Модальная логика — это разновидность логики , используемая для представления утверждений о необходимости и возможности . Он играет важную роль в философии и смежных областях как инструмент для понимания таких понятий, как знание , обязательство и причинно-следственная связь . Например, в эпистемической модальной логике формула может использоваться для представления известного утверждения . В деонтической модальной логике та же самая формула может представлять моральное обязательство.
Модальная логика рассматривает выводы, к которым приводят модальные утверждения. Например, большинство эпистемических модальных логик рассматривают формулу как тавтологию , отражающую принцип, согласно которому только истинные утверждения могут считаться знанием. Однако эта формула не является тавтологией в деонтической модальной логике, поскольку то, что должно быть истинным, может быть ложным.
Модальные логики — это формальные системы , которые включают унарные операторы, такие как и , представляющие возможность и необходимость соответственно. Например, модальную формулу можно прочитать как «возможно », а можно прочитать как «необходимо ». В стандартной реляционной семантике модальной логики формулам присваиваются значения истинности относительно возможного мира . Истинное значение формулы в одном возможном мире может зависеть от истинностных значений других формул в других доступных возможных мирах . В частности, истинно в мире, если истинно в некотором доступном возможном мире, и истинно в мире, если истинно в каждом доступном возможном мире. Существует множество систем доказательств, которые являются надежными и полными в отношении семантики, которую можно получить, ограничивая отношение доступности. Например, деонтическая модальная логика D является правильной и полной, если требуется, чтобы отношение доступности было последовательным .
Хотя интуиция, лежащая в основе модальной логики, восходит к античности, первые модальные аксиоматические системы были разработаны К.И. Льюисом в 1912 году. Стандартная реляционная семантика возникла в середине двадцатого века в работах Артура Прайора , Яакко Хинтикки и Сола Крипке . Недавние разработки включают альтернативную топологическую семантику, такую как семантика соседства , а также применения реляционной семантики за пределами ее первоначальной философской мотивации. [1] Такие приложения включают теорию игр , [2] моральную и правовую теорию , [2] веб-дизайн , [2] теорию множеств на основе мультивселенной , [3] и социальную эпистемологию . [4]
Модальная логика отличается от других видов логики тем, что в ней используются модальные операторы, такие как и . Первое обычно читается вслух как «необходимо» и может использоваться для обозначения таких понятий, как моральное или юридическое обязательство , знание , историческая неизбежность и другие. Последнее обычно читается как «возможно» и может использоваться для представления таких понятий, как разрешение , способность , совместимость с доказательствами . Хотя правильно составленные формулы модальной логики включают немодальные формулы, такие как , они также содержат модальные, такие как , , и т. д.
Таким образом, язык базовой логики высказываний можно рекурсивно определить следующим образом.
Модальные операторы можно добавить к другим видам логики, введя правила, аналогичные пунктам 4 и 5 выше. Модальная логика предикатов — один из широко используемых вариантов, который включает такие формулы, как . В системах модальной логики, где и являются двойственными , может использоваться как сокращение для , что устраняет необходимость в отдельном синтаксическом правиле для его введения. Однако отдельные синтаксические правила необходимы в системах, где два оператора не являются взаимоопределяемыми.
Общие варианты обозначений включают такие символы, как и в системах модальной логики, используемых для представления знаний, и в тех, которые используются для представления убеждений. Эти обозначения особенно распространены в системах, которые одновременно используют несколько модальных операторов. Например, комбинированная эпистемико-деонтическая логика могла бы использовать формулу, читаемую как «Я знаю, что P разрешено». Системы модальной логики могут включать бесконечное число модальных операторов, отличающихся индексами, т. е . , , и т.д.
Стандартная семантика модальной логики называется реляционной семантикой . При таком подходе истинность формулы определяется относительно точки, которую часто называют возможным миром . Для формулы, содержащей модальный оператор, ее значение истинности может зависеть от того, что истинно в других доступных мирах. Таким образом, реляционная семантика интерпретирует формулы модальной логики, используя модели , определяемые следующим образом. [5]
Множество часто называют вселенной . Бинарное отношение называется отношением доступности , и оно контролирует, какие миры могут «видеть» друг друга, чтобы определить, что является правдой. Например, означает, что мир доступен из world . Иными словами, положение дел, известное как, является реальной возможностью для . Наконец, эта функция известна как функция оценки. Он определяет, какие атомарные формулы верны в каких мирах.
Затем мы рекурсивно определяем истинность формулы в мире модели :
Согласно этой семантике, формула необходима по отношению к миру, если она справедлива для каждого мира, доступного из . Это возможно , если оно выполняется в каком-то мире, доступном из . Таким образом, возможность зависит от отношения доступности , которое позволяет нам выразить относительную природу возможности. Например, мы могли бы сказать, что, учитывая наши законы физики, люди не могут путешествовать быстрее скорости света, но при других обстоятельствах это было бы возможно. Используя отношение доступности, мы можем перевести этот сценарий следующим образом: во всех мирах, доступных нашему собственному миру, люди не могут путешествовать со скоростью, превышающей скорость света, но в одном из этих доступных миров существует другой мир. доступный из этих миров, но недоступный из нашего собственного, где люди могут путешествовать быстрее скорости света.
Выбора отношения доступности иногда может быть достаточно, чтобы гарантировать истинность или ложность формулы. Например, рассмотрим модель , отношение доступности которой является рефлексивным . Поскольку отношение является рефлексивным, оно будет иметь место для любого , независимо от того, какая функция оценки используется. По этой причине модальные логики иногда говорят о фреймах , которые являются частью реляционной модели, исключающей функцию оценки.
Различные системы модальной логики определяются с использованием условий кадра . Рамка называется:
Логика, вытекающая из этих условий кадра:
Евклидово свойство наряду с рефлексивностью приводит к симметрии и транзитивности. (Свойство Евклида также может быть получено из симметрии и транзитивности.) Следовательно, если отношение доступности R рефлексивно и евклидово, R также доказуемо симметрично и транзитивно . Следовательно, для моделей S5 R является отношением эквивалентности , поскольку R рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Мы можем доказать, что эти фреймы создают тот же набор допустимых предложений, что и фреймы, в которых все миры могут видеть все другие миры W ( т. е . где R — «тотальное» отношение). Это дает соответствующий модальный граф , который является полностью полным ( т. е . больше ребер (отношений) добавлять нельзя). Например, в любой модальной логике, основанной на условиях кадра:
Если мы рассмотрим кадры, основанные на общем отношении, мы можем просто сказать, что
Мы можем исключить пункт о доступности из последнего условия, потому что в таких полных структурах для всех w и u тривиально верно, что w R u . Но это не обязательно должно быть так во всех кадрах S5, которые все еще могут состоять из множества частей, полностью связанных между собой, но все же отсоединенных друг от друга.
Все эти логические системы также могут быть определены аксиоматически, как показано в следующем разделе. Например, в S5 аксиомы и ( соответствующие симметрии , транзитивности и рефлексивности соответственно) выполняются, тогда как по крайней мере одна из этих аксиом не выполняется в каждой из других, более слабых логик.
Модальная логика также интерпретировалась с использованием топологических структур. Например, Внутренняя семантика интерпретирует формулы модальной логики следующим образом.
Топологическая модель — это кортеж , где — топологическое пространство , а — функция оценки, которая отображает каждую атомарную формулу в некоторое подмножество . Основная внутренняя семантика интерпретирует формулы модальной логики следующим образом:
Топологические подходы включают в себя реляционные, допуская ненормальную модальную логику . Дополнительная структура, которую они обеспечивают, также позволяет прозрачно моделировать определенные концепции, такие как доказательства или обоснования своих убеждений. Топологическая семантика широко используется в последних работах по формальной эпистемологии и имеет предшественников в более ранних работах, таких как логика Дэвида Льюиса и Анжелики Кратцер для контрфактуалов .
Первые формализации модальной логики были аксиоматическими . С тех пор, как К.И. Льюис начал работать в этой области в 1912 году , были предложены многочисленные вариации с очень разными свойствами. Например, Хьюз и Крессвелл (1996) описывают 42 нормальные и 25 ненормальных модальных логик. Земан (1973) описывает некоторые системы, которые Хьюз и Крессвелл опускают.
Современные методы лечения модальной логики начинаются с дополнения исчисления высказываний двумя унарными операциями, одна из которых обозначает «необходимость», а другая — «возможность». Обозначение К.И. Льюиса , широко используемое с тех пор, обозначает «обязательно p » с помощью префикса «коробка» (□ p ), область действия которого определяется круглыми скобками. Аналогично, префикс «ромб» (◇ p ) означает «возможно p ». Подобно кванторам в логике первого порядка , «необходимо p » (□ p ) не предполагает, что диапазон квантификации (множество доступных возможных миров в семантике Крипке ) непусто, тогда как «возможно p » (◇ p ) часто неявно предполагает (т. е. множество доступных возможных миров непусто). Независимо от обозначений, каждый из этих операторов можно определить через другой в классической модальной логике:
Следовательно, □ и ◇ образуют двойственную пару операторов.
Во многих модальных логиках операторы необходимости и возможности удовлетворяют следующим аналогам законов де Моргана из булевой алгебры :
Какие именно аксиомы и правила необходимо добавить к исчислению высказываний , чтобы создать пригодную для использования систему модальной логики, является вопросом философского мнения, часто движимого теоремами, которые человек хочет доказать; или, в информатике, это вопрос того, какую вычислительную или дедуктивную систему нужно моделировать. Многие модальные логики, известные под общим названием нормальные модальные логики , включают в себя следующее правило и аксиому:
Слабейшая нормальная модальная логика , названная « K » в честь Саула Крипке , представляет собой просто исчисление высказываний, дополненное □, правилом N и аксиомой K. K слаб в том смысле, что он не может определить, может ли предложение быть необходимым, а лишь условно необходимым. То есть, это не теорема K о том, что если □ p истинно, то □□ p истинно, т. е. что необходимые истины «необходимо необходимы». Если подобные затруднения считать вынужденными и искусственными, то этот недостаток К не является большим. В любом случае разные ответы на такие вопросы дают разные системы модальной логики.
Добавление аксиом к K порождает другие известные модальные системы. В K нельзя доказать , что если « p необходимо», то p истинно. Аксиома T исправляет этот недостаток:
T выполняется в большинстве, но не во всех модальных логиках. Земан (1973) описывает несколько исключений, таких как S1 0 .
Другие известные элементарные аксиомы:
В результате получаются системы (аксиомы выделены жирным шрифтом, системы — курсивом):
От K до S5 образуют вложенную иерархию систем, составляющую ядро нормальной модальной логики . Но конкретные правила или наборы правил могут подходить для конкретных систем. Например, в деонтической логике ( Если должно быть то, что р , то разрешено, что р ) кажется уместным, но нам, вероятно, не следует включать это . Фактически, поступить так — значит совершить натуралистическую ошибку (т. е. заявить, что то, что естественно, также и хорошо, говоря, что если p имеет место, то p должно быть разрешено).
Обычно используемая система S5 просто делает необходимыми все модальные истины. Например, если p возможно, то «необходимо», чтобы p было возможно. Кроме того, если р необходим, то необходимо, чтобы р был необходим. Были сформулированы и другие системы модальной логики, отчасти потому, что S5 не описывает все виды интересующей модальности.
Секвенциальные исчисления и системы естественной дедукции были разработаны для нескольких модальных логик, но оказалось трудно совместить общность с другими особенностями, ожидаемыми от хороших структурных теорий доказательства , такими как чистота (теория доказательств не вводит экстралогические понятия, такие как метки). ) и аналитичность (логические правила поддерживают четкое представление об аналитическом доказательстве ). Более сложные исчисления были применены к модальной логике для достижения общности.
