stringtranslate.com

Измеримый кардинал

В математике измеримый кардинал — это определенный вид большого кардинального числа. Чтобы определить это понятие, вводят двузначную меру на кардинале κ или, в более общем смысле, на любом множестве. Для кардинала κ его можно описать как подразделение всех его подмножеств на большие и малые множества, такое, что само κ велико, ∅ и все синглтоны { α } (с α  ∈  κ ) малы, дополнения малых множеств велики и наоборот. Пересечение меньше κ больших множеств снова велико. [1]

Оказывается, что несчетные кардиналы, наделенные двузначной мерой, являются большими кардиналами, существование которых не может быть доказано с помощью ZFC . [2]

Понятие измеримого кардинала было введено Станиславом Уламом в 1930 году. [3]

Определение

Формально измеримый кардинал — это несчетное кардинальное число κ, такое что существует κ- аддитивная, нетривиальная, 0-1-значная мера μ на множестве мощностей κ  .

Здесь κ-аддитивность означает: для каждого λ  <  κ и каждого множества размера λ { A β } β < λ попарно непересекающихся подмножеств A β  ⊆  κ имеем

μ (⋃ β < λ  А β ) знак равно Σ β < λ  μ ( А β ).

Эквивалентно, κ является измеримым кардиналом тогда и только тогда, когда он является несчетным кардиналом с κ -полным, неглавным ультрафильтром . Это означает, что пересечение любого строго меньшего, чем κ -множества множеств в ультрафильтре, также находится в ультрафильтре.

Эквивалентно, κ измеримо, означает, что оно является критической точкой нетривиального элементарного вложения вселенной V в транзитивный класс M. Эта эквивалентность принадлежит Джерому Кейслеру и Дане Скотт и использует конструкцию ультрастепени из теории моделей . Поскольку V является собственным классом , необходимо решить техническую проблему, которая обычно не присутствует при рассмотрении ультрастепеней, с помощью того, что теперь называется трюком Скотта .

Характеристики

Тривиально заметить, что если κ допускает нетривиальную κ -аддитивную меру, то κ должно быть регулярным . (В силу нетривиальности и κ -аддитивности любое подмножество мощности, меньшей κ, должно иметь меру 0, а затем, снова в силу κ -аддитивности, это означает, что все множество не должно быть объединением менее κ множеств мощности, меньшей κ. ) Наконец, если λ  <  κ, то не может быть случая, когда κ  ≤ 2 λ . Если бы это было так, мы могли бы отождествить κ с некоторым набором последовательностей 0-1 длины λ. Для каждой позиции в последовательности либо подмножество последовательностей с 1 в этой позиции, либо подмножество с 0 в этой позиции должно иметь меру 1. Пересечение этих λ -множества подмножеств меры 1, таким образом, также должно иметь меру 1, но оно будет содержать ровно одну последовательность, что противоречит нетривиальности меры. Таким образом, предполагая Аксиому выбора, мы можем вывести, что κ является сильным предельным кардиналом , что завершает доказательство его недоступности .

Хотя из ZFC следует , что каждый измеримый кардинал недостижим (и невыразим , Рамсей и т. д.), с ZF согласуется , что измеримый кардинал может быть последующим кардиналом . Из ZF + AD следует  , что ω 1 измеримо, [4] и что каждое подмножество ω 1 содержит или не пересекается с замкнутым и неограниченным подмножеством.

Улам показал, что наименьший кардинал κ , допускающий нетривиальную счетно-аддитивную двузначную меру, должен на самом деле допускать κ -аддитивную меру. (Если бы существовала некоторая совокупность из подмножеств с мерой 0, меньшей, чем κ , объединение которых было бы κ, то индуцированная мера на этой совокупности была бы контрпримером к минимальности κ. ) Отсюда можно доказать (с помощью аксиомы выбора), что наименьший такой кардинал должен быть недостижим.

Если κ измеримо и p  ∈  V κ и M (ультрастепень V ) удовлетворяет ψ ( κ, p ), то множество α  <  κ такое, что V удовлетворяет ψ ( α, p ), является стационарным в κ (фактически множеством меры 1). В частности, если ψ является формулой Π 1 и V удовлетворяет ψ ( κ, p ), то M удовлетворяет ей и, таким образом, V удовлетворяет ψ ( α, p ) для стационарного множества α  <  κ. Это свойство можно использовать, чтобы показать, что κ является пределом большинства типов больших кардиналов, которые слабее измеримых. Обратите внимание, что ультрафильтр или мера, свидетельствующие о том, что κ измерима, не могут быть в M, поскольку наименьший такой измеримый кардинал должен был бы иметь другой такой под собой, что невозможно.

Если начать с элементарного вложения j 1 множества V в M 1 с критической точкой κ, то можно определить ультрафильтр U на κ как {  S  ⊆  κ  | κ  ∈  j 1 ( S ) }. Затем, взяв ультрастепень V над U, мы можем получить другое элементарное вложение j 2 множества V в M 2 . Однако важно помнить, что j 2  ≠  j 1 . Таким образом, другие типы больших кардиналов, такие как сильные кардиналы, также могут быть измеримыми, но не с использованием того же вложения. Можно показать, что сильный кардинал κ измерим и также имеет κ -множество измеримых кардиналов ниже себя.

