Абсолютная бесконечность ( символ : Ω ), в контексте часто называемая « абсолютной », является расширением идеи бесконечности , предложенной математиком Георгом Кантором . Его можно рассматривать как число, большее любой другой мыслимой или немыслимой величины, конечной или трансфинитной . Кантор связал абсолютную бесконечность с Богом , [1] [2] : 175 [3] : 556 и считал, что она обладает различными математическими свойствами, включая принцип отражения : каждое свойство абсолютной бесконечности также принадлежит некоторому меньшему объекту. [4] [ нужны разъяснения ]
Кантор сказал:
Актуальная бесконечность отличалась тремя отношениями: во-первых, как она реализуется в высшем совершенстве, в совершенно независимом, внемирном существовании, в Део, где я называю ее абсолютной бесконечностью или просто абсолютом; во-вторых, в той степени, в которой оно представлено в зависимом, тварном мире; в-третьих, поскольку его можно абстрактно представить себе в мыслях как математическую величину, число или тип порядка. В двух последних отношениях, где оно явно обнаруживает себя ограниченным и способным к дальнейшему распространению и, следовательно, близким конечному, я называю его Трансфинитум и резко противопоставляю его абсолюту. [5]
Кантор также упомянул эту идею в своих письмах Ричарду Дедекинду (текст в квадратных скобках отсутствует в оригинале): [7]
Множественность (по-видимому, он имеет в виду то, что мы теперь называем множеством ) называется хорошо упорядоченной, если она удовлетворяет условию, что каждая часть кратности имеет первый элемент ; такую множественность я для краткости называю «последовательностью».
...
Теперь я представляю себе систему всех [порядковых] чисел и обозначаю ее Ω .
...
Система Ω в своем естественном порядке по величине представляет собой «последовательность».
Теперь присоединим к этой последовательности 0 как дополнительный элемент и поместим его, очевидно, на первую позицию; тогда мы получим последовательность Ω ′ :
0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 +1, ..., γ, ...
в которой легко убедиться, что каждое входящие в нее числа γ — это тип [т. е. тип-порядок] последовательности всех предшествующих ей элементов (включая 0). (Последовательность Ω впервые обладает этим свойством для ω 0 +1. [ω 0 +1 должно быть ω 0. ])
Теперь Ω ′ (а значит, и Ω ) не может быть непротиворечивой кратностью. Ибо если бы Ω ' было непротиворечиво, то ему как вполне упорядоченному множеству соответствовало бы число δ , большее всех чисел системы Ω ; однако число δ также принадлежит системе Ω , поскольку оно включает в себя все числа. Таким образом, δ будет больше, чем δ , что является противоречием. Поэтому:Система всех [порядковых] чисел Q представляет собой противоречивую, абсолютно бесконечную кратность.
Идея о том, что совокупность всех порядковых чисел не может логически существовать, многим кажется парадоксальной . Это связано с «парадоксом» Бурали-Форти, который подразумевает, что не может быть наибольшего порядкового числа . Все эти проблемы можно свести к идее, что для каждого свойства, которое может быть логически определено, существует набор всех объектов, обладающих этим свойством. Однако, как и в аргументации Кантора (выше), эта идея приводит к трудностям.
В более общем смысле, как заметил А. В. Мур , не может быть конца процессу формирования множеств , а значит, не существует такой вещи, как совокупность всех множеств или иерархия множеств . Любая такая совокупность сама по себе должна была бы быть множеством, то есть находиться где-то внутри иерархии и, таким образом, не в состоянии содержать каждое множество.
Стандартное решение этой проблемы находится в теории множеств Цермело , которая не допускает неограниченного образования множеств из произвольных свойств. Скорее, мы можем сформировать набор всех объектов, которые обладают данным свойством и лежат в некотором заданном множестве ( аксиома разделения Цермело ). Это позволяет в ограниченном смысле формировать множества на основе свойств, сохраняя при этом (надеюсь) непротиворечивость теории.
Хотя это решает логическую проблему, можно утверждать, что философская проблема остается. Кажется естественным, что совокупность индивидов должна существовать до тех пор, пока существуют индивидуумы. Действительно, можно сказать, что наивная теория множеств основана на этом понятии. Хотя исправление Цермело позволяет классу описывать произвольные (возможно, «большие») сущности, эти предикаты метаязыка могут не иметь формального существования (т. е. как набор) в теории. Например, класс всех множеств будет правильным классом . Некоторых это неудовлетворительно с философской точки зрения, и это послужило мотивом для дополнительных работ в области теории множеств и других методов формализации основ математики, таких как « Новые основания» Уилларда Ван Ормана Куайна .
Кантор (1) считал абсолют проявлением Бога [...] Когда абсолют впервые представлен в Grundlagen, он связан с Богом: «истинная бесконечность или абсолют, который находится в Боге Это не случайное замечание, поскольку Кантор очень ясно и настойчиво говорит об отношении между абсолютом и Богом.
[Ка-а, [2] с. 378].Es wurde das Aktual-Unendliche (AU.) nach drei Beziehungen unterschieden: erstens, sofern es in der höchsten Vollkommenheit, im völlig unabhängigen außerweltlichen Sein, in Deo realisiert ist, wo ich es Absolut Unendliches oder kurzweg Absolutes nenne; zweitens, sofern es in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens, sofern es als mathematische Größe, Zahl oder Ordnungstypus vom Denken in Abstracto aufgefaßt werden kann. В ден beiden letzten Beziehungen, wo es offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. sich darstellt, nenne ich es Transfinitum und setze es dem Absoluten strengstens entgegen.