Аналитические таблицы представляют собой наиболее популярный метод принятия решений для модальной логики. [ нужна цитата ]
Модальности необходимости и возможности называются алетическими модальностями. Их также иногда называют специальными модальностями, от латинского вида . Модальная логика была сначала разработана для работы с этими концепциями и только потом была распространена на другие. По этой причине или, возможно, из-за их известности и простоты необходимость и возможность часто небрежно рассматриваются как предмет модальной логики. Более того, легче понять смысл релятивизации необходимости, например, юридической, физической, номологической , эпистемической и т. д., чем релятивизации других понятий.
В классической модальной логике высказывание называется
Поэтому в классической модальной логике понятие возможности или необходимости может считаться основным, тогда как другие понятия определяются в его терминах в духе двойственности Де Моргана . Интуиционистская модальная логика рассматривает возможность и необходимость как несовершенно симметричные.
Например, предположим, что, идя в магазин, мы проходим мимо дома Фридриха и видим, что свет выключен. На обратном пути наблюдаем, что они включились.
(Конечно, эта аналогия не применяет алетическую модальность по-настоящему строго ; для этого пришлось бы аксиоматически сделать такие утверждения, как «человеческие существа не могут воскреснуть из мертвых», «Сократ был человеком, а не бессмертный вампир», и «мы не принимали галлюциногенные препараты, которые заставляли нас ложно верить, что свет включен», до бесконечности . Абсолютная уверенность в истинности или лжи существует только в смысле логически построенных абстрактных понятий, таких как «это невозможно». нарисовать треугольник с четырьмя сторонами» и «все холостяки не женаты».)
Для тех, у кого возникают трудности с представлением о том, что что-то возможно, но не истинно, значение этих терминов может стать более понятным, если подумать о множественных «возможных мирах» (в смысле Лейбница ) или «альтернативных вселенных»; что-то «необходимое» истинно во всех возможных мирах, что-то «возможное» истинно по крайней мере в одном возможном мире. Эта «возможная семантика мира» формализуется семантикой Крипке .
Что-то физически или экономически возможно, если это разрешено законами физики . [ нужна цитата ] Например, считается, что современная теория допускает существование атома с атомным номером 126, [6], даже если таких атомов не существует. Напротив, хотя логически возможно ускориться сверх скорости света , [7] современная наука утверждает, что это физически невозможно для материальных частиц или информации. [8]
Философы [ кто? ] спорят, обладают ли объекты свойствами, независимыми от тех, которые диктуются научными законами. Например, может быть метафизически необходимо, как думали некоторые сторонники физикализма , чтобы все мыслящие существа имели тела [9] и могли ощущать течение времени . Сол Крипке утверждал, что у каждого человека обязательно есть родители: любой, у кого разные родители, не будет одним и тем же человеком. [10]
Метафизическая возможность считалась более ограничивающей, чем простая логическая возможность [11] (т. е. метафизически возможно меньше вещей, чем логически). Однако его точная связь (если таковая имеется) с логической или физической возможностью является предметом споров. Философы [ кто? ] также не согласны с тем, необходимы ли метафизические истины просто «по определению», или они отражают некоторые основные глубокие факты о мире или что-то совершенно другое.
Эпистемические модальности (от греческого episteme — знание) касаются определенности предложений . Оператор □ переводится как «x уверен, что…», а оператор ◇ переводится как «Насколько известно x, может быть правдой, что…». В обычной речи как метафизические, так и эпистемические модальности часто выражаются схожими словами; следующие контрасты могут помочь:
Человек, Джонс, мог бы разумно сказать и то, и другое : (1) «Нет, существование снежного человека невозможно ; я в этом совершенно уверен»; и (2) «Конечно, снежные люди могут существовать». Под (1) Джонс подразумевает, что, учитывая всю доступную информацию, не остается сомнений в том, существует ли снежный человек. Это эпистемическое утверждение. В (2) он делает метафизическое заявление о том, что снежный человек может существовать, хотя на самом деле это не так : не существует физической или биологической причины, по которой большие, лишенные перьев, двуногие существа с густой шерстью не могли бы существовать в лесах Северной Америки. (независимо от того, делают они это или нет). Точно так же фраза «возможно, что человек, читающий это предложение, будет иметь рост четырнадцати футов и будет называться Чад» метафизически верен (такому человеку каким-то образом не помешают сделать это из-за его роста и имени), но не алетически верен , если только вы соответствуете этому описанию, и оно не является эпистемически верным, если известно, что людей ростом четырнадцать футов никогда не существовало.
