форме) для достаточно больших целых чисел: чем больше целое число, тем больше способов существует для представления этого числа. как сумма двух или трех других чисел, и тем более «вероятно» становится, что хотя бы одно из этих представлений полностью состоит из простых чисел.

Количество способов записать четное число n в виде суммы двух простых чисел (последовательность A002375 в OEIS )

Очень грубая версия эвристического вероятностного аргумента (для сильной формы гипотезы Гольдбаха) состоит в следующем. Теорема о простых числах утверждает, что целое число m , выбранное наугад, имеет примерно1/ln мшанс стать премьером. Таким образом, если n — большое четное целое число, а m — число от 3 дон/2, то можно было бы ожидать, что вероятность того, что m и n − m одновременно будут простыми, будет равна1/ln м ln( п - м ). Если следовать этой эвристике, можно было бы ожидать, что общее количество способов записать большое четное целое число n в виде суммы двух нечетных простых чисел будет примерно равно

${\displaystyle \sum _{m=3}^{\frac {n}{2}}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(n-m)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.}$

Поскольку ln n ≪ √ n , эта величина стремится к бесконечности с увеличением n , и можно было бы ожидать, что каждое большое четное целое число имеет не только одно представление в виде суммы двух простых чисел, но на самом деле очень много таких представлений.

Этот эвристический аргумент на самом деле несколько неточный, поскольку он предполагает, что события, когда m и n − m являются простыми, статистически независимы друг от друга. Например, если m нечетно, то n - m также нечетно, а если m четно, то n - m четно, что нетривиально, поскольку, кроме числа 2, простыми могут быть только нечетные числа. Аналогично, если n делится на 3, а m уже было простым числом, отличным от 3, то n - m также будет взаимно простым с 3 и, таким образом, с несколько большей вероятностью будет простым числом, чем общее число. Более тщательно проводя этот тип анализа, Г.Х. Харди и Джон Эденсор Литтлвуд в 1923 году предположили (в рамках своей гипотезы Харди-Литтлвуда о простых кортежах ), что для любого фиксированного c ≥ 2 число представлений большого целого числа n как сумма c простые числа n = p ₁ + ⋯ + pc _с p 1 ≤ _⋯ ≤ pc должны быть асимптотически _равны

${\displaystyle \left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},}$

где произведение рассчитано по всем простым числам p , а γ _{c , p} ( n ) — количество решений уравнения n = q ₁ + ⋯ + q _c mod p в модульной арифметике с учетом ограничений q ₁ , …, q _с ≠ 0 мод п . Асимптотическая справедливость этой формулы для c ≥ 3 была строго доказана в работе Ивана Матвеевича Виноградова , но остается лишь гипотезой при c = 2 . ^{[ нужна цитация ]} В последнем случае приведенная выше формула упрощается до 0, когда n нечетно, и до

${\displaystyle 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}$

когда n четное, где Π ₂ - постоянная простых чисел-близнецов Харди–Литтлвуда.

${\displaystyle \Pi _{2}:=\prod _{p\;{\rm {prime}}\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots }$

Иногда это называют расширенной гипотезой Гольдбаха . Сильная гипотеза Гольдбаха на самом деле очень похожа на гипотезу о простых числах-близнецах, и считается, что обе гипотезы имеют примерно сопоставимую сложность.

комета Гольдбаха; красные, синие и зеленые точки соответствуют соответственно значениям 0, 1 и 2 по модулю 3 числа.

Статистическая сумма Гольдбаха — это функция, которая сопоставляет каждому четному целому числу способов его разложения в сумму двух простых чисел. Ее график похож на комету , поэтому ее называют кометой Гольдбаха . ^[29]

Комета Гольдбаха предполагает жесткие верхние и нижние границы количества представлений четного числа в виде суммы двух простых чисел, а также то, что количество этих представлений сильно зависит от значения числа по модулю 3.

