Феликс Кристиан Кляйн ( нем. [klaɪn] ; 25 апреля 1849 — 22 июня 1925) — немецкий математик и преподаватель математики , известный своими работами в области теории групп , комплексного анализа , неевклидовой геометрии и связей между геометрией и теорией групп. . Его программа Эрлангена 1872 года классифицировала геометрии по их основным группам симметрии и представляла собой влиятельный синтез большей части математики того времени.
Во время своего пребывания в Геттингенском университете Кляйн смог превратить его в центр математических и научных исследований посредством открытия новых лекций, профессорских должностей и институтов. Его семинары охватывали большинство известных в то время областей математики, а также их приложения. Кляйн также посвятил много времени преподаванию математики и продвигал реформу математического образования на всех уровнях обучения в Германии и за рубежом. Он стал первым президентом Международной комиссии по математическому обучению в 1908 году на Четвертом Международном конгрессе математиков в Риме.
Феликс Кляйн родился 25 апреля 1849 года в Дюссельдорфе [ 1] в семье прусских родителей. Его отец, Каспар Кляйн (1809–1889), был секретарем прусского правительства, работавшим в Рейнской провинции . Его матерью была Софи Элиза Кляйн (1819–1890, урожденная Кайзер). [2] Он посещал гимназию в Дюссельдорфе, затем изучал математику и физику в Боннском университете , [3] 1865–1866, намереваясь стать физиком. В то время Юлиус Плюкер занимал должность профессора математики и экспериментальной физики в Бонне, но к тому времени, когда Кляйн стал его ассистентом в 1866 году, Плюкер интересовался в основном геометрией. Кляйн получил докторскую степень под руководством Плюкера в Боннском университете в 1868 году.
Плюкер умер в 1868 году, оставив свою книгу об основах геометрии линий незавершенной. Кляйн был очевидным человеком, завершившим вторую часть «Новой геометрии де Рам» Плюкера , и таким образом познакомился с Альфредом Клебшем , который переехал в Геттинген в 1868 году. Кляйн посетил Клебша в следующем году, а также посетил Берлин и Париж. В июле 1870 года, в начале франко-прусской войны , он находился в Париже и был вынужден покинуть страну. Некоторое время он служил санитаром в прусской армии, а затем в начале 1871 года был назначен приват-доцентом (преподавателем) в Геттингене.
Университет Эрлангена назначил Кляйна профессором в 1872 году, когда ему было всего 23 года. [4] За это его поддержал Клебш, который считал, что он, вероятно, станет лучшим математиком своего времени. Кляйн не желал оставаться в Эрлангене, где было очень мало студентов, и был рад, когда в 1875 году ему предложили должность профессора в Высшей технической школе Мюнхена . Там он и Александр фон Брилль преподавали курсы повышения квалификации многим отличным студентам, в том числе Адольфу Гурвицу , Вальтер фон Дейк , Карл Рон , Карл Рунге , Макс Планк , Луиджи Бьянки и Грегорио Риччи-Курбастро .
В 1875 году Кляйн женился на Анне Гегель, внучке философа Георга Вильгельма Фридриха Гегеля . [5]
Проведя пять лет в Высшей технической школе, Кляйн был назначен на кафедру геометрии Лейпцигского университета . Среди его коллег были Вальтер фон Дейк , Рон, Эдуард Стью и Фридрих Энгель . Годы Кляйна в Лейпциге, с 1880 по 1886 год, коренным образом изменили его жизнь. В 1882 году его здоровье ухудшилось, и следующие два года он боролся с депрессией. [6] Тем не менее, его исследования продолжались; его основополагающая работа по гиперэллиптическим сигма-функциям, опубликованная между 1886 и 1888 годами, датируется примерно этим периодом.
