Теорема униформизации

Односвязная риманова поверхность эквивалентна открытому диску, комплексной плоскости или сфере.

В математике теорема об униформизации утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одной из трех римановых поверхностей: открытому единичному кругу , комплексной плоскости или сфере Римана . Теорема является обобщением теоремы об отображении Римана с односвязных открытых подмножеств плоскости на произвольные односвязные римановы поверхности.

Поскольку каждая риманова поверхность имеет универсальное покрытие , которое является односвязной римановой поверхностью, теорема об униформизации приводит к классификации римановых поверхностей на три типа: те, которые имеют сферу Римана в качестве универсального покрытия («эллиптические»), те, которые имеют плоскость в качестве универсального покрытия («параболические») и те, которые имеют единичный круг в качестве универсального покрытия («гиперболические»). Далее следует, что каждая риманова поверхность допускает риманову метрику постоянной кривизны , где кривизну можно принять равной 1 в эллиптическом, 0 в параболическом и -1 в гиперболическом случае.

Теорема об униформизации также дает похожую классификацию замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий в эллиптических/параболических/гиперболических случаях. Каждое такое многообразие имеет конформно эквивалентную риманову метрику с постоянной кривизной, где кривизна может быть принята равной 1 в эллиптическом, 0 в параболическом и -1 в гиперболическом случае.

История

Феликс Клейн  (1883) и Анри Пуанкаре  (1882) выдвинули гипотезу о теореме униформизации для (римановых поверхностей) алгебраических кривых. Анри Пуанкаре (1883) распространил ее на произвольные многозначные аналитические функции и привел неформальные аргументы в ее пользу. Первые строгие доказательства общей теоремы униформизации были даны Пуанкаре  (1907) и Полем Кёбе  (1907a, 1907b, 1907c). Позднее Пол Кёбе дал еще несколько доказательств и обобщений. История описана в Gray (1994); полный отчет об униформизации вплоть до статей Кёбе и Пуанкаре 1907 года дан с подробными доказательствами в de Saint-Gervais (2016) ( псевдоним типа Бурбаки группы из пятнадцати математиков, которые совместно подготовили эту публикацию).

Классификация связных римановых поверхностей

Каждая риманова поверхность является фактором свободного, собственного и голоморфного действия дискретной группы на ее универсальном накрытии, и это универсальное накрытие, будучи односвязной римановой поверхностью, голоморфно изоморфно (также говорят: «конформно эквивалентно» или «биголоморфно») одному из следующих:

1. сфера Римана
2. комплексная плоскость
3. единичный круг в комплексной плоскости.

Для компактных римановых поверхностей, поверхности с универсальным покрытием единичного круга — это в точности гиперболические поверхности рода больше 1, все с неабелевой фундаментальной группой; поверхности с универсальным покрытием комплексной плоскости — это римановы поверхности рода 1, а именно комплексные торы или эллиптические кривые с фундаментальной группой Z2 ; а поверхности с универсальным покрытием сферы Римана ^— это поверхности рода нуль, а именно сама сфера Римана, с тривиальной фундаментальной группой.

Классификация замкнутых ориентированных римановых 2-многообразий

На ориентированном 2-многообразии риманова метрика индуцирует сложную структуру, используя переход к изотермическим координатам . Если риманова метрика задана локально как

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}$

тогда в комплексной координате z = x + i y она принимает вид

${\displaystyle ds^{2}=\lambda |dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}$

где

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{4}}\left(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}\right),\ \ \mu ={\frac {1}{4\lambda }}(E-G+2iF),}$

так что λ и μ являются гладкими с λ > 0 и | μ | < 1. В изотермических координатах ( u , v ) метрика должна иметь вид

${\displaystyle ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})}$

с ρ > 0 гладкий. Комплексная координата w = u + i v удовлетворяет

${\displaystyle \rho \,|dw|^{2}=\rho |w_{z}|^{2}\left|dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2},}$

так что координаты ( u , v ) будут изотермическими локально при условии выполнения уравнения Бельтрами

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}$

имеет локально диффеоморфное решение, т.е. решение с ненулевым якобианом.

Эти условия можно эквивалентно сформулировать в терминах внешней производной и оператора звезды Ходжа ∗ . ^[1] u и v будут изотермическими координатами, если ∗ du = dv , где ∗ определяется на дифференциалах как ∗( p dx + q dy ) = − q dx + p dy . Пусть ∆ = ∗ d ∗ d — оператор Лапласа–Бельтрами . Согласно стандартной эллиптической теории u можно выбрать гармоническим вблизи заданной точки, т. е. Δ u = 0 , при этом du не обращается в нуль. По лемме Пуанкаре dv = ∗ du имеет локальное решение v точно тогда, когда d (∗ du ) = 0 . Это условие эквивалентно Δ u = 0 , поэтому всегда может быть решено локально. Поскольку du не равен нулю, а квадрат оператора звезды Ходжа равен −1 на 1-формах, du и dv должны быть линейно независимы, так что u и v задают локальные изотермические координаты.