С другой стороны, Джонс мог бы сказать: (3) «Возможно , что гипотеза Гольдбаха верна; но также возможно , что она ложна», а также (4) «если она истинна , то она обязательно истинна, а не возможно, ложь». Здесь Джонс имеет в виду, что эпистемически возможно , что она истинна или ложна, насколько ему известно (гипотеза Гольдбаха не была доказана ни истинной, ни ложной), но если бы существовало доказательство (до сих пор не открытое), то оно показало бы, что это логически невозможно , чтобы гипотеза Гольдбаха была ложной — не могло быть никакого набора чисел, который бы ее нарушал. Логическая возможность — это форма алетической возможности; (4) утверждает, что возможно (т. е., логически говоря), чтобы математическая истина была ложной, но (3) делает только утверждение о том, возможно ли это, насколько известно Джонсу (т. е., говоря о уверенность), что математическое утверждение либо истинно, либо ложно, и, таким образом, Джонс снова не противоречит сам себе. Стоит отметить, что Джонс не обязательно прав: возможно (эпистемически), что гипотеза Гольдбаха одновременно верна и недоказуема.
Эпистемические возможности также влияют на реальный мир в отличие от метафизических возможностей. Метафизические возможности связаны с тем, каким мог бы быть мир , но эпистемические возможности связаны с тем, каким мир может быть (насколько нам известно). Предположим, например, что я хочу знать, брать ли перед уходом зонтик или нет. Если вы скажете мне: «Вполне возможно, что на улице идет дождь» – в смысле эпистемической возможности – тогда это повлияет на то, возьму я зонтик или нет. Но если вы просто скажете мне, что « на улице может идти дождь» – в смысле метафизической возможности – тогда мне не станет лучше от этого модального просветления.
Некоторые особенности эпистемической модальной логики являются предметом дискуссий. Например, если x знает, что p , знает ли x , что он знает, что p ? Другими словами, должно ли □ P → □□ P быть аксиомой в этих системах? Хотя ответ на этот вопрос неясен, [12] существует по крайней мере одна аксиома, которая обычно включается в эпистемическую модальную логику, поскольку она минимально верна для всех нормальных модальных логик (см. раздел об аксиоматических системах):
Был поставлен вопрос о том, следует ли считать эпистемическую и алетическую модальности отличными друг от друга. Критика утверждает, что нет реальной разницы между «истиной в мире» (алетической) и «истиной в сознании человека» (эпистемической). [13] Исследование не обнаружило ни одного языка, в котором бы формально различались алетическая и эпистемическая модальности, например, посредством грамматического наклонения . [14]
Темпоральная логика — это подход к семантике выражений с временем , то есть выражений с уточнениями «когда». Некоторые выражения, такие как «2 + 2 = 4», истинны всегда, тогда как временные выражения, такие как «Джон счастлив», верны только иногда.
В темпоральной логике временные конструкции трактуются с точки зрения модальностей, где стандартным методом формализации разговоров о времени является использование двух пар операторов: одного для прошлого и одного для будущего (P будет просто означать «это так в настоящий момент»). что П’). Например:
Тогда есть как минимум три модальные логики, которые мы можем разработать. Например, мы можем оговорить, что
Или мы можем обменять эти операторы, чтобы иметь дело только с будущим (или прошлым). Например,
или,
Операторы F и G могут показаться изначально чуждыми, но они создают нормальные модальные системы . F P — то же самое , что ¬G¬P . Мы можем объединить вышеуказанные операторы для формирования сложных операторов. Например, P P → □ P P говорит (эффективно): «Все, что прошло и истинно, необходимо» .