Связанные проблемы

Хотя гипотеза Гольдбаха подразумевает, что каждое положительное целое число, большее единицы, можно записать как сумму не более трех простых чисел, не всегда возможно найти такую ​​сумму с помощью жадного алгоритма , который на каждом шаге использует максимально возможное простое число. Последовательность Пиллаи отслеживает числа, требующие наибольшего количества простых чисел в их жадных представлениях. ^[30]

Существуют проблемы, аналогичные гипотезе Гольдбаха, в которых простые числа заменяются другими конкретными наборами чисел, такими как квадраты:

• Лагранж доказал , что каждое положительное целое число является суммой четырёх квадратов . См. проблему Уоринга и связанную с ней проблему Уоринга – Гольдбаха о суммах степеней простых чисел.
• Харди и Литтлвуд перечислили свою гипотезу I: «Каждое большое нечетное число ( n > 5 ) представляет собой сумму простого и двойного простого числа». ^[31] Эта гипотеза известна как гипотеза Лемуана , а также гипотеза Леви .
• Гипотеза Гольдбаха о практических числах , простой последовательности целых чисел, была сформулирована Маргенштерном в 1984 году ^[32] и доказана Мелфи в 1996 году: ^[33] каждое четное число является суммой двух практических чисел.
• Харви Дубнер предложил усилить гипотезу Гольдбаха, согласно которой каждое четное целое число больше 4208 представляет собой сумму двух простых чисел-близнецов (не обязательно принадлежащих одной и той же паре). ^{[34] [ нужен лучший источник ]} Только 34 четных целых числа меньше 4208 не являются суммой двух простых чисел-близнецов; Дубнер вычислительно подтвердил, что этот список полон до ^{[35] [ необходима проверка ]} Доказательство этой более сильной гипотезы будет подразумевать не только гипотезу Гольдбаха, но и гипотезу простых чисел-близнецов . ${\displaystyle 2\cdot 10^{10}.}$

