В математике несчетное множество , неформально, представляет собой бесконечное множество , содержащее слишком много элементов , чтобы быть счетным . Несчетность множества тесно связана с его кардинальным числом : набор несчетен, если его кардинальное число больше, чем алеф-нуль , мощность натуральных чисел .
Существует множество эквивалентных характеристик несчетности. Множество X несчетно тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий:
Эквивалентность первых трех из этих характеристик можно доказать в теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора , но эквивалентность третьей и четвертой не может быть доказана без дополнительных принципов выбора.
Самый известный пример несчетного множества — это множество R всех действительных чисел ; Диагональный аргумент Кантора показывает, что это множество несчетно. Технику доказательства диагонализации также можно использовать, чтобы показать, что некоторые другие множества несчетны, например набор всех бесконечных последовательностей натуральных чисел и набор всех подмножеств множества натуральных чисел. Мощность R часто называют мощностью континуума и обозначают , или , или ( бет-единица ).
Множество Кантора — это несчетное подмножество R. Множество Кантора является фракталом и имеет размерность Хаусдорфа больше нуля, но меньше единицы ( R имеет размерность один). Это пример следующего факта: любое подмножество R хаусдорфовой размерности, строго больше нуля, должно быть несчетным.
Другой пример несчетного множества — множество всех функций от R до R. Этот набор даже «более несчетен», чем R , в том смысле, что мощность этого набора равна ( beth-two ), что больше .
Более абстрактный пример несчетного множества — это множество всех счетных порядковых чисел , обозначаемое Ω или ω 1 . [1] Мощность Ω обозначается ( алеф-он ). Используя выбранную аксиому , можно показать , что это наименьшее неисчисляемое кардинальное число. Таким образом, либо мощность вещественных чисел равна, либо строго больше. Георг Кантор был первым, кто предложил вопрос о том, равно ли . В 1900 году Дэвид Гильберт поставил этот вопрос как первую из своих 23 задач . Утверждение, которое теперь называется гипотезой континуума и, как известно, не зависит от аксиом Цермело – Френкеля для теории множеств (включая аксиому выбора ).
Без аксиомы выбора могли бы существовать мощности, несравнимые с (а именно мощности дедекинд-конечных бесконечных множеств). Наборы этих мощностей удовлетворяют первым трем приведенным выше характеристикам, но не четвертой характеристике. Поскольку эти множества по мощности не превосходят натуральные числа, некоторые, возможно, не захотят называть их несчетными.
Если аксиома выбора верна, следующие условия на кардинал эквивалентны:
Однако все они могут быть разными, если аксиома выбора не работает. Поэтому не очевидно, какое из обобщений «несчетности» является подходящим, если аксиома неверна. Возможно, лучше всего избегать использования этого слова в данном случае и уточнить, какое из них оно означает.