Кажется разумным сказать, что, возможно, завтра пойдет дождь, а возможно, и не будет; с другой стороны, поскольку мы не можем изменить прошлое, если верно, что вчера шел дождь, то не может быть правдой и то, что вчера дождя не было. Кажется, что прошлое «фиксировано» или необходимо, в отличие от будущего. Иногда это называют случайной необходимостью . Но если прошлое «фиксировано», и все, что есть в будущем, в конечном итоге окажется в прошлом, то кажется правдоподобным сказать, что будущие события тоже необходимы.
Подобным же образом проблема будущих контингентов рассматривает семантику утверждений о будущем: истинно ли сейчас одно из утверждений «Завтра будет морское сражение» или «Завтра морское сражение не будет»? Рассмотрение этого тезиса привело Аристотеля к отказу от принципа двувалентности утверждений о будущем.
Дополнительные бинарные операторы также имеют отношение к темпоральной логике (см. Линейная темпоральная логика ).
Версии темпоральной логики могут использоваться в информатике для моделирования компьютерных операций и доказательства о них теорем. В одной из версий ◇ P означает «в будущем в ходе вычислений возможно, что состояние компьютера будет таким, что P будет истинным»; □ P означает «во всех будущих моментах вычислений P будет истинным». В другой версии ◇ P означает «на следующем этапе вычислений P может быть истинным»; □ P означает «на следующем этапе вычислений P будет истинным». Они отличаются выбором отношения доступности . (P всегда означает «P истинно в текущем состоянии компьютера».) Эти два примера включают недетерминированные или не до конца понятные вычисления; существует множество других модальных логик, специализирующихся на различных типах анализа программ. Каждый из них естественным образом приводит к несколько разным аксиомам.
Точно так же разговоры о морали или об обязанностях и нормах в целом, по-видимому, имеют модальную структуру. Разница между «Вы должны сделать это» и «Вы можете сделать это» во многом похожа на разницу между «Это необходимо» и «Это возможно». Такая логика называется деонтической , от греческого «долг».
В деонтических логиках обычно отсутствует аксиома Т , семантически соответствующая рефлексивности отношения доступности в семантике Крипке : в символах, . Интерпретируя □ как «обязательно», T неформально говорит, что каждое обязательство истинно. Например, если обязательно не убивать других (т.е. убийство морально запрещено), то Т подразумевает, что люди на самом деле не убивают других. Следствие, очевидно, неверно.
Вместо этого, используя семантику Крипке , мы говорим, что, хотя наш собственный мир не реализует всех обязательств, доступные ему миры реализуют (т. е. T сохраняется в этих мирах). Эти миры называются идеализированными . P является обязательным по отношению к нашему собственному миру, если во всех идеализированных мирах, доступных нашему миру, P имеет место. Хотя это была одна из первых интерпретаций формальной семантики, в последнее время она подверглась критике. [15]
Еще один принцип, который часто (по крайней мере традиционно) принимается как деонтический принцип, — это D , , который соответствует серийности (или расширяемости или неограниченности) отношения доступности. Это воплощение кантовской идеи о том, что «должное подразумевает возможное». (Очевидно, что слово «можно» можно интерпретировать в различных смыслах, например, в моральном или алетическом смысле.)
