Аксиома союза

Понятие в аксиоматической теории множеств

В аксиоматической теории множеств аксиома объединения является одной из аксиом теории множеств Цермело – Френкеля . Эту аксиому ввел Эрнст Цермело . ^[1]

Неформально аксиома утверждает, что для каждого набора x существует набор y , элементы которого являются в точности элементами элементов x .

Официальное заявление

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall c\,(c\in B\iff \exists D\,(c\in D\land D\in A)\,)}$

или словами:

Для любого набора A существует набор B такой, что для любого элемента c c является членом B тогда и только тогда, когда существует набор D такой, что c является членом D , а D является членом A.

или, проще говоря:

Для любого множества существует множество , состоящее только из элементов элементов этого множества . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \bigcup A\ }$ ${\displaystyle A}$

Отношение к сопряжению

Аксиома объединения позволяет распаковать набор множеств и, таким образом, создать более плоский набор. Вместе с аксиомой спаривания это означает, что для любых двух множеств существует набор (называемый их объединением ), который содержит ровно элементы двух множеств.

Отношение к замене

Аксиома замены позволяет образовывать множество объединений, например объединение двух множеств.

Однако в своей полной общности аксиома объединения независима от остальных ZFC-аксиом: ^{[ нужна ссылка ]} Замена не доказывает существование объединения множества множеств, если результат содержит неограниченное число мощностей.

Вместе со схемой аксиом замены аксиома объединения подразумевает, что можно образовать объединение семейства множеств, индексированных набором.

Отношение к разделению

В контексте теорий множеств, которые включают аксиому разделения, аксиома объединения иногда формулируется в более слабой форме, которая дает только надмножество объединения множеств. Например, Кунен ^[2] формулирует аксиому как

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

что эквивалентно

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\forall x[[\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})]\Rightarrow x\in A].}$

По сравнению с аксиомой, изложенной в начале этого раздела, этот вариант утверждает только одно направление импликации, а не оба направления.

Отношение к пересечению

Соответствующей аксиомы пересечения не существует . Если - непустое множество, содержащее , можно сформировать пересечение, используя схему аксиом спецификации как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \bigcap A}$

${\displaystyle \bigcap A=\{c\in E:\forall D(D\in A\Rightarrow c\in D)\}}$,

поэтому отдельная аксиома пересечения не требуется. (Если A — пустое множество , то попытка сформировать пересечение A как

{ c : для всех D в A , c находится в D }

не допускается аксиомами. Более того, если бы такой набор существовал, то он содержал бы все множества во «вселенной», но понятие универсального множества противоречит теории множеств Цермело – Френкеля.)

Рекомендации

1. Эрнст Цермело, 1908, «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I», Mathematische Annalen 65 (2), стр. 261–281.
   Английский перевод: Жан ван Хейеноорт , 1967, От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, стр. 199–215 ISBN  978-0-674-32449-7
2. Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 . 

дальнейшее чтение

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). 
• Джех, Томас , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .