Схема аксиом спецификации

Понятие в аксиоматической теории множеств

Во многих популярных версиях аксиоматической теории множеств схема аксиом спецификации , ^[1] также известная как схема аксиом разделения ( Aussonderung Axiom ), ^[2] аксиома подмножества ^[3] или схема аксиом ограниченного понимания, является схемой аксиом . По сути, это говорит о том, что любой определяемый подкласс множества является множеством.

Некоторые математики называют это схемой аксиом понимания , хотя другие используют этот термин для обозначения неограниченного понимания , обсуждаемого ниже.

Поскольку ограничение понимания позволило избежать парадокса Рассела , несколько математиков, включая Цермело , Френкеля и Гёделя, считали его наиболее важной аксиомой теории множеств. ^[4]

Заявление

Для каждой формулы языка теории множеств включен один экземпляр схемы со свободной переменной. Так что не встречается бесплатно в . ^{[3] [2] [5]} На формальном языке теории множеств схема аксиом выглядит следующим образом: ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \forall A\,\exists S\,\forall x\,{\big (}x\in S\iff (x\in A\wedge \varphi (x)){\big )}}$^{[3] [1] [5]}

или словами:

Пусть будет формула. Для каждого множества существует множество , состоящее из всех таких элементов, которые выполняются. ^[3] ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

Обратите внимание, что для каждого такого предиката существует одна аксиома ; таким образом, это схема аксиом . ^{[3] [1]} ${\displaystyle \varphi (x)}$

Чтобы понять эту схему аксиом, обратите внимание , что множество должно быть подмножеством A . Таким образом, схема аксиом на самом деле говорит о том, что при наличии множества и предиката мы можем найти подмножество A , члены которого являются в точности теми членами A , которые удовлетворяют . По аксиоме экстенсиональности это множество единственно. Мы обычно обозначаем это множество, используя обозначение построителя множеств , как . Таким образом, суть аксиомы такова: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle S=\{x\in A|\varphi (x)\}}$

Каждый подкласс множества, определенного предикатом, сам по себе является множеством.

Предыдущая форма разделения была введена в 1930 году Торальфом Скулемом как усовершенствованная предыдущая форма разделения ^[6] не первого порядка , предложенная Цермело. ^[7] Схема аксиом спецификации характерна для систем аксиоматической теории множеств, родственных обычной теории множеств ZFC , но обычно не появляется в радикально отличающихся системах альтернативной теории множеств . Например, «Новые основы» и позитивная теория множеств используют разные ограничения аксиомы понимания наивной теории множеств . Альтернативная теория множеств Вопенки уделяет особое внимание разрешению собственных подклассов множеств, называемых полумножествами . Даже в системах, связанных с ZFC, эта схема иногда ограничивается формулами с ограниченными кванторами, как в теории множеств Крипке–Платека с urelements .

Связь со схемой аксиом замены

Схема аксиом спецификации подразумевается схемой аксиом замены вместе с аксиомой пустого множества . ^{[8] [а]}

Схема аксиом замены гласит, что если функцию можно определить формулой , то для любого множества существует множество : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall x\,\forall y\,\forall z\,\forall p_{1}\ldots \forall p_{n}[\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})\wedge \varphi (x,z,p_{1},\ldots ,p_{n})\implies y=z]\implies \\&\forall A\,\exists B\,\forall y(y\in B\iff \exists x(x\in A\wedge \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})))\end{aligned}}}$. ^[8]

Чтобы получить схему аксиом спецификации, пусть это будет формула и набор, и определите функцию так, что если истинно, а если ложно, где то, что истинно. Тогда набор, гарантированный схемой аксиом замены, является именно тем набором, который требуется в схеме аксиом спецификации. Если не существует, то в схеме аксиом спецификации есть пустое множество, существование которого (т. е. аксиома пустого множества) тогда необходимо. ^[8] ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle f(x)=u}$ ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle u\in z}$ ${\displaystyle \varphi (u,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(x)}$

По этой причине аксиомная схема спецификации исключена из некоторых аксиоматизаций теории множеств ZF (Цермело-Франкеля) , ^[9] хотя некоторые авторы, несмотря на избыточность, включают обе. ^[10] Тем не менее, схема аксиом спецификации примечательна тем, что она была в исходном списке аксиом Цермело 1908 года, до того, как Френкель изобрел аксиому замены в 1922 году. ^[9] Кроме того, если взять теорию множеств ZFC (т.е. ZF с аксиомой выбора), удаляет аксиому замены и аксиому коллекции , но сохраняет схему аксиом спецификации, получается более слабая система аксиом, называемая ZC (т. е. аксиомы Цермело плюс аксиома выбора). ^[11]

Неограниченное понимание

Схема аксиом неограниченного понимания гласит:

$${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$$

то есть:

Существует множество B , членами которого являются в точности те объекты, которые удовлетворяют предикату φ .

Это множество B снова уникально и обычно обозначается как { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _b )}.

Эта схема аксиом молчаливо использовалась на заре наивной теории множеств , до того, как была принята строгая аксиоматизация. Однако позже было обнаружено, что это приводит непосредственно к парадоксу Рассела , если принять φ ( x ) за ¬( x  ∈  x ) (т.е. свойство, которое устанавливает x , не является членом самого себя). Следовательно, никакая полезная аксиоматизация теории множеств не может использовать неограниченное понимание. Переход от классической логики к интуиционистской логике не помогает, поскольку доказательство парадокса Рассела интуиционистски обосновано.

Принятие только схемы аксиом спецификации было началом аксиоматической теории множеств. Большинство других аксиом Цермело-Френкеля (но не аксиома экстенсиональности , аксиома регулярности или аксиома выбора ) затем стали необходимыми, чтобы компенсировать часть того, что было потеряно за счет изменения схемы аксиом понимания на схему аксиом. спецификации – каждая из этих аксиом утверждает, что определенный набор существует, и определяет этот набор, задавая предикат, которому должны удовлетворять его члены, т. е. это частный случай схемы аксиом понимания.

Также можно предотвратить несогласованность схемы, ограничив формулы, к которым ее можно применять, например, только стратифицированные формулы в «Новых основах» (см. Ниже) или только положительные формулы (формулы только с конъюнкцией, дизъюнкцией, количественной оценкой и атомарные формулы). в теории позитивных множеств . Однако позитивные формулы обычно не способны выразить определенные вещи, которые могут выразить большинство теорий; например, в теории позитивных множеств нет дополнения или относительного дополнения.

В теории классов NBG

В теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя проводится различие между множествами и классами . Класс C является множеством тогда и только тогда, когда он принадлежит некоторому классу E. В этой теории существует схема теоремы , которая гласит: $${\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}$$

то есть,

Существует класс D такой, что любой класс C является членом D тогда и только тогда, когда C является множеством, удовлетворяющим P .

при условии, что кванторы в предикате P ограничены множествами.

Эта схема теорем сама по себе является ограниченной формой понимания, которая позволяет избежать парадокса Рассела из-за требования, чтобы C было множеством. Тогда спецификацию самих множеств можно записать в виде одной аксиомы. $${\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}$$

то есть,

Для любого класса D и любого множества A существует множество B , членами которого являются именно те классы , которые являются членами как A , так и D.

или даже проще

Пересечение класса D и множества A само по себе является множеством B.

В этой аксиоме предикат P заменяется классом D , который можно оценить количественно. Другая более простая аксиома, достигающая того же эффекта, гласит: $${\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}$$

то есть,

Подклассом множества является множество.

В настройках более высокого порядка

В типизированном языке, где мы можем количественно оценивать предикаты, схема аксиом спецификации становится простой аксиомой. Это во многом тот же прием, который использовался в аксиомах NBG из предыдущего раздела, где предикат заменялся классом, который затем подвергался количественной оценке.

В логике второго порядка и логике более высокого порядка с семантикой более высокого порядка аксиома спецификации является логической достоверностью и не требует явного включения в теорию.

В новых основах Куайна

В подходе «Новые основы» к теории множеств, впервые предложенном У.В.О. Куайном , аксиома понимания для данного предиката принимает неограниченную форму, но предикаты, которые могут использоваться в схеме, сами по себе ограничены. Предикат ( C is not in C ) запрещен, поскольку один и тот же символ C появляется с обеих сторон символа членства (и, следовательно, в разных «относительных типах»); таким образом удается избежать парадокса Рассела. Однако, приняв P ( C ) за ( C = C ) , что разрешено, мы можем сформировать набор всех множеств. Подробнее см. стратификация .

Рекомендации

1. "AxiomaticSetTheory". www.cs.yale.edu . Схема аксиом спецификации . Проверено 8 июня 2024 г.
2. Суппес, Патрик (1 января 1972). Аксиоматическая теория множеств. Курьерская корпорация. стр. 6, 19, 21, 237. ISBN. 978-0-486-61630-8.
3. Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: первый курс . Кембриджские учебники математики. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 22, 24–25, 29. ISBN. 978-1-107-12032-7.
4. Хайнц-Дитер Эббингауз (2007). Эрнст Цермело: подход к его жизни и творчеству . Springer Science & Business Media. п. 88. ИСБН 978-3-540-49553-6.
5. ДеВиди, Дэвид; Халлетт, Майкл; Кларк, Питер (23 марта 2011 г.). Логика, математика, философия, винтажные энтузиазмы: очерки в честь Джона Л. Белла. Springer Science & Business Media. п. 206. ИСБН 978-94-007-0214-1.
6. Ф. Р. Дрейк, Теория множеств: введение в большие кардиналы (1974), стр. 12–13. ISBN 0 444 10535 2.
7. WVO Quine, Математическая логика (1981), стр.164. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5
8. Тот, Габор (23 сентября 2021 г.). Элементы математики: проблемно-центрированный подход к истории и основаниям. Спрингер Природа. п. 32. ISBN 978-3-030-75051-0.
9. Байнок, Бела (27 октября 2020 г.). Приглашение к абстрактной математике. Спрингер Природа. п. 138. ИСБН 978-3-030-56174-1.
10. Воот, Роберт Л. (28 августа 2001 г.). Теория множеств: Введение. Springer Science & Business Media. п. 67. ИСБН 978-0-8176-4256-3.
11. Кановей, Владимир; Рикен, Майкл (9 марта 2013 г.). Нестандартный анализ, аксиоматически. Springer Science & Business Media. п. 21. ISBN 978-3-662-08998-9.

дальнейшее чтение

• Кроссли, JBN; Эш, CJ; Брикхилл, CJ; Стиллвелл, Джей Си; Уильямс, Нью-Хэмпшир (1972). Что такое математическая логика? . Лондон-Оксфорд-Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-888087-1. Збл  0251.02001.
• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). 
• Джех, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 . 

Примечания

1. Суппес ^[2] , цитированный ранее, вывел ее только из схемы аксиом замены (стр. 237), но это потому, что он начал свою формулировку теории множеств с включения пустого множества как часть определения множества: его Определение 1 на странице 19 указано, что . ${\displaystyle y{\text{ is a set}}\iff (\exists x)\ (x\in y\lor y=\emptyset )}$