Существование изотермических координат можно доказать другими методами, например, с использованием общей теории уравнения Бельтрами , как в работе Альфорса (2006), или прямыми элементарными методами, как в работах Черна (1955) и Йоста (2006).

Из этого соответствия с компактными римановыми поверхностями следует классификация замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий. Каждое такое многообразие конформно эквивалентно единственному замкнутому 2-многообразию постоянной кривизны , поэтому фактор одного из следующих по свободному действию дискретной подгруппы группы изометрий :

1. сфера ( кривизна +1)
2. Евклидова плоскость (кривизна 0)
3. гиперболическая плоскость (кривизна −1).

• 
  род 0
• 
  род 1
• 
  род 2
• 
  род 3

Первый случай дает 2-сферу, единственное 2-многообразие с постоянной положительной кривизной и, следовательно, положительной эйлеровой характеристикой (равной 2). Второй случай дает все плоские 2-многообразия, т. е. торы , которые имеют эйлерову характеристику 0. Третий случай охватывает все 2-многообразия постоянной отрицательной кривизны, т. е. гиперболические 2-многообразия, все из которых имеют отрицательную эйлерову характеристику. Классификация согласуется с теоремой Гаусса–Бонне , которая подразумевает, что для замкнутой поверхности с постоянной кривизной знак этой кривизны должен совпадать со знаком эйлеровой характеристики. Эйлерова характеристика равна 2 – 2 g , где g — род 2-многообразия, т. е. число «дырок».

Методы доказательства

Многие классические доказательства теоремы об униформизации опираются на построение действительной гармонической функции на односвязной римановой поверхности, возможно, с особенностью в одной или двух точках и часто соответствующей форме функции Грина . Широко используются четыре метода построения гармонической функции: метод Перрона ; альтернирующий метод Шварца ; принцип Дирихле ; и метод ортогональной проекции Вейля . В контексте замкнутых римановых 2-многообразий несколько современных доказательств привлекают нелинейные дифференциальные уравнения на пространстве конформно эквивалентных метрик. К ним относятся уравнение Бельтрами из теории Тейхмюллера и эквивалентная формулировка в терминах гармонических отображений ; уравнение Лиувилля , уже изученное Пуанкаре; и поток Риччи вместе с другими нелинейными потоками.

Теорема Радо показывает, что каждая риманова поверхность автоматически является вторично-счетной . Хотя теорема Радо часто используется в доказательствах теоремы униформизации, некоторые доказательства были сформулированы так, что теорема Радо становится следствием. Вторичная счетность является автоматической для компактных римановых поверхностей.

Методы Гильбертова пространства

В 1913 году Герман Вейль опубликовал свой классический учебник «Die Idee der Riemannschen Fläche», основанный на его лекциях в Геттингене с 1911 по 1912 год. Это была первая книга, в которой теория римановых поверхностей была представлена ​​в современном контексте, и на протяжении трех ее изданий она оставалась влиятельной. Посвященное Феликсу Клейну , первое издание включало трактовку Гильбертом задачи Дирихле с использованием методов гильбертова пространства ; вклад Брауэра в топологию; и доказательство Кёбе теоремы униформизации и ее последующие улучшения. Гораздо позже Вейль (1940) разработал свой метод ортогональной проекции, который дал рационализированный подход к задаче Дирихле, также основанный на гильбертовом пространстве; эта теория, которая включала лемму Вейля об эллиптической регулярности , была связана с теорией гармонических интегралов Ходжа ; и обе теории были включены в современную теорию эллиптических операторов и L ² пространств Соболева . В третьем издании своей книги от 1955 года, переведенной на английский язык в Weyl (1964), Вейль принял современное определение дифференциального многообразия, предпочтя его триангуляциям , но решил не использовать свой метод ортогональной проекции. Springer (1957) последовал описанию Вейлем теоремы об униформизации, но использовал метод ортогональной проекции для решения задачи Дирихле. Kodaira (2007) описывает подход в книге Вейля, а также то, как сократить его с помощью метода ортогональной проекции. Соответствующее описание можно найти в Donaldson (2011).