Каждый измеримый кардинал κ является 0- огромным кардиналом , поскольку κ M  ⊆  M , то есть каждая функция из κ в M принадлежит M. Следовательно, V κ +1  ⊆  M.

Последствия существования

Если измеримый кардинал существует, то каждый Σ1
2(относительно аналитической иерархии ) множество действительных чисел имеет меру Лебега . [4] В частности, любое неизмеримое множество действительных чисел не должно быть Σ1
2.

Реально-значимый измеримый

Кардинал κ называется измеримым с действительным значением , если существует κ -аддитивная вероятностная мера на множестве мощности κ , которая обращается в нуль на синглтонах. Измеримые с действительным значением кардиналы были введены Стефаном Банахом  (1930). Банах и Куратовский (1929) показали, что гипотеза континуума подразумевает, что 𝔠 не является измеримым с действительным значением. Станислав Улам  (1930) показал (см. ниже части доказательства Улама), что измеримые с действительным значением кардиналы слабо недоступны (на самом деле они слабо Мало ). Все измеримые кардиналы являются измеримыми с действительным значением, и измеримый с действительным значением кардинал κ измерим тогда и только тогда, когда κ больше 𝔠. Таким образом, кардинал измерим тогда и только тогда, когда он измерим с действительным значением и строго недостижим. Измеримый кардинал с действительным значением, меньший или равный 𝔠, существует тогда и только тогда, когда существует счетно-аддитивное расширение меры Лебега на все множества действительных чисел тогда и только тогда, когда существует безатомная вероятностная мера на множестве мощности некоторого непустого множества.

Соловей (1971) показал, что существование измеримых кардиналов в ZFC, измеримых кардиналов с действительными значениями в ZFC и измеримых кардиналов в ZF равносогласовано .

Слабая недоступность измеримых кардиналов с действительными значениями

Говорят, что кардинальное число α является числом Улама , если [5] [nb 1]

в любое время

затем

если | X | ≤ α , то μ ( X ) = 0.

Эквивалентно, кардинальное число α является числом Улама, если

в любое время

  1. ν — внешняя мера на множестве Y, а F — множество попарно непересекающихся подмножеств Y,
  2. ν (⋃ F ) < ∞,
  3. ν ( A ) = 0 для A ∈ F,
  4. ⋃ G является ν -измеримым для любого G  ⊂  F,

затем

если | Ф | ≤ α , то ν (⋃ F ) = 0.

Наименьший бесконечный кардинал ℵ 0 является числом Улама. Класс чисел Улама замкнут относительно операции кардинального преемника . [6] Если бесконечный кардинал β имеет непосредственного предшественника α , который является числом Улама, предположим, что μ удовлетворяет свойствам ( 1 )–( 4 ) с X  =  β. В модели фон Неймана ординалов и кардиналов для каждого x  ∈  β выберем инъективную функцию

f x : x → α

и определить множества

U ( b, a ) = {  x  ∈  β  | f x ( b ) =  a  }

Поскольку f x взаимно однозначны, то множества

{  U ( b, a ) | b  ∈  β  } с фиксированным a  ∈  α
{  U ( b, a ) | a  ∈  α  } с фиксированным b  ∈  β

являются попарно непересекающимися. По свойству ( 2 ) μ множество

{  б  €  β  | µ ( U ( б, а )) > 0 }

счетно , и, следовательно ,

|{ ( б, а ) ∈  β  ×  α  | µ ( U ( б, а )) > 0 }| ≤ ℵ 0 ⋅ α.

Таким образом, существует b 0 такое, что

μ ( U ( b 0 , a )) = 0 для любого a  ∈  α

подразумевая, поскольку α является числом Улама и используя второе определение (при ν  =  μ и выполнении условий ( 1 )–( 4 ),

μ (⋃ а ∈ α  U ( б 0 , а )) знак равно 0.

Если b 0  <  x  <  β и f x ( b 0 ) = a x , то x  ∈  U ( b 0 , a x ). Таким образом

β знак равно б 0  ∪ {б 0 } ∪ ⋃ а ∈ α  U ( б 0 , а )

По свойству ( 2 ), μ ({ b 0 }) = 0, а поскольку | b 0 | ≤  α , по ( 4 ), ( 2 ) и ( 3 ), μ ( b 0 ) = 0. Отсюда следует, что μ ( β ) = 0. Вывод состоит в том, что β является числом Улама.

Существует похожее доказательство [7] , что супремум множества S чисел Улама с | S | числом Улама снова является числом Улама. Вместе с предыдущим результатом это означает, что кардинал, который не является числом Улама, слабо недостижим .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ В статье понятие числа Улама иное.

Цитаты

  1. ^ Мэдди 1988
  2. ^ Иех 2002
  3. ^ Улам 1930
  4. ^ ab T. Jech, "The Brave New World of Determinacy" (скачать PDF). Бюллетень Американского математического общества, т. 5, номер 3, ноябрь 1981 г. (стр. 339--349).
  5. ^ Федерер 1996, Раздел 2.1.6
  6. ^ Федерер 1996, Вторая часть теоремы в разделе 2.1.6.
  7. ^ Федерер 1996, Первая часть теоремы в разделе 2.1.6.

Ссылки