Кляйн принял должность профессора Геттингенского университета в 1886 году. С тех пор, вплоть до выхода на пенсию в 1913 году, он стремился восстановить Геттинген как главный мировой центр математических исследований. Однако ему так и не удалось перенести из Лейпцига в Геттинген свою руководящую роль разработчика геометрии . Он читал в Геттингене различные курсы, в основном касающиеся взаимодействия математики и физики, в частности, механики и теории потенциала .
Исследовательский центр, основанный Кляйном в Геттингене, послужил образцом для лучших подобных центров во всем мире. Он ввел еженедельные дискуссионные встречи и создал математический читальный зал и библиотеку. В 1895 году Кляйн нанял Давида Гильберта из Кенигсбергского университета . Это назначение имело большое значение; Гильберт продолжал укреплять первенство Геттингена в математике до выхода на пенсию в 1932 году.
Под редакцией Кляйна Mathematische Annalen стал одним из лучших математических журналов в мире. Основанный Клебшем, он вырос под руководством Кляйна и стал конкурировать, а в конечном итоге и превзойти журнал Crelle's Journal , базирующийся в Берлинском университете . Кляйн создал небольшую команду редакторов, которые регулярно встречались и принимали решения в демократическом духе. Журнал сначала специализировался на комплексном анализе , алгебраической геометрии и теории инвариантов . Это также предоставило важный выход для настоящего анализа и новой теории групп .
В 1893 году Кляйн был основным докладчиком на Международном математическом конгрессе, проходившем в Чикаго в рамках Всемирной Колумбийской выставки . [7] Частично благодаря усилиям Кляйна, Геттинген начал принимать женщин в 1893 году. Он руководил первой докторской диссертацией. диссертация по математике, написанная в Геттингене женщиной, Грейс Чизхолм Янг , английской студенткой Артура Кэли , которой восхищался Кляйн. В 1897 году Кляйн стал иностранным членом Королевской Нидерландской академии искусств и наук . [8]
Около 1900 года Кляйн начал интересоваться преподаванием математики в школах. В 1905 году он сыграл важную роль в разработке плана, рекомендовавшего преподавать в средних школах аналитическую геометрию , основы дифференциального и интегрального исчисления , а также концепцию функции . [9] [10] Эта рекомендация постепенно внедрялась во многих странах мира. В 1908 году Кляйн был избран президентом Международной комиссии по математическому обучению на Римском международном конгрессе математиков . [11] Под его руководством немецкая часть Комиссии опубликовала множество томов по преподаванию математики на всех уровнях в Германии.
Лондонское математическое общество наградило Кляйна медалью Де Моргана в 1893 году. Он был избран членом Королевского общества в 1885 году и был награжден медалью Копли в 1912 году. В следующем году он вышел на пенсию из-за плохого здоровья, но продолжал преподавать математику в университете. его дом на несколько последующих лет.
Кляйн был одним из девяноста трёх лиц, подписавших «Манифест девяносто трёх» — документ, написанный в поддержку немецкого вторжения в Бельгию на ранних этапах Первой мировой войны .
Он умер в Геттингене в 1925 году.
В диссертации Кляйна « Геометрия линий и ее приложения к механике » комплексы линий второй степени классифицировались с использованием теории элементарных делителей Вейерштрасса .
