Конструируемая вселенная

Особый класс множеств, который можно полностью описать с помощью более простых множеств.

В математике , в теории множеств , конструируемая вселенная (или конструируемая вселенная Гёделя ), обозначаемая как , представляет собой особый класс множеств , которые можно полностью описать в терминах более простых множеств. является объединением конструктивной иерархии . Он был представлен Куртом Гёделем в его статье 1938 года «Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума». ^[1] В этой статье он доказал, что конструируемая вселенная является внутренней моделью теории множеств ZF (то есть теории множеств Цермело–Френкеля с исключенной аксиомой выбора ), а также что аксиома выбора и обобщенный континуум гипотезы верны в конструируемой вселенной. Это показывает, что оба предложения согласуются с основными аксиомами теории множеств, если ZF сам по себе непротиворечив. Поскольку многие другие теоремы справедливы только в системах, в которых верно одно или оба утверждения, их непротиворечивость является важным результатом. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$

Что такое Л

${\displaystyle L}$можно рассматривать как построенную «поэтапно», напоминающую построение Вселенной фон Неймана . Этапы индексируются порядковыми номерами . Во вселенной фон Неймана на следующем этапе за него принимается совокупность всех подмножеств предыдущего этапа . Напротив, в конструктивной вселенной Гёделя используются только те подмножества предыдущего этапа, которые: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

• определяемый формулой на формальном языке теории множеств,
• с параметрами предыдущего этапа и,
• при этом квантификаторы интерпретируются как диапазон значений предыдущего этапа.

Ограничивая себя наборами, определенными только в терминах того, что уже было построено, можно гарантировать, что результирующие множества будут построены таким образом, который не зависит от особенностей окружающей модели теории множеств и содержится в любой такой модели.

Определите оператор Def: ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ is a first-order formula and }}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

${\displaystyle L}$определяется трансфинитной рекурсией следующим образом:

• ${\displaystyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).}$
• Если является предельным порядковым номером , то здесь означает предшествует . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.}$Здесь Ord обозначает класс всех ординалов.

Если является элементом , то . ^[3] Таково подмножество , которое является подмножеством набора мощности . Следовательно, это башня из вложенных транзитивных множеств . Но сам по себе является подходящим классом . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z=\{y\in L_{\alpha }\ {\text{and}}\ y\in z\}\in {\textrm {Def}}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

Элементы называются «конструируемыми» множествами; и сама является «конструируемой вселенной». « Аксиома конструктивности », также известная как « », говорит, что каждое множество (из ) является конструируемым, т.е. в . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Дополнительные сведения о множествах L α

Эквивалентное определение для : ${\displaystyle L_{\alpha }}$

Для любого ординала . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!}$

Для любого конечного ординала множества и одинаковы (независимо от того, равны они или нет), и, таким образом, = : их элементы являются в точности наследственно конечными множествами . Равенство за пределами этой точки не имеет места. Даже в моделях ZFC , в которых равно , является правильным подмножеством , а затем является правильным подмножеством набора степеней для всех . С другой стороны, подразумевает, что равно, если , например, если недоступен. В более общем смысле подразумевает = для всех бесконечных кардиналов . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle V_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >\omega }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =\omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Если - бесконечный ординал, то существует биекция между и , и биекция конструктивна. Таким образом, эти множества равнозначны в любой модели теории множеств, которая их включает. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Как определено выше, это множество подмножеств определяемых формулами (относительно иерархии Леви , т.е. формул теории множеств, содержащих только ограниченные кванторы ), которые используют в качестве параметров только и ее элементы. ^[4] ${\displaystyle {\textrm {Def}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle X}$

Другое определение, данное Гёделем, характеризует каждую из них как пересечение набора степеней с замыканием под набором из девяти явных функций, аналогично операциям Гёделя . В этом определении нет ссылки на определимость. ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}}$

Все арифметические подмножества и отношения на принадлежат (потому что арифметическое определение дает одно в ). И наоборот, любое подмножество, принадлежащее к, является арифметическим (поскольку элементы могут быть закодированы натуральными числами таким способом, который является определимым, т. е. арифметическим). С другой стороны, уже содержит определенные неарифметические подмножества , такие как набор (кодирование натуральных чисел) истинных арифметических утверждений (это можно определить из того же, что и в ). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$

Все гиперарифметические подмножества и отношения принадлежат (где обозначает порядковый номер Чёрча – Клини ), и наоборот, любое подмножество, принадлежащее, является гиперарифметическим. ^[5] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$

L — стандартная внутренняя модель ZFC.