Нелинейные потоки

Ричард С. Гамильтон показал, что нормализованный поток Риччи на замкнутой поверхности униформизирует метрику (т. е. поток сходится к метрике постоянной кривизны). Однако его доказательство опиралось на теорему об униформизации. Недостающий шаг включал поток Риччи на 2-сфере: метод, позволяющий избежать апелляции к теореме об униформизации (для рода 0), был предоставлен Ченом, Лу и Тянем (2006); ^[2] краткое автономное описание потока Риччи на 2-сфере было дано в работе Эндрюса и Брайана (2010).

Обобщения

Кёбе доказал общую теорему об униформизации , согласно которой если риманова поверхность гомеоморфна открытому подмножеству комплексной сферы (или, что эквивалентно, если каждая жорданова кривая разделяет ее), то она конформно эквивалентна открытому подмножеству комплексной сферы.

В 3 измерениях существует 8 геометрий, называемых восемью геометриями Терстона . Не каждое 3-многообразие допускает геометрию, но гипотеза геометризации Терстона, доказанная Григорием Перельманом, утверждает, что каждое 3-многообразие можно разрезать на геометризуемые части.

Теорема Липмана - Берса об одновременной униформизации показывает, что можно одновременно униформизировать две компактные римановы поверхности одного и того же рода >1 с одной и той же квазифуксовой группой .

Теорема об измеримом отображении Римана показывает в более общем смысле, что отображение на открытое подмножество комплексной сферы в теореме об униформизации может быть выбрано как квазиконформное отображение с любым заданным ограниченным измеримым коэффициентом Бельтрами.

Смотрите также

• теорема p-адической униформизации

Примечания

1. ДеТурк и Каздан 1981; Тейлор 1996a, стр. 377–378.
2. Брендл 2010

Ссылки

Исторические справки

• Шварц, HA (1870), «Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren», Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft в Цюрихе , 15 : 272–286, JFM  02.0214.02.
• Кляйн, Феликс (1883), «Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie», Mathematische Annalen , 21 (2): 141–218, doi : 10.1007/BF01442920, ISSN  0025-5831, JFM  15.0351.01, S2CID  12046562 5
• Кёбе, П. (1907a), «Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven», Göttinger Nachrichten : 177–190, JFM  38.0453.01
• Кёбе, П. (1907b), «Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven», Göttinger Nachrichten : 191–210, JFM  38.0454.01
• Кёбе, П. (1907c), «Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung)», Göttinger Nachrichten : 633–669, JFM  38.0455.02
• Кёбе, Пауль (1910a), «Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 138 : 192–253, doi : 10.1515/crll.1910.138.192, S2CID  120198686
• Кёбе, Пауль (1910b), «Über die Hilbertsche Uniformlsierungsmethode» (PDF) , Göttinger Nachrichten : 61–65
• Пуанкаре, Х. (1882), «Mémoire sur les fonctions fuchsiennes», Acta Mathematica , 1 : 193–294, doi : 10.1007/BF02592135 , ISSN  0001-5962, JFM  15.0342.01
• Пуанкаре, Анри (1883), «Теорема общей теории функций», Bulletin de la Société Mathématique de France , 11 : 112–125, doi : 10.24033/bsmf.261 , ISSN  0037-9484, JFM  15.0348 . 01
• Пуанкаре, Анри (1907), «Sur l'uniformisation des fonctions Analytiques» (PDF) , Acta Mathematica , 31 : 1–63, doi : 10.1007/BF02415442 , ISSN  0001-5962, JFM  38.0452.02
• Гильберт, Давид (1909), «Zur Theorie der konformen Abbildung» (PDF) , Göttinger Nachrichten : 314–323
• Перрон, О. (1923), «Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu=0», Mathematische Zeitschrift , 18 (1): 42–54, doi : 10.1007/BF01192395, ISSN  0025-5874, S2CID  122843531
• Вейль, Герман (1913), Die Idee der Riemannschen Fläche (переиздание немецкого оригинала 1913 года в 1997 году) , Тойбнер, ISBN 978-3-8154-2096-6
• Вейль, Герман (1940), «Метод ортогональных проекций в теории потенциала», Duke Math. J. , 7 : 411–444, doi :10.1215/s0012-7094-40-00725-6

Исторические обзоры

• Абикофф, Уильям (1981), «Теорема униформизации», Amer. Math. Monthly , 88 (8): 574–592, doi :10.2307/2320507, JSTOR  2320507
• Грей, Джереми (1994), «К истории теоремы об отображении Римана» (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Серия II. Приложение (34): 47–94, MR  1295591.
• Боттаццини, Умберто; Грей, Джереми (2013), Скрытая гармония — геометрические фантазии: расцвет теории комплексных функций , Источники и исследования по истории математики и физических наук, Springer, ISBN 978-1461457251
• де Сен-Жерве, Анри Поль (2016), Униформизация римановых поверхностей: пересмотр теоремы столетней давности , перевод Роберта Г. Бернса, Европейское математическое общество, doi : 10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3, перевод французского текста (подготовлен в 2007 году в ознаменование столетия со дня публикации работ Кёбе и Пуанкаре в 1907 году)

