Теория множеств Цермело

Система математической теории множеств

Теория множеств Цермело (иногда обозначаемая Z ^- ), изложенная в основополагающей статье Эрнста Цермело в 1908 году , является прародительницей современной теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) и ее расширений, таких как множество фон Неймана-Бернейса-Гёделя. теория (НБГ). Он имеет определенные отличия от своих потомков, которые не всегда понимаются и часто неверно цитируются. В этой статье изложены оригинальные аксиомы с оригинальным текстом (переведенным на английский язык) и оригинальной нумерацией.

Аксиомы теории множеств Цермело

Аксиомы теории множеств Цермело сформулированы для объектов, некоторые из которых (но не обязательно все) являются множествами, а остальные объекты являются ур-элементами , а не множествами. Язык Цермело неявно включает отношение членства ∈, отношение равенства = (если оно не включено в базовую логику) и унарный предикат, указывающий, является ли объект множеством. Более поздние версии теории множеств часто предполагают, что все объекты являются множествами, поэтому нет ур-элементов и нет необходимости в унарном предикате.

1. АКСИОМА I. Аксиома экстенсиональности ( Axiom der Bestimmtheit ) «Если каждый элемент множества М является также элементом множества N и наоборот… то M N. Короче говоря, каждое множество определяется своими элементами». ${\displaystyle \equiv }$
2. АКСИОМА II. Аксиома элементарных множеств ( Axiom der Elementarmengen ) «Существует набор, нулевой набор ∅, который вообще не содержит элементов. Если a — любой объект области, существует набор { a }, содержащий a и только a как Если a и b — любые два объекта предметной области, всегда существует набор { a , b }, содержащий в качестве элементов a и b , но нет объекта x , отличного от них обоих». См. Аксиому пар .
3. АКСИОМА III. Аксиома разделения ( Axiom der Aussonderung ) «Всякий раз, когда пропозициональная функция –( x ) определена для всех элементов множества M , M обладает подмножеством M'  , содержащим в качестве элементов именно те элементы x из M , для которых –( x ) истинно ."
4. АКСИОМА IV. Аксиома степенного множества ( Axiom der Potenzmenge ) «Каждому множеству Т соответствует множество Т'  , степенное множество Т , которое содержит в качестве элементов в точности все подмножества Т  ».
5. АКСИОМА V. Аксиома объединения ( Axiom der Vereinigung ) «Каждому множеству T соответствует множество ∪T , объединение T , которое содержит в качестве элементов в точности все элементы из элементов T  ».
6. АКСИОМА VI. Аксиома выбора ( Axiom der Auswahl ) «Если T — множество, все элементы которого являются множествами, отличными от ∅ и взаимно непересекающимися, его объединение ∪T включает в себя хотя бы одно подмножество S ₁ , имеющее один и только один общий элемент с каждым элементом Т.  » _
7. АКСИОМА VII. Аксиома бесконечности ( Axiom des Unendlichen ) «В области существует по крайней мере одно множество Z , которое содержит нулевое множество в качестве элемента и устроено так, что каждому из его элементов a соответствует дополнительный элемент формы { a }, другими словами, что каждый из его элементов a также содержит соответствующий набор { a } в качестве элемента».

Связь со стандартной теорией множеств

Наиболее широко используемая и принятая теория множеств известна как ZFC, которая состоит из теории множеств Цермело – Френкеля, включая аксиому выбора (AC). Ссылки показывают, где соответствуют аксиомы теории Цермело. Точного соответствия «элементарным наборам» не существует. (Позже было показано, что одноэлементное множество может быть получено из того, что сейчас называется «Аксиомой пар». Если a существует, a и a существуют, то { a , a } существует, и, следовательно, в силу экстенсиональности { a , a } = { a }.) Аксиома пустого множества уже предполагается аксиомой бесконечности и теперь включена как ее часть.

