Вселенная фон Неймана

Концепция теории множеств

В теории множеств и смежных разделах математики вселенная фон Неймана , или иерархия множеств фон Неймана , обозначаемая V , представляет собой класс наследственных хорошо обоснованных множеств . Этот набор, формализованный теорией множеств Цермело – Френкеля (ZFC), часто используется для интерпретации или мотивации аксиом ZFC. Концепция названа в честь Джона фон Неймана , хотя впервые ее опубликовал Эрнст Цермело в 1930 году.

Ранг обоснованного множества определяется индуктивно как наименьшее порядковое число, большее, чем ранги всех членов множества. ^[1] В частности, ранг пустого множества равен нулю, и каждый ординал имеет ранг, равный самому себе. Множества в V делятся на трансфинитную иерархию V _α , называемую кумулятивной иерархией , в зависимости от их ранга. 

Определение

Кумулятивная иерархия представляет собой совокупность множеств Vα _, индексированных классом порядковых чисел ; в частности, V _α — это множество всех множеств, имеющих ранги меньше α. Таким образом, для каждого порядкового номера α существует одно множество V _α . V _α можно определить с помощью трансфинитной рекурсии следующим образом:

• Пусть V ₀ — пустое множество :

  ${\displaystyle V_{0}:=\varnothing .}$

• Для любого порядкового числа β пусть V _β+1 будет набором степеней V _β :

  ${\displaystyle V_{\beta +1}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).}$

• Для любого предельного ординала λ пусть V _λ — объединение всех V -этапов :

  ${\displaystyle V_{\lambda }:=\bigcup _{\beta <\lambda }V_{\beta }.}$

Важным фактом этого определения является то, что на языке ZFC существует единственная формула φ(α, x ), которая гласит: «множество x находится в V _α ».

Множества Vα называются стадиями или рангами . _{_}

Начальный сегмент вселенной фон Неймана. Порядковое умножение отличается от нашего обычного соглашения; см. Порядковая арифметика .

Класс V определяется как объединение всех V -стадий:

${\displaystyle V:=\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }.}$

Эквивалентные множества определений

${\displaystyle V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta })}$

для каждого порядкового номера α, где — набор степеней . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\!}$ ${\displaystyle X}$

Ранг множества S — это наименьшее значение α, такое что Другой способ вычисления ранга: ${\displaystyle S\subseteq V_{\alpha }\,.}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (S)=\bigcup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in S\}}$.

Конечные и маломощные этапы иерархии.

Первые пять стадий фон Неймана от V ₀ до V ₄ можно визуализировать следующим образом. (Пустой блок представляет собой пустой набор. Блок, содержащий только пустой блок, представляет набор, содержащий только пустой набор, и так далее.)

Первые 5 стадий фон Неймана

Эта последовательность демонстрирует тетрационный рост. Множество V ₅ содержит 2 ¹⁶ = 65536 элементов; набор V ₆ содержит ²⁶⁵⁵³⁶ элементов, что существенно превышает число атомов в известной Вселенной ; и для любого натурального n множество V _n+1 содержит 2 ↑↑ n элементов, используя обозначение стрелки вверх Кнута . Таким образом, конечные этапы кумулятивной иерархии не могут быть записаны явно после этапа 5. Множество V _ω имеет ту же мощность, что и ω. Множество V _ω+1 имеет ту же мощность, что и множество действительных чисел.

Приложения и интерпретации

Применение V в качестве моделей для теорий множеств

Если ω — множество натуральных чисел , то V _ω — множество наследственно конечных множеств , которое является моделью теории множеств без аксиомы бесконечности . ^{[2] [3]}

V _ω+ω — это вселенная «обычной математики» и модель теории множеств Цермело (но не модель ZF ). ^[4] Простым аргументом в пользу адекватности V _ω+ω является наблюдение, что V _ω+1 адекватно для целых чисел, тогда как V _ω+2 адекватен для действительных чисел, и можно построить большую часть другой нормальной математики. как отношения различных видов из этих множеств без необходимости выхода аксиомы замены за пределы V _ω+ω .