Гармонические функции

Метод Перрона

• Хайнс, М. (1949), «Конформное отображение односвязных римановых поверхностей», Ann. of Math. , 50 (3): 686–690, doi :10.2307/1969555, JSTOR  1969555
• Хайнс, М. (1951), «Внутреннее отображение ориентируемой поверхности в S2 », Proc. Amer. ^Math . Soc. , 2 (6): 951–952, doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045221-4
• Хайнс, М. (1957), «Конформное отображение односвязных римановых поверхностей. II» (PDF) , Nagoya Math. J. , 12 : 139–143, doi : 10.1017/s002776300002198x
• Пфлюгер, Альберт (1957), Theorie der Riemannschen Flächen , Springer
• Альфорс, Ларс В. (2010), Конформные инварианты: темы геометрической теории функций , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
• Бирдон, А.Ф. (1984), «Учебник по римановым поверхностям» , Серия лекций Лондонского математического общества , 78 , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0521271042
• Форстер, Отто (1991), Лекции по римановым поверхностям , Graduate Texts in Mathematics, т. 81, перевод Брюса Гиллигана, Springer, ISBN 978-0-387-90617-1
• Фаркас, Гершель М.; Кра, Ирвин (1980), Римановы поверхности (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-90465-8
• Gamelin, Theodore W. (2001), Комплексный анализ , Бакалаврские тексты по математике, Springer, ISBN 978-0-387-95069-3
• Хаббард, Джон Х. (2006), Теория Тейхмюллера и ее применение в геометрии, топологии и динамике. Том 1. Теория Тейхмюллера , Matrix Editions, ISBN 978-0971576629
• Шлаг, Вильгельм (2014), Курс комплексного анализа и римановых поверхностей. , Аспирантура по математике, т. 154, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-9847-5

Альтернативный метод Шварца

• Неванлинна, Рольф (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, vol. 64, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-52801-9, ISBN. 978-3-642-52802-6
• Бенке, Генрих; Зоммер, Фридрих (1965), Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 77 (3-е изд.), Спрингер
• Фрайтаг, Эберхард (2011), Комплексный анализ. 2. Римановы поверхности, несколько комплексных переменных, абелевы функции, высшие модулярные функции , Springer, ISBN 978-3-642-20553-8

принцип Дирихле

• Вейль, Герман (1964), Концепция римановой поверхности , перевод Джеральда Р. Маклейна, Addison-Wesley, MR  0069903
• Курант, Ричард (1977), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности , Springer, ISBN 978-0-387-90246-3
• Siegel, CL (1988), Темы теории комплексных функций. Том I. Эллиптические функции и теория униформизации , перевод А. Шенитцера; Д. Солитар, Wiley, ISBN 978-0471608448

Метод ортогональной проекции Вейля

• Спрингер, Джордж (1957), Введение в римановы поверхности , Addison-Wesley, MR  0092855
• Кодаира, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 107, Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
• Дональдсон, Саймон (2011), Римановы поверхности , Oxford Graduate Texts in Mathematics, т. 22, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-960674-0

Операторы Сарио

• Сарио, Лео (1952), «Метод линейного оператора на произвольных римановых поверхностях», Trans. Amer. Math. Soc. , 72 (2): 281–295, doi : 10.1090/s0002-9947-1952-0046442-2
• Альфорс, Ларс В.; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности , Princeton Mathematical Series, т. 26, Princeton University Press

Нелинейные дифференциальные уравнения

Уравнение Бельтрами

• Альфорс, Ларс В. (2006), Лекции по квазиконформным отображениям , University Lecture Series, т. 38 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3644-6
• Альфорс, Ларс В.; Берс, Липман (1960), «Теорема Римана об отображении для переменных метрик», Ann. of Math. , 72 (2): 385–404, doi :10.2307/1970141, JSTOR  1970141
• Берс, Липман (1960), «Одновременная униформизация» (PDF) , Bull. Amer. Math. Soc. , 66 (2): 94–97, doi : 10.1090/s0002-9904-1960-10413-2
• Берс, Липман (1961), «Униформизация с помощью уравнений Бельтрами», Comm. Pure Appl. Math. , 14 (3): 215–228, doi :10.1002/cpa.3160140304
• Берс, Липман (1972), «Униформизация, модули и клейновы группы», Бюллетень Лондонского математического общества , 4 (3): 257–300, doi :10.1112/blms/4.3.257, ISSN  0024-6093, MR  0348097