Когда мы пытаемся формализовать этику с помощью стандартной модальной логики, мы сталкиваемся с некоторыми проблемами. Предположим, что у нас есть предложение К : вы украли немного денег, и другое: Q : вы украли небольшую сумму денег. Теперь предположим, что мы хотим выразить мысль: «Если вы украли немного денег, это должна быть небольшая сумма денег». Есть два вероятных кандидата,
Но (1) и K вместе влекут за собой □ Q , что говорит о том, что должно быть так, что вы украли небольшую сумму денег. Это, конечно, неправильно, потому что вообще не следовало ничего воровать. И (2) тоже не работает: если правильное представление «если вы украли немного денег, это должна быть небольшая сумма» — это (2), то правильное представление (3) «если вы украли немного денег, тогда это должна быть большая сумма» . Теперь предположим (что кажется разумным), что вам не следует ничего воровать или … Но тогда мы можем вывести через и ( противоположность ) ; поэтому предложение (3) следует из нашей гипотезы (конечно, та же логика показывает и предложение (2)). Но это не может быть правильным, и это неправильно, когда мы используем естественный язык. Сказать кому-то, что ему не следует воровать, конечно, не означает, что ему следует украсть большие суммы денег, если он действительно занимается воровством. [16]
Доксастическая логика касается логики убеждений (некоторого набора агентов). Термин «доксастик» происходит от древнегреческого слова «докса», что означает «вера». Как правило, в доксастической логике используется □, часто записываемый как «B», для обозначения «Считается, что», или, применительно к конкретному агенту s, «S считает, что».
В наиболее распространенной интерпретации модальной логики рассматриваются « логически возможные миры». Если утверждение истинно во всех возможных мирах , то это необходимая истина. Если утверждение истинно в нашем мире, но не истинно во всех возможных мирах, то это условная истина. Утверждение, которое истинно в некотором возможном мире (не обязательно нашем), называется возможной истиной.
В рамках этой «идиомы возможных миров», чтобы утверждать, что существование снежного человека возможно, но не реально, говорят: «Существует некоторый возможный мир, в котором существует снежный человек; но в реальном мире снежный человек не существует». Однако неясно, к чему нас обязывает это утверждение. Действительно ли мы утверждаем о существовании возможных миров, столь же реальных, как и наш реальный мир, но не реальных? Саул Крипке считает, что термин «возможный мир» — это своего рода неправильное употребление, что термин «возможный мир» — это всего лишь полезный способ визуализации концепции возможности. [17] Для него предложения «вы могли бы выбросить 4 вместо 6» и «есть возможный мир, в котором вы выпали 4, но в реальном мире вы выбросили 6» не являются существенно разными утверждениями, и и не обязывает нас к существованию возможного мира. [18] Дэвид Льюис , с другой стороны, прославился тем, что стиснул зубы, утверждая, что все просто возможные миры так же реальны, как и наш собственный, и что то, что отличает наш мир от реального , это просто то, что это действительно наш мир - это мир. [19] Эта позиция является основным принципом « модального реализма ». Некоторые философы отказываются поддерживать какую-либо версию модального реализма, считая ее онтологически экстравагантной, и предпочитают искать различные способы перефразировать эти онтологические обязательства. Роберт Адамс считает, что «возможные миры» лучше рассматривать как «мировые истории» или непротиворечивые наборы предложений. Таким образом, вполне возможно, что у вас выпала 4, если такое положение дел можно связно описать. [20]
Ученые-компьютерщики обычно выбирают весьма специфическую интерпретацию модальных операторов, специализированную для конкретного типа анализируемых вычислений. Вместо «всех миров» у вас могут быть «все возможные следующие состояния компьютера» или «все возможные будущие состояния компьютера».
Модальная логика начала использоваться в таких областях гуманитарных наук, как литература, поэзия, искусство и история. [21] [22]
Основные идеи модальной логики восходят к античности. Аристотель разработал модальную силлогистику в книге I своей «Первой аналитики» (гл. 8–22), которую Теофраст пытался улучшить. [23] В работе Аристотеля есть также отрывки, такие как знаменитый аргумент о морском сражении в §9 «De Interpretatione », которые теперь рассматриваются как предвосхищение связи модальной логики с потенциальностью и временем. В эллинистический период логики Диодор Кронос , Филон Диалектик и стоик Хрисипп разработали модальную систему, которая учитывала взаимоопределяемость возможности и необходимости, приняли аксиому Т (см. ниже) и объединили элементы модальной логики и темпоральной логики в пытается решить пресловутый Главный Аргумент . [24] Самая ранняя формальная система модальной логики была разработана Авиценной , который в конечном итоге разработал теорию « временно- модальной» силлогистики. [25] Модальная логика как самосознающий субъект во многом обязана трудам схоластов , в частности Уильяма Оккама и Джона Дунса Скота , которые рассуждали неформально в модальной манере, главным образом для анализа высказываний о сущности и акцидентности .
