Интерпретация (логика)

Присвоение значения символам формального языка.

Интерпретация – это присвоение значения символам формального языка . Многие формальные языки, используемые в математике , логике и теоретической информатике, определяются исключительно в синтаксических терминах и как таковые не имеют никакого значения, пока им не будет дана определенная интерпретация. Общее исследование интерпретаций формальных языков называется формальной семантикой .

Наиболее часто изучаемыми формальными логиками являются логика высказываний , логика предикатов и их модальные аналоги, и для них существуют стандартные способы представления интерпретации. В этих контекстах интерпретация — это функция , обеспечивающая расширение символов и строк символов объектного языка. Например, функция интерпретации может взять предикат T (для «высокого») и присвоить ему расширение { a } (для «Авраама Линкольна»). Все, что делает наша интерпретация, — это присваивает расширение {a} нелогической константе T и не делает заявлений о том, должно ли T обозначать высокий, а «а» — Авраама Линкольна. Логическая интерпретация также ничего не говорит о таких логических связках, как «и», «или» и «нет». Хотя мы можем считать, что эти символы обозначают определенные вещи или понятия, это не определяется функцией интерпретации.

Интерпретация часто (но не всегда) позволяет определить истинностные значения предложений на языке. Если данная интерпретация присваивает предложению или теории значение True , интерпретация называется моделью этого предложения или теории.

Формальные языки

Формальный язык состоит из, возможно, бесконечного набора предложений (называемых по-разному словами или формулами ), построенных из фиксированного набора букв или символов . Инвентарь, из которого взяты эти буквы, называется алфавитом, на основе которого определяется язык. Чтобы отличить строки символов формального языка от произвольных строк символов, первые иногда называют правильно сформированными формулами (wff). Существенной особенностью формального языка является то, что его синтаксис можно определить безотносительно к интерпретации. Например, мы можем определить, что ( P или Q ) — корректная формула, даже не зная, истинна она или ложна.

Пример

Формальный язык можно определить с помощью алфавита и слова, находящегося в нем, если он начинается с символов и и состоит исключительно из них . ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \alpha =\{\triangle ,\square \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \square }$

Возможная интерпретация может присвоить десятичную цифру «1» и «0» . Тогда будет означать 101 в соответствии с этой интерпретацией . ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \square }$ ${\displaystyle \triangle \square \triangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

Логические константы

В конкретных случаях логики высказываний и логики предикатов рассматриваемые формальные языки имеют алфавиты, которые делятся на два набора: логические символы ( логические константы ) и нелогические символы. Идея этой терминологии заключается в том, что логические символы имеют одно и то же значение независимо от изучаемого предмета, тогда как нелогические символы меняют свое значение в зависимости от области исследования.

Логическим константам всегда придается одно и то же значение при любой интерпретации стандартного типа, так что изменяются только значения нелогических символов. К логическим константам относятся символы-квантификаторы ∀ («все») и ∃ («некоторые»), символы логических связок ∧ («и»), ∨ («или»), ¬ («не»), круглые скобки и другие символы группировки. и (во многих обработках) символ равенства =.

Общие свойства интерпретаций с функциональной истинностью

Многие из широко изучаемых интерпретаций связывают каждое предложение формального языка с одним значением истинности: «Истина» или «Ложь». Эти интерпретации называются функционалом истинности ; ^{[ сомнительно ]} они включают обычные интерпретации пропозициональной логики и логики первого порядка. Говорят, что предложения, которые становятся истинными благодаря определенному заданию, удовлетворяются этим заданием.

В классической логике ни одно предложение не может быть одновременно истинным и ложным посредством одной и той же интерпретации, хотя это не верно для логик перенасыщения, таких как LP. ^[1] Однако даже в классической логике возможно, что истинностное значение одного и того же предложения может быть разным при разных интерпретациях. Предложение является последовательным , если оно истинно хотя бы при одной интерпретации; в противном случае это противоречиво . Предложение φ называется логически действительным, если оно удовлетворяется каждой интерпретацией (если φ удовлетворяется каждой интерпретацией, удовлетворяющей ψ, то φ считается логическим следствием ψ).

Логические связки

Некоторые логические символы языка (кроме кванторов) представляют собой функционально-истинные связки , которые представляют функции истинности — функции, которые принимают значения истинности в качестве аргументов и возвращают значения истинности в качестве выходных данных (другими словами, это операции над значениями истинности предложений). .