Гармонические карты

• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности: введение в современную математику (3-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-33065-3

Уравнение Лиувилля

• Бергер, Мелвин С. (1971), «Римановы структуры заданной гауссовой кривизны для компактных 2-многообразий», Журнал дифференциальной геометрии , 5 (3–4): 325–332, doi : 10.4310/jdg/1214429996
• Бергер, Мелвин С. (1977), Нелинейность и функциональный анализ , Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения с частными производными III. Нелинейные уравнения , Прикладные математические науки, т. 117 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4419-7048-0

Потоки в римановых метриках

• Гамильтон, Ричард С. (1988), «Поток Риччи на поверхностях», Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986) , Contemp. Math., т. 71, Американское математическое общество, стр. 237–262
• Chow, Bennett (1991), «Поток Риччи на 2-сфере», J. Differential Geom. , 33 (2): 325–334, doi : 10.4310/jdg/1214446319
• Осгуд, Б.; Филлипс, Р.; Сарнак, П. (1988), "Экстремали определителей лапласианов", J. Funct. Anal. , 80 : 148–211, CiteSeerX  10.1.1.486.558 , doi : 10.1016/0022-1236(88)90070-5
• Chrusciel, P. (1991), "Полуглобальное существование и сходимость решений уравнения Робинсона-Траутмана (2-мерного Калаби)", Communications in Mathematical Physics , 137 (2): 289–313, Bibcode : 1991CMaPh.137..289C, CiteSeerX  10.1.1.459.9029 , doi : 10.1007/bf02431882, S2CID  53641998
• Чанг, Шу-Ченг (2000), «Глобальное существование и сходимость решений потока Калаби на поверхностях рода h  ≥ 2», J. Math. Kyoto Univ. , 40 (2): 363–377, doi : 10.1215/kjm/1250517718
• Брендл, Саймон (2010), Поток Риччи и теорема о сфере , Graduate Studies in Mathematics, т. 111, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4938-5
• Чэнь, Сюсюн; Лу, Пэн; Тянь, Ганг (2006), «Заметка об униформизации римановых поверхностей потоком Риччи», Труды Американского математического общества , 134 (11): 3391–3393, doi : 10.1090/S0002-9939-06-08360-2 , ISSN  0002-9939, MR  2231924
• Эндрюс, Бен; Брайан, Пол (2010), «Ограничения кривизны с помощью изопериметрического сравнения для нормализованного потока Риччи на двухсфере», Calc. Var. Partial Differential Equations , 39 (3–4): 419–428, arXiv : 0908.3606 , doi : 10.1007/s00526-010-0315-5, S2CID  1095459
• Mazzeo, Rafe; Taylor, Michael (2002), «Кривизна и униформизация», Israel Journal of Mathematics , 130 : 323–346, arXiv : math/0105016 , doi : 10.1007/bf02764082 , S2CID  7192529
• Struwe, Michael (2002), "Кривизна потоков на поверхностях", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. , 1 : 247–274

Общие ссылки

• Черн, Шиин-шен (1955), «Элементарное доказательство существования изотермических параметров на поверхности», Proc. Amer. Math. Soc. , 6 (5): 771–782, doi : 10.2307/2032933 , JSTOR  2032933
• ДеТурк, Деннис М.; Каздан, Джерри Л. (1981), «Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 14 (3): 249–260, doi : 10.24033/asens.1405 , ISSN  0012- 9593, МР  0644518.
• Гусевский, Н.А. (2001) [1994], «Униформизация», Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Крушкал, С.Л.; Апанасов, Б.Н.; Гусевский, Н.А. (1986) [1981], Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах, Переводы математических монографий, т. 62, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4516-5, МР  0647770
• Тейлор, Майкл Э. (1996a), Уравнения с частными производными I: Основная теория , Springer, стр. 376–378, ISBN 978-0-387-94654-2
• Тейлор, Майкл Э. (1996b), Уравнения с частными производными II: Качественные исследования линейных уравнений , Springer, ISBN 978-0-387-94651-1
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения с частными производными (переиздание оригинала 1964 года) , Лекции по прикладной математике, т. 3A, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0049-2
• Гриффитс, Филлип; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Graduate Texts in Mathematics, т. 94, Springer, doi :10.1007/978-1-4757-1799-0, ISBN 978-0-387-90894-6

Внешние ссылки

• Конформное преобразование: из круга в квадрат.