${\displaystyle (L,\in )}$является стандартной моделью, т. е. является транзитивным классом , и интерпретация использует отношения реальных элементов, поэтому она хорошо обоснована . является внутренней моделью, т.е. содержит все порядковые номера и не имеет «лишних» наборов, кроме тех, которые есть в . Однако это может быть строго подкласс . является моделью ZFC , а это значит, что она удовлетворяет следующим аксиомам : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома регулярности : каждое непустое множество содержит такой элемент, что и являются непересекающимися множествами. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (L,\in )}$является подструктурой , которая хорошо обоснована, поэтому хорошо обоснована. В частности, если , то в силу транзитивности , . Если мы используем то же самое , что и в , то оно все равно не пересекается, потому что мы используем то же отношение элементов и новые наборы не были добавлены. ${\displaystyle (V,\in )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in x\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

• Аксиома экстенсиональности : два множества одинаковы, если они содержат одни и те же элементы.

Если и находятся в и имеют одинаковые элементы в , то в силу транзитивности ' они имеют одни и те же элементы (в ). Итак, они равны (в и, следовательно, в ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома пустого множества : {} — множество.

${\displaystyle \{\}=L_{0}=\{y\mid y\in L_{0}\land y=y\}}$, который в . Так . Поскольку отношение элементов такое же и новые элементы не были добавлены, это пустой набор . ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle \{\}\in L}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома спаривания : Если - множества, то - множество. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Если и , то существует такой порядковый номер, что и . Затем . Таким образом , и это имеет то же значение, что и для . ${\displaystyle x\in L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{x,y\}=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;(s=x\;\mathrm {or} \;s=y)\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \{x,y\}\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$

• Аксиома объединения : Для любого множества существует множество , элементы которого являются в точности элементами элементов . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Если , то его элементы находятся в и их элементы тоже находятся в . Как и подмножество . Затем . Таким образом . ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;z\in x\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;s\in z\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y\in L}$

• Аксиома бесконечности : существует такое множество, которое находится внутри , и всякий раз , когда оно находится внутри , существует и объединение . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\cup \{y\}}$

Трансфинитную индукцию можно использовать, чтобы показать, что каждый порядковый номер находится в . В частности, и таким образом . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L}$

• Аксиома разделения : любое множество и любое предложение является множеством. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\}}$

Индукцией по подформулам можно показать, что существует такое , которое содержит и и ( истинно в том и только в том случае, если истинно в ), последнее называется « принципом отражения »). Итак = . Таким образом, подмножество находится в . ^[6] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L_{\alpha }\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома замены : Учитывая любое множество и любое отображение (формально определяемое как предложение где и подразумевает ), является множеством. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,z)}$ ${\displaystyle y=z}$ ${\displaystyle \{y\mid \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\}}$

Позвольте быть формулой, которая релятивизируется к , т.е. все кванторы в ограничены до . является гораздо более сложной формулой, чем , но это все же конечная формула, и поскольку было отображением над , должно быть отображением и над ; таким образом, мы можем применить замену в . Итак, = является набором и подклассом . Снова используя аксиому замены в , мы можем показать, что должно существовать такое, что это множество является подмножеством . Тогда можно использовать аксиому разделения, чтобы закончить доказательство того, что это элемент ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{y\mid y\in L\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{y\mid \mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;\mathrm {x} \in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;Q(x,y)\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома набора мощности : Для любого набора существует набор , такой, что элементы являются точно подмножествами . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

В общем, некоторые подмножества набора in не будут в . Таким образом, весь набор мощности набора in обычно не будет в . Здесь нам нужно показать, что пересечение набора степеней с находится в . Используйте замену, чтобы показать, что существует α такое, что пересечение является подмножеством . Тогда пересечение . Таким образом, искомый набор находится в . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{z\mid z\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;z\;\mathrm {is} \;\mathrm {a} \;\mathrm {subset} \;\mathrm {of} \;x\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома выбора : Учитывая набор взаимно непересекающихся непустых множеств, существует набор (множество выбора для ), содержащий ровно один элемент из каждого члена . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Можно показать, что существует определимый правильный порядок L , в частности, основанный на упорядочивании всех множеств по их определениям и по рангу, в котором они появляются. Таким образом, каждый выбирает наименьший элемент каждого члена для формирования, используя аксиомы объединения и разделения в ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