Первые важные математические открытия Кляйн сделал в 1870 году. В сотрудничестве с Софусом Ли он открыл фундаментальные свойства асимптотических линий на поверхности Куммера . Позже они исследовали W-кривые , кривые, инвариантные относительно группы проективных преобразований . Именно Ли познакомил Кляйна с концепцией группы, которая сыграла важную роль в его последующих работах. Кляйн также узнал о группах от Камиллы Джордан . [12]
Кляйн изобрел « бутылку Клейна », названную в его честь, одностороннюю замкнутую поверхность, которую нельзя встроить в трехмерное евклидово пространство , но ее можно погружать в воду как цилиндр, проходящий через себя и соединяющийся с другим концом «изнутри». ". Он может быть вложен в евклидово пространство размерностей 4 и выше. Концепция бутылки Клейна была разработана как трехмерная лента Мёбиуса , причем одним из методов конструкции было соединение краев двух лент Мёбиуса . [13]
В 1890-х годах Кляйн начал более интенсивно изучать математическую физику , работая о гироскопе вместе с Арнольдом Зоммерфельдом . [14] В 1894 году он инициировал идею создания энциклопедии математики, включая ее приложения, которая стала Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften . Это предприятие, просуществовавшее до 1935 года, стало важным стандартом, имеющим непреходящую ценность. [15]
В 1871 году, находясь в Геттингене, Кляйн сделал важные открытия в геометрии. Он опубликовал две статьи «О так называемой неевклидовой геометрии», показывающие, что евклидову и неевклидову геометрию можно рассматривать как метрические пространства , определяемые метрикой Кэли-Клейна . Следствием этого понимания было то, что неевклидова геометрия была последовательной тогда и только тогда, когда евклидова геометрия была последовательной, что придавало одинаковый статус евклидовой и неевклидовой геометрии и положило конец всем спорам о неевклидовой геометрии. Артур Кэли никогда не принимал аргументы Кляйна, считая их замкнутыми.
Синтез геометрии Клейна как исследование свойств пространства, инвариантного относительно заданной группы преобразований , известный как Эрлангенская программа (1872), оказал глубокое влияние на развитие математики. Эта программа была инициирована вступительной лекцией Кляйна в качестве профессора в Эрлангене, хотя это была не та речь, которую он произнес по этому случаю. Программа предлагала единую систему геометрии, ставшую общепринятым современным методом. Кляйн показал, как существенные свойства данной геометрии могут быть представлены группой преобразований , сохраняющих эти свойства. Таким образом, определение геометрии в программе охватывало как евклидову, так и неевклидову геометрию.
В настоящее время значение вклада Клейна в геометрию очевидно. Они стали настолько важной частью математического мышления, что трудно оценить их новизну при первом представлении и понять тот факт, что они не были сразу приняты всеми современниками.
Кляйн считал свою работу по комплексному анализу своим главным вкладом в математику, особенно его работу над:
Кляйн показал, что модульная группа перемещает фундаментальную область комплексной плоскости , образуя мозаику плоскости. В 1879 году он исследовал действие PSL(2,7) , рассматриваемого как образ модулярной группы , и получил явное представление римановой поверхности , теперь называемой квартикой Клейна . Он показал, что это комплексная кривая в проективном пространстве , что ее уравнением является x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0 и что ее группа симметрий равна PSL (2,7) порядка 168. Его теория Убера Римана Теория алгебраических функций и интеграла (1882) рассматривает комплексный анализ геометрическим способом, соединяя теорию потенциала и конформные отображения . Эта работа основывалась на понятиях гидродинамики .
Клейн рассматривал уравнения степени > 4 и особенно интересовался использованием трансцендентных методов для решения общего уравнения пятой степени. Опираясь на методы Чарльза Эрмита и Леопольда Кронекера , он получил результаты, аналогичные результатам Бриоши, а позже полностью решил проблему с помощью икосаэдрической группы . Эта работа позволила ему написать серию статей по эллиптическим модулярным функциям .
В своей книге 1884 года об икосаэдре Кляйн создал теорию автоморфных функций , связав алгебру и геометрию. Пуанкаре опубликовал краткое изложение своей теории автоморфных функций в 1881 году, что привело к дружескому соперничеству между двумя людьми. Оба стремились сформулировать и доказать великую теорему об униформизации , которая более полно обосновала бы новую теорию. Кляйну удалось сформулировать такую теорему и описать стратегию ее доказательства. Свое доказательство он придумал во время приступа астмы в 2:30 ночи 23 марта 1882 года .
Кляйн резюмировал свою работу по автоморфным и эллиптическим модулярным функциям в четырехтомном трактате, написанном вместе с Робертом Фрике в течение примерно 20 лет.