Если κ — недоступный кардинал , то V _κ — модель самой теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), а V _κ+1 — модель теории множеств Морса–Келли . ^{[5] [6]} (Обратите внимание, что каждая модель ZFC также является моделью ZF, и каждая модель ZF также является моделью Z.)

Интерпретация V как «множества всех множеств».

V не является « множеством всех (наивных) множеств » по ​​двум причинам. Во-первых, это не набор; _хотя каждая отдельная стадия Vα является множеством, их объединение V является собственным классом . Во-вторых, множества из V — это только обоснованные множества. Аксиома основания (или регулярности) требует, чтобы каждое множество было хорошо обосновано и, следовательно, находилось в V , и , следовательно, в ZFC каждое множество находится в V. Но другие системы аксиом могут опускать аксиому основания или заменять ее сильным отрицанием (примером является аксиома против основания Акселя ). Эти необоснованные теории множеств широко не используются, но их все же можно изучать.

Третье возражение против интерпретации «множества всех множеств» заключается в том, что не все множества обязательно являются «чистыми множествами», которые создаются из пустого множества с использованием степенных множеств и объединений. Цермело предложил в 1908 году включение urelements , из которых он построил трансфинитную рекурсивную иерархию в 1930 году. ^[7] Такие urelements широко используются в теории моделей , особенно в моделях Френкеля-Мостовского. ^[8]

Парадокс Гильберта

Вселенная фон Неймана удовлетворяет следующим двум свойствам:

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V}$за каждый комплект . ${\displaystyle x\in V}$
• ${\displaystyle \bigcup x\in V}$для каждого подмножества . ${\displaystyle x\subseteq V}$

Действительно, если , то для некоторого порядкового . Любой этап является транзитивным множеством , следовательно, каждый уже есть , и поэтому каждое подмножество является подмножеством . Поэтому и . Для объединений подмножеств, если , то для каждого пусть будет наименьший порядковый номер, для которого . Поскольку по предположению это множество, мы можем сформировать предел . Этапы суммируются, и поэтому снова каждый равен . Тогда каждый также , и так и . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle x\in V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle y\in x}$ ${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\subseteq V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V_{\alpha +2}\subseteq V}$ ${\displaystyle x\subseteq V}$ ${\displaystyle y\in x}$ ${\displaystyle \beta _{y}}$ ${\displaystyle y\in V_{\beta _{y}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha =\sup\{\beta _{y}:y\in x\}}$ ${\displaystyle y\in x}$ ${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$ ${\displaystyle z\in y}$ ${\displaystyle z\in V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \cup x\subseteq V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \cup x\in V_{\alpha +1}}$

Парадокс Гильберта подразумевает, что множества с указанными выше свойствами не существует. ^[9] Предположим, был набор. Тогда оно было бы подмножеством самого себя и принадлежало бы , как и . Но в более общем смысле, если , то . Следовательно, , что невозможно в таких моделях ZFC, как он сам. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U=\cup V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$ ${\displaystyle A\in B}$ ${\displaystyle A\subseteq \cup B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)\subseteq \cup V=U}$ ${\displaystyle V}$

Интересно, что является подмножеством if и только тогда, когда является членом . Поэтому мы можем рассмотреть, что произойдет, если условие объединения заменить на . В этом случае известных противоречий нет, и любая вселенная Гротендика удовлетворяет новой паре свойств. Однако вопрос о существовании вселенных Гротендика выходит за рамки ZFC. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in V\implies \cup x\in V}$

V и аксиома регулярности

Формулу V = ⋃ _α V _α часто считают теоремой, а не определением. ^{[10] [11]} Ройтман утверждает (без ссылок), что осознание того, что аксиома регулярности эквивалентна равенству вселенной множеств ZF кумулятивной иерархии, принадлежит фон Нейману. ^[12]

Экзистенциальный статус В.