Обратите внимание, что для доказательства того, что это модель ZFC, требуется только модель ZF, т. е. мы не предполагаем , что аксиома выбора выполняется в . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

L является абсолютным и минимальным

Если какая-либо стандартная модель ZF имеет те же порядковые номера , что и , то значение, определенное в , совпадает с определенным в . В частности, то же самое в и для любого порядкового номера . И те же формулы и параметры в создают одни и те же конструктивные множества в . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

Кроме того, поскольку является подклассом и, аналогично, является подклассом , это наименьший класс, содержащий все ординалы, который является стандартной моделью ZF. Действительно, является пересечением всех таких классов. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Если есть набор в стандартной модели ZF, а порядковый номер — это набор порядковых номеров, которые встречаются в , то это набор из . Если есть набор стандартной модели ZF, то самым маленьким таким набором будет такой . Этот набор называется минимальной моделью ZFC. Используя нисходящую теорему Левенхайма – Скулема , можно показать, что минимальная модель (если она существует) представляет собой счетное множество. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$

Конечно, любая непротиворечивая теория должна иметь модель, поэтому даже в минимальной модели теории множеств есть множества, которые являются моделями ZF (при условии, что ZF непротиворечив). Однако эти модели комплектов нестандартны. В частности, они не используют нормальное отношение элементов и недостаточно обоснованы.

Поскольку и « построено внутри », и « построено внутри » приводит к реальному , и оба из и из являются реальными , мы получаем, что это истинно в любой модели ZF. Однако это не применимо ни к одной другой стандартной модели ZF. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$

L и большие кардиналы

Поскольку , свойства ординалов, зависящие от отсутствия функции или другой структуры (т.е. формулы), сохраняются при переходе от к . Следовательно, начальные ординалы кардиналов остаются исходными в . Обычные порядковые номера остаются регулярными в . Слабые предельные кардиналы становятся сильными предельными кардиналами в потому, что обобщенная гипотеза континуума верна в . Слабо недоступные кардиналы становятся сильно недоступными. Слабые кардиналы Мало становятся сильными. И вообще, любое большое кардинальное свойство слабее 0 # (см. список больших кардинальных свойств ) будет сохранено в . ${\displaystyle \mathrm {Ord} \subset L\subseteq V}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{\mathrm {ZF} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Однако это неверно, даже если это правда в . Таким образом, все большие кардиналы, существование которых предполагает, перестают обладать этими большими кардинальными свойствами, но сохраняют свойства, более слабые, чем те, которыми они также обладают. Например, измеримые кардиналы перестают быть измеримыми, но остаются Мало в . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

Если выполнено в , то существует замкнутый неограниченный класс ординалов, неразличимых в . Хотя некоторые из них даже не являются начальными ординалами в , они обладают всеми большими кардинальными свойствами слабее, чем в . Более того, любая строго возрастающая функция класса из класса неразличимых в себя может быть единственным образом расширена до элементарного вложения в . ^{[ нужна цитация ]} Это дает хорошую структуру повторяющихся сегментов. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

L можно хорошо упорядочить

Существуют различные способы наведения порядка . Некоторые из них включают «тонкую структуру» , которая была впервые описана Рональдом Бьорном Йенсеном в его статье 1972 года, озаглавленной «Тонкая структура конструктивной иерархии». Вместо того, чтобы объяснять тонкую структуру, мы дадим краткое описание того, как можно хорошо упорядочить, используя только определение, данное выше. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Предположим , что и — два разных набора, и мы хотим определить, является ли или . Если впервые появляется в и впервые появляется в и отличается от , то пусть < тогда и только тогда, когда . Впредь мы полагаем, что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle \beta =\alpha }$

На этапе используются формулы с параметрами от для определения множеств и . Если не учитывать (на данный момент) параметры, то формулам можно присвоить стандартную гёделевскую нумерацию натуральных чисел. Если это формула с наименьшим числом Гёделя, которое можно использовать для определения , и формула с наименьшим числом Гёделя, которое можно использовать для определения , и отличается от , то пусть < тогда и только тогда, когда в нумерации Гёделя. Впредь мы полагаем, что . ${\displaystyle L_{\alpha +1}=\mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi <\Psi }$ ${\displaystyle \Psi =\Phi }$