Теория множеств Цермело не включает аксиомы замены и регулярности . Аксиома замены была впервые опубликована в 1922 году Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом , которые независимо обнаружили, что аксиомы Цермело не могут доказать  существование множества { Z0 _, Z1 _, Z2 _, ...} ,  где Z0 _— множество натуральных чисел , а Z _{n +1} — набор степеней Z _n . Они оба поняли, что для доказательства этого необходима аксиома замены. В следующем году Джон фон Нейман указал, что аксиома регулярности необходима для построения его теории ординалов . Аксиома регулярности была сформулирована фон Нейманом в 1925 году. ^[1]

В современной системе ZFC «пропозициональная функция», упомянутая в аксиоме разделения, интерпретируется как «любое свойство, определяемое формулой первого порядка с параметрами», поэтому аксиома разделения заменяется схемой аксиом . Понятие «формулы первого порядка» не было известно в 1908 году, когда Цермело опубликовал свою систему аксиом, и позже он отверг эту интерпретацию как слишком ограничительную. Теорию множеств Цермело обычно считают теорией первого порядка, в которой аксиома разделения заменена схемой аксиом с аксиомой для каждой формулы первого порядка. Ее также можно рассматривать как теорию логики второго порядка , где теперь аксиома разделения представляет собой всего лишь одну аксиому. Интерпретация второго порядка теории множеств Цермело, вероятно, ближе к ее собственной концепции Цермело и сильнее, чем интерпретация первого порядка.

Поскольку (где находится ранговое множество в кумулятивной иерархии ) образует модель теории множеств Цермело второго порядка в ZFC всякий раз, когда предельный ординал больше наименьшего бесконечного ординала , из этого следует, что непротиворечивость теории множеств Цермело второго порядка ( и, следовательно, также теорема теории множеств Цермело первого порядка) является теоремой ZFC. Если мы допустим , то существование несчетного сильного предельного кардинала в такой модели не выполняется; таким образом, существование ℶ ω (наименьшего несчетного сильного предельного кардинала) не может быть доказано в теории множеств Цермело второго порядка. Точно так же множество (где L — конструируемая вселенная ) образует модель теории множеств Цермело первого порядка, в которой существование несчетного слабого предельного кардинала не удовлетворяется, показывая, что теория множеств Цермело первого порядка не может даже доказать существование наименьший кардинал единственного числа , . В такой модели единственными бесконечными кардиналами являются числа алефов , ограниченные порядковыми номерами конечного индекса. ${\displaystyle (V_{\lambda },V_{\lambda +1})}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda =\omega \cdot 2}$ ${\displaystyle V_{\omega \cdot 2}\cap L}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Аксиому бесконечности теперь обычно модифицируют, чтобы утверждать существование первого бесконечного ординала фон Неймана ; исходные аксиомы Цермело не могут доказать существование этого множества, а модифицированные аксиомы Цермело не могут доказать аксиому Цермело о бесконечности. Аксиомы Цермело (исходные или модифицированные) не могут доказать существование множества или какого-либо ранга кумулятивной иерархии множеств с бесконечным индексом. В любой формулировке теория множеств Цермело не может доказать существование ординала фон Неймана , несмотря на доказательство существования такого типа порядка; таким образом, определение ординалов фон Неймана не используется в теории множеств Цермело. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle \omega \cdot 2}$

Цермело допускал существование элементов , которые не являются множествами и не содержат элементов; сейчас их обычно исключают из теорий множеств.

Теория множеств Мак Лейна

Теория множеств Мак Лейна, представленная Мак Лейном  (1986), представляет собой теорию множеств Цермело с аксиомой разделения, ограниченной формулами первого порядка, в которых каждый квантор ограничен. Теория множеств Мак Лейна по своей силе подобна теории топоса с объектом натурального числа или системе в Principia Mathematica . Он достаточно силен, чтобы выполнять почти всю обычную математику, не связанную напрямую с теорией множеств или логикой.

Цель статьи Цермело

Во введении говорится, что само существование дисциплины теории множеств «кажется, находится под угрозой из-за определенных противоречий или «антиномий», которые могут быть выведены из ее принципов – принципов, которые, по-видимому, обязательно управляют нашим мышлением – и для которых не существует полностью удовлетворительного решения. еще не найден». Цермело, конечно, имеет в виду « антиномию Рассела ».

Он говорит, что хочет показать, как первоначальную теорию Георга Кантора и Рихарда Дедекинда можно свести к нескольким определениям и семи принципам или аксиомам. Он говорит, что ему не удалось доказать, что аксиомы непротиворечивы.