Поскольку класс V можно рассматривать как арену большей части математики, важно установить, что он «существует» в некотором смысле. Поскольку существование — сложная концепция, вопрос о существовании обычно заменяют вопросом о непротиворечивости, то есть о том, свободна ли концепция от противоречий. Основное препятствие создают теоремы Гёделя о неполноте , которые фактически подразумевают невозможность доказать непротиворечивость теории множеств ZF в самой теории множеств ZF, при условии, что она на самом деле непротиворечива. ^[13]

Целостность вселенной фон Неймана фундаментально зависит от целостности порядковых чисел , которые действуют как параметр ранга при построении, и целостности трансфинитной индукции , с помощью которой конструируются как порядковые числа, так и вселенная фон Неймана. Можно сказать, что целостность конструкции порядкового числа опирается на статьи фон Неймана 1923 и 1928 годов. ^[14] Можно сказать , что целостность конструкции V с помощью трансфинитной индукции была тогда установлена ​​в статье Цермело 1930 года. ^[7]

История

Иерархия кумулятивных типов, также известная как вселенная фон Неймана, по утверждению Грегори Х. Мура (1982), ошибочно приписана фон Нейману . ^[15] Первая публикация о вселенной фон Неймана была сделана Эрнстом Цермело в 1930 году ^{. [7]}

Существование и единственность общего трансфинитно-рекурсивного определения множеств было продемонстрировано в 1928 году фон Нейманом как для теории множеств Цермело-Френкеля ^[16], так и для собственной теории множеств фон Неймана (которая позже развилась в теорию множеств NBG ). ^[17] Ни в одной из этих статей он не применил свой трансфинитно-рекурсивный метод для построения вселенной всех множеств. Представления вселенной фон Неймана Бернейса ^[10] и Мендельсона ^[11] отдают должное фон Нейману за метод построения трансфинитной индукции, хотя и не за его применение к построению вселенной обычных множеств.

Обозначение V не является данью имени фон Неймана. В 1889 году Пеано использовал его для обозначения вселенной множеств, буква V , обозначающая «Verum», которую он использовал как логический символ, так и для обозначения класса всех людей. ^{[18] Обозначение} V Пеано было также принято Уайтхедом и Расселом для класса всех множеств в 1910 году. ^[19] Обозначение V (для класса всех множеств) не использовалось фон Нейманом в его статьях 1920-х годов о порядковых числах и трансфинитная индукция. Пол Коэн ^[20] явно приписывает использование буквы V (для класса всех множеств) статье Гёделя 1940 года, ^[21] хотя Гёдель, скорее всего, получил это обозначение из более ранних источников, таких как Уайтхед и Рассел. ^[19]

Философские перспективы

Существует два подхода к пониманию связи вселенной фон Неймана V с ZFC (наряду со многими вариациями каждого подхода и оттенками между ними). Грубо говоря, формалисты склонны рассматривать V как нечто, вытекающее из аксиом ZFC (например, ZFC доказывает, что каждое множество находится в V). С другой стороны, реалисты с большей вероятностью будут рассматривать иерархию фон Неймана как нечто, непосредственно доступное интуиции, а аксиомы ZFC как утверждения, истинность которых в V мы можем привести прямыми интуитивными аргументами на естественном языке. Возможная средняя позиция состоит в том, что ментальная картина иерархии фон Неймана обеспечивает аксиомам ZFC мотивацию (так что они не являются произвольными), но не обязательно описывает объекты, имеющие реальное существование.

Смотрите также

• Вселенная (математика)
• Конструируемая вселенная
• Вселенная Гротендика
• Недоступный кардинал
• S (теория множеств)

Примечания

1. Мириманов 1917; Мур, 2013, стр. 261–262; Рубин 1967, с. 214.
2. Ройтман 2011, с. 136, доказывает, что: « V _ω является моделью всех аксиом ZFC, кроме бесконечности».
3. Коэн 2008, с. 54, говорится: «Первая действительно интересная аксиома [теории множеств ZF] — это аксиома бесконечности. Если мы отбросим ее, то мы сможем взять в качестве модели для ZF множество M всех конечных множеств, которые могут быть построены из ∅ [...] Ясно, что М будет моделью для остальных аксиом, поскольку ни одна из них не выходит за пределы класса конечных множеств».
4. Smullyan & Fitting 2010. См. стр. 96 для доказательства того, что V _ω+ω является моделью Цермело.
5. Коэн 2008, с. 80 утверждает и обосновывает, что если κ сильно недоступна, то V _κ является моделью ZF.