Предположим, что используются параметры из . Предположим , это последовательность параметров, которые можно использовать для определения , и делает то же самое для . Тогда пусть тогда и только тогда, когда или ( и ) или ( и и ) и т. д. Это называется обратным лексикографическим упорядочением ; если существует несколько последовательностей параметров, которые определяют один из наборов, мы выбираем наименьшую из них в этом порядке. Понятно, что возможные значения каждого параметра упорядочены в соответствии с ограничением порядка до , поэтому это определение включает трансфинитную рекурсию на . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z_{n}<w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}<w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}=w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n-2}<w_{n-2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Упорядоченность значений отдельных параметров обеспечивается индуктивной гипотезой трансфинитной индукции. Значения кортежей параметров четко упорядочены по порядку продуктов. Формулы с параметрами упорядочены по упорядоченной сумме (по числам Гёделя) упорядочений. И хорошо упорядочен по упорядоченной сумме (индексированной ) порядков на . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

Обратите внимание, что этот хороший порядок может быть определен внутри себя с помощью формулы теории множеств без параметров, только свободные переменные и . И эта формула дает одно и то же значение истинности независимо от того, оценивается ли она в , или (некоторая другая стандартная модель ZF с теми же порядковыми номерами), и мы будем предполагать, что формула ложна, если либо находится в , либо нет . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

Хорошо известно, что аксиома выбора эквивалентна способности хорошо упорядочить каждое множество. Возможность хорошо упорядочить правильный класс (как мы это сделали здесь с ) эквивалентна аксиоме глобального выбора , которая более мощна, чем обычная аксиома выбора , поскольку она также охватывает правильные классы непустых множеств. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

L имеет принцип отражения

Доказательство того, что аксиома разделения , аксиома замены и аксиома выбора верны , требует (по крайней мере, как показано выше) использования принципа отражения для . Здесь мы опишем такой принцип. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Индукцией по мы можем использовать ZF in, чтобы доказать, что для любого порядкового номера существует такой порядковый номер, что для любого предложения с in и содержащего меньше символов (считая постоянный символ для элемента a одним символом) мы получаем, что выполняется в тогда и только тогда, когда оно выполняется . ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta >\alpha }$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L}$

Обобщенная гипотеза континуума справедлива в L

Пусть , и пусть будет любым конструктивным подмножеством . Тогда есть некоторые с , поэтому для некоторой формулы и некоторых, взятых из . По нисходящей теореме Левенхайма-Скулема и коллапсу Мостовского должно существовать некоторое транзитивное множество, содержащее и некоторое , и имеющее ту же теорию первого порядка, что и при замене ; и это будет иметь тот же кардинал, что и . Поскольку это верно в , это также верно и в K , поэтому для некоторых , имеющих тот же кардинал, что и . А потому и у них одна и та же теория. Так обстоит дело и в . ${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K=L_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{\gamma }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\gamma +1}}$

Таким образом, все конструктивные подмножества бесконечного множества имеют ранги (не более) того же кардинала, что и ранг ; отсюда следует, что если является начальным порядковым номером для , то он служит «набором мощности» внутри . Таким образом, этот «набор мощности» . А это, в свою очередь, означает, что «набор мощности» имеет не более кардинала . Предполагая , что у себя есть кардинал , тогда «набор мощности» должен иметь ровно кардинал . Но это именно гипотеза обобщенного континуума , относящаяся к . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \vert \delta \vert }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L}$

Конструктивные множества определяются по порядковым номерам.