Неконструктивистский аргумент в пользу их последовательности состоит в следующем. Определим V _α для α одного из ординалов 0, 1, 2, ..., ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 следующим образом:

• V ₀ – пустое множество.
• Для α, преемника формы β+1, V _α определяется как совокупность всех подмножеств V _β .
• Если α является пределом (например, ω, ω · 2), то V _α определяется как объединение V _β для β<α.

Тогда аксиомы теории множеств Цермело непротиворечивы, поскольку они верны в модели V _ω·2 . Хотя неконструктивист может счесть это веским аргументом, конструктивист, вероятно, не будет: хотя нет проблем с построением множеств до V _ω , конструкция V _ω+1 менее ясна, поскольку нельзя конструктивно определить каждое подмножество V _ω . Этот аргумент можно превратить в действенное доказательство, добавив в теорию множеств Цермело единственную новую аксиому бесконечности, а именно, что V _ω·2 существует . Это, по-видимому, не убедительно для конструктивиста, но показывает, что непротиворечивость теории множеств Цермело можно доказать с помощью теории, которая не сильно отличается от самой теории Цермело, только немного более мощной.

Аксиома разделения

Цермело комментирует, что аксиома III его системы ответственна за устранение антиномий. Оно отличается от первоначального определения Кантора следующим.

Множества не могут быть независимо определены каким-либо произвольным логически определяемым понятием. Они должны быть каким-то образом построены из ранее построенных множеств. Например, их можно построить, взяв наборы полномочий, или их можно разделить как подмножества уже «данных». Это, по его словам, устраняет противоречивые идеи, такие как «множество всех множеств» или «множество всех порядковых чисел».

Он устраняет парадокс Рассела с помощью следующей теоремы: «Каждое множество имеет по крайней мере одно подмножество , которое не является элементом ». Пусть – подмножество , для которого согласно АКСИОМЕ III выделяется понятие « ». Тогда не может быть в . Для ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

1. Если находится в , то содержит элемент x , для которого x находится в x (т.е. он сам), что противоречило бы определению . ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$
2. Если не находится в , и предполагается, что это элемент M , то это элемент M , который удовлетворяет определению " ", и поэтому находится в котором есть противоречие. ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle M_{0}}$

Следовательно, данное предположение неверно, что доказывает теорему. Следовательно, не все объекты универсальной области B могут быть элементами одного и того же множества. « Насколько нам известно, это устраняет антиномию Рассела». ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

Это оставило проблему «домена B », которая, похоже, к чему-то относится. Это привело к идее создания собственного класса .

Теорема Кантора

Статья Цермело, возможно, первая, в которой упоминается название « теорема Кантора ». Теорема Кантора: «Если M — произвольное множество, то всегда M < P( M ) [степенное множество M ]. Каждое множество имеет меньшую мощность, чем множество его подмножеств».

Цермело доказывает это, рассматривая функцию φ: M → P( M ). Согласно аксиоме III это определяет следующее множество M'  :

M'  знак равно { м : м ∉ φ( м )}.

Но ни один элемент m'  из M  не может соответствовать M'  , т.е. такой, что φ( m'  ) = M'  . В противном случае мы можем построить противоречие:

1) Если m'  принадлежит M'  , то по определению m'  ∉ φ( m'  ) = M'  , что является первой частью противоречия

2) Если m'  находится не в M',  а в M  , то по определению m'  ∉ M'  = φ( m'  ), что по определению означает, что m'  находится в M'  , что является второй частью противоречия.

следовательно, в силу противоречия m'  не существует. Обратите внимание на близкое сходство этого доказательства с тем, как Цермело решает парадокс Рассела.

Смотрите также

• S (теория множеств)

Рекомендации

1. Феррейрос 2007, стр. 369, 371.

Цитируемые работы

• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли , Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-8349-7.

Общие ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (1986), Математика, форма и функция , Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-4872-9, ISBN 0-387-96217-4, МР  0816347.
• Цермело, Эрнст (1908), «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I», Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007/bf01449999, S2CID  120085563. Английский перевод: Хейеноорт, Жан ван (1967), «Исследования по основам теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , Справочники по истории наук, Гарвардский университет. Пресса, стр. 199–215, ISBN. 978-0-674-32449-7.