   «Ясно, что если А — недоступный кардинал, то множество всех множеств ранга меньше А является моделью для ZF, поскольку единственные две неприятные аксиомы — Набор мощности и Замена — не выводят из множества кардиналов меньше А».

6. Ройтман 2011, стр. 134–135, доказывает, что если κ сильно недоступно, то V _κ является моделью ZFC.
7. Zermelo 1930. См., в частности, страницы 36–40.
8. Ховард и Рубин 1998, стр. 175–221.
9. А. Канамори, «Цермело и теория множеств», стр.490. Бюллетень символической логики, том. 10, нет. 4 (2004). По состоянию на 21 августа 2023 г.
10. Bernays 1991. См. страницы 203–209.
11. Мендельсон 1964. См. стр. 202.
12. Ройтман 2011. См. стр. 79.
13. См. статью «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем» и Гёдель, 1931.
14. фон Нейман 1923, фон Нейман 1928b. См. также англоязычную презентацию «теоремы общей рекурсии» фон Неймана Бернейса, 1991, стр. 100–109.
15. Мур 2013. См. стр. 279 с утверждением о ложном приписывании фон Нейману. См. страницы 270 и 281, чтобы узнать об приписывании Цермело.
16. фон Нейман 1928b.
17. фон Нейман 1928a. См. страницы 745–752.
18. Пеано 1889. См. страницы VIII и XI.
19. Whitehead & Russell 2009. См. стр. 229.
20. Коэн 2008. См. стр. 88.
21. Гёдель 1940.

Рекомендации

• Бернейс, Пол (1991) [1958]. Аксиоматическая теория множеств . Дуврские публикации. ISBN 0-486-66637-9.
• Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Гёдель, Курт (1931). «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I». Монашефте по математике и физике . 38 : 173–198. дои : 10.1007/BF01700692.
• Гёдель, Курт (1940). Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств . Анналы математических исследований. Том. 3. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Ховард, Пол; Рубин, Жан Э. (1998). Следствия аксиомы выбора . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 175–221. ISBN 9780821809778.
• Джех, Томас (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9.
• Манин, Юрий И. (2010) [1977]. Курс математической логики для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том. 53. Перевод Коблиц Н. (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 89–96. дои : 10.1007/978-1-4419-0615-1. ISBN 978-144-190-6144.
• Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Ван Ностранд Рейнхольд.
• Мириманов, Дмитрий (1917). «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории ансамблей». L'Enseignement Mathématique . 19 : 37–52.
• Мур, Грегори Х (2013) [1982]. Аксиома выбора Цермело: ее истоки, развитие и влияние . Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-48841-7.
• Пеано, Джузеппе (1889). Принципы арифметики: новый метод экспозиции. Братья Бокка.
• Ройтман, Джудит (2011) [1990]. Введение в современную теорию множеств . Университет Содружества Вирджинии . ISBN 978-0-9824062-4-3.
• Рубин, Жан Э. (1967). Теория множеств для математика . Сан-Франциско: Холден-Дэй. АСИН  B0006BQH7S.
• Смалльян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010) [переработанное и исправленное переиздание работы, первоначально опубликованной в 1996 году издательством Oxford University Press, Нью-Йорк]. Теория множеств и проблема континуума . Дувр. ISBN 978-0-486-47484-7.
• фон Нейман, Джон (1923). «Zur Einführung der transfiniten Zahlen». Акта Литт. акад. наук. Сегед X. 1 : 199–208.. Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967), «О введении трансфинитных чисел», От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, стр. 346–354.
• фон Нейман, Джон (1928a). «Аксиоматика Менгенлера». Mathematische Zeitschrift . 27 : 669–752. дои : 10.1007/bf01171122.
• фон Нейман, Джон (1928b). «Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre». Математические Аннален . 99 : 373–391. дои : 10.1007/bf01459102.
• Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (2009) [1910]. Принципы математики . Том. Один. Торговые книги. ISBN 978-1-60386-182-3.
• Цермело, Эрнст (1930). «Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre». Фундамента Математика . 16 : 29–47. дои : 10.4064/fm-16-1-29-47 .