Существует формула теории множеств, выражающая идею о том, что . Он имеет только свободные переменные для и . Используя это, мы можем расширить определение каждого конструктивного множества. Если , то для некоторой формулы и некоторых в . Это эквивалентно утверждению, что: для всех , тогда и только тогда, когда [существует такое, что и и ] где является результатом ограничения каждого квантора до . Обратите внимание, что каждый для некоторых . Объедините формулы для 's с формулой для и примените кванторы существования к внешней стороне 's, и получите формулу, которая определяет конструктивный набор, используя только порядковые номера , которые появляются в выражениях, например, в качестве параметров. ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle S=\{y\mid y\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;(L_{\alpha },\in )\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \Psi (X,y,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \Psi (X,\ldots )}$ ${\displaystyle \Phi (\ldots )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z_{k}\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x=L_{\alpha }}$

Пример: Множество является конструктивным. Это уникальный набор , удовлетворяющий формуле: ${\displaystyle \{5,\omega \}}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))}$$

где сокращение от: ${\displaystyle Ord(a)}$

$${\displaystyle \forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).}$$

На самом деле, даже эта сложная формула была упрощена по сравнению с тем, что могли бы дать инструкции, данные в первом абзаце. Но суть остается в том, что существует формула теории множеств, которая верна только для искомого конструктивного множества и содержит параметры только для ординалов. ${\displaystyle S}$

Относительная конструктивность

Иногда желательно найти узкую модель теории множеств, например , но включающую или находящуюся под влиянием множества, которое невозможно сконструировать. Это порождает концепцию относительной конструктивности, которая имеет две разновидности, обозначаемые и . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$

Класс неконструируемого множества представляет собой пересечение всех классов, которые являются стандартными моделями теории множеств и содержат все ординалы. ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle L(A)}$определяется трансфинитной рекурсией следующим образом:

• ${\displaystyle L_{0}(A)}$= наименьшее транзитивное множество, содержащее элемент, т.е. транзитивное замыкание . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A\}}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}(A)}$"=" ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha }(A))}$
• Если – предельный ординал, то . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)}$
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)}$.

Если содержит хороший порядок транзитивного замыкания , то это можно расширить до хорошего порядка . В противном случае аксиома выбора не будет выполнена . ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L(A)}$

Типичным примером является наименьшая модель, содержащая все действительные числа, которая широко используется в современной описательной теории множеств . ${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$

Класс — это класс множеств, на построение которых влияет , где может быть набор (предположительно неконструируемый) или собственный класс. В определении этого класса используется то же самое, за исключением того, что вместо оценки истинности формул в модели используется модель, где – унарный предикат. Предполагаемая интерпретация такова . Тогда определение точно такое же, как только с заменой на . ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (X)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (X,\in )}$ ${\displaystyle (X,\in ,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(y)}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}}$

${\displaystyle L[A]}$всегда является моделью аксиомы выбора. Даже если является набором, он не обязательно сам является членом , хотя всегда является набором порядковых номеров. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$

Множества в модели или обычно на самом деле невозможно сконструировать, и свойства этих моделей могут сильно отличаться от свойств самой модели . ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$

Смотрите также

• Аксиома конструктивности
• Утверждения верны в L
• Принцип отражения
• Аксиоматическая теория множеств
• Переходное множество
• Л(П)
• Порядковый номер определяемый

Примечания

1. Гёдель 1938.
2. К. Дж. Девлин, «Введение в тонкую структуру конструктивной иерархии» (1974). По состоянию на 20 февраля 2023 г.
3. К. Дж. Девлин, Конструктивность (1984), гл. 2, «Конструируемая Вселенная», стр. 58. Перспективы математической логики, Springer-Verlag.
4. К. Девлин 1975, Введение в тонкую структуру конструктивной иерархии (стр. 2). Доступ 12 мая 2021 г.
5. Barwise 1975, стр. 60 (комментарий после доказательства теоремы 5.9)
6. П. Одифредди, Классическая теория рекурсии , стр.427. Исследования по логике и основам математики

Рекомендации

• Барвайз, Джон (1975). Допустимые множества и структуры . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1.
• Девлин, Кейт Дж. (1984). Конструктивность . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9.
• Фельгнер, Ульрих (1971). Модели теории ZF-множеств . Конспект лекций по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-05591-6.
• Гёдель, Курт (1938). «Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Национальная академия наук. 24 (12): 556–557. Бибкод : 1938PNAS...24..556G. дои : 10.1073/pnas.24.12.556 . JSTOR  87239. PMC  1077160 . ПМИД  16577857.
• Гёдель, Курт (1940). Непротиворечивость гипотезы континуума. Анналы математических исследований. Том. 3. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07927-1. МР  0002514.
• Джех, Томас (2002). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. 3-го тысячелетия). Спрингер. ISBN 3-540-44085-2.