В 19 веке Хью Макколл внес новаторский вклад в модальную логику, но не нашел большого признания. [26] К.И. Льюис основал современную модальную логику в серии научных статей, начиная с 1912 года с «Импликации и алгебры логики». [27] [28] Льюис был вынужден изобрести модальную логику и, в частности, строгую импликацию на том основании, что классическая логика допускает парадоксы материальной импликации, такие как принцип, согласно которому ложь подразумевает любое предложение . [29] Кульминацией этой работы стала его книга «Символическая логика» 1932 года (совместно с Ч. Лэнгфордом ), [30] в которой были представлены пять систем от S1 до S5 .
После Льюиса модальной логике в течение нескольких десятилетий уделялось мало внимания. Николас Решер утверждал, что это произошло потому, что Бертран Рассел отверг это предложение. [31] Однако Ян Дейнозка выступил против этой точки зрения, заявив, что модальная система, которую Дейнозка называет «MDL», описана в работах Рассела, хотя Рассел действительно считал, что концепция модальности «происходит из смешения пропозиций с пропозициональными функциями », как он написал в «Анализ материи» . [32]
Рут К. Баркан (позже Рут Баркан Маркус ) разработала первые аксиоматические системы количественной модальной логики — расширения первого и второго порядка S2 , S4 и S5 Льюиса . [33] [34] [35] Артур Норман Прайор предупредил ее, чтобы она хорошо подготовилась к дебатам по поводу количественной модальной логики с Уиллардом Ван Орманом Куайном из-за предвзятости в отношении модальной логики. [36]
Современная эра модальной семантики началась в 1959 году, когда Сол Крипке (тогда ему было всего лишь 18 лет, студент Гарвардского университета ) представил теперь стандартную семантику Крипке для модальных логик. Их обычно называют семантикой «возможных миров». Крипке и А. Н. Приор ранее довольно долго переписывались. Семантика Крипке в основном проста, но доказательства облегчаются с помощью семантических таблиц или аналитических таблиц , как объяснил Э. У. Бет .
А. Н. Приор создал современную темпоральную логику , тесно связанную с модальной логикой, в 1957 году, добавив модальные операторы [F] и [P], означающие «в конечном итоге» и «ранее». Воган Пратт представил динамическую логику в 1976 году. В 1977 году Амир Пнуэли предложил использовать темпоральную логику для формализации поведения постоянно работающих параллельных программ . Разновидности темпоральной логики включают пропозициональную динамическую логику (PDL), (пропозициональную) линейную темпоральную логику (LTL), логику дерева вычислений (CTL), логику Хеннесси-Милнера и T . [ нужны разъяснения ]
Математическая структура модальной логики, а именно булевых алгебр , дополненных унарными операциями (часто называемых модальными алгебрами ), начала формироваться после доказательства JCC McKinsey в 1941 году разрешимости S2 и S4 [37] и достигла полного расцвета в работе Альфреда Тарский и его ученик Бьярни Йонссон (Йонссон и Тарский, 1951–52). Эта работа показала, что S4 и S5 являются моделями внутренней алгебры , собственным расширением булевой алгебры, первоначально разработанным для отражения свойств внутренних операторов и операторов замыкания топологии . В текстах по модальной логике обычно упоминается лишь ее связь с изучением булевых алгебр и топологии . Подробный обзор истории формальной модальной логики и связанной с ней математики см. в Robert Goldblatt (2006). [38]