Рекомендации

1. Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIème Siècle (Группа 1), Санкт-Петербург, 1843 г., стр. 125–129.
2. http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
3. Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Гольдбаха». Математический мир .
4. В печатной версии, опубликованной PH Fuss [1] в маргинальной гипотезе 2 ошибочно напечатано как 1.
5. http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0766.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
6. Ингхэм, AE «Популярные лекции» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 июня 2003 г. Проверено 23 сентября 2009 г.
7. Колдуэлл, Крис (2008). «Гипотеза Гольдбаха» . Проверено 13 августа 2008 г.
8. Чудаков, Николай Г. (1937). « О проблеме Гольдбаха ». Доклады Академии наук СССР . 17 : 335–338.
9. Ван дер Корпут, JG (1938). «Сюр-л'гипотеза Гольдбаха» (PDF) . Учеб. Акад. Влажный. Амстердам (на французском языке). 41 : 76–80.
10. Эстерманн, Т. (1938). «О проблеме Гольдбаха: доказательство того, что почти все четные положительные целые числа являются суммами двух простых чисел». Учеб. Лондонская математика. Соц . 2. 44 : 307–314. дои : 10.1112/plms/s2-44.4.307.
11. Шнирельманн, LG (1930). «Об аддитивных свойствах чисел», впервые опубликовано в «Записках Донского политехнического института в Новочеркасске» (на русском языке), т. 14 (1930), с. 3–27, и перепечатано в «Успехах математических наук» (на русском языке). ), 1939, вып. 6, 9–25.
12. Шнирельманн, LG (1933). Впервые опубликовано как «Über аддитивные Eigenschaften von Zahlen» в « Mathematische Annalen » (на немецком языке), vol. 107 (1933), 649–690 и перепечатано как «Об аддитивных свойствах чисел» в «Успехах математических наук», 1940, вып. 7, 7–46.
13. Хелфготт, HA (2013). «Тройная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv : 1312,7748 [math.NT].
14. Синисало, Матти К. (октябрь 1993 г.). «Проверка гипотезы Гольдбаха до 4 ⋅ 1011» (PDF) . Математика вычислений . Американское математическое общество. 61 (204): 931–934. CiteSeerX 10.1.1.364.3111 . дои : 10.2307/2153264. JSTOR  2153264. 
15. Рассиас, М.Т. (2017). Проблема Гольдбаха: избранные темы . Спрингер.
16. См., например, «Новую явную формулу аддитивной теории простых чисел с приложениями I. Явную формулу для задач Гольдбаха и обобщенных проблем простых чисел-близнецов» Яноша Пинца.
17. Реньи, А.А. (1948). «О представлении четного числа в виде суммы простого и почти простого». Известия Академии Наук СССР Серия Математическая (на русском языке). 12 : 57–78.
18. Чен, младший (1973). «О представлении большего четного целого числа в виде суммы простого числа и произведения не более двух простых чисел». наук. Синица . 16 : 157–176.
19. Пинц, Дж .; Ружа, ИЗ (01.08.2020). «О приближении Линника к задаче Гольдбаха. II». Acta Mathematica Hungarica . 161 (2): 569–582. дои : 10.1007/s10474-020-01077-8. ISSN  1588-2632. S2CID  54613256.
20. Хит-Браун, доктор медицинских наук; Пухта, Дж. К. (2002). «Целые числа представлены как сумма простых чисел и степеней двойки». Азиатский математический журнал . 6 (3): 535–565. arXiv : math.NT/0201299 . Бибкод : 2002math......1299H. doi :10.4310/AJM.2002.v6.n3.a7. S2CID  2843509.
21. Хелфготт, HA (2013). «Основные дуги теоремы Гольдбаха». arXiv : 1305.2897 [math.NT].
22. Хелфготт, HA (2012). «Второстепенные дуги проблемы Гольдбаха». arXiv : 1205,5252 [math.NT].
23. "Харальд Андрес Хелфготт". Институт математики де Жюсье-Париж Рив Гош . Проверено 06 апреля 2021 г.
24. Пиппинг, Нильс (1890–1982), «Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradowsche Satz». Акта Акад. Абоенсис, Матем. Физ. 11, 4–25, 1938.
25. Томас Оливейра и Силва, Проверка гипотезы Гольдбаха. Проверено 20 июля 2013 г.
26. Микаэла Калли-Хугилл и Адриан В. Дудек, Явная оценка среднего значения для PNT в интервалах
27. «Математическая фантастика: никого, кого вы знаете (Мишель Ричмонд)» . kasmana.people.cofc.edu .
28. Одиль Морен Ле Теорема де Маргарита, во Францииinfo:cultural
29. Флигель, Генри Ф.; Робертсон, Дуглас С. (1989). «Комета Гольдбаха: числа, связанные с гипотезой Гольдбаха». Журнал развлекательной математики . 21 (1): 1–7.
30. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A066352 (последовательность Пиллаи)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
31. Журнал Mathematics , 66:1 (1993): 45–47.
32. Маргенштерн, М. (1984). «Результаты и предположения о практических числах». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 299 : 895–898.
33. Мелфи, Г. (1996). «О двух гипотезах о практических числах». Журнал теории чисел . 56 : 205–210. дои : 10.1006/jnth.1996.0012 .
34. "ПОЖЕДАНИЯ ПРАЙМ-БЛИЗНЕЦ" (PDF) . oeis.org .
35. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007534 (Четные числа, не являющиеся суммой пары простых чисел-близнецов)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

дальнейшее чтение

• Дешуйе, Ж.-М.; Эффингер, Г.; те Риле, Х.; Зиновьев, Д. (1997). «Полная теорема Виноградова о 3 простых числах согласно гипотезе Римана» (PDF) . Электронные объявления об исследованиях Американского математического общества . 3 (15): 99–104. дои : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 .
• Монтгомери, HL; Воан, RC (1975). «Исключительное множество в задаче Гольдбаха» (PDF) . Акта Арифметика . 27 : 353–370. дои : 10.4064/aa-27-1-353-370 .
• Теренс Тао доказал, что все нечетные числа являются не более чем суммой пяти простых чисел.
• Гипотеза Гольдбаха в MathWorld .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с гипотезой Гольдбаха, на Викискладе?
• «Проблема Гольдбаха», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Оригинал письма Гольдбаха Эйлеру - формат PDF (на немецком и латыни)
• Гипотеза Гольдбаха, часть книги Криса Колдуэлла «Prime Pages ».
• Проверка гипотезы Гольдбаха, распределенный компьютерный поиск Томаса Оливейры и Сильвы.