Истинно-функциональные связки позволяют строить сложные предложения из более простых предложений. Таким образом, истинностное значение сложного предложения определяется как определенная функция истинности значений истинности более простых предложений. Связки обычно считаются логическими константами , а это означает, что значение связок всегда одинаково, независимо от того, какие интерпретации даны другим символам в формуле.

Вот как мы определяем логические связки в логике высказываний:

• ¬Φ истинно тогда и только тогда, когда Φ ложно.
• (Φ ∧ Ψ) истинно тогда и только тогда, когда Φ истинно и Ψ истинно.
• (Φ ∨ Ψ) истинно тогда и только тогда, когда Φ истинно или Ψ истинно (или оба истинно).
• (Φ → Ψ) истинно тогда и только тогда, когда ¬Φ истинно или Ψ истинно (или оба истинно).
• (Φ ↔ Ψ) истинно тогда и только тогда, когда (Φ → Ψ) истинно и (Ψ → Φ) истинно.

Таким образом, при заданной интерпретации всех букв предложения Φ и Ψ (т. е. после присвоения истинностного значения каждой букве предложения) мы можем определить истинностные значения всех формул, в которых они являются составляющими, как функцию логического соединительные детали. В следующей таблице показано, как выглядит такая вещь. Первые два столбца показывают истинностные значения букв предложения, определенные четырьмя возможными интерпретациями. В других столбцах показаны истинностные значения формул, построенных из этих букв предложений, причем истинностные значения определяются рекурсивно.

Теперь легче понять, что делает формулу логически обоснованной. Возьмем формулу F : (Φ ∨ ¬Φ). Если наша функция интерпретации делает Φ истинным, то ¬Φ становится ложным из-за связки отрицания. Поскольку дизъюнкт Φ группы F является истинным при такой интерпретации, F является истинным. Теперь единственная возможная интерпретация Φ делает его ложным, и если это так, то ¬Φ становится истинным с помощью функции отрицания. Это снова сделало бы F истинным, поскольку один из дизъюнктов F , ¬Φ, был бы истинным при такой интерпретации. Поскольку эти две интерпретации F являются единственно возможными логическими интерпретациями и поскольку F оказывается истинным для обеих, мы говорим, что оно логически достоверно или тавтологично.

Интерпретация теории

Интерпретация теории — это связь между теорией и некоторым предметом, когда существует соответствие «многие к одному» между определенными элементарными утверждениями теории и определенными утверждениями, относящимися к предмету. Если каждое элементарное утверждение теории имеет корреспондента, это называется полной интерпретацией , в противном случае — частичной интерпретацией . ^[2]

Интерпретации пропозициональной логики

Формальный язык пропозициональной логики состоит из формул, построенных из пропозициональных символов (также называемых пропозициональными символами, пропозициональными переменными, пропозициональными переменными ) и логических связок. Единственными нелогическими символами формального языка логики высказываний являются пропозициональные символы, которые часто обозначаются заглавными буквами. Чтобы сделать формальный язык точным, необходимо зафиксировать определенный набор пропозициональных символов.

Стандартный вид интерпретации в этом случае — это функция, которая отображает каждый пропозициональный символ в одно из значений истинности — истинное или ложное. Эта функция известна как функция присвоения истинности или функция оценки . Во многих презентациях присваивается буквально значение истинности, но в некоторых презентациях вместо этого назначаются носители истины .

Для языка с n различными пропозициональными переменными существует 2 ⁿ различных возможных интерпретаций. Например, для любой конкретной переменной a существует 2 ¹ =2 возможных интерпретации: 1) a присваивается T или 2 ) a присваивается F. Для пары a , b существует 2 ² =4 возможных интерпретации: 1) обоим присвоено T , 2) обоим присвоено F , 3) a присвоено T , а b присвоено F , или 4) a присвоено F и b присвоено Т. _

Учитывая любое истинностное присвоение набора пропозициональных символов, существует уникальное расширение интерпретации всех пропозициональных формул, построенных на основе этих переменных. Эта расширенная интерпретация определяется индуктивно с использованием определений таблицы истинности логических связок, обсуждавшихся выше.

Логика первого порядка

В отличие от логики высказываний, где все языки одинаковы, за исключением выбора разного набора пропозициональных переменных, существует много разных языков первого порядка. Каждый язык первого порядка определяется сигнатурой . Подпись состоит из набора нелогических символов и идентификации каждого из этих символов как постоянного символа, функционального символа или символа- предиката . В случае функциональных и предикатных символов также присваивается натуральная арность . Алфавит формального языка состоит из логических констант, символа равенства =, всех символов из сигнатуры и дополнительного бесконечного набора символов, называемых переменными.

Например, в языке колец есть константные символы 0 и 1, два символа бинарных функций + и · и нет символов бинарных отношений. (Здесь отношение равенства принимается за логическую константу.)

Опять же, мы могли бы определить язык L первого порядка как состоящий из отдельных символов a, b и c; символы-предикаты F, G, H, I и J; переменные x, y, z; нет функциональных букв; никаких сентентальных символов.

Формальные языки логики первого порядка

Учитывая сигнатуру σ, соответствующий формальный язык известен как набор σ-формул. Каждая σ-формула строится из атомарных формул посредством логических связок; Атомарные формулы строятся из термов с использованием символов-предикатов. Формальное определение множества σ-формул идет в другом направлении: сначала из символов констант и функций вместе с переменными собираются термы. Затем термины можно объединить в атомарную формулу, используя символ предиката (символ отношения) из сигнатуры или специальный символ предиката «=" для равенства (см. раздел «Интерпретация равенства» ниже). Наконец, формулы языка собираются из атомарных формул с использованием логических связок и кванторов.

Интерпретации языка первого порядка

Чтобы приписать значение всем предложениям языка первого порядка, необходима следующая информация.

• Область дискурса ^[3] D обычно должна быть непустой (см. ниже).
• Для каждого постоянного символа — элемент D как его интерпретация.
• Для каждого n -арного функционального символа - n -арная функция от D до D как его интерпретация (то есть функция D ⁿ  →  D ).
• Для каждого n -арного символа-предиката - n -арное отношение на D как его интерпретация (то есть подмножество D ⁿ ).

Объект, несущий эту информацию, известен как структура (сигнатуры σ), или σ-структура, или L -структура (языка L), или как «модель».

Информация, указанная в интерпретации, предоставляет достаточно информации, чтобы придать значение истинности любой атомарной формуле после того, как каждая из ее свободных переменных , если таковая имеется, была заменена элементом области определения. Затем истинностное значение произвольного предложения определяется индуктивно с использованием Т-схемы , которая представляет собой определение семантики первого порядка, разработанное Альфредом Тарским. Т-схема интерпретирует логические связи с использованием таблиц истинности, как обсуждалось выше. Так, например, φ ∧ ψ выполняется тогда и только тогда, когда выполняются и φ, и ψ.

Остается вопрос о том, как интерпретировать формулы вида ∀ x φ( x ) и ∃ x φ( x ) . Область дискурса формирует диапазон этих кванторов. Идея состоит в том, что предложение ∀ x φ( x ) истинно при интерпретации именно тогда, когда удовлетворяется каждый экземпляр замены φ( x ), где x заменяется некоторым элементом области определения. Формула ∃ x φ( x ) выполняется, если существует хотя бы один элемент d области, для которого выполняется φ( d ).

Строго говоря, экземпляр замены, такой как упомянутая выше формула φ( d ), не является формулой на исходном формальном языке φ, поскольку d является элементом области определения. Есть два способа решения этой технической проблемы. Первый — перейти к более широкому языку, в котором каждый элемент предметной области именуется постоянным символом. Второй — добавить в интерпретацию функцию, которая присваивает каждую переменную элементу предметной области. Тогда Т-схема может количественно оценивать варианты исходной интерпретации, в которых эта функция присваивания переменной изменяется, вместо количественной оценки экземпляров замены.

Некоторые авторы также допускают пропозициональные переменные в логике первого порядка, которые затем также необходимо интерпретировать. Пропозициональная переменная может выступать сама по себе как атомарная формула. Интерпретация пропозициональной переменной — это одно из двух значений истинности: истинное и ложное. ^[4]

Поскольку описанные здесь интерпретации первого порядка определены в теории множеств , они связывают каждый символ предиката не со свойством ^[5] (или отношением), а скорее с расширением этого свойства (или отношения). Другими словами, эти интерпретации первого порядка являются экстенсиональными ^[6], а не интенсиональными .

Пример интерпретации первого порядка

Пример интерпретации описанного выше языка L выглядит следующим образом. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

• Домен: Набор шахмат.
• Индивидуальные константы: a: Белый король, b: Черный ферзь, c: Пешка белого короля.
• F(x): x — кусок
• G(x): x — пешка
• H(x): x черный
• I(x): x белый
• J(x, y): x может захватить y

В интерпретации Л: ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

• следующие предложения являются истинными: F(a), G(c), H(b), I(a), J(b, c),
• следующие предложения являются ложными: J(a, c), G(a).

Требование непустого домена

Как указано выше, обычно требуется интерпретация первого порядка, чтобы указать непустое множество как область дискурса. Причина этого требования состоит в том, чтобы гарантировать, что эквивалентности, такие как

$${\displaystyle (\phi \lor \exists x\psi )\leftrightarrow \exists x(\phi \lor \psi ),}$$

x

$${\displaystyle [\forall y(y=y)\lor \exists x(x=x)]\equiv \exists x[\forall y(y=y)\lor x=x]}$$

^{[7] [8]}

Пустые отношения не создают никаких проблем для интерпретаций первого порядка, поскольку не существует аналогичного понятия передачи символа отношения через логическую связку, расширяя при этом его область действия. Таким образом, символы отношения могут интерпретироваться как тождественно ложные. Однако интерпретация функционального символа всегда должна приписывать этому символу четко определенную и полную функцию.

Интерпретация равенства

Отношение равенства часто рассматривается специально в логике первого порядка и других логиках предикатов. Существует два общих подхода.

Первый подход заключается в том, чтобы рассматривать равенство как нечто неотличимое от любого другого бинарного отношения. В этом случае, если в подпись включен символ равенства, обычно в системы аксиом приходится добавлять различные аксиомы о равенстве (например, аксиому подстановки, говорящую, что если a = b и R ( a ) выполняется, то R ( b ) тоже имеет место). Этот подход к равенству наиболее полезен при изучении сигнатур, которые не включают отношение равенства, таких как сигнатура теории множеств или сигнатура арифметики второго порядка , в которой есть только отношение равенства для чисел, но нет отношения равенства для чисел. набор цифр.

Второй подход заключается в том, чтобы рассматривать символ отношения равенства как логическую константу, которая должна интерпретироваться реальным отношением равенства в любой интерпретации. Интерпретация, которая интерпретирует равенство таким образом, известна как нормальная модель , поэтому второй подход аналогичен изучению только тех интерпретаций, которые являются нормальными моделями. Преимущество этого подхода состоит в том, что аксиомы, связанные с равенством, автоматически удовлетворяются каждой нормальной моделью, и поэтому их не нужно явно включать в теории первого порядка, когда равенство трактуется таким образом. Этот второй подход иногда называют логикой первого порядка с равенством , но многие авторы без комментариев принимают его для общего изучения логики первого порядка.

Есть еще несколько причин ограничить изучение логики первого порядка нормальными моделями. Во-первых, известно, что любая интерпретация первого порядка, в которой равенство интерпретируется отношением эквивалентности и удовлетворяет аксиомам замены равенства, может быть сведена к элементарно эквивалентной интерпретации на подмножестве исходной области. Таким образом, при изучении ненормальных моделей мало дополнительной общности. Во-вторых, если рассматривать ненормальные модели, то каждая непротиворечивая теория имеет бесконечную модель; это влияет на формулировки таких результатов, как теорема Левенхайма – Скулема , которые обычно формулируются в предположении, что рассматриваются только нормальные модели.

Многосортная логика первого порядка

Обобщение логики первого порядка рассматривает языки с более чем одним видом переменных. Идея в том, что разные типы переменных представляют разные типы объектов. Любую переменную можно выразить количественно; таким образом, интерпретация многосортного языка имеет отдельную область для каждого типа переменных (существует бесконечная коллекция переменных каждого из разных типов). Символы функций и отношений, помимо наличия арности, указаны так, что каждый из их аргументов должен относиться к определенному виду.

Одним из примеров многосортной логики является плоская евклидова геометрия ^{[ необходимы пояснения ]} . Есть два вида; точки и линии. Существует символ отношения равенства для точек, символ отношения равенства для линий и двоичное отношение инцидентности E , которое принимает одну переменную точки и одну переменную линии. Предполагаемая интерпретация этого языка имеет диапазон точечных переменных по всем точкам на евклидовой плоскости , диапазон линейных переменных по всем линиям на плоскости, а отношение инцидентности E ( p , l ) выполняется тогда и только тогда, когда точка p находится на прямой. л .

Логика предикатов высшего порядка

Формальный язык логики предикатов высшего порядка выглядит почти так же, как формальный язык логики первого порядка. Разница в том, что теперь существует много разных типов переменных. Некоторые переменные соответствуют элементам предметной области, как в логике первого порядка. Другие переменные соответствуют объектам более высокого типа: подмножествам предметной области, функциям из предметной области, функциям, которые принимают подмножество предметной области и возвращают функцию из предметной области в подмножества предметной области и т. д. Все эти типы переменных могут быть количественно.

Существует два типа интерпретаций, обычно используемых для логики высшего порядка. Полная семантика требует, чтобы после того, как домен дискурса удовлетворен, переменные более высокого порядка охватывали все возможные элементы правильного типа (все подмножества домена, все функции из домена в себя и т. д.). Таким образом, спецификация полной интерпретации такая же, как и спецификация интерпретации первого порядка. Семантика Хенкина , которая, по сути, представляет собой семантику первого порядка с множественной сортировкой, требует, чтобы интерпретация определяла отдельный домен для каждого типа переменной более высокого порядка, по которому будет осуществляться диапазон. Таким образом, интерпретация в семантике Хенкина включает область D , набор подмножеств D , набор функций от D до D и т. д. Отношения между этими двумя семантиками являются важной темой в логике высшего порядка.

Неклассические интерпретации

Описанные выше интерпретации логики высказываний и логики предикатов не являются единственно возможными интерпретациями. В частности, существуют другие типы интерпретаций, которые используются при изучении неклассической логики (например, интуиционистская логика ), а также при изучении модальной логики.

Интерпретации, используемые для изучения неклассической логики, включают топологические модели, булевозначные модели и модели Крипке . Модальная логика также изучается с использованием моделей Крипке.

Предполагаемые интерпретации

Многие формальные языки связаны с определенной интерпретацией, которая используется для их мотивации. Например, сигнатура первого порядка теории множеств включает только одно бинарное отношение ∈, которое предназначено для представления принадлежности к множеству, а областью дискурса в теории натуральных чисел первого порядка является множество натуральных чисел. цифры.

Предполагаемая интерпретация называется стандартной моделью (термин, введенный Абрахамом Робинсоном в 1960 году). ^[9] В контексте арифметики Пеано она состоит из натуральных чисел с их обычными арифметическими операциями. Все модели, изоморфные только что приведенной, также называются стандартными; все эти модели удовлетворяют аксиомам Пеано . Существуют также нестандартные модели аксиом Пеано (первого порядка) , которые содержат элементы, не коррелирующие ни с одним натуральным числом.

Хотя предполагаемая интерпретация не может иметь явного указания в строго формальных синтаксических правилах , она, естественно, влияет на выбор правил формирования и преобразования синтаксической системы. Например, примитивные знаки должны позволять выражать моделируемые понятия; сентенциальные формулы выбираются так, чтобы их аналогами в предполагаемой интерпретации были осмысленные повествовательные предложения ; примитивные предложения должны выглядеть истинными при интерпретации ; правила вывода должны быть такими, чтобы, если предложение непосредственно выводится из предложения , то оно оказывалось истинным предложением со смысловой импликацией , как обычно. Эти требования гарантируют, что все доказуемые предложения также окажутся истинными. ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{i}\to {\mathcal {I}}_{j}}$ ${\displaystyle \to }$

Большинство формальных систем имеют гораздо больше моделей, чем предполагалось ( примером является существование нестандартных моделей ). Когда мы говорим о «моделях» в эмпирических науках , мы имеем в виду, что если мы хотим, чтобы реальность была моделью нашей науки, мы говорим о предполагаемой модели . Модель в эмпирических науках — это предполагаемая фактически истинная описательная интерпретация (или в других контекстах: непреднамеренная произвольная интерпретация, используемая для разъяснения такой предполагаемой фактически истинной описательной интерпретации). Все модели — это интерпретации, имеющие одну и ту же область дискурса. как предполагалось, но другие назначения для нелогических констант . ^{[11] [ нужна страница ]}

Пример

Дана простая формальная система (назовем ее ), алфавит α которой состоит всего из трех символов и правило образования формул которой таково: ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ ${\displaystyle \{\blacksquare ,\bigstar ,\blacklozenge \}}$

«Любая строка символов длиной не менее 6 символов и не бесконечно длинная является формулой . Ничто иное не является формулой …». ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$

Единственная схема аксиом такова : ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$

" " (где " " — метасинтаксическая переменная , обозначающая конечную строку из " "s) ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ast \blacklozenge \ \blacksquare \ast }$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Формальное доказательство можно построить следующим образом:

1. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare }$
2. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$
3. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$

В этом примере полученную теорему « » можно интерпретировать как означающую «Один плюс три равно четырем». Другой интерпретацией было бы прочитать это наоборот: «Четыре минус три равно одному». ^{[12] [ нужна страница ]} ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$

Другие концепции интерпретации

Существуют и другие широко распространенные варианты использования термина «интерпретация», которые не относятся к присвоению значений формальным языкам.

В теории моделей говорят , что структура A интерпретирует структуру B , если существует определимое подмножество D из A и определимые отношения и функции на D , такие что B изоморфна структуре с областью определения D и этим функциям и отношениям. В некоторых случаях используется не домен D , а D по модулю отношения эквивалентности, определяемого в A. Дополнительную информацию см. в разделе «Интерпретация (теория моделей)» .

Говорят, что теория T интерпретирует другую теорию S , если согласно определениям T ′ существует конечное расширение T такое, что S содержится в T ′.

Смотрите также

• Концептуальная модель
• Свободные переменные и привязка имени
• Формальная семантика (естественный язык)
• Интерпретация Эрбрана
• Интерпретация (теория моделей)
• Логическая система
• Теорема Левенхайма – Скулема
• Модальная логика
• Теория моделей
• удовлетворительный
• Правда

Рекомендации

1. Священник, Грэм , 2008. Введение в неклассическую логику: от «если к есть», 2-е изд. Издательство Кембриджского университета.
2. Хаскелл Карри (1963). Основы математической логики . Макгроу Хилл.Здесь: стр.48
3. Иногда называют «вселенной дискурса».
4. Мейтс, Бенсон (1972), Элементарная логика, второе издание , Нью-Йорк: Oxford University Press , стр. 56, ISBN 0-19-501491-Х
5. Расширение свойства (также называемого атрибутом) представляет собой набор индивидов, поэтому свойство является унарным отношением. Например, свойства «желтый» и «простой» являются унарными отношениями.
6. см. также Расширение (логика предикатов)
7. Хайльперин, Теодор (1953), «Теория количественной оценки и пустые индивидуальные области», Журнал символической логики , Ассоциация символической логики , 18 (3): 197–200, doi : 10.2307/2267402, JSTOR  2267402, MR  0057820, S2CID  40988137
8. Куайн, Западная Вирджиния (1954), «Количественная оценка и пустая область», Журнал символической логики , Ассоциация символической логики, 19 (3): 177–179, doi : 10.2307/2268615, JSTOR  2268615, MR  0064715, S2CID  27053902
9. Роланд Мюллер (2009). «Понятие модели». В Энтони Мейерс (ред.). Философия техники и инженерных наук . Справочник по философии науки. Том. 9. Эльзевир. ISBN 978-0-444-51667-1.
10. Рудольф Карнап (1958). Введение в символическую логику и ее приложения . Нью-Йорк: Дуврские публикации. ISBN 9780486604534.
11. Ганс Фрейденталь , изд. (январь 1960 г.). Понятие и роль модели в математике, естественных и социальных науках (материалы коллоквиума) . Спрингер. ISBN 978-94-010-3669-6.
12. Джеффри Хантер (1992). Металогика: введение в метатеорию стандартной логики первого порядка . Издательство Калифорнийского университета.

Внешние ссылки

• Стэнфорд Энк. Фил: Классическая логика, 4. Семантика.
• mathworld.wolfram.com: Формальный язык
• mathworld.wolfram.com: Соединительный
• mathworld.wolfram.com: Интерпретация
• mathworld.wolfram.com: Исчисление высказываний
• mathworld.wolfram.com